2018-2019学年数学人教版（五四学制）九年级上册28.2二次函数与一元二次方程 同步练习
一、单选题
1．抛物线y＝－2x2－x＋2与坐标轴的交点个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：因为b2-4ac=（-1）2-4×(-2)×2＞0，所以抛物线与x轴有两个交点，又抛物线与y轴有一个交点，所以抛物线与坐标轴共有3个交点，
故答案为：A.
【分析】求出b2-4ac的值，可得出b2-4ac＞0，因此抛物线与x轴有两个交点，抛物线与y轴有一个交点，就可得出答案。
2．已知二次函数y=ax2+bx+c，且a＜0，a﹣b+c＞0，则一定有（ ）
A．b2﹣4ac＞0 B．b2﹣4ac=0 C．b2﹣4ac＜0 D．b2﹣4ac≤0
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】∵a＜0，
∴抛物线的开口向下．
∵a﹣b+c＞0，
∴当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，
画草图得：抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0．
故答案为：A．
【分析】根据a＜0，可知抛物线的开口向下，再由a﹣b+c＞0，可得出当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，画出草图，可得出答案。
3．下列二次函数的图象与x轴有两个不同的交点的是（ ）
A．y=x2 B．y=x2+4 C．y=3x2﹣2x+5 D．y=3x2+5x﹣1
【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】A．令y=0，△=b2﹣4ac=0，与x轴只有1个交点，不符合题意；
B．令y=0，△=b2﹣4ac=0﹣4×1×4=﹣16＜0，与x轴没有交点，不符合题意；
C．令y=0，△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×3×5=﹣56＜0，与x轴没有交点，不符合题意；
D．令y=0，△=b2﹣4ac=52﹣4×3×（﹣1）=37＞0，与x轴有两个不同的交点，符合题意．
故答案为：D
【分析】二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，则b2-4ac＞0，对各选项逐一计算，即可得出答案。
4．已知二次函数y＝x2－3x＋m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的两实数根是（ ）
A．x1＝1，x2＝－1 B．x1＝1，x2＝2
C．x1＝1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝3
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根就是二次函数y=x2-3x+m（m为常数）的图象与x轴的两个交点的横坐标．∵二次函数的解析式是y=x2-3x+m（m为常数），∴该抛物线的对称轴是：x= ．
又∵二次函数y=x2-3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），
∴根据抛物线的对称性质知，该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（2，0），
∴关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根分别是：x1=1，x2=2．
故答案为：B．
【分析】先求出抛物线y＝x2－3x＋m的对称轴，再根据抛物线时关于对称轴对称，由抛物线与x的一个交点坐标，可求出另一个交点坐标，然后根据关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根就是抛物线y＝x2－3x＋m与x轴交点的横坐标。即可解答。
5．二次函数y=﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x=2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A．t＞﹣5 B．﹣5＜t＜3 C．3＜t≤4 D．﹣5＜t≤4
【答案】D
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：由对称轴为直线x=2可得-=2，解得m=4，所以二次函数y=﹣x2+mx的解析式为y=﹣x2+4x。
如图，
关于x的一元二次方程﹣x2+4x﹣t=0的解就是抛物线y=﹣x2+4x与直线y=t的交点的横坐标，
当x=1时，y=3，
当x=5时，y=﹣5，
由图象可知关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，
直线y=t在直线y=﹣5和直线y=4之间包括直线y=4，
∴﹣5＜t≤4．
故答案为D．
【分析】如图，关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0的解就是抛物线y=-x2+mx与直线y=t的交点的横坐标，利用图象法即可解决问题．
6．根据抛物线y＝x2＋3x－1与x轴的交点的坐标，可以求出下列方程中哪个方程的近似解（ ）
A．x2＋3x－1＝0 B．x2＋3x＋1＝0
C．3x2＋x－1＝0 D．x2－3x＋1＝（ ）
【答案】A
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】要求y＝x2＋3x－1与x轴的交点的坐标，令y=0，x2＋3x－1=0，解出x写出坐标即可，一元二次方程的解与二次函数和x轴的交点坐标相对应，所以根据抛物线y＝x2＋3x－1与x轴的交点的坐标，可以求出x2＋3x－1=0的近似解
故答案为：A.
