人教A版（2019）数学必修第二册 7.1复数的概念
一、单选题
1．（2020·贵州模拟）设 ，则在复平面内复数 对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2019高二下·上海月考）在复数集中,一个数的平方恰好为这个数的共軛复数,具有这种特性的数共有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
3．（2018·河北模拟）已知 为虚数单位， 为实数，复数 满足 ，若复数 是纯虚数，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2018·海南模拟）已知复数 在复平面内对应的点在第二象限，则整数 的取值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（2018高二下·聊城期中）在复平面内，复数 ， 对应的点分为 ， ，若 为线段 的中点，则点 对应的复数是（ ）
A． B． C． D．
6．下列命题中，正确命题的个数是（ ）
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；
②若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i；
③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0.
A．0 B．1 C．2 D．3
7．两个不相等的复数z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，若z1与z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则a，b，c，d之间的关系为（ ）
A．a＝－c，b＝d B．a＝－c，b＝－d
C．a＝c，b＝－d D．a≠c，b≠d
8．（2017高二下·南昌期末）从集合{0，1，2，3，4，5}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a+bi，其中虚数有（ ）个．
A．36 B．30 C．25 D．20
9．下列命题中正确的是（ ）
A．任意两个复数均不能比较大小
B．复数z为实数的充要条件是
C．复数z=3+2i在复平面上对应的点在第二象限
D．复数i+3的共轭复数为i﹣3
10．已知复数z=﹣i+2，则z的虚部为（ ）
A．i B．﹣1 C．1 D．﹣i
11．实数m取什么数值时，复数z=m﹣1+（m+1）i是实数（ ）
A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3
12．以 的虚部为实部，以 的实部为虚部的新复数是（ ）
A．2﹣2i B．2+i C．﹣ + D． + i
13．若（2k2﹣3k﹣2）+（k2﹣2k）i是纯虚数，则实数k的值等于（ ）
A．0或2 B．2或 C． D．2
14．若 x 是实数， y 是纯虚数，且满足 ，则 x+yi 等于（ ）.
A．1 B．-2 C． D．
15．若复数 是纯虚数，则 的值为（ ）
A．-7 B． C．7 D．-7 或
二、填空题
16．已知i是虚数单位，复数z=﹣1+3i，则复数z的模|z|= ．
17．（2017高二下·乾安期末）若复数 （ 为虚数单位）是纯虚数，则实数 的值为 ．
18．（2017高二下·徐州期中）已知复数z满足等式|z﹣1|=|z+2i|（i是虚数单位），则|z﹣1﹣i|的最小值是 ．
19．当x∈ 时，复数z=（x+1）+（x﹣2）i（x∈R）对应的复平面内的点在第四象限．
三、解答题
20．（2019高二下·宁夏月考）实数 取什么数值时，复数 分别是：
（1）实数？
（2）虚数？
（3）纯虚数？
（4）表示复数 的点在复平面的第四象限？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】由于 ，所以 ，对应点为 ，在第二象限.
故选：B
【分析】求得 ，由此求得复数 对应的点所在象限.
2．【答案】B
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：设 ，则
，即 ，
，解得 ，
共4组解．
故答案为：B．
【分析】设 ，根据条件列方程求解即可．
3．【答案】B
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】由 ，得 ，又∵复数 是纯虚数，∴ ，解得 ， 故答案为：B.
【分析】根据题意利用复数的概念即可得出结论。
4．【答案】C
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】复数 在复平面内对应的点在第二象限，
则 ，解得 ，则整数 .
故答案为：C.
【分析】由已知可得关于m的不等式组，求解得答案．
5．【答案】C
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】因为复数 ， 对应的点分为 ， ，
所以 ，
为线段 的中点， ，
点 对应的复数是 ，
故答案为：C.
【分析】求出A，B的坐标，利用中点坐标公式求得C的坐标，则点C对应的复数可求．
6．【答案】A
【知识点】复数的基本概念；复数相等的充要条件
【解析】【解答】对①，由于x，y∈C，所以x，y不一定是x＋yi的实部和虚部，故①是假命题；
对②，由于两个虚数不能比较大小，故②是假命题；
③是假命题，如12＋i2＝0，但1≠0，i≠0.
故答案为：A.
【分析】①中，复数相等的条件一定要注意x，y是不是实数，如果不是实数，则不一定是实部和虚部.②中两个复数不完全是实数时，不能比较大小；③可用反例说明.
