初中数学湘教版八年级下册2.6.2菱形的判定 同步练习
一、单选题
1．（2020八下·重庆期末）在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是菱形，这个条件可以是（ ）
A．BC＝CD B．AB＝CD C．∠D＝90° D．AD＝BC
2．（2019八下·平昌期末）下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（ ）．
A．AC⊥BD，AC与BD互相平分 B．AB=BC=CD=DA
C．AB=BC，AD=CD，且AC⊥BD D．AB=CD，AD=BC，AC⊥BD
3．（2020八下·原州期末）如图，某同学作线段AB的垂直平分线：分别以点A和点B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于点C，D，则直线CD为线段AB的垂直平分线.根据这个同学的作图方法可知四边形ADBC一定是（ ）
A．菱形 B．平行四边形
C．矩形 D．一般的四边形
4．（2020八下·滨江期末）如图，若要使平行四边形ABCD成为菱形，需添加的条件是（ ）
A． B．
C． D． 互相垂直
5．（2019八下·天台期末）如图，在一张平行四边形纸片ABCD中，画一个菱形，甲、乙两位同学的画法如下:
甲：以B，A为圆心，AB长为半径作弧，分别交BC，AD于点E，F,则四边形ABEF为菱形；乙：作∠A, ∠B的平分线AE，BF，分别交BC于点E，交AD于点F，则四边形ABEF是菱形；关于甲、乙两人的画法，下列判断正确的是（ ）
A．仅甲正确 B．仅乙正确
C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误
6．（2019八下·鄂伦春期末）如图， 中， 平分 ， 交 于 ， 交 于 ，若 ，则四边形 的周长是（ ）
A．24 B．28 C．32 D．36
7．（2019八下·孝义期中）有两张宽为3，长为9的矩形纸片如图所示叠放在一起，使重叠的部分构成一个四边形，则四边形的最大面积是（ ）
A．27 B．12 C．15 D．18
8．如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于F，若BF=12，AB=10，则AE的长为（ ）
A．16 B．15 C．14 D．13
9．（2017八下·如皋期中）如图，是一张平行四边形纸片ABCD，要求利用所学知识将它变成一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下：对于甲、乙两人的作法，可判断（ ）
A．甲、乙均正确 B．甲、乙均错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
10．（2017八下·东城期中）将一矩形纸片对折后再对折，如图1、图2，然后沿图3中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形一定是（ ）.
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
二、填空题
11．如图，在菱形ABCD中，∠A=45°，DE⊥AB，垂足为E，若CD=4cm，则菱形ABCD的面积是 cm2．
12．（2020八下·昌平期末）已知：线段 AC，如图．
求作：以线段 AC 为对角线的一个菱形 ABCD．
作法：
①作线段AC的垂直平分线MN交AC 点于O；
②以点O为圆心，任意长为半径画弧，交直线MN于点B，D；
③顺次连结点A，B，C，D，则四边形ABCD即为所求作的菱形．
请回答：上面尺规作图作出菱形 ABCD的依据是 ．
13．（2019八下·睢县期中）如图，平行四边形 的两条对角线 相交于点 ， ， ， ，则四边形 的形状是 .
14．（2020八上·张掖期末）如图，CD与BE互相垂直平分，AD⊥DB，∠BDE=70°，则∠CAD= °．
15．（2017八下·泉山期末）如图，已知：在 ABCD中，AB=AD=2，∠DAB=60°，F为AC上一点，E为AB中点．
ABCD的周长是 ；
EF+BF的最小值为 ．
三、解答题
16．（2020八下·横县期末）如图， ABCD中对角线BD平分∠ABC.
求证： ABCD是菱形.
17．（2020八下·八步期末）已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC，DF∥AB.求证：四边形AEDF是菱形.