【分析】要求y＝x2＋3x－1与x轴的交点的坐标，设y=0，x2＋3x－1=0，求出x的值，可得出抛物线y＝x2＋3x－1与x轴的交点坐标，就可以求出x2＋3x－1=0的近似解。
7．已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于（x1，0）、（x2，0）两点，且0＜x1＜1，1＜x2＜5与y轴交于（0，﹣2），下列结论：①2a+b＞1；②a+b＜2；③3a+b＞0；④a＜﹣1，其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：如图：0＜x1＜1，1＜x2＜5，并且图象与y轴相交于点（0，﹣2），
可知该抛物线开口向下即a＜0，c=﹣2，
①当x=2时，y=4a+2b+c＞0，即4a+2b＞﹣c；
∵c=﹣2，
∴4a+2b＞2，
∴2a+b＞1，
故①正确；
②∵当x=1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，
∵c=﹣2，
∴a+b＞2，
故②错误；
③∵0＜x1＜1，1＜x2＜5，
∴1＜x1+x2＜6，
又∵x1+x2=﹣ ，
∴1＜﹣ ＜6，
∴﹣3a＜3a+b＜﹣2a．
∴3a+b＞0，
故③正确；
⑤∵0＜x1x2＜6，x1x2= ＜6，
又∵c=﹣2，
∴a＜﹣ ．
故⑤错误．
故选B．
【分析】由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
8．（2018九上·罗湖期末）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a#0)的图象如图所示，给出以下四个结论：
①abc=0，②a+b+c>0，③b=3a， ④4ac—b2<0；其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解 ：∵二次函数y=ax2+bx+c图象经过原点，
∴c=0，
∴abc=0，故①正确；
∵x=1时，y<0，
∴a+b+c<0，故②不正确；
∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵抛物线的对称轴是x= ，
∴ = ，
∴b=3a，故③正确；
∵二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有两个交点，
∴△>0，
∴b2 4ac>0，4ac b2<0，故④正确；
综上，可得正确结论有3个：①③④。
故答案为 ：C .
【分析】首先根据二次函数y=ax2+bx+c的图象经过原点，可得c=0，所以abc=0；然后根据x=1时，y<0，可得a+b+c<0；根据抛物线的对称轴知b=3a；最后根据二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有两个交点，可得△>0，所以b2-4ac>0，4ac-b2<0，据此解答即可 。
9．如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋3的图象与x轴正半轴交于B、C两点，BC＝2，则b的值为（ ）
A．4 B．－4 C．±4 D．－5
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】设C（m，0），B（n，0），则m-n=2，
∵m、n为方程x2+bx+3=0的两根，
∴m+n=-b>0，mn=3，
∵（n-m）2=4，
∴（m+n）2-4mn=4，
∴b2-4×3=4，解得b=4（舍去）或b=-4，
即b的值为-4，
故答案为：B．
【分析】设C（m，0），B（n，0），则m-n=2，由m、n为方程x2+bx+3=0的两根，表示出m+n和mn的值，结合m-n=2，求出b的值。
10．观察下列表格，一元二次方程x2﹣x﹣1.1=0的最精确的一个近似解是（ ）
x
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
x2﹣x﹣1.1
﹣0.99
﹣0.86
﹣0.71
﹣0.54 ﹣0.35
﹣0.14
0.09
0.34
0.61
A．0.09 B．1.1 C．1.6 D．1.7
【答案】D
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】∵x=1.7时，x2﹣x﹣1.1的值0.09最小，∴一元二次方程x2﹣x﹣1.1=0的最精确的一个近似解是1.7．故选D．
【分析】根据图表数据找出一元二次方程最接近0的未知数的值，即为最精确的近似解．
二、填空题
11．若二次函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是 ．
【答案】1
【知识点】解一元一次方程；一元二次方程根的判别式及应用；二次函数的定义；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵二次函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，
∴△=4﹣4m=0，且m≠0，
解得 m=1．
故答案是：1．
【分析】抓住已知函数是二次函数得出m≠0，此二次函数的图象与x轴只有一个公共点，得出b2-4ac=0，列方程求解即可。
12．已知关于x的方程x2﹣4x+3﹣a=0在0＜x＜4范围内均有两个根，则a的取值范围是 ．
【答案】﹣1≤a＜3
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】∵关于x的方程x2﹣4x+3﹣a=0在0＜x＜4范围内均有两个根，
∴抛物线y=x2﹣4x+3﹣a与x轴有交点，且当x=0与x=4时，y＞0，
∴△=16﹣4（3﹣a）=4+4a≥0，且3﹣a＞0，
解得：﹣1≤a＜3，
故答案为：﹣1≤a＜3
【分析】根据关于x的方程在0＜x＜4范围内均有两个根，可得出抛物线y=x2﹣4x+3﹣a与x轴有交点，即b2-4ac≥0，求出a的取值范围即可。
13． 的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象（如图所示），由图象可知关于x的一元二次方程 的两个根分别是x1=1.3和x2= ．
【答案】-3.3
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标（-1，-3.2）
∴- =-1则- =-2
∵x1x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根
∴x1+x2=-
又∵x1=1.3
∴x1+x2=1.3+x2=-2
解得x2=-3.3．
【分析】利用顶点坐标公式及两根之和的公式，可求出方程的另一个根。或利用抛物线的对称性解答。
14．若关于x的一元二次方程a(x＋m)2－3＝0的两个实数根分别为x1＝－1，x2＝3，则抛物线y＝a(x＋m－2)2－3与x轴的交点坐标为 ．
【答案】(1，0)，(5，0)
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】已知一元二次方程a(x＋m)2－3＝0的两个实数根分别为x1＝－1，x2＝3，
即抛物线y＝a(x＋m)2－3与x轴的交点坐标为(-1，0)，(3，0)，
∵抛物线y＝a(x＋m)2－3向右平移两个单位可得抛物线y＝a(x＋m－2)2－3，
∴抛物线y＝a(x＋m－2)2－3与x轴的交点坐标为(-1+2，0)，(3+2，0)，即(1，0)，(5，0).
