初中数学湘教版八年级下册2.5.1矩形的性质 同步练习
一、单选题
1．（2020八下·哈尔滨期中）如图，在长方形钟面示意图中，时钟的中心在长方形对角线的交点上，长方形宽为 40cm， 钟面数字 2 在长方形的顶点处，则长方形的长为（ ）cm
A．80 B．60 C．50 D．40
2．（2019八下·义乌期末）矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．两组对边分别平行 B．对角线相等
C．两组对角分别相等 D．对角线互相垂直
3．（2019八下·海安月考）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，如果△ABC的周长比△AOB的周长长10厘米，则矩形边AD的长是（ ）
A．5厘米 B．10厘米 C．7.5厘米 D．不能确定
4．（2019八下·邳州期中）如图，在矩形ABCD中，对角线 相交于点 ，则AB的长是（ ）
A．3cm B．6cm C．10cm D．12cm
5．（2019八下·邳州期中）如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（ ）
A．△AFD≌△DCE B．AF＝ AD
C．AB＝AF D．BE＝AD﹣DF
6．（2020八下·涪陵期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ABD＝60°，则∠BOC的大小为（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
7．（2020八下·永春期末）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠AOD=60°，AD=8，则△BOC的周长是（ ）
A．16 B．24 C．30 D．20
8．（2020八下·福州期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC， BD相交于点O，若边AB的长不变，边BC的长逐渐增大，下列说法正确的是（ ）
A．边CD的长也逐渐增大 B．∠AOB也逐渐增大
C．边OD的长也逐渐增大 D．∠ACB也逐渐增大
9．（2020八下·和平期末）如图，在矩形 中，对角线 ， 交于点 ，以下说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2020八下·复兴期末）如图，在矩形 中， 、 相交于点 ， 平分 交 于点 ，若 ，则 的度数为（ ）
A．60° B．75° C．72° D．90°
二、填空题
11．（2017-2018学年数学浙教版八年级下册5.1.1 矩形性质 同步练习）如图：在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知∠AOB=60°，AC=16，则图中长度为8的线段有 条．（填具体数字）
12．（2020八下·彭州期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点A作AE⊥BD于点E，已知∠EAD＝3∠BAE，则∠EOA＝ °．
13．（2020八下·建湖月考）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则△AEF的周长为__△ cm．
14．（2020八下·通州月考）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连结AE，如果∠ADB＝30°，则∠E＝ 度.
15．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.1.1 矩形的性质 同步练习）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上不与A、D重合的一动点，PE⊥AC，PF⊥BD，E、F为垂足，则PE+PF的值为 ．
三、解答题
16．（2020八下·海安月考）如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，OF⊥AD于点F，OF＝2cm，AE⊥BD于点E，且BE﹕BD＝1﹕4，求AC的长.
17．（2018-2019学年初中数学浙教版八年级下册第五章特殊平行四边形 章末检测）如图，E为矩形ABCD内一点，且EB=EC，求证：AE=ED．
18．（2017八下·门头沟期末）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠AOB=60°，AB=3，求BD的长．
四、综合题
19．（2017八上·衡阳期末）某学校有一块长方形活动场地，长为 米，宽比长少 米，实施“阳光体育”行动以后，学校为了扩大学生的活动场地，让学生能更好地进行体育活动，将操场的长和宽都增加 米.
（1）求活动场地原来的面积是多少平方米.（用含 的代数式表示）
（2）若 ，求活动场地面积增加后比原来多多少平方米.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】如上图，矩形的宽对应2个空格，长为40cm
∴1个空格的长度为：40÷2=20cm
矩形的长对应4个空格
∴长为：4×20=80cm
故答案为：A
【分析】根据矩形的宽40cm对应2个空格长度，得到1个空格长度，利用矩形的长对应4个空格长求得.
2．【答案】B
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：矩形和菱形相比特有的性质是四个角是直角，对角线相等，∴B符合题意.
