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初中数学北师大版八年级下学期 第四章 4.1 因式分解
一、单选题
1．（2020八上·保山月考）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A、 ，是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、 ，结果不是乘积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、 是因式分解，故此选项符合题意；
D、 ，因式分解错误，故此选项符合题意；
故答案为：C
【分析】由因式分解的定义“把一个多项式分解成几个因式的积的形式叫因式分解”并结合各选项即可判断求解.
2．（2020九上·巩义月考）下列方程中适合用因式分解法解的是（ ）
A．(x-1)(x-2)=3 B．3(x-3)2=x2-9
C．x2+2x－1=0 D．x2+4x=2
【答案】B
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A、（x-1）（x-2）=3，整理得x2-3x-1=0，不能进行因式分解，故不符合题意；
B、3（x-3）2=x2-9可化为：3（x-3）2=（x-3）（x+3），移项以后可提取公因式，进行因式分解，故符合题意；
C、x2+2x-1=0，不能进行因式分解，故不符合题意；
D、x2+4x=2整理得x2+4x-2=0，不能进行因式分解，故不符合题意；
故答案为：B.
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式，本题可对选项一一进行分析，然后选出最适合用因式分解法来解的选项.
3．（2021八上·抚顺期末）下式等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． ； B． ；
C． ； D． .
【答案】C
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】A. 是整式的乘法，故A错误；
B. 没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B错误；
C. 把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C正确；
D. 没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D错误；
故答案为：C.
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案.
4．（2020七下·鄞州期末）下面的多项式中，能因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A、C、D都无法进行因式分解，
B中， ，可进行因式分解.
故答案为：B.
【分析】分解因式首选的方法就是提公因式法，其次对于二项式一般采用平方差公式法，对于三项式一般采用完全平方公式法，从而即可对四个选项一一判断得出答案.
5．（2020八上·怀仁期末）下列因式分解正确的是（ ）
A．m2+n2=(m+n)(m-n) B．a3-a=a(a+1)(a-1)
C．a2-2a+1=a(a-2)+1 D．x2+2x-1=(x-1)2
【答案】B
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A、等号左右两边不相等，故不符合题意；
B、a3-a=a(a+1)(a-1)，故符合题意；
C、右边不是整式的积，故不符合题意；
D、等号左右两边不相等，故不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据因式分解的定义判断即可．
6．（2020八上·余干月考）对于① ，② 从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．都是因式分解
B．都是整式的乘法
C．①是因式分解，②是整式的乘法
D．①是整式的乘法，②是因式分解
【答案】D
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：①（x+3）（x-1）=x2+2x-3，从左到右的变形是整式的乘法，不是因式分解；
②x-3xy=x（1-3y），从左到右的变形是因式分解；
所以①是乘法运算，②是因式分解．
故答案为：D．
【分析】根据因式分解、整式乘法的定义判定即可。
二、填空题
7．若x2﹣ax﹣1可以分解为（x﹣2）（x+b），则a= ，b=
【答案】1 ；
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：∵x2﹣ax﹣1=（x﹣2）（x+b）=x2+（b﹣2）x﹣2b，
∴﹣2b=﹣1，b﹣2=﹣a，
∴b= ，a=1 ．
故答案为：1 ， ．
【分析】根据多项式的乘法运算，把（x﹣2）（x+b）展开，再根据对应项的系数相等进行求解即可.
8．（2020八上·杨浦期中）在实数范围内分解因式： .
【答案】
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：令x2-x-1=0，
解得：
∴
故答案为
【分析】根据题意，首先计算方程的根，根据因式分解的含义，表示出答案即可。
9．（2020七下·徐州期中）给出下列多项式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ .其中能够因式分解的是： （填上序号）.
【答案】②④⑤⑥
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】① ，不符合公式，也没有公因式，故无法因式分解；
② ，故可以因式分解；
③ ，不符合公式，也没有公因式，故无法因式分解；
④ ，故可以因式分解；
⑤ ，故可以因式分解；
⑥ ，故可以因式分解；
综上所述，②④⑤⑥可以因式分解，
故答案为：②④⑤⑥.
【分析】根据提公因式法以及公式法对各个多项式依次加以分析进行判断求解即可.