18．（2020八下·南昌期末）如图，在Rt△ABC.∠B=90°，点E是AC的中点，AC=2AB，∠BAC的平分线AD交BC于点D，作AF∥BC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC．求证：四边形ADCF是菱形．
19．（2020八下·莆田期末）如图，在 中，∠ACB=90 ，∠B=60 ，作边AC的垂直平分线 交AB于点D，过点C作AB的平行线交 于点E，判断四边形DBCE的形状，并说明理由．
四、综合题
20．（2020八下·长沙期末）如图，已知在△ADE中，∠ADE=90°，点B是AE的中点，过点D作DC∥AE，DC=AB，连结BD、CE．
（1）求证：四边形BDCE是菱形；
（2）若AD=8，BD=6，求菱形BDCE的面积．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
如下图，
若BC＝CD，则平行四边形ABCD是菱形；
若AB＝CD，则还是平行四边形；
若∠ADC＝90°，则平行四边形ABCD是矩形；
若AD＝BC，则还是平行四边形；
故答案为：A.
【分析】由已知可得四边形ABCD是平行四边形，再根据菱形的判定方法即可得出结论.
2．【答案】C
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：A、根据AC与BD互相平分得四边形ABCD是平行四边形，再有AC⊥BD ，可得此四边形是菱形；
B、根据AB=BC=CD=DA ，可知四边形是菱形；
C、由AB=BC，AD=CD，不能得到此四边形是平行四边形，所以不能判定四边形ABCD是菱形；
D、由AB=CD，AD=BC得四边形是平行四边形，再有AC⊥BD，可得四边形是菱形．
故答案为：C．
【分析】根据菱形的判定，对各项逐一进行判定，即可求解.根据菱形的判定方法，选项A，B，D可判定四边形ABCD为菱形，选项C不能判定四边形ABCD为菱形.
3．【答案】A
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：∵分别以A和B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，
∴AC=AD=BD=BC，
∴四边形ADBC一定是菱形，
故答案为：A.
【分析】根据垂直平分线的画法得出四边形ADBC四边的关系进而得出四边形一定是菱形.
4．【答案】D
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：由平行四边形的性质可得： ， ，则选项A不符题意
，则选项B不符题意
若 ，则
对角线相等的平行四边形一定是矩形，但不一定是菱形，则选项C不符题意
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，则选项D符合题意
故答案为：D.
【分析】根据一组邻边相等的平行四边形是菱形或对角线互相垂直的平行四边形是菱形，结合图形及各选项中的条件可得答案。
5．【答案】C
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：甲的作法正确；
证明：由题意得AB=AF，AB=BE，
∴AF=BE，
又∵AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形，
又∵AB=BE，∴四边形ABEF是平行菱形。
乙的作法正确；
证明：∵AD∥BC，
∴∠1=∠2，∠6=∠7，
∵BF平分∠ABC，AE平分∠BAD，
∴∠2=∠3，∠5=∠6，
∴∠1=∠3，∠5=∠7，
∴AB=AF，AB=BE，
∴AF=BE
∵AF∥BE，且AF=BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=AF，
∴平行四边形ABEF是菱形。
故答案为：C
【分析】根据菱形的判定定理分析判断，即邻边相等的平行四边形是菱形，先证明四边形ABEF是平行四边形，再由邻边相等证明其为菱形。
6．【答案】A
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】∵DE // AC， DF // AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，∠BAD=∠ADF，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠CAD=∠ADF，
∴DF=AF=6，
∴平行四边形AEDF是菱形，
∴菱形AEDF的周长为：6×4=24，
故答案为：A.
【分析】由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEDF是平行四边形，继而根据AD平分∠BAC，可推导得出DF=AF=6，从而得平行四边形AEDF是菱形，由此即可 求得答案.
7．【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：重叠的四边形的两组对边分别平行，那么可得是平行四边形，再根据宽度相等，利用面积的不同求法可得一组邻边相等，那么重叠的四边形应为菱形；如图，
此时菱形ABCD的面积最大．
设AB=x，EB=9-x，AE=3，
则由勾股定理得到：32+（9-x）2=x2，
解得x=5，
S最大=5×3=15．
故答案为：C．
【分析】先求出重叠的图形的格菱形，当两张矩形纸片的对角线互相重合时，菱形ABCD的面积最大，如图．设AB=x，EB=9-x，AE=3，在△ABE中，由勾股定理可得32+（9-x）2=x2，求出x的值，利用菱形的面积=底×高计算即可.
