2020年暑期衔接训练人教版数学八年级下册：第3讲 勾股定理的逆定理
一、单选题
1．（2020八下·涿鹿期中）以下各组数据为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（ ）
A． B．2，3，4 C．2，2，1 D．4，5，6
2．（2020八下·哈尔滨期中）下列说法不能得到直角三角形的（ ）
A．三个角度之比为 1：2：3 的三角形
B．三个边长之比为 3：4：5 的三角形
C．三个边长之比为 8：16：17 的三角形
D．三个角度之比为 1：1：2 的三角形
3．（2020八下·武川期中）下列各组数为勾股数的是（ ）
A．6，12，13 B．3，4，7 C．7，24，25 D．8，15，16
4．（2020八下·南昌期中）下列三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．△ABC中,∠A=∠B-∠C
B．△ABC中,a:b:c=1:2:3
C．△ABC中,a2=c2-b2
D．△ABC中,三边的长分别为m2+n2,m2-n2,2mn(m>n>0)
5．（2020八下·云梦期中）如图，正方体的棱长为6cm，A是正方体的一个顶点，B是侧面正方形对角线的交点.一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A爬到点B的最短路径是（ ）
A．9 B． C． D．12
6．（2020八下·临汾月考）如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（ ）
A．50 B．16 C．25 D．41
二、填空题
7．（2020八下·海原月考）若一个三角形的三边分别是 ， ，和 ，则该三角形是 三角形.
8．（2020八上·沈阳期末）一艘轮船以16km/h的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以12km/h的速度向东南方向航行，它们离开港口半小时后相距 km
9．（2019八上·惠山期中）如图，图中的三角形是直角三角形，所有四边形都是正方形，正方形A的边长为7,另外四个正方形中的数字x, y分别表示该正方形面积，则x与y的数量关系是 .
10．（2020八下·海安月考）如右图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则此最短路径的长为 .
11．如图：知：AM⊥MN，BN⊥MN，垂足分别为M，N，点C是MN上使AC+BC的值最小的点．若AM=3，BN=5，MN=15，则AC+BC= ．
12．（2017八下·朝阳期中）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的数学问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长备几何？”这个数学问题的意思是说：“有一个水池，水面是一个边长为 丈（ 丈 尺）的正方形，在水池正中央长有一根芦苇，芦苇露出水面 尺．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？”设这个水池的深度是 尺，根据题意，可列方程为 ．
13．观察下列各式，你有什么发现？
32=4+5，52=12+13，72=24+25，92=40+41，…
用你的发现解决下列问题：
（1）填空：112= + ；
（2）请用含字母n（n为正整数）的关系式表示出你发现的规律：
三、解答题
14．如图是一块地的平面图，AD=4m，CD=3m，AB=13m，BC=12m，∠ADC=90°，求这块地的面积．
15．（2017八下·文安期末）一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得AB=3，BC=4，AC=5，CD=12，AD=13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？
16．（2020八下·云县月考）为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图中的AB所在的直线上建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B.已知AB=2.5km，CA=1.5km，DB=1.Okm，试问：图书室E应该建在距点A多少km处，才能使它到两所学校的距离相等？
17．（2020八下·江苏月考）《九章算术》是中国古代第一部数学专著.全书共收有246个数学问题.其中有一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去根六尺.问折高者几何 意思是:一根竹子,原高一丈（一丈=10尺）,一阵风将竹子折断,其竹梢恰好抵地,抵地处离竹子底部6尺远,问折断处离地面的高度是多少 请用本学期我们所学的知识解决这个问题.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A.∵
∴A的三边长能组成直角三角形，
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理的逆定理即可判断.
2．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】A.三个角之比为1:2:3，则这三个角分别为：30°、60°、90°，是直角三角形；
B.三边之比为3:4:5，设这三条边长为：3x、4x、5x，满足： ，是直角三角形；
C.三边之比为8:16:17，设这三条边长为：8x、16x、17x， ，不满足勾股定理逆定理，不是直角三角形
D.三个角之比为1:1:2，则这三个角分别为：45°、45°、90°，是直角三角形；
故答案为：C
【分析】三角形内角和180°，根据比例判断A、D选项中是否有90°的角，根据勾股定理的逆定理判断B、C选项中边长是否符合直角三角形的关系.
3．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】C中， ，满足勾股股定理逆定理，是勾股数；
故答案为：C
【分析】直接计算验证各选项是否满足勾股定理逆定理即可．
4．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解： A、∠A+∠C=∠B，则∠B=90°，则为直角三角形；
B、当三边比值为1:2:3时，则无法构成三角形；
C、根据题意可知： ，满足勾股定理的逆定理，则这个三角形就是直角三角形；D、根据题意可知 ，满足勾股定理的逆定理，则这个三角形就是直角三角形.