7．【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】设z1＝a＋bi(a，b∈R)的对应点为P(a，b)，
z2＝c＋di(c，d∈R)的对应点为Q(c，d)．
∵P与Q关于y轴对称，∴a＝－c，b＝d.
故答案为：A.
【分析】由复数的几何意义得到复数对应的点的坐标，再由点关于y轴对称得到其坐标之间的关系.
8．【答案】C
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：要构成虚数a+bi，则b≠0，
∴b可取1，2，3，4，5五个数字，有五种取法，
又a，b为互不相等得两个数字，
故a有五种取法．
∴由分别乘法原理可知，构成虚数的个数为5×5=25个．
故选：C．
【分析】由题意可知b有五种不同取法，a也有五种不同取法，结合分步乘法计数原理得答案．
9．【答案】B
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：A．当两个复数都为实数时能比较大小，因此不正确；
B．设复数z=a+bi（a，b∈R），由 可得：2bi=0，∴b=0，因此复数为实数的充要条件是 ，正确；
C．z=3+2i在复平面上对应的点（3，2）在第一象限，因此不正确；
D．复数i+3的共轭复数为﹣i+3，因此不正确．
故选：B．
【分析】A．当两个复数都为实数时能比较大小，即可判断出正误；
B．设复数z=a+bi（a，b∈R），由 可得：b=0，即可得出复数为实数的充要条件；
C．z=3+2i在复平面上对应的点（3，2），即可判断出正误；
D．利用共轭复数的定义即可判断出正误．
10．【答案】B
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：复数z=﹣i+2，则z的虚部为：﹣1．
故选：B．
【分析】直接利用复数的概念写出结果即可．
11．【答案】B
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：∵z=m﹣1+（m+1）i是实数，
∴m+1=0，即m=﹣1．
故选：B．
【分析】由复数z是实数得虚部等于0，求解即可得答案．
12．【答案】A
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解： 的虚部为2，以 =﹣2+ i的实部为﹣2，
∴要求的新复数是2﹣2i，
故选：A．
【分析】利用实部与虚部的定义即可得出．
13．【答案】C
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：∵（2k2﹣3k﹣2）+（k2﹣2k）i是纯虚数，
∴2k2﹣3k﹣2=0，k2﹣2k≠0，
解得k=﹣ ，
故选：C．
【分析】利用纯虚数的定义即可得出．
14．【答案】D
【知识点】复数相等的充要条件
【解析】【解答】设 ，则 ，
且 ，解得 ， ，
．故选D．
【分析】本题主要考查了复数相等的充要条件，解决问题的关键是根据复数相等的条件求解x，m然后得到所求式子的值即可.
15．【答案】A
【知识点】虚数单位i及其性质
【解析】【解答】由题意可得因为复数z是纯虚数所以满足实部为零且虚部不为零.
即 .因为 且 ，
所以 .所以 .
因为 .故选A.
【分析】本题主要考查了虚数单位i及其性质，解决问题的关键是根据所给复数满足条件结合三角函数性质计算即可.
16．【答案】
【知识点】复数的模
【解析】【解答】解：∵复数z=﹣1+3i，则复数z的模|z|= = ．
故答案为： ．
【分析】利用复数模的计算公式即可得出．
17．【答案】1
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】由纯虚数定义，实部为0，虚部不等于0，所以 ，填1.
【分析】根据题目中所给的条件的特点，由纯虚数的定义可得a2-1=0，且a+1≠0，解方程即可得到所求值．
18．【答案】
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：设z=x+yi（x，y∈R），
∵|z﹣1|=|z+2i|，
∴|x﹣1+yi|=|x+（y+2）i|，
即 ，
整理得：2x+4y+3=0．
∴复数z的对应点的轨迹是2x+4y+3=0．
∴|z﹣1﹣i|的最小值即为点（1，1）到直线2x+4y+3=0的距离为： ．
故答案为： ．
【分析】由已知求出z的轨迹，把|z﹣1﹣i|的最小值转化为点（1，1）到直线2x+4y+3=0的距离求解．
19．【答案】（﹣1，2）
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：z在复平面内对应的点为（x+1，x﹣2），
∵复数z对应的复平面内的点在第四象限，
∴ ，
解得﹣1＜x＜2，
∴x的取值范围为（﹣1，2）．
故答案为：（﹣1，2）．
【分析】利用复数的几何意义和第四象限点的特点即可得出答案．
20．【答案】（1）解：当 ，即 时，复数z是实数
（2）解：当 ，即 时，复数z是虚数
（3）解：当 ，且 时，即 时，复数z是纯虚数
（4）解：当 且 ,即 时，复数z表示的点位于第四象限。
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示
【解析】【分析】根据复数的概念及几何意义易得.