故答案为：B
【分析】根据矩形的特有的性质分析判断，矩形和菱形相比特有的性质是四个角是直角，对角线相等。
3．【答案】B
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=CO=DO=BO，AD=BC，
∵△ABC的周长=AB+AC+BC=AB+AO+OC+BC，△AOB的周长=AB+AO+BO，
又∵△ABC的周长比△AOB的周长长10厘米，
∴AB+AC+BC=AB+AO+OC+BC-（AB+AO+BO）=BC=10厘米，
∵AD=BC，
∴AD的长是10厘米。
故答案为：B。
【分析】根据矩形的相等得出AO=CO=DO=BO，AD=BC，然后根据三角形的周长计算方法及△ABC的周长比△AOB的周长长10厘米列出方程，求解即可。
4．【答案】A
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC=OB=OD=3，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=3，
故答案为：A.
【分析】由矩形的性质可得OA=OC=OB=OD；结合题意根据等边三角形的判定可得△AOB是等边三角形，则由等边三角形的性质可求得AB的值.
5．【答案】B
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：A.由矩形ABCD，AF⊥DE可得∠C=∠AFD=90°，AD∥BC，∴∠ADF=∠DEC.
又∵DE=AD，∴△AFD≌△DCE（AAS），故A正确；
B.∵∠ADF不一定等于30°，∴直角三角形ADF中，AF不一定等于AD的一半，故B错误；
C.由△AFD≌△DCE，可得AF=CD，由矩形ABCD，可得AB=CD，∴AB=AF，故C正确；
D.由△AFD≌△DCE，可得CE=DF，由矩形ABCD，可得BC=AD，又∵BE=BC﹣EC，∴BE=AD﹣DF，故D正确；
故答案为：B.
【分析】由已知条件用角角边可证△AFD≌△DCE，再根据矩形的性质和全等三角形的性质即可判断求解.
6．【答案】D
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OB＝OA，
∴∠ABD＝∠OAB＝60°，
∴∠BOC＝∠OAB+∠ABD＝60°+60°＝120°.
故答案为：D.
【分析】据矩形的对角线互相平分且相等可得OB＝OA，再根据等边对等角可得∠ABD＝∠OAB，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解.
7．【答案】B
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AD=8，
∴AC=BD，AC=2CO，BD=2BO，AD=BC=8，
∴CO=BO，
∵∠AOD=60°，
∴∠BOC=∠AOD=60°，
∴△BOC是等边三角形，
∴BC=BO=CO=8，
∴△BOC的周长是8+8+8=24．
故答案为：B．
【分析】根据矩形性质可证△BOC是等边三角形，求出CO=BO=BC=AD=8，代入周长公式即可求出答案．
8．【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，AC=BD，OA=OC，OB=OD，∠ABC=90°，
∴OA=OB=OC=OD= BD，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠AOB=∠OBC+∠OCB=2∠OCB，
∵边AB的长不变，边BC的长逐渐增大，
∴CD的长不变，AC，BD的长逐渐增大，∠BAC的度数逐渐增大，
∴边OD的长也逐渐增大，∠ACB的度数逐渐减小，∠AOB的度数逐渐减小，
故答案为：C．
【分析】由矩形的性质可得AB=CD，OA=OB=OC=OD= BD，∠AOB=∠OBC+∠OCB=2∠OCB，由若边AB的长不变，边BC的长逐渐增大，可得边OD的长也逐渐增大，∠ACB的度数逐渐减小，∠AOB的度数逐渐减小，即可求解．
9．【答案】D
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：A选项：∵矩形的四个角都是直角，∴∠ABC=90°，故A选项不符合题意；
B选项：∵矩形的两条对角线互相平分且相等，∴AC=BD，故B选项不符合题意；
C选项：∵矩形的两条对角线互相平分且相等，∴OA=OB= ，故C选项不符合题意；
D选项：矩形的两条对角线互相平分且相等，OA=OB=OD，但是无法推出AB=AD，故D选项符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据矩形的性质：①矩形的两组对边分别平行且相等；②矩形的四个角都是直角；③矩形的两条对角线互相平分且相等，根据以上三个性质，即可判断选项内容是否符合题意．
10．【答案】B
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD=45°，AD∥BC，OA=OB，
∴∠AEB=∠EAD=45°，
∴BE=BA．
∵∠CAE=15°，∠BAE=45°，
∴∠BAC=60°，
又∵OA=OB，
∴△OAB为等边三角形，
∴BO=BA，
∴BO=BE，
∴∠BOE=∠BEO，
∵△OAB为等边三角形，
∴∠ABO=60°，
∴∠OBE=90°-60°=30°，
∴∠BOE=（180°-30°）÷2=75°．
故答案为：B．
【分析】由题意根据矩形的性质及AE平分∠BAD分别判定BE=BA及△OAB为等边三角形，进一步推出∠BOE=∠BEO，然后求得∠OBE=30°，则可在△BOE中求得∠BOE的度数．
11．【答案】6
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】∵AC=16，四边形ABCD是矩形，
∴DC=AB，BO=DO= BD，AO=OC= AC=8，BD=AC，
∴BO=OD=AO=OC=8，
∵∠AOB=60°，
∴△ABO是等边三角形，
∴AB=AO=8，
∴DC=8，
即图中长度为8的线段有AO、CO、BO、DO、AB、DC共6条，
故答案为：6．
【分析】因为矩形的对角线相等且互相平分，所以AO=BO=CO=DO，已知∠AOB=60°，所以AB=AO，从而CD=AB=AO．从而可求出线段为8的线段.