【分析】由一元二次方程a(x＋m)2－3＝0的两个实数根分别为x1＝－1，x2＝3，可得出抛物线y＝a(x＋m)2－3与x轴的两个交点坐标，再观察两函数解析式，可得出抛物线y＝a(x＋m)2－3向右平移两个单位可得抛物线y＝a(x＋m－2)2－3，就可求出抛物线y＝a(x＋m－2)2－3与x轴的交点坐标。
15．已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点的横坐标为m，则代数式m2﹣m+2016的值为 ．
【答案】2017
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），
∴m2﹣m﹣1=0，
∴m2﹣m=1，
∴m2﹣m+2016=1+2016=﹣2017，
故答案为2017．
【分析】把点（m，0）代入抛物线的解析式得到m2﹣m=1，整体代入即可解决问题．
16．如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，根据图象可以得到方程ax2+bx+c=0的一个根在 与 之间，另一个根在 与 之间．
【答案】-1；0；2；3
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有两个，一个在﹣1与0之间，另一个在2与3之间；
∴方程ax2+bx+c=0的一个根在﹣1与0之间，另一个根在2与3之间．
故答案为：﹣1，0，2，3．
【分析】观察图象可得：二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有两个，一个在﹣1与0之间，另一个在2与3之间；然后由二次函数与一元二次方程的关系，即可求得答案．
三、解答题
17．用图象法求下列方程的解：
（1）x2﹣3x﹣4=0；
（2）x2﹣6x+2=0（精确到0.1）．
【答案】（1）解：（1）函数y=x2﹣3x﹣4的图象如图：
故方程x2﹣3x﹣4=0的根是x1=﹣1，x2=4；
（2）函数y=x2﹣6x+2的图象如图：
故x2﹣6x+2=0的近似根是x1=﹣0.4，x2=5.6．
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【分析】（1）根据函数图象与x轴交点的横坐标是相应方程的解，可得答案；
（2）根据函数图象与x轴交点的横坐标是相应方程的解，可得答案．
18．已知二次函数y=x2﹣4x．
（1）在给出的直角坐标系内用描点法画出该二次函数的图象；
（2）根据所画的函数图象写出当x在什么范围内时，y≤0？
（3）根据所画的函数图象写出方程：x2﹣4x=5的解．
【答案】解：（1）y=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣4，则抛物线的对称轴为直线x=﹣2，顶点坐标为（2，﹣4），
如图，
（2）当0≤x≤4时，y≤0．
（3）由图象可知，x2﹣4x=5的解为x1=﹣1，x2=5．
【知识点】函数自变量的取值范围；利用二次函数图象求一元二次方程的近似根；描点法画函数图象
【解析】【分析】（1）利用描点法画二次函数图象；
（2）根据图象回答即可．
（3）根据图象即可求得．
19．（2015九上·山西期末）二次函数 的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程 的两个根。
（2）写出不等式 的解集。
（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围。
（4）若方程 有两个不相等的实数根，求k的取值范围。
【答案】（1）解：1，3
（2）解：1（3）解：x≥2
（4）解：k<2
【知识点】函数自变量的取值范围；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一次函数的综合应用；通过函数图象获取信息并解决问题；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【分析】（1）一元二次方程ax2+bx+c = 0 的两个根即为二次函数y=ax2+bx+c 与x交点的横坐标；（2）不等式ax2+bx+c > 0 的解集，即为二次函数在x轴上方的点对应的横坐标的范围；（3）抛物线开口向下，在对称轴x=2的右边y随x的增大而减小；（4）方程ax2+bx+c=k 有两个不相等的实数根，即抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=k 有两个交点，满足条件的范围是k<2。
20．（2017八下·钦州港期末）已知二次函数
（1）求证：无论m为任何实数，该二次函数的图象与x轴都有两个交点；
（2）当该二次函数的图象经过点（3，6）时，求此二次函数的解析式.