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一、单选题
1．（2020·贵州模拟）设 ，则在复平面内复数 对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】由于 ，所以 ，对应点为 ，在第二象限.
故选：B
【分析】求得 ，由此求得复数 对应的点所在象限.
2．（2019高二下·上海月考）在复数集中,一个数的平方恰好为这个数的共軛复数,具有这种特性的数共有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：设 ，则
，即 ，
，解得 ，
共4组解．
故答案为：B．
【分析】设 ，根据条件列方程求解即可．
3．（2018·河北模拟）已知 为虚数单位， 为实数，复数 满足 ，若复数 是纯虚数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】由 ，得 ，又∵复数 是纯虚数，∴ ，解得 ， 故答案为：B.
【分析】根据题意利用复数的概念即可得出结论。
4．（2018·海南模拟）已知复数 在复平面内对应的点在第二象限，则整数 的取值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】复数 在复平面内对应的点在第二象限，
则 ，解得 ，则整数 .
故答案为：C.
【分析】由已知可得关于m的不等式组，求解得答案．
5．（2018高二下·聊城期中）在复平面内，复数 ， 对应的点分为 ， ，若 为线段 的中点，则点 对应的复数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】因为复数 ， 对应的点分为 ， ，
所以 ，
为线段 的中点， ，
点 对应的复数是 ，
故答案为：C.
【分析】求出A，B的坐标，利用中点坐标公式求得C的坐标，则点C对应的复数可求．
6．下列命题中，正确命题的个数是（ ）
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；
②若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i；
③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【知识点】复数的基本概念；复数相等的充要条件
【解析】【解答】对①，由于x，y∈C，所以x，y不一定是x＋yi的实部和虚部，故①是假命题；
对②，由于两个虚数不能比较大小，故②是假命题；
③是假命题，如12＋i2＝0，但1≠0，i≠0.
故答案为：A.
【分析】①中，复数相等的条件一定要注意x，y是不是实数，如果不是实数，则不一定是实部和虚部.②中两个复数不完全是实数时，不能比较大小；③可用反例说明.
7．两个不相等的复数z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，若z1与z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则a，b，c，d之间的关系为（ ）
A．a＝－c，b＝d B．a＝－c，b＝－d
C．a＝c，b＝－d D．a≠c，b≠d
【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】设z1＝a＋bi(a，b∈R)的对应点为P(a，b)，
z2＝c＋di(c，d∈R)的对应点为Q(c，d)．
∵P与Q关于y轴对称，∴a＝－c，b＝d.
故答案为：A.
【分析】由复数的几何意义得到复数对应的点的坐标，再由点关于y轴对称得到其坐标之间的关系.
8．（2017高二下·南昌期末）从集合{0，1，2，3，4，5}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a+bi，其中虚数有（ ）个．
A．36 B．30 C．25 D．20
【答案】C
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：要构成虚数a+bi，则b≠0，
∴b可取1，2，3，4，5五个数字，有五种取法，
又a，b为互不相等得两个数字，
故a有五种取法．
∴由分别乘法原理可知，构成虚数的个数为5×5=25个．
故选：C．
【分析】由题意可知b有五种不同取法，a也有五种不同取法，结合分步乘法计数原理得答案．
9．下列命题中正确的是（ ）
A．任意两个复数均不能比较大小
B．复数z为实数的充要条件是
C．复数z=3+2i在复平面上对应的点在第二象限
D．复数i+3的共轭复数为i﹣3
【答案】B
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：A．当两个复数都为实数时能比较大小，因此不正确；
B．设复数z=a+bi（a，b∈R），由 可得：2bi=0，∴b=0，因此复数为实数的充要条件是 ，正确；
C．z=3+2i在复平面上对应的点（3，2）在第一象限，因此不正确；
D．复数i+3的共轭复数为﹣i+3，因此不正确．
故选：B．
【分析】A．当两个复数都为实数时能比较大小，即可判断出正误；
B．设复数z=a+bi（a，b∈R），由 可得：b=0，即可得出复数为实数的充要条件；
C．z=3+2i在复平面上对应的点（3，2），即可判断出正误；
D．利用共轭复数的定义即可判断出正误．
10．已知复数z=﹣i+2，则z的虚部为（ ）
A．i B．﹣1 C．1 D．﹣i
【答案】B
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：复数z=﹣i+2，则z的虚部为：﹣1．
故选：B．
【分析】直接利用复数的概念写出结果即可．
11．实数m取什么数值时，复数z=m﹣1+（m+1）i是实数（ ）
A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3
【答案】B
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：∵z=m﹣1+（m+1）i是实数，
∴m+1=0，即m=﹣1．
故选：B．
【分析】由复数z是实数得虚部等于0，求解即可得答案．
12．以 的虚部为实部，以 的实部为虚部的新复数是（ ）
A．2﹣2i B．2+i C．﹣ + D． + i
【答案】A
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解： 的虚部为2，以 =﹣2+ i的实部为﹣2，
∴要求的新复数是2﹣2i，
故选：A．
【分析】利用实部与虚部的定义即可得出．
13．若（2k2﹣3k﹣2）+（k2﹣2k）i是纯虚数，则实数k的值等于（ ）
A．0或2 B．2或 C． D．2
【答案】C
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：∵（2k2﹣3k﹣2）+（k2﹣2k）i是纯虚数，
∴2k2﹣3k﹣2=0，k2﹣2k≠0，
解得k=﹣ ，
故选：C．
【分析】利用纯虚数的定义即可得出．
14．若 x 是实数， y 是纯虚数，且满足 ，则 x+yi 等于（ ）.