12．【答案】
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是矩形，
∴ ，OA=OB，
∵∠EAD＝3∠BAE，
∴ ，
∴ ，
∵AE⊥BD，
∴ ，
∴ ，
．
故答案是 ．
【分析】由已知条件可先求得 ，在Rt△ABE中可求得 ，再由矩形的性质可得OA=OB，则可求得 ，即可求得结果；
13．【答案】9
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=8，∠BAD=90°，OA=OB=OC=OD，
在Rt△BAD中，∵BD===10，
∴OA=OB=OD=5，
∵点E、F分别是AO、AD的中点，
∴EF=OD=，AE=，AF=4，
∴△AEF的周长为9.
故答案为：9.
【分析】因为四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质得出AD=BC=8，∠BAD=90°，OA=OB=OC=OD，在Rt△BAD中，根据勾股定理可得BD===10，进而得出OA=OB=OD=5. 又点E、F分别是AO、AD的中点，得出EF=OD=，AE=，AF=4，可求得周长.
14．【答案】15
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：连接AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BE，AC=BD，且∠ADB=∠CAD=30°，
∴∠E=∠DAE，
又∵BD=CE，
∴CE=CA，
∴∠E=∠CAE，
∵∠CAD=∠CAE+∠DAE，
∴∠E+∠E=30°，即∠E=15°，
故答案为15.
【分析】连接AC，由矩形性质可得∠E=∠DAE、BD=AC=CE，知∠E=∠CAE，而∠ADB=∠CAD=30°，可得∠E度数.
15．【答案】
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OP，过点A作AG⊥BD于G，
∵AB=3，AD=4，
∴BD= = =5，
S△ABD= AB AD= BD AG，
即 ×3×4= ×5×AG，
解得AG= ，
在矩形ABCD中，OA=OD，
∵S△AOD= OA PE+ OD PF= OD AG，
∴PE+PF=AG= ．
故答案为： ．
【分析】对角线将平行四边形分为四个面积相等的小三角形，利用等面积法即可证得PE+PF=AG，从而可求得其值.
16．【答案】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD＝90°，OB＝OD，AC＝BD，
又∵OF⊥AD，
∴OF∥AB，
又∵OB＝OD ，
∴
AB＝2OF＝4cm，
∵BE︰BD＝1︰4，
∴BE︰ED＝1︰3
设BE＝x，ED＝3x ，
则BD＝4 x ，
∵AE⊥BD于点E
∴ ，
∴16－x2＝AD2－9x2
又∵AD2＝BD2－AB2＝16 x2－16 ，
∴16－x2＝16 x2－16－9x2，8x2＝32
∴x2＝4，
∴x＝2
∴BD＝2×4＝8（cm），
∴AC＝8cm .
【知识点】矩形的性质
【解析】【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得OA=OB，根据比例设BE=x，表示出BD=4x，然后求出BE=OE，从而判断出△ABO是等边三角形，然后判断出OE是△AOD的中位线，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出AB，再求解即可.