【答案】（1）解： ∵无论m为何值， ∴
∴无论m为任何实数，该二次函数的图象与x轴都有两个交点
（2）解：把点（3，6）代入 可解得m=
∴
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）由二次函数与一元二次方程的关系，根据△=b2-4ac＞0方程有两个不相等的两个实数根，△=0方程有两个相等的实数根，△＜0方程没有实数根；由( m 2)2+4>0，得到无论m为任何实数，该二次函数的图象与x轴都有两个交点；（2）把点的坐标代入二次函数，求出m的值，得到二次函数的解析式.
21．（2017八下·东城期中）在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴的交点分别为 ， ．
（1）求证：抛物线总与 轴有两个不同的交点．
（2）若 ，求此抛物线的解析式．
（3）已知 轴上两点 ， ，若抛物线 与选段 有交点，请写出 的取值范围．
【答案】（1）证明：当 时， ， ．
∴ ．
∴ ，
∴ ，
∴抛物线总与 轴有两个不同的交点
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
将 代入 中，
解得： ．
∴此时抛物线解析式为
（3）解： ，将 代入 中，解得： ．∵抛物线开口向上，当 时 ，且抛物线与线段 有交点．
∴ ．
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）要证抛物线总与 x 轴有两个不同的交点，只须证明关于x的一元二次方程m 8m + 16 m 1 = 0you两个不相等的实数根即可，即；
（2）因为抛物线与x轴相较于A、B两点，所以A、B关于抛物线的对称轴x=4对称，而AB=2，所以可得A ( 3 ， 0 ) ， B ( 5 ， 0 ) ，将点A的坐标代入解析式即可求得m的值；
（3）若抛物线与x轴有交点，则至少有一个交点，若交点为C（2，0），则m=，由m>0可知抛物线的开口向上，此时y≥0，则m≥。
22．已知：m、n是方程x2﹣6x+5=0的两个实数根，且m＜n，抛物线y=﹣x2+bx+c的图象经过点A（m，0）、B（0，n）．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和△BCD的面积；
（3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标．
【答案】（1）解：解方程x2﹣6x+5=0，
得x1=5，x2=1
由m＜n，有m=1，n=5
所以点A、B的坐标分别为A（1，0），B（0，5）．
将A（1，0），B（0，5）的坐标分别代入y=﹣x2+bx+c．
得
解这个方程组，得
所以，抛物线的解析式为y=﹣x2﹣4x+5
（2）解：由y=﹣x2﹣4x+5，令y=0，得﹣x2﹣4x+5=0
解这个方程，得x1=﹣5，x2=1
所以C点的坐标为（﹣5，0）．由顶点坐标公式计算，得点D（﹣2，9）．
过D作x轴的垂线交x轴于M．
则S△DMC= ×9×（5﹣2）=
S梯形MDBO= ×2×（9+5）=14，
S△BOC= ×5×5=
所以，S△BCD=S梯形MDBO+S△DMC﹣S△BOC=14+ ﹣ =15．
答：点C、D的坐标和△BCD的面积分别是：（﹣5，0）、（﹣2，9）、15；
（3）解：设P点的坐标为（a，0）
如图，
因为线段BC过B、C两点，
所以BC所在的直线方程为y=x+5．
那么，PH与直线BC的交点坐标为E（a，a+5），
PH与抛物线y=﹣x2﹣4x+5的交点坐标为H（a，﹣a2﹣4a+5）．
由题意，得①EH= EP，
即（﹣a2﹣4a+5）﹣（a+5）= （a+5）
解这个方程，得a=﹣ 或a=﹣5（舍去）
②EH= EP，即（﹣a2﹣4a+5）﹣（a+5）= （a+5）
解这个方程，得a=﹣ 或a=﹣5（舍去），
P点的坐标为（﹣ ，0）或（﹣ ，0）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）先求出方程x2﹣6x+5=0的根，就可得出m、n的值，得出点A、B的坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式。
（2）由y=0，建立关于x的一元二次方程求出x的值，得出点C的坐标，再求出抛物线的顶点D的坐标，就可分别求出△BOC、△DCM、梯形OBDM的面积，然后利用S△BCD=S梯形MDBO+S△DMC﹣S△BOC，通过计算就可得出答案。
（3）设P点的坐标为（a，0），利用待定系数法求出直线BC的函数解析式，就可用含a的代数式表示出点E、H的坐标，根据直线BC把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，分两种情况：①当EH= EP时，建立关于a的方程，求出符合条件的a的值；②当EH= EP时，建立关于a的方程，求出符合条件的a的值，即可解答。
1 / 12018-2019学年数学人教版（五四学制）九年级上册28.2二次函数与一元二次方程 同步练习
一、单选题
1．抛物线y＝－2x2－x＋2与坐标轴的交点个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
2．已知二次函数y=ax2+bx+c，且a＜0，a﹣b+c＞0，则一定有（ ）
A．b2﹣4ac＞0 B．b2﹣4ac=0 C．b2﹣4ac＜0 D．b2﹣4ac≤0
3．下列二次函数的图象与x轴有两个不同的交点的是（ ）