8．【答案】A
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：连结EF，AE与BF交于点O，如图，
∵AO平分∠BAD，
∴∠1=∠2，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AF∥BE，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴AB=EB，
同理：AF=BE，
又∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，OB=OF=6，OA=OE，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA= = =8，
∴AE=2OA=16．
故选：A．
【分析】首先证明四边形ABEF是菱形，得出AE⊥BF，OB=OF=6，OA=OE，利用勾股定理计算出AO，从而得到AE的长．
9．【答案】A
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】根据菱形的判定定理及性质可得甲、乙的做好均正确.
【分析】根据菱形的判定定理即可得出答案。
10．【答案】C
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】由折叠过程可得，该四边形的对角线互相垂直平分，
所以将①展开后得到的平面图形是菱形.
故答案为：C.
【分析】根据图形对折不变形和菱形判定定理可得，选项C为正确选项
11．【答案】8
【知识点】菱形的性质；菱形的判定；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=CD=4cm，
∵∠A=45°，DE⊥AB，
∴DE=AD sin45°=4×=2（cm），
∴S菱形ABCD=AB DE=8（cm2）．
故答案为：8．
【分析】由在菱形ABCD中，∠A=45°，DE⊥AB，即可求得DE的长，继而求得菱形ABCD的面积．
12．【答案】对角线垂直的平行四边形是菱形
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：∵由作法可知．OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．
故答案为：对角线垂直的平行四边形是菱形．
【分析】根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可得出结论．
13．【答案】菱形
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】∵四边形 是平行四边形；
∴,CO=OC=2，BO=OD=3;
∵ ，则CO2+ BO2=BC2；
∴∠ BOC=90°，则四边形ABCD为菱形.
【分析】四边形 是平行四边形，在通过BD，AC，BC三边之间存在的关系得出判断即可
14．【答案】70．
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】∵CD与BE互相垂直平分，∴四边形BDEC是菱形．∴DB=DE．
∵∠BDE=70°，∴∠ABD= =55°．
∵AD⊥DB，∴∠BAD=90°﹣55°=35°．
根据轴对称性，四边形ACBD关于直线AB成轴对称，
∴∠BAC=∠BAD=35°．∴∠CAD=∠BAC+∠BAD=35°+35°=70°．
【分析】先证明四边形BDEC是菱形，然后求出∠ABD的度数，再利用三角形内角和等于180°求出∠BAD的度数，然后根据轴对称性可得∠BAC=∠BAD，然后求解即可．
15．【答案】8；
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】根据平行四边形有一组邻边相等得到四边形ABCD为菱形，然后计算四边形的周长；根据菱形的性质可知点B与点D关于AC对称，从而可知BF=DF，则EF+BF=EF+DF，当点D、F、B共线时，EF+BF有最小值，然后根据等边三角形的性质以及直角三角形的勾股定理得出最小值．
【分析】根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，得到ABCD是菱形，由菱形的四边相等得到 ABCD的周长；根据菱形的对称性，得到点B与点D关于AC对称，得到BF=DF，当点D、F、B共线时EF+BF有最小值，再根据勾股定理求出求出EF+BF的最小值.
16．【答案】证明：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，
∴∠2=∠3.
又∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴ AB =AD，
∴ ABCD是菱形.
【知识点】菱形的判定
【解析】【分析】根据平行四边形的性质得出 ∠2=∠3 ， BD平分∠ABC， 得出 ∠1=∠3， 进而得出AB =AD；根据菱形的判定定理，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可证出ABCD是菱形。
17．【答案】解：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2（角平分线的定义），
∵DE∥AC，
∴∠2=∠3（两直线平行，内错角相等），
∴∠1=∠3（等量代换），
∴AE=DE，
∴平行四边形AEDF是菱形.
【知识点】菱形的判定
【解析】【分析】先证明四边形AEDF是平行四边形，再根据角平分线的定义求出∠1=∠2，根据两直线平行，内错角相等求出∠2=∠3，然后求出∠1=∠3，根据等角对等边的性质可得AE=DE，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形判定.