17．【答案】 证明：∵矩形ABCD
∴∠ABC=∠BCD=90°，AB=CD
∵EB=EC，
∴∠EBC=∠ECB，
∵∠ABE=90°-∠EBC，∠ECD=90°-∠ECB，
∴∠ABE=∠ECD，
在△ABE和△DCE中，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴AE=ED。
【知识点】矩形的性质
【解析】【分析】根据矩形的性质，易证∠ABC=∠BCD=90°，AB=CD，再根据等腰三角形的性质去证明∠ABE=∠ECD，然后利用SAS证明△ABE≌△DCE，利用全等三角形的性质，可证得结论。
18．【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO=BO= BD，又∵∠AOB=60°，∴△AOB为等边三角形，∴BO=AB=3，∴BD=2BO=6．
【知识点】矩形的性质
【解析】【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可知AO=BO，∠AOB=60°，则△AOB为等边三角形，则BO=AB=3，可得BD=2BO=6。
19．【答案】（1）解：2x(2x－5)
（2）解：（2x＋4）(2x－1)－2x(2x－5)=16x－4，
当x=20时，原式=316
答：活动场地面积增加后比原来多316平方米
【知识点】矩形的性质
【解析】【分析】第1小题，矩形的长和宽在增加前表示为2x和2x-5，用矩形的面积公式可求解；第2小题，矩形的长和宽在增加后表示为2x＋4和2x－1，然后用增加后的面积-增加前的面积即为活动场地面积增加后比原来多多少的面积，再把x=20代入即可求解。
1 / 1初中数学湘教版八年级下册2.5.1矩形的性质 同步练习
一、单选题
1．（2020八下·哈尔滨期中）如图，在长方形钟面示意图中，时钟的中心在长方形对角线的交点上，长方形宽为 40cm， 钟面数字 2 在长方形的顶点处，则长方形的长为（ ）cm
A．80 B．60 C．50 D．40
【答案】A
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】如上图，矩形的宽对应2个空格，长为40cm
∴1个空格的长度为：40÷2=20cm
矩形的长对应4个空格
∴长为：4×20=80cm
故答案为：A
【分析】根据矩形的宽40cm对应2个空格长度，得到1个空格长度，利用矩形的长对应4个空格长求得.
2．（2019八下·义乌期末）矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．两组对边分别平行 B．对角线相等
C．两组对角分别相等 D．对角线互相垂直
【答案】B
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：矩形和菱形相比特有的性质是四个角是直角，对角线相等，∴B符合题意.
故答案为：B
【分析】根据矩形的特有的性质分析判断，矩形和菱形相比特有的性质是四个角是直角，对角线相等。
3．（2019八下·海安月考）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，如果△ABC的周长比△AOB的周长长10厘米，则矩形边AD的长是（ ）
A．5厘米 B．10厘米 C．7.5厘米 D．不能确定
【答案】B
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=CO=DO=BO，AD=BC，
∵△ABC的周长=AB+AC+BC=AB+AO+OC+BC，△AOB的周长=AB+AO+BO，
又∵△ABC的周长比△AOB的周长长10厘米，
∴AB+AC+BC=AB+AO+OC+BC-（AB+AO+BO）=BC=10厘米，
∵AD=BC，
∴AD的长是10厘米。
故答案为：B。
【分析】根据矩形的相等得出AO=CO=DO=BO，AD=BC，然后根据三角形的周长计算方法及△ABC的周长比△AOB的周长长10厘米列出方程，求解即可。
4．（2019八下·邳州期中）如图，在矩形ABCD中，对角线 相交于点 ，则AB的长是（ ）
A．3cm B．6cm C．10cm D．12cm
【答案】A
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC=OB=OD=3，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=3，
故答案为：A.
【分析】由矩形的性质可得OA=OC=OB=OD；结合题意根据等边三角形的判定可得△AOB是等边三角形，则由等边三角形的性质可求得AB的值.
5．（2019八下·邳州期中）如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（ ）
A．△AFD≌△DCE B．AF＝ AD
C．AB＝AF D．BE＝AD﹣DF
【答案】B
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：A.由矩形ABCD，AF⊥DE可得∠C=∠AFD=90°，AD∥BC，∴∠ADF=∠DEC.
又∵DE=AD，∴△AFD≌△DCE（AAS），故A正确；
B.∵∠ADF不一定等于30°，∴直角三角形ADF中，AF不一定等于AD的一半，故B错误；
C.由△AFD≌△DCE，可得AF=CD，由矩形ABCD，可得AB=CD，∴AB=AF，故C正确；
D.由△AFD≌△DCE，可得CE=DF，由矩形ABCD，可得BC=AD，又∵BE=BC﹣EC，∴BE=AD﹣DF，故D正确；
故答案为：B.