A．y=x2 B．y=x2+4 C．y=3x2﹣2x+5 D．y=3x2+5x﹣1
4．已知二次函数y＝x2－3x＋m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的两实数根是（ ）
A．x1＝1，x2＝－1 B．x1＝1，x2＝2
C．x1＝1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝3
5．二次函数y=﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x=2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A．t＞﹣5 B．﹣5＜t＜3 C．3＜t≤4 D．﹣5＜t≤4
6．根据抛物线y＝x2＋3x－1与x轴的交点的坐标，可以求出下列方程中哪个方程的近似解（ ）
A．x2＋3x－1＝0 B．x2＋3x＋1＝0
C．3x2＋x－1＝0 D．x2－3x＋1＝（ ）
7．已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于（x1，0）、（x2，0）两点，且0＜x1＜1，1＜x2＜5与y轴交于（0，﹣2），下列结论：①2a+b＞1；②a+b＜2；③3a+b＞0；④a＜﹣1，其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2018九上·罗湖期末）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a#0)的图象如图所示，给出以下四个结论：
①abc=0，②a+b+c>0，③b=3a， ④4ac—b2<0；其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋3的图象与x轴正半轴交于B、C两点，BC＝2，则b的值为（ ）
A．4 B．－4 C．±4 D．－5
10．观察下列表格，一元二次方程x2﹣x﹣1.1=0的最精确的一个近似解是（ ）
x
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
x2﹣x﹣1.1
﹣0.99
﹣0.86
﹣0.71
﹣0.54 ﹣0.35
﹣0.14
0.09
0.34
0.61
A．0.09 B．1.1 C．1.6 D．1.7
二、填空题
11．若二次函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是 ．
12．已知关于x的方程x2﹣4x+3﹣a=0在0＜x＜4范围内均有两个根，则a的取值范围是 ．
13． 的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象（如图所示），由图象可知关于x的一元二次方程 的两个根分别是x1=1.3和x2= ．
14．若关于x的一元二次方程a(x＋m)2－3＝0的两个实数根分别为x1＝－1，x2＝3，则抛物线y＝a(x＋m－2)2－3与x轴的交点坐标为 ．
15．已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点的横坐标为m，则代数式m2﹣m+2016的值为 ．
16．如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，根据图象可以得到方程ax2+bx+c=0的一个根在 与 之间，另一个根在 与 之间．
三、解答题
17．用图象法求下列方程的解：
（1）x2﹣3x﹣4=0；
（2）x2﹣6x+2=0（精确到0.1）．
18．已知二次函数y=x2﹣4x．
（1）在给出的直角坐标系内用描点法画出该二次函数的图象；
（2）根据所画的函数图象写出当x在什么范围内时，y≤0？
（3）根据所画的函数图象写出方程：x2﹣4x=5的解．
19．（2015九上·山西期末）二次函数 的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程 的两个根。
（2）写出不等式 的解集。
（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围。
（4）若方程 有两个不相等的实数根，求k的取值范围。
20．（2017八下·钦州港期末）已知二次函数
（1）求证：无论m为任何实数，该二次函数的图象与x轴都有两个交点；
（2）当该二次函数的图象经过点（3，6）时，求此二次函数的解析式.
21．（2017八下·东城期中）在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴的交点分别为 ， ．
（1）求证：抛物线总与 轴有两个不同的交点．
（2）若 ，求此抛物线的解析式．
（3）已知 轴上两点 ， ，若抛物线 与选段 有交点，请写出 的取值范围．
22．已知：m、n是方程x2﹣6x+5=0的两个实数根，且m＜n，抛物线y=﹣x2+bx+c的图象经过点A（m，0）、B（0，n）．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和△BCD的面积；
（3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：因为b2-4ac=（-1）2-4×(-2)×2＞0，所以抛物线与x轴有两个交点，又抛物线与y轴有一个交点，所以抛物线与坐标轴共有3个交点，
故答案为：A.