10．若多项式2x2﹣5x+m有一个因式为（x﹣1），那么m= ．
【答案】3
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：由2x2﹣5x+m有一个因式为（x﹣1），得
（2x2﹣5x+m）÷（x﹣1）=2x﹣3，
2x2﹣5x+m=（x﹣1）（2x﹣3），
m=3．
故答案为：3．
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积，可得答案．
11．把一个多项式化成几个整式的 的形式,这种变形叫做因式分解,也可称为分解因式.结构特征:左边是一个 ;右边是几个 的形式.
【答案】积；多项式；整式的积
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式,这种变形叫做因式分解,也可称为分解因式.结构特征:左边是一个多项式，;右边是几个整式的积的形式
【分析】根据提分解因式的定义即可得出答案。
12．（2018七上·襄州期末）若x2+mx+n分解因式的结果是（x+2）（x﹣1），则m+n的值为 ．
【答案】﹣1
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】∵x2+mx+n分解因式的结果是（x+2）（x-1），
∴x2+mx+n=x2+x-2，
∴m=1，n=-2，
∴m+n=1-2=-1，
故答案为-1．
【分析】由于分解因式是整式的一种恒等变形，从而得出 x2+mx+n=（x+2）（x﹣1） ，将等式的右边去括号再合并同类项，根据整式的性质即可得出m,n的值，再代入代数式即可算出答案。
13．若x2+mx﹣15=（x+3）（x+n），则m的值为
【答案】﹣2
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：原式可化为x2+mx﹣15=x2+（3+n）x+3n，
∴ ，
解得 ，
m的值为﹣2．
故答案为：-2.
【分析】展开已知等式，得x2+mx﹣15=x2+（3+n）x+3n左右对应，得m=n+3，3n=-15解之可得答案.
三、解答题
14．已知关于x的二次三项式x2+mx+n有一个因式为x+5，且m+n=17，试求m，n的值.
【答案】解：设另一个因式为x+a， 则有(x+5)(x+a)=x2+mx+n，∴x2+(5+a)x+5a=x2+mx+n，
∴ 解得 ∴m， n的值分别是7， 10.
【知识点】因式分解的定义
【解析】【分析】二次三项式x2＋mx＋n有一个因式（x＋5），则一定还有一个因式，一次项系数是1，设另一个因式是x＋a，利用多项式乘法法则展开后，再利用对应项系数相等列出方程组求解即可．
15．下列由左到右的变形中，哪些是分解因式 哪些不是 请说出理由.
①a（x+y）=ax+ay；
②x2+2xy+y2-1＝x（x+2y）+（y +1）（y-1）；
③ax2-9a＝a（x+3）（x-3）；
④x2+2+ =
⑤2a3＝2a·a·a.
【答案】解：因为①②的右边都不是整式的积的形式，所以它们不是分解因式；④中 ， 都不是整式，⑤中的2a3不是多项式，所以它们也不是分解因式．只有③的左边是多项式，右边是整式的积的形式，所以③是分解因式.
【知识点】因式分解的定义
【解析】【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做分解因式。化简后的结果为几个整式的乘积，所以 可以判断
①②选项错误；在④中，分母中含有字母，所以不是整式，不符合题意；在
⑤ 中，2a
3为单项式，不符合题意；在
③中，左侧为多项式，右侧为几个整式的积，所以符合题意。
16．先阅读第（1）题的解答过程，然后再解第（2）题．
（1）已知多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1，求m的值．
解法一：设2x3﹣x2+m=（2x+1）（x2+ax+b），
则：2x3﹣x2+m=2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b
比较系数得，解得，∴
解法二：设2x3﹣x2+m=A （2x+1）（A为整式）
由于上式为恒等式，为方便计算了取，
2×，故 ．
（2）已知x4+mx3+nx﹣16有因式（x﹣1）和（x﹣2），求m、n的值．
【答案】解：设x4+mx3+nx﹣16=A（x﹣1）（x﹣2）（A为整式），
取x=1，得1+m+n﹣16=0①，
取x=2，得16+8m+2n﹣16=0②，
由①、②解得m=﹣5，n=20．
【知识点】因式分解的定义
【解析】【分析】设x4+mx3+nx﹣16=A（x﹣1）（x﹣2），对x进行两次赋值，可得出两个关于m、n的方程，联立求解可得出m、n的值．
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初中数学北师大版八年级下学期 第四章 4.1 因式分解
一、单选题
1．（2020八上·保山月考）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2020九上·巩义月考）下列方程中适合用因式分解法解的是（ ）
A．(x-1)(x-2)=3 B．3(x-3)2=x2-9
C．x2+2x－1=0 D．x2+4x=2
3．（2021八上·抚顺期末）下式等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． ； B． ；
C． ； D． .