18．【答案】解：∵AF∥CD， ∴∠AFE=∠CDE，
在△AFE和△CDE. ，
∴△AEF≌△CED， ∴AF=CD，
∵AF∥CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠B=90°，∠ACB=30°， ∴∠CAB=60°，
∵AD平分∠CAB， ∴∠DAC=∠DAB=30°=∠ACD，
∴DA=DC， ∴四边形ADCF是菱形．
【知识点】菱形的判定
【解析】【分析】先证明△AEF≌△CED，推出四边形ADCF是平行四边形，再证明∠DAC=∠ACB，推出DA=DC，由此即可证明．
19．【答案】解：四边形DBCE是菱形，理由如下：
DE垂直平分AC，
，
，即 ，
，
，
四边形DBCE是平行四边形，
， ，
是 的中位线，
点D是AB的中点，
，
又 在 中， ，
，
，
平行四边形DBCE是菱形．
【知识点】菱形的判定
【解析】【分析】先根据垂直平分线的定义可得 ，再根据平行线的判定可得 ，然后根据平行四边形的判定可得四边形DBCE是平行四边形，又根据三角形中位线定理、直角三角形的性质可得 ，最后根据菱形的判定即可得．
20．【答案】（1）证明：在Rt△ADB中，∵∠ADB=90°，AB=BE，
∴DB= AB=AB=BE，
∵DC∥BE，DC=AB=BE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵BD=BE，
∴四边形BECD是菱形．
（2）解：连接BC交DE于O．
∵四边形DBEC是菱形，
∴BC⊥DE，
∴BO∥AD，∵AB=BE，
∴DO=OE，
∴OB= AD=4，OD==2 ，
∴BC=8，DE=4 ，
∴S菱形BDCE= BC DE=16 ．
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）证明菱形先证明四边形是平行四边形，再利用一组邻边相等证明菱形.（2）求菱形的两条对角线长度，再求菱形的面积.
1 / 1初中数学湘教版八年级下册2.6.2菱形的判定 同步练习
一、单选题
1．（2020八下·重庆期末）在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是菱形，这个条件可以是（ ）
A．BC＝CD B．AB＝CD C．∠D＝90° D．AD＝BC
【答案】A
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
如下图，
若BC＝CD，则平行四边形ABCD是菱形；
若AB＝CD，则还是平行四边形；
若∠ADC＝90°，则平行四边形ABCD是矩形；
若AD＝BC，则还是平行四边形；
故答案为：A.
【分析】由已知可得四边形ABCD是平行四边形，再根据菱形的判定方法即可得出结论.
2．（2019八下·平昌期末）下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（ ）．
A．AC⊥BD，AC与BD互相平分 B．AB=BC=CD=DA
C．AB=BC，AD=CD，且AC⊥BD D．AB=CD，AD=BC，AC⊥BD
【答案】C
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：A、根据AC与BD互相平分得四边形ABCD是平行四边形，再有AC⊥BD ，可得此四边形是菱形；
B、根据AB=BC=CD=DA ，可知四边形是菱形；
C、由AB=BC，AD=CD，不能得到此四边形是平行四边形，所以不能判定四边形ABCD是菱形；
D、由AB=CD，AD=BC得四边形是平行四边形，再有AC⊥BD，可得四边形是菱形．
故答案为：C．
【分析】根据菱形的判定，对各项逐一进行判定，即可求解.根据菱形的判定方法，选项A，B，D可判定四边形ABCD为菱形，选项C不能判定四边形ABCD为菱形.
3．（2020八下·原州期末）如图，某同学作线段AB的垂直平分线：分别以点A和点B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于点C，D，则直线CD为线段AB的垂直平分线.根据这个同学的作图方法可知四边形ADBC一定是（ ）
A．菱形 B．平行四边形
C．矩形 D．一般的四边形
【答案】A
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：∵分别以A和B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，
∴AC=AD=BD=BC，
∴四边形ADBC一定是菱形，
故答案为：A.