【分析】求出b2-4ac的值，可得出b2-4ac＞0，因此抛物线与x轴有两个交点，抛物线与y轴有一个交点，就可得出答案。
2．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】∵a＜0，
∴抛物线的开口向下．
∵a﹣b+c＞0，
∴当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，
画草图得：抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0．
故答案为：A．
【分析】根据a＜0，可知抛物线的开口向下，再由a﹣b+c＞0，可得出当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，画出草图，可得出答案。
3．【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】A．令y=0，△=b2﹣4ac=0，与x轴只有1个交点，不符合题意；
B．令y=0，△=b2﹣4ac=0﹣4×1×4=﹣16＜0，与x轴没有交点，不符合题意；
C．令y=0，△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×3×5=﹣56＜0，与x轴没有交点，不符合题意；
D．令y=0，△=b2﹣4ac=52﹣4×3×（﹣1）=37＞0，与x轴有两个不同的交点，符合题意．
故答案为：D
【分析】二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，则b2-4ac＞0，对各选项逐一计算，即可得出答案。
4．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根就是二次函数y=x2-3x+m（m为常数）的图象与x轴的两个交点的横坐标．∵二次函数的解析式是y=x2-3x+m（m为常数），∴该抛物线的对称轴是：x= ．
又∵二次函数y=x2-3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），
∴根据抛物线的对称性质知，该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（2，0），
∴关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根分别是：x1=1，x2=2．
故答案为：B．
【分析】先求出抛物线y＝x2－3x＋m的对称轴，再根据抛物线时关于对称轴对称，由抛物线与x的一个交点坐标，可求出另一个交点坐标，然后根据关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根就是抛物线y＝x2－3x＋m与x轴交点的横坐标。即可解答。
5．【答案】D
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：由对称轴为直线x=2可得-=2，解得m=4，所以二次函数y=﹣x2+mx的解析式为y=﹣x2+4x。
如图，
关于x的一元二次方程﹣x2+4x﹣t=0的解就是抛物线y=﹣x2+4x与直线y=t的交点的横坐标，
当x=1时，y=3，
当x=5时，y=﹣5，
由图象可知关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，
直线y=t在直线y=﹣5和直线y=4之间包括直线y=4，
∴﹣5＜t≤4．
故答案为D．
【分析】如图，关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0的解就是抛物线y=-x2+mx与直线y=t的交点的横坐标，利用图象法即可解决问题．
6．【答案】A
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】要求y＝x2＋3x－1与x轴的交点的坐标，令y=0，x2＋3x－1=0，解出x写出坐标即可，一元二次方程的解与二次函数和x轴的交点坐标相对应，所以根据抛物线y＝x2＋3x－1与x轴的交点的坐标，可以求出x2＋3x－1=0的近似解
故答案为：A.
【分析】要求y＝x2＋3x－1与x轴的交点的坐标，设y=0，x2＋3x－1=0，求出x的值，可得出抛物线y＝x2＋3x－1与x轴的交点坐标，就可以求出x2＋3x－1=0的近似解。
7．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：如图：0＜x1＜1，1＜x2＜5，并且图象与y轴相交于点（0，﹣2），
可知该抛物线开口向下即a＜0，c=﹣2，
①当x=2时，y=4a+2b+c＞0，即4a+2b＞﹣c；
∵c=﹣2，
∴4a+2b＞2，
∴2a+b＞1，
故①正确；
②∵当x=1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，
∵c=﹣2，
∴a+b＞2，
故②错误；
③∵0＜x1＜1，1＜x2＜5，
∴1＜x1+x2＜6，
又∵x1+x2=﹣ ，
∴1＜﹣ ＜6，
∴﹣3a＜3a+b＜﹣2a．
∴3a+b＞0，
故③正确；
⑤∵0＜x1x2＜6，x1x2= ＜6，
又∵c=﹣2，
∴a＜﹣ ．
故⑤错误．
故选B．
【分析】由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
8．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解 ：∵二次函数y=ax2+bx+c图象经过原点，
∴c=0，
∴abc=0，故①正确；
∵x=1时，y<0，
∴a+b+c<0，故②不正确；
∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵抛物线的对称轴是x= ，
∴ = ，
∴b=3a，故③正确；
∵二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有两个交点，
∴△>0，
∴b2 4ac>0，4ac b2<0，故④正确；
综上，可得正确结论有3个：①③④。
故答案为 ：C .