故答案为：B．
【分析】对于直角三角形的判定我们可以从角的方面去判断，也可以利用勾股定理的逆定理来进行判断.
5．【答案】B
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解：如图，AB= .
故答案为：B.
【分析】将正方体的左侧面与前面展开，构成一个长方形，用勾股定理求出距离即可.
6．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示，设三个阴影正方形的边长分别为a、b、c。
利用勾股定理得：c=
a2+b2=c2=25
∴阴影部分的面积为：a2+b2+c2=50.
故答案为：A.
【分析】先利用勾股定理求出c和a2+b2，然后即可求出阴影部分的面积。
7．【答案】直角
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵（ ）2+（ ）2=（ ）2，
∴该三角形是直角三角形.
故答案是：直角.
【分析】由于该三角形中较小两边的平方和等于较大边长的平方，根据勾股定理的逆定理可知，该三角形是直角三角形.
8．【答案】10
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解: ，
∴它们离开港口半小时后相距 千米.
故答案为：10.
【分析】先求出半小时后各自行驶的路程，再根据勾股定理即可求得结果.
9．【答案】
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】由题意得，三个正方形的边长分别为7， ， ，
则在直角三角形中满足
即
【分析】由面积表示出正方形的边长，在直角三角形中使用勾股定理可得关系式.
10．【答案】
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】如图，将正方体的三个侧面展开，连结AB，则AB最短，
.
【分析】将正方体展开，连接AB，根据两点之间线段最短，可知AB最短，然后利用勾股定理求出AB的长。
11．【答案】17
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：作A点关于直线MN的对称点A′，连接A′B交MN于C，
则AC+BC=A′C+BC=A′B，A′B就是AC+BC的最小值；
延长BN使ND=A′M，连接A′D，
∵AM⊥MN，BN⊥MN，
∴AA′∥BD，
∴四边形A′DNM是矩形，
∴ND=AM=3，A′D=MN=15，
∴BD=BN+ND=5+3=8，
∴A′B= =17，
∴AC+BC=17，
故答案为17．
【分析】由轴对称的性质可作辅助线，作A点关于直线MN的对称点A′，连接A′B交MN于C，延长BN使ND=A′M，连接A′D，则AC+BC=A′C+BC=A′B，根据两点之间线段最短可知A′B就是AC+BC的最小值；在直角三角形A′BD中，用勾股定理求得A′B的值即可。
12．【答案】
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】设由题意可得： ．
故答案为： ．
【分析】本题的关键是要理解正中、如何拉向岸边等含义，正中表示芦苇垂直水面，拉向岸边，只能斜拉，因此正好构成一个以池深和池宽的一半为直角边及芦苇长度为斜边的直角三角形。
13．【答案】60；61；（2n+1）2=（）+（）
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：（1）112=b+c，这是第5个式子，
故112=+=60+61；
故答案为：60，61；
（2）（2n+1）2=（）+（）；
故答案为：（2n+1）2=（）+（）；
【分析】认真观察三个数之间的关系可得出规律：第n组数为（2n+1），（），（），由此规律解决问题．
14．【答案】解：如图，连接AC，
∵AD=4，CD=3，∠ADC=90°，
∴AC= =5，
∴S△ACD=6，
在△ABC中，∵AC=5，BC=12，AB=13，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，
∴Rt△ABC的面积=30，
∴四边形ABCD的面积=30-6=24．
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】连接AC，在直角三角形ACD中，用勾股定理可求得AC的长，计算和，再根据勾股定理的逆定理即可判断三角形ABC是直角三角形，则四边形ABCD的面积=直角三角形ACB的面积-直角三角形ACD的面积。
15．【答案】解：∵42+32=52，52+122=132，
即AB2+BC2=AC2，故∠B=90°，
同理，∠ACD=90°
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD
= ×3×4+ ×5×12
=6+30
=36．
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】由勾股定理逆定理可得△ACD与△ABC均为直角三角形，进而可求解其面积．
16．【答案】解：由题意可得：设AE=xkm，则EB=（2.5﹣x）km.∵AC2+AE2=EC2，BE2+DB2=ED2，EC=DE，∴AC2+AE2=BE2+DB2，∴1.52+x2=（2.5﹣x）2+12，解得：x=1.
答：图书室E应该建在距点A1km处，才能使它到两所学校的距离相等.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】根据题意表示出AE，EB的长，进而利用勾股定理求出即可.
17．【答案】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，
根据勾股定理得： ，
解得：x=3.2，
答：折断处离地面的高度是3.2尺.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】竹子折断后恰好构成一个直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，利用勾股定理解题即可.