【分析】根据垂直平分线的画法得出四边形ADBC四边的关系进而得出四边形一定是菱形.
4．（2020八下·滨江期末）如图，若要使平行四边形ABCD成为菱形，需添加的条件是（ ）
A． B．
C． D． 互相垂直
【答案】D
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：由平行四边形的性质可得： ， ，则选项A不符题意
，则选项B不符题意
若 ，则
对角线相等的平行四边形一定是矩形，但不一定是菱形，则选项C不符题意
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，则选项D符合题意
故答案为：D.
【分析】根据一组邻边相等的平行四边形是菱形或对角线互相垂直的平行四边形是菱形，结合图形及各选项中的条件可得答案。
5．（2019八下·天台期末）如图，在一张平行四边形纸片ABCD中，画一个菱形，甲、乙两位同学的画法如下:
甲：以B，A为圆心，AB长为半径作弧，分别交BC，AD于点E，F,则四边形ABEF为菱形；乙：作∠A, ∠B的平分线AE，BF，分别交BC于点E，交AD于点F，则四边形ABEF是菱形；关于甲、乙两人的画法，下列判断正确的是（ ）
A．仅甲正确 B．仅乙正确
C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误
【答案】C
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：甲的作法正确；
证明：由题意得AB=AF，AB=BE，
∴AF=BE，
又∵AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形，
又∵AB=BE，∴四边形ABEF是平行菱形。
乙的作法正确；
证明：∵AD∥BC，
∴∠1=∠2，∠6=∠7，
∵BF平分∠ABC，AE平分∠BAD，
∴∠2=∠3，∠5=∠6，
∴∠1=∠3，∠5=∠7，
∴AB=AF，AB=BE，
∴AF=BE
∵AF∥BE，且AF=BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=AF，
∴平行四边形ABEF是菱形。
故答案为：C
【分析】根据菱形的判定定理分析判断，即邻边相等的平行四边形是菱形，先证明四边形ABEF是平行四边形，再由邻边相等证明其为菱形。
6．（2019八下·鄂伦春期末）如图， 中， 平分 ， 交 于 ， 交 于 ，若 ，则四边形 的周长是（ ）
A．24 B．28 C．32 D．36
【答案】A
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】∵DE // AC， DF // AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，∠BAD=∠ADF，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠CAD=∠ADF，
∴DF=AF=6，
∴平行四边形AEDF是菱形，
∴菱形AEDF的周长为：6×4=24，
故答案为：A.
【分析】由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEDF是平行四边形，继而根据AD平分∠BAC，可推导得出DF=AF=6，从而得平行四边形AEDF是菱形，由此即可 求得答案.
7．（2019八下·孝义期中）有两张宽为3，长为9的矩形纸片如图所示叠放在一起，使重叠的部分构成一个四边形，则四边形的最大面积是（ ）
A．27 B．12 C．15 D．18
【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：重叠的四边形的两组对边分别平行，那么可得是平行四边形，再根据宽度相等，利用面积的不同求法可得一组邻边相等，那么重叠的四边形应为菱形；如图，
此时菱形ABCD的面积最大．
设AB=x，EB=9-x，AE=3，
则由勾股定理得到：32+（9-x）2=x2，
解得x=5，
S最大=5×3=15．
故答案为：C．
【分析】先求出重叠的图形的格菱形，当两张矩形纸片的对角线互相重合时，菱形ABCD的面积最大，如图．设AB=x，EB=9-x，AE=3，在△ABE中，由勾股定理可得32+（9-x）2=x2，求出x的值，利用菱形的面积=底×高计算即可.