【分析】首先根据二次函数y=ax2+bx+c的图象经过原点，可得c=0，所以abc=0；然后根据x=1时，y<0，可得a+b+c<0；根据抛物线的对称轴知b=3a；最后根据二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有两个交点，可得△>0，所以b2-4ac>0，4ac-b2<0，据此解答即可 。
9．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】设C（m，0），B（n，0），则m-n=2，
∵m、n为方程x2+bx+3=0的两根，
∴m+n=-b>0，mn=3，
∵（n-m）2=4，
∴（m+n）2-4mn=4，
∴b2-4×3=4，解得b=4（舍去）或b=-4，
即b的值为-4，
故答案为：B．
【分析】设C（m，0），B（n，0），则m-n=2，由m、n为方程x2+bx+3=0的两根，表示出m+n和mn的值，结合m-n=2，求出b的值。
10．【答案】D
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】∵x=1.7时，x2﹣x﹣1.1的值0.09最小，∴一元二次方程x2﹣x﹣1.1=0的最精确的一个近似解是1.7．故选D．
【分析】根据图表数据找出一元二次方程最接近0的未知数的值，即为最精确的近似解．
11．【答案】1
【知识点】解一元一次方程；一元二次方程根的判别式及应用；二次函数的定义；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵二次函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，
∴△=4﹣4m=0，且m≠0，
解得 m=1．
故答案是：1．
【分析】抓住已知函数是二次函数得出m≠0，此二次函数的图象与x轴只有一个公共点，得出b2-4ac=0，列方程求解即可。
12．【答案】﹣1≤a＜3
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】∵关于x的方程x2﹣4x+3﹣a=0在0＜x＜4范围内均有两个根，
∴抛物线y=x2﹣4x+3﹣a与x轴有交点，且当x=0与x=4时，y＞0，
∴△=16﹣4（3﹣a）=4+4a≥0，且3﹣a＞0，
解得：﹣1≤a＜3，
故答案为：﹣1≤a＜3
【分析】根据关于x的方程在0＜x＜4范围内均有两个根，可得出抛物线y=x2﹣4x+3﹣a与x轴有交点，即b2-4ac≥0，求出a的取值范围即可。
13．【答案】-3.3
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标（-1，-3.2）
∴- =-1则- =-2
∵x1x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根
∴x1+x2=-
又∵x1=1.3
∴x1+x2=1.3+x2=-2
解得x2=-3.3．
【分析】利用顶点坐标公式及两根之和的公式，可求出方程的另一个根。或利用抛物线的对称性解答。
14．【答案】(1，0)，(5，0)
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】已知一元二次方程a(x＋m)2－3＝0的两个实数根分别为x1＝－1，x2＝3，
即抛物线y＝a(x＋m)2－3与x轴的交点坐标为(-1，0)，(3，0)，
∵抛物线y＝a(x＋m)2－3向右平移两个单位可得抛物线y＝a(x＋m－2)2－3，
∴抛物线y＝a(x＋m－2)2－3与x轴的交点坐标为(-1+2，0)，(3+2，0)，即(1，0)，(5，0).
【分析】由一元二次方程a(x＋m)2－3＝0的两个实数根分别为x1＝－1，x2＝3，可得出抛物线y＝a(x＋m)2－3与x轴的两个交点坐标，再观察两函数解析式，可得出抛物线y＝a(x＋m)2－3向右平移两个单位可得抛物线y＝a(x＋m－2)2－3，就可求出抛物线y＝a(x＋m－2)2－3与x轴的交点坐标。
15．【答案】2017
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），
∴m2﹣m﹣1=0，
∴m2﹣m=1，
∴m2﹣m+2016=1+2016=﹣2017，
故答案为2017．
【分析】把点（m，0）代入抛物线的解析式得到m2﹣m=1，整体代入即可解决问题．
16．【答案】-1；0；2；3
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有两个，一个在﹣1与0之间，另一个在2与3之间；
∴方程ax2+bx+c=0的一个根在﹣1与0之间，另一个根在2与3之间．
故答案为：﹣1，0，2，3．
【分析】观察图象可得：二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有两个，一个在﹣1与0之间，另一个在2与3之间；然后由二次函数与一元二次方程的关系，即可求得答案．
17．【答案】（1）解：（1）函数y=x2﹣3x﹣4的图象如图：
故方程x2﹣3x﹣4=0的根是x1=﹣1，x2=4；
（2）函数y=x2﹣6x+2的图象如图：
故x2﹣6x+2=0的近似根是x1=﹣0.4，x2=5.6．
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【分析】（1）根据函数图象与x轴交点的横坐标是相应方程的解，可得答案；
（2）根据函数图象与x轴交点的横坐标是相应方程的解，可得答案．
18．【答案】解：（1）y=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣4，则抛物线的对称轴为直线x=﹣2，顶点坐标为（2，﹣4），
如图，
（2）当0≤x≤4时，y≤0．
（3）由图象可知，x2﹣4x=5的解为x1=﹣1，x2=5．
【知识点】函数自变量的取值范围；利用二次函数图象求一元二次方程的近似根；描点法画函数图象
【解析】【分析】（1）利用描点法画二次函数图象；
（2）根据图象回答即可．
（3）根据图象即可求得．
19．【答案】（1）解：1，3
（2）解：1（3）解：x≥2
（4）解：k<2
【知识点】函数自变量的取值范围；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一次函数的综合应用；通过函数图象获取信息并解决问题；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【分析】（1）一元二次方程ax2+bx+c = 0 的两个根即为二次函数y=ax2+bx+c 与x交点的横坐标；（2）不等式ax2+bx+c > 0 的解集，即为二次函数在x轴上方的点对应的横坐标的范围；（3）抛物线开口向下，在对称轴x=2的右边y随x的增大而减小；（4）方程ax2+bx+c=k 有两个不相等的实数根，即抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=k 有两个交点，满足条件的范围是k<2。
20．【答案】（1）解： ∵无论m为何值， ∴
∴无论m为任何实数，该二次函数的图象与x轴都有两个交点
（2）解：把点（3，6）代入 可解得m=
∴
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）由二次函数与一元二次方程的关系，根据△=b2-4ac＞0方程有两个不相等的两个实数根，△=0方程有两个相等的实数根，△＜0方程没有实数根；由( m 2)2+4>0，得到无论m为任何实数，该二次函数的图象与x轴都有两个交点；（2）把点的坐标代入二次函数，求出m的值，得到二次函数的解析式.