1 / 12020年暑期衔接训练人教版数学八年级下册：第3讲 勾股定理的逆定理
一、单选题
1．（2020八下·涿鹿期中）以下各组数据为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（ ）
A． B．2，3，4 C．2，2，1 D．4，5，6
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A.∵
∴A的三边长能组成直角三角形，
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理的逆定理即可判断.
2．（2020八下·哈尔滨期中）下列说法不能得到直角三角形的（ ）
A．三个角度之比为 1：2：3 的三角形
B．三个边长之比为 3：4：5 的三角形
C．三个边长之比为 8：16：17 的三角形
D．三个角度之比为 1：1：2 的三角形
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】A.三个角之比为1:2:3，则这三个角分别为：30°、60°、90°，是直角三角形；
B.三边之比为3:4:5，设这三条边长为：3x、4x、5x，满足： ，是直角三角形；
C.三边之比为8:16:17，设这三条边长为：8x、16x、17x， ，不满足勾股定理逆定理，不是直角三角形
D.三个角之比为1:1:2，则这三个角分别为：45°、45°、90°，是直角三角形；
故答案为：C
【分析】三角形内角和180°，根据比例判断A、D选项中是否有90°的角，根据勾股定理的逆定理判断B、C选项中边长是否符合直角三角形的关系.
3．（2020八下·武川期中）下列各组数为勾股数的是（ ）
A．6，12，13 B．3，4，7 C．7，24，25 D．8，15，16
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】C中， ，满足勾股股定理逆定理，是勾股数；
故答案为：C
【分析】直接计算验证各选项是否满足勾股定理逆定理即可．
4．（2020八下·南昌期中）下列三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．△ABC中,∠A=∠B-∠C
B．△ABC中,a:b:c=1:2:3
C．△ABC中,a2=c2-b2
D．△ABC中,三边的长分别为m2+n2,m2-n2,2mn(m>n>0)
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解： A、∠A+∠C=∠B，则∠B=90°，则为直角三角形；
B、当三边比值为1:2:3时，则无法构成三角形；
C、根据题意可知： ，满足勾股定理的逆定理，则这个三角形就是直角三角形；D、根据题意可知 ，满足勾股定理的逆定理，则这个三角形就是直角三角形.
故答案为：B．
【分析】对于直角三角形的判定我们可以从角的方面去判断，也可以利用勾股定理的逆定理来进行判断.
5．（2020八下·云梦期中）如图，正方体的棱长为6cm，A是正方体的一个顶点，B是侧面正方形对角线的交点.一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A爬到点B的最短路径是（ ）
A．9 B． C． D．12
【答案】B
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解：如图，AB= .
故答案为：B.
【分析】将正方体的左侧面与前面展开，构成一个长方形，用勾股定理求出距离即可.
6．（2020八下·临汾月考）如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（ ）
A．50 B．16 C．25 D．41
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示，设三个阴影正方形的边长分别为a、b、c。
利用勾股定理得：c=
a2+b2=c2=25
∴阴影部分的面积为：a2+b2+c2=50.
故答案为：A.
【分析】先利用勾股定理求出c和a2+b2，然后即可求出阴影部分的面积。
二、填空题
7．（2020八下·海原月考）若一个三角形的三边分别是 ， ，和 ，则该三角形是 三角形.
【答案】直角
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵（ ）2+（ ）2=（ ）2，
∴该三角形是直角三角形.
故答案是：直角.
【分析】由于该三角形中较小两边的平方和等于较大边长的平方，根据勾股定理的逆定理可知，该三角形是直角三角形.
8．（2020八上·沈阳期末）一艘轮船以16km/h的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以12km/h的速度向东南方向航行，它们离开港口半小时后相距 km
【答案】10
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解: ，
∴它们离开港口半小时后相距 千米.
故答案为：10.
【分析】先求出半小时后各自行驶的路程，再根据勾股定理即可求得结果.
9．（2019八上·惠山期中）如图，图中的三角形是直角三角形，所有四边形都是正方形，正方形A的边长为7,另外四个正方形中的数字x, y分别表示该正方形面积，则x与y的数量关系是 .
【答案】
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】由题意得，三个正方形的边长分别为7， ， ，
则在直角三角形中满足
即
【分析】由面积表示出正方形的边长，在直角三角形中使用勾股定理可得关系式.
10．（2020八下·海安月考）如右图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则此最短路径的长为 .
【答案】
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】如图，将正方体的三个侧面展开，连结AB，则AB最短，
.