4．（2020七下·鄞州期末）下面的多项式中，能因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2020八上·怀仁期末）下列因式分解正确的是（ ）
A．m2+n2=(m+n)(m-n) B．a3-a=a(a+1)(a-1)
C．a2-2a+1=a(a-2)+1 D．x2+2x-1=(x-1)2
6．（2020八上·余干月考）对于① ，② 从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．都是因式分解
B．都是整式的乘法
C．①是因式分解，②是整式的乘法
D．①是整式的乘法，②是因式分解
二、填空题
7．若x2﹣ax﹣1可以分解为（x﹣2）（x+b），则a= ，b=
8．（2020八上·杨浦期中）在实数范围内分解因式： .
9．（2020七下·徐州期中）给出下列多项式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ .其中能够因式分解的是： （填上序号）.
10．若多项式2x2﹣5x+m有一个因式为（x﹣1），那么m= ．
11．把一个多项式化成几个整式的 的形式,这种变形叫做因式分解,也可称为分解因式.结构特征:左边是一个 ;右边是几个 的形式.
12．（2018七上·襄州期末）若x2+mx+n分解因式的结果是（x+2）（x﹣1），则m+n的值为 ．
13．若x2+mx﹣15=（x+3）（x+n），则m的值为
三、解答题
14．已知关于x的二次三项式x2+mx+n有一个因式为x+5，且m+n=17，试求m，n的值.
15．下列由左到右的变形中，哪些是分解因式 哪些不是 请说出理由.
①a（x+y）=ax+ay；
②x2+2xy+y2-1＝x（x+2y）+（y +1）（y-1）；
③ax2-9a＝a（x+3）（x-3）；
④x2+2+ =
⑤2a3＝2a·a·a.
16．先阅读第（1）题的解答过程，然后再解第（2）题．
（1）已知多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1，求m的值．
解法一：设2x3﹣x2+m=（2x+1）（x2+ax+b），
则：2x3﹣x2+m=2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b
比较系数得，解得，∴
解法二：设2x3﹣x2+m=A （2x+1）（A为整式）
由于上式为恒等式，为方便计算了取，
2×，故 ．
（2）已知x4+mx3+nx﹣16有因式（x﹣1）和（x﹣2），求m、n的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A、 ，是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、 ，结果不是乘积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、 是因式分解，故此选项符合题意；
D、 ，因式分解错误，故此选项符合题意；
故答案为：C
【分析】由因式分解的定义“把一个多项式分解成几个因式的积的形式叫因式分解”并结合各选项即可判断求解.
2．【答案】B
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A、（x-1）（x-2）=3，整理得x2-3x-1=0，不能进行因式分解，故不符合题意；
B、3（x-3）2=x2-9可化为：3（x-3）2=（x-3）（x+3），移项以后可提取公因式，进行因式分解，故符合题意；
C、x2+2x-1=0，不能进行因式分解，故不符合题意；
D、x2+4x=2整理得x2+4x-2=0，不能进行因式分解，故不符合题意；
故答案为：B.
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式，本题可对选项一一进行分析，然后选出最适合用因式分解法来解的选项.
3．【答案】C
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】A. 是整式的乘法，故A错误；
B. 没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B错误；
C. 把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C正确；
D. 没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D错误；
故答案为：C.
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案.
4．【答案】B
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A、C、D都无法进行因式分解，
B中， ，可进行因式分解.
故答案为：B.
【分析】分解因式首选的方法就是提公因式法，其次对于二项式一般采用平方差公式法，对于三项式一般采用完全平方公式法，从而即可对四个选项一一判断得出答案.