21．【答案】（1）证明：当 时， ， ．
∴ ．
∴ ，
∴ ，
∴抛物线总与 轴有两个不同的交点
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
将 代入 中，
解得： ．
∴此时抛物线解析式为
（3）解： ，将 代入 中，解得： ．∵抛物线开口向上，当 时 ，且抛物线与线段 有交点．
∴ ．
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）要证抛物线总与 x 轴有两个不同的交点，只须证明关于x的一元二次方程m 8m + 16 m 1 = 0you两个不相等的实数根即可，即；
（2）因为抛物线与x轴相较于A、B两点，所以A、B关于抛物线的对称轴x=4对称，而AB=2，所以可得A ( 3 ， 0 ) ， B ( 5 ， 0 ) ，将点A的坐标代入解析式即可求得m的值；
（3）若抛物线与x轴有交点，则至少有一个交点，若交点为C（2，0），则m=，由m>0可知抛物线的开口向上，此时y≥0，则m≥。
22．【答案】（1）解：解方程x2﹣6x+5=0，
得x1=5，x2=1
由m＜n，有m=1，n=5
所以点A、B的坐标分别为A（1，0），B（0，5）．
将A（1，0），B（0，5）的坐标分别代入y=﹣x2+bx+c．
得
解这个方程组，得
所以，抛物线的解析式为y=﹣x2﹣4x+5
（2）解：由y=﹣x2﹣4x+5，令y=0，得﹣x2﹣4x+5=0
解这个方程，得x1=﹣5，x2=1
所以C点的坐标为（﹣5，0）．由顶点坐标公式计算，得点D（﹣2，9）．
过D作x轴的垂线交x轴于M．
则S△DMC= ×9×（5﹣2）=
S梯形MDBO= ×2×（9+5）=14，
S△BOC= ×5×5=
所以，S△BCD=S梯形MDBO+S△DMC﹣S△BOC=14+ ﹣ =15．
答：点C、D的坐标和△BCD的面积分别是：（﹣5，0）、（﹣2，9）、15；
（3）解：设P点的坐标为（a，0）
如图，
因为线段BC过B、C两点，
所以BC所在的直线方程为y=x+5．
那么，PH与直线BC的交点坐标为E（a，a+5），
PH与抛物线y=﹣x2﹣4x+5的交点坐标为H（a，﹣a2﹣4a+5）．
由题意，得①EH= EP，
即（﹣a2﹣4a+5）﹣（a+5）= （a+5）
解这个方程，得a=﹣ 或a=﹣5（舍去）
②EH= EP，即（﹣a2﹣4a+5）﹣（a+5）= （a+5）
解这个方程，得a=﹣ 或a=﹣5（舍去），
P点的坐标为（﹣ ，0）或（﹣ ，0）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）先求出方程x2﹣6x+5=0的根，就可得出m、n的值，得出点A、B的坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式。
（2）由y=0，建立关于x的一元二次方程求出x的值，得出点C的坐标，再求出抛物线的顶点D的坐标，就可分别求出△BOC、△DCM、梯形OBDM的面积，然后利用S△BCD=S梯形MDBO+S△DMC﹣S△BOC，通过计算就可得出答案。
（3）设P点的坐标为（a，0），利用待定系数法求出直线BC的函数解析式，就可用含a的代数式表示出点E、H的坐标，根据直线BC把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，分两种情况：①当EH= EP时，建立关于a的方程，求出符合条件的a的值；②当EH= EP时，建立关于a的方程，求出符合条件的a的值，即可解答。
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