8．如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于F，若BF=12，AB=10，则AE的长为（ ）
A．16 B．15 C．14 D．13
【答案】A
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：连结EF，AE与BF交于点O，如图，
∵AO平分∠BAD，
∴∠1=∠2，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AF∥BE，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴AB=EB，
同理：AF=BE，
又∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，OB=OF=6，OA=OE，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA= = =8，
∴AE=2OA=16．
故选：A．
【分析】首先证明四边形ABEF是菱形，得出AE⊥BF，OB=OF=6，OA=OE，利用勾股定理计算出AO，从而得到AE的长．
9．（2017八下·如皋期中）如图，是一张平行四边形纸片ABCD，要求利用所学知识将它变成一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下：对于甲、乙两人的作法，可判断（ ）
A．甲、乙均正确 B．甲、乙均错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
【答案】A
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】根据菱形的判定定理及性质可得甲、乙的做好均正确.
【分析】根据菱形的判定定理即可得出答案。
10．（2017八下·东城期中）将一矩形纸片对折后再对折，如图1、图2，然后沿图3中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形一定是（ ）.
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【答案】C
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】由折叠过程可得，该四边形的对角线互相垂直平分，
所以将①展开后得到的平面图形是菱形.
故答案为：C.
【分析】根据图形对折不变形和菱形判定定理可得，选项C为正确选项
二、填空题
11．如图，在菱形ABCD中，∠A=45°，DE⊥AB，垂足为E，若CD=4cm，则菱形ABCD的面积是 cm2．
【答案】8
【知识点】菱形的性质；菱形的判定；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=CD=4cm，
∵∠A=45°，DE⊥AB，
∴DE=AD sin45°=4×=2（cm），
∴S菱形ABCD=AB DE=8（cm2）．
故答案为：8．
【分析】由在菱形ABCD中，∠A=45°，DE⊥AB，即可求得DE的长，继而求得菱形ABCD的面积．
12．（2020八下·昌平期末）已知：线段 AC，如图．
求作：以线段 AC 为对角线的一个菱形 ABCD．
作法：
①作线段AC的垂直平分线MN交AC 点于O；
②以点O为圆心，任意长为半径画弧，交直线MN于点B，D；
③顺次连结点A，B，C，D，则四边形ABCD即为所求作的菱形．
请回答：上面尺规作图作出菱形 ABCD的依据是 ．
【答案】对角线垂直的平行四边形是菱形
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：∵由作法可知．OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．
故答案为：对角线垂直的平行四边形是菱形．
【分析】根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可得出结论．
13．（2019八下·睢县期中）如图，平行四边形 的两条对角线 相交于点 ， ， ， ，则四边形 的形状是 .
【答案】菱形
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】∵四边形 是平行四边形；
∴,CO=OC=2，BO=OD=3;
∵ ，则CO2+ BO2=BC2；
∴∠ BOC=90°，则四边形ABCD为菱形.
【分析】四边形 是平行四边形，在通过BD，AC，BC三边之间存在的关系得出判断即可
14．（2020八上·张掖期末）如图，CD与BE互相垂直平分，AD⊥DB，∠BDE=70°，则∠CAD= °．
【答案】70．
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】∵CD与BE互相垂直平分，∴四边形BDEC是菱形．∴DB=DE．
∵∠BDE=70°，∴∠ABD= =55°．
∵AD⊥DB，∴∠BAD=90°﹣55°=35°．
根据轴对称性，四边形ACBD关于直线AB成轴对称，
∴∠BAC=∠BAD=35°．∴∠CAD=∠BAC+∠BAD=35°+35°=70°．
【分析】先证明四边形BDEC是菱形，然后求出∠ABD的度数，再利用三角形内角和等于180°求出∠BAD的度数，然后根据轴对称性可得∠BAC=∠BAD，然后求解即可．
15．（2017八下·泉山期末）如图，已知：在 ABCD中，AB=AD=2，∠DAB=60°，F为AC上一点，E为AB中点．
ABCD的周长是 ；
EF+BF的最小值为 ．
【答案】8；
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】根据平行四边形有一组邻边相等得到四边形ABCD为菱形，然后计算四边形的周长；根据菱形的性质可知点B与点D关于AC对称，从而可知BF=DF，则EF+BF=EF+DF，当点D、F、B共线时，EF+BF有最小值，然后根据等边三角形的性质以及直角三角形的勾股定理得出最小值．
【分析】根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，得到ABCD是菱形，由菱形的四边相等得到 ABCD的周长；根据菱形的对称性，得到点B与点D关于AC对称，得到BF=DF，当点D、F、B共线时EF+BF有最小值，再根据勾股定理求出求出EF+BF的最小值.