A．1 B．-2 C． D．
【答案】D
【知识点】复数相等的充要条件
【解析】【解答】设 ，则 ，
且 ，解得 ， ，
．故选D．
【分析】本题主要考查了复数相等的充要条件，解决问题的关键是根据复数相等的条件求解x，m然后得到所求式子的值即可.
15．若复数 是纯虚数，则 的值为（ ）
A．-7 B． C．7 D．-7 或
【答案】A
【知识点】虚数单位i及其性质
【解析】【解答】由题意可得因为复数z是纯虚数所以满足实部为零且虚部不为零.
即 .因为 且 ，
所以 .所以 .
因为 .故选A.
【分析】本题主要考查了虚数单位i及其性质，解决问题的关键是根据所给复数满足条件结合三角函数性质计算即可.
二、填空题
16．已知i是虚数单位，复数z=﹣1+3i，则复数z的模|z|= ．
【答案】
【知识点】复数的模
【解析】【解答】解：∵复数z=﹣1+3i，则复数z的模|z|= = ．
故答案为： ．
【分析】利用复数模的计算公式即可得出．
17．（2017高二下·乾安期末）若复数 （ 为虚数单位）是纯虚数，则实数 的值为 ．
【答案】1
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】由纯虚数定义，实部为0，虚部不等于0，所以 ，填1.
【分析】根据题目中所给的条件的特点，由纯虚数的定义可得a2-1=0，且a+1≠0，解方程即可得到所求值．
18．（2017高二下·徐州期中）已知复数z满足等式|z﹣1|=|z+2i|（i是虚数单位），则|z﹣1﹣i|的最小值是 ．
【答案】
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：设z=x+yi（x，y∈R），
∵|z﹣1|=|z+2i|，
∴|x﹣1+yi|=|x+（y+2）i|，
即 ，
整理得：2x+4y+3=0．
∴复数z的对应点的轨迹是2x+4y+3=0．
∴|z﹣1﹣i|的最小值即为点（1，1）到直线2x+4y+3=0的距离为： ．
故答案为： ．
【分析】由已知求出z的轨迹，把|z﹣1﹣i|的最小值转化为点（1，1）到直线2x+4y+3=0的距离求解．
19．当x∈ 时，复数z=（x+1）+（x﹣2）i（x∈R）对应的复平面内的点在第四象限．
【答案】（﹣1，2）
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：z在复平面内对应的点为（x+1，x﹣2），
∵复数z对应的复平面内的点在第四象限，
∴ ，
解得﹣1＜x＜2，
∴x的取值范围为（﹣1，2）．
故答案为：（﹣1，2）．
【分析】利用复数的几何意义和第四象限点的特点即可得出答案．
三、解答题
20．（2019高二下·宁夏月考）实数 取什么数值时，复数 分别是：
（1）实数？
（2）虚数？
（3）纯虚数？
（4）表示复数 的点在复平面的第四象限？
【答案】（1）解：当 ，即 时，复数z是实数
（2）解：当 ，即 时，复数z是虚数
（3）解：当 ，且 时，即 时，复数z是纯虚数
（4）解：当 且 ,即 时，复数z表示的点位于第四象限。
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示
【解析】【分析】根据复数的概念及几何意义易得.
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