【分析】由已知条件用角角边可证△AFD≌△DCE，再根据矩形的性质和全等三角形的性质即可判断求解.
6．（2020八下·涪陵期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ABD＝60°，则∠BOC的大小为（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
【答案】D
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OB＝OA，
∴∠ABD＝∠OAB＝60°，
∴∠BOC＝∠OAB+∠ABD＝60°+60°＝120°.
故答案为：D.
【分析】据矩形的对角线互相平分且相等可得OB＝OA，再根据等边对等角可得∠ABD＝∠OAB，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解.
7．（2020八下·永春期末）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠AOD=60°，AD=8，则△BOC的周长是（ ）
A．16 B．24 C．30 D．20
【答案】B
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AD=8，
∴AC=BD，AC=2CO，BD=2BO，AD=BC=8，
∴CO=BO，
∵∠AOD=60°，
∴∠BOC=∠AOD=60°，
∴△BOC是等边三角形，
∴BC=BO=CO=8，
∴△BOC的周长是8+8+8=24．
故答案为：B．
【分析】根据矩形性质可证△BOC是等边三角形，求出CO=BO=BC=AD=8，代入周长公式即可求出答案．
8．（2020八下·福州期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC， BD相交于点O，若边AB的长不变，边BC的长逐渐增大，下列说法正确的是（ ）
A．边CD的长也逐渐增大 B．∠AOB也逐渐增大
C．边OD的长也逐渐增大 D．∠ACB也逐渐增大
【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，AC=BD，OA=OC，OB=OD，∠ABC=90°，
∴OA=OB=OC=OD= BD，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠AOB=∠OBC+∠OCB=2∠OCB，
∵边AB的长不变，边BC的长逐渐增大，
∴CD的长不变，AC，BD的长逐渐增大，∠BAC的度数逐渐增大，
∴边OD的长也逐渐增大，∠ACB的度数逐渐减小，∠AOB的度数逐渐减小，
故答案为：C．
【分析】由矩形的性质可得AB=CD，OA=OB=OC=OD= BD，∠AOB=∠OBC+∠OCB=2∠OCB，由若边AB的长不变，边BC的长逐渐增大，可得边OD的长也逐渐增大，∠ACB的度数逐渐减小，∠AOB的度数逐渐减小，即可求解．
9．（2020八下·和平期末）如图，在矩形 中，对角线 ， 交于点 ，以下说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：A选项：∵矩形的四个角都是直角，∴∠ABC=90°，故A选项不符合题意；
B选项：∵矩形的两条对角线互相平分且相等，∴AC=BD，故B选项不符合题意；
C选项：∵矩形的两条对角线互相平分且相等，∴OA=OB= ，故C选项不符合题意；
D选项：矩形的两条对角线互相平分且相等，OA=OB=OD，但是无法推出AB=AD，故D选项符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据矩形的性质：①矩形的两组对边分别平行且相等；②矩形的四个角都是直角；③矩形的两条对角线互相平分且相等，根据以上三个性质，即可判断选项内容是否符合题意．
10．（2020八下·复兴期末）如图，在矩形 中， 、 相交于点 ， 平分 交 于点 ，若 ，则 的度数为（ ）
A．60° B．75° C．72° D．90°
【答案】B
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD=45°，AD∥BC，OA=OB，
∴∠AEB=∠EAD=45°，
∴BE=BA．
∵∠CAE=15°，∠BAE=45°，
∴∠BAC=60°，
又∵OA=OB，
∴△OAB为等边三角形，
∴BO=BA，
∴BO=BE，
∴∠BOE=∠BEO，
∵△OAB为等边三角形，
∴∠ABO=60°，
∴∠OBE=90°-60°=30°，
∴∠BOE=（180°-30°）÷2=75°．
故答案为：B．
【分析】由题意根据矩形的性质及AE平分∠BAD分别判定BE=BA及△OAB为等边三角形，进一步推出∠BOE=∠BEO，然后求得∠OBE=30°，则可在△BOE中求得∠BOE的度数．
二、填空题
11．（2017-2018学年数学浙教版八年级下册5.1.1 矩形性质 同步练习）如图：在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知∠AOB=60°，AC=16，则图中长度为8的线段有 条．（填具体数字）
【答案】6
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】∵AC=16，四边形ABCD是矩