5．【答案】B
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A、等号左右两边不相等，故不符合题意；
B、a3-a=a(a+1)(a-1)，故符合题意；
C、右边不是整式的积，故不符合题意；
D、等号左右两边不相等，故不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据因式分解的定义判断即可．
6．【答案】D
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：①（x+3）（x-1）=x2+2x-3，从左到右的变形是整式的乘法，不是因式分解；
②x-3xy=x（1-3y），从左到右的变形是因式分解；
所以①是乘法运算，②是因式分解．
故答案为：D．
【分析】根据因式分解、整式乘法的定义判定即可。
7．【答案】1 ；
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：∵x2﹣ax﹣1=（x﹣2）（x+b）=x2+（b﹣2）x﹣2b，
∴﹣2b=﹣1，b﹣2=﹣a，
∴b= ，a=1 ．
故答案为：1 ， ．
【分析】根据多项式的乘法运算，把（x﹣2）（x+b）展开，再根据对应项的系数相等进行求解即可.
8．【答案】
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：令x2-x-1=0，
解得：
∴
故答案为
【分析】根据题意，首先计算方程的根，根据因式分解的含义，表示出答案即可。
9．【答案】②④⑤⑥
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】① ，不符合公式，也没有公因式，故无法因式分解；
② ，故可以因式分解；
③ ，不符合公式，也没有公因式，故无法因式分解；
④ ，故可以因式分解；
⑤ ，故可以因式分解；
⑥ ，故可以因式分解；
综上所述，②④⑤⑥可以因式分解，
故答案为：②④⑤⑥.
【分析】根据提公因式法以及公式法对各个多项式依次加以分析进行判断求解即可.
10．【答案】3
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：由2x2﹣5x+m有一个因式为（x﹣1），得
（2x2﹣5x+m）÷（x﹣1）=2x﹣3，
2x2﹣5x+m=（x﹣1）（2x﹣3），
m=3．
故答案为：3．
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积，可得答案．
11．【答案】积；多项式；整式的积
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式,这种变形叫做因式分解,也可称为分解因式.结构特征:左边是一个多项式，;右边是几个整式的积的形式
【分析】根据提分解因式的定义即可得出答案。
12．【答案】﹣1
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】∵x2+mx+n分解因式的结果是（x+2）（x-1），
∴x2+mx+n=x2+x-2，
∴m=1，n=-2，
∴m+n=1-2=-1，
故答案为-1．
【分析】由于分解因式是整式的一种恒等变形，从而得出 x2+mx+n=（x+2）（x﹣1） ，将等式的右边去括号再合并同类项，根据整式的性质即可得出m,n的值，再代入代数式即可算出答案。
13．【答案】﹣2
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：原式可化为x2+mx﹣15=x2+（3+n）x+3n，
∴ ，
解得 ，
m的值为﹣2．
故答案为：-2.
【分析】展开已知等式，得x2+mx﹣15=x2+（3+n）x+3n左右对应，得m=n+3，3n=-15解之可得答案.
14．【答案】解：设另一个因式为x+a， 则有(x+5)(x+a)=x2+mx+n，∴x2+(5+a)x+5a=x2+mx+n，
∴ 解得 ∴m， n的值分别是7， 10.
【知识点】因式分解的定义
【解析】【分析】二次三项式x2＋mx＋n有一个因式（x＋5），则一定还有一个因式，一次项系数是1，设另一个因式是x＋a，利用多项式乘法法则展开后，再利用对应项系数相等列出方程组求解即可．
15．【答案】解：因为①②的右边都不是整式的积的形式，所以它们不是分解因式；④中 ， 都不是整式，⑤中的2a3不是多项式，所以它们也不是分解因式．只有③的左边是多项式，右边是整式的积的形式，所以③是分解因式.
【知识点】因式分解的定义
【解析】【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做分解因式。化简后的结果为几个整式的乘积，所以 可以判断
①②选项错误；在④中，分母中含有字母，所以不是整式，不符合题意；在
⑤ 中，2a
3为单项式，不符合题意；在
③中，左侧为多项式，右侧为几个整式的积，所以符合题意。
16．【答案】解：设x4+mx3+nx﹣16=A（x﹣1）（x﹣2）（A为整式），
取x=1，得1+m+n﹣16=0①，
取x=2，得16+8m+2n﹣16=0②，
由①、②解得m=﹣5，n=20．
【知识点】因式分解的定义
【解析】【分析】设x4+mx3+nx﹣16=A（x﹣1）（x﹣2），对x进行两次赋值，可得出两个关于m、n的方程，联立求解可得出m、n的值．
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