三、解答题
16．（2020八下·横县期末）如图， ABCD中对角线BD平分∠ABC.
求证： ABCD是菱形.
【答案】证明：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，
∴∠2=∠3.
又∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴ AB =AD，
∴ ABCD是菱形.
【知识点】菱形的判定
【解析】【分析】根据平行四边形的性质得出 ∠2=∠3 ， BD平分∠ABC， 得出 ∠1=∠3， 进而得出AB =AD；根据菱形的判定定理，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可证出ABCD是菱形。
17．（2020八下·八步期末）已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC，DF∥AB.求证：四边形AEDF是菱形.
【答案】解：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2（角平分线的定义），
∵DE∥AC，
∴∠2=∠3（两直线平行，内错角相等），
∴∠1=∠3（等量代换），
∴AE=DE，
∴平行四边形AEDF是菱形.
【知识点】菱形的判定
【解析】【分析】先证明四边形AEDF是平行四边形，再根据角平分线的定义求出∠1=∠2，根据两直线平行，内错角相等求出∠2=∠3，然后求出∠1=∠3，根据等角对等边的性质可得AE=DE，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形判定.
18．（2020八下·南昌期末）如图，在Rt△ABC.∠B=90°，点E是AC的中点，AC=2AB，∠BAC的平分线AD交BC于点D，作AF∥BC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC．求证：四边形ADCF是菱形．
【答案】解：∵AF∥CD， ∴∠AFE=∠CDE，
在△AFE和△CDE. ，
∴△AEF≌△CED， ∴AF=CD，
∵AF∥CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠B=90°，∠ACB=30°， ∴∠CAB=60°，
∵AD平分∠CAB， ∴∠DAC=∠DAB=30°=∠ACD，
∴DA=DC， ∴四边形ADCF是菱形．
【知识点】菱形的判定
【解析】【分析】先证明△AEF≌△CED，推出四边形ADCF是平行四边形，再证明∠DAC=∠ACB，推出DA=DC，由此即可证明．
19．（2020八下·莆田期末）如图，在 中，∠ACB=90 ，∠B=60 ，作边AC的垂直平分线 交AB于点D，过点C作AB的平行线交 于点E，判断四边形DBCE的形状，并说明理由．
【答案】解：四边形DBCE是菱形，理由如下：
DE垂直平分AC，
，
，即 ，
，
，
四边形DBCE是平行四边形，
， ，
是 的中位线，
点D是AB的中点，
，
又 在 中， ，
，
，
平行四边形DBCE是菱形．
【知识点】菱形的判定
【解析】【分析】先根据垂直平分线的定义可得 ，再根据平行线的判定可得 ，然后根据平行四边形的判定可得四边形DBCE是平行四边形，又根据三角形中位线定理、直角三角形的性质可得 ，最后根据菱形的判定即可得．
四、综合题
20．（2020八下·长沙期末）如图，已知在△ADE中，∠ADE=90°，点B是AE的中点，过点D作DC∥AE，DC=AB，连结BD、CE．
（1）求证：四边形BDCE是菱形；
（2）若AD=8，BD=6，求菱形BDCE的面积．
【答案】（1）证明：在Rt△ADB中，∵∠ADB=90°，AB=BE，
∴DB= AB=AB=BE，
∵DC∥BE，DC=AB=BE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵BD=BE，
∴四边形BECD是菱形．
（2）解：连接BC交DE于O．
∵四边形DBEC是菱形，
∴BC⊥DE，
∴BO∥AD，∵AB=BE，
∴DO=OE，
∴OB= AD=4，OD==2 ，
∴BC=8，DE=4 ，
∴S菱形BDCE= BC DE=16 ．
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）证明菱形先证明四边形是平行四边形，再利用一组邻边相等证明菱形.（2）求菱形的两条对角线长度，再求菱形的面积.
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