【分析】将正方体展开，连接AB，根据两点之间线段最短，可知AB最短，然后利用勾股定理求出AB的长。
11．如图：知：AM⊥MN，BN⊥MN，垂足分别为M，N，点C是MN上使AC+BC的值最小的点．若AM=3，BN=5，MN=15，则AC+BC= ．
【答案】17
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：作A点关于直线MN的对称点A′，连接A′B交MN于C，
则AC+BC=A′C+BC=A′B，A′B就是AC+BC的最小值；
延长BN使ND=A′M，连接A′D，
∵AM⊥MN，BN⊥MN，
∴AA′∥BD，
∴四边形A′DNM是矩形，
∴ND=AM=3，A′D=MN=15，
∴BD=BN+ND=5+3=8，
∴A′B= =17，
∴AC+BC=17，
故答案为17．
【分析】由轴对称的性质可作辅助线，作A点关于直线MN的对称点A′，连接A′B交MN于C，延长BN使ND=A′M，连接A′D，则AC+BC=A′C+BC=A′B，根据两点之间线段最短可知A′B就是AC+BC的最小值；在直角三角形A′BD中，用勾股定理求得A′B的值即可。
12．（2017八下·朝阳期中）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的数学问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长备几何？”这个数学问题的意思是说：“有一个水池，水面是一个边长为 丈（ 丈 尺）的正方形，在水池正中央长有一根芦苇，芦苇露出水面 尺．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？”设这个水池的深度是 尺，根据题意，可列方程为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】设由题意可得： ．
故答案为： ．
【分析】本题的关键是要理解正中、如何拉向岸边等含义，正中表示芦苇垂直水面，拉向岸边，只能斜拉，因此正好构成一个以池深和池宽的一半为直角边及芦苇长度为斜边的直角三角形。
13．观察下列各式，你有什么发现？
32=4+5，52=12+13，72=24+25，92=40+41，…
用你的发现解决下列问题：
（1）填空：112= + ；
（2）请用含字母n（n为正整数）的关系式表示出你发现的规律：
【答案】60；61；（2n+1）2=（）+（）
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：（1）112=b+c，这是第5个式子，
故112=+=60+61；
故答案为：60，61；
（2）（2n+1）2=（）+（）；
故答案为：（2n+1）2=（）+（）；
【分析】认真观察三个数之间的关系可得出规律：第n组数为（2n+1），（），（），由此规律解决问题．
三、解答题
14．如图是一块地的平面图，AD=4m，CD=3m，AB=13m，BC=12m，∠ADC=90°，求这块地的面积．
【答案】解：如图，连接AC，
∵AD=4，CD=3，∠ADC=90°，
∴AC= =5，
∴S△ACD=6，
在△ABC中，∵AC=5，BC=12，AB=13，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，
∴Rt△ABC的面积=30，
∴四边形ABCD的面积=30-6=24．
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】连接AC，在直角三角形ACD中，用勾股定理可求得AC的长，计算和，再根据勾股定理的逆定理即可判断三角形ABC是直角三角形，则四边形ABCD的面积=直角三角形ACB的面积-直角三角形ACD的面积。
15．（2017八下·文安期末）一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得AB=3，BC=4，AC=5，CD=12，AD=13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？
【答案】解：∵42+32=52，52+122=132，
即AB2+BC2=AC2，故∠B=90°，
同理，∠ACD=90°
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD
= ×3×4+ ×5×12
=6+30
=36．
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】由勾股定理逆定理可得△ACD与△ABC均为直角三角形，进而可求解其面积．
16．（2020八下·云县月考）为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图中的AB所在的直线上建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B.已知AB=2.5km，CA=1.5km，DB=1.Okm，试问：图书室E应该建在距点A多少km处，才能使它到两所学校的距离相等？
【答案】解：由题意可得：设AE=xkm，则EB=（2.5﹣x）km.∵AC2+AE2=EC2，BE2+DB2=ED2，EC=DE，∴AC2+AE2=BE2+DB2，∴1.52+x2=（2.5﹣x）2+12，解得：x=1.
答：图书室E应该建在距点A1km处，才能使它到两所学校的距离相等.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】根据题意表示出AE，EB的长，进而利用勾股定理求出即可.
17．（2020八下·江苏月考）《九章算术》是中国古代第一部数学专著.全书共收有246个数学问题.其中有一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去根六尺.问折高者几何 意思是:一根竹子,原高一丈（一丈=10尺）,一阵风将竹子折断,其竹梢恰好抵地,抵地处离竹子底部6尺远,问折断处离地面的高度是多少 请用本学期我们所学的知识解决这个问题.
【答案】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，
根据勾股定理得： ，
解得：x=3.2，
答：折断处离地面的高度是3.2尺.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】竹子折断后恰好构成一个直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，利用勾股定理解题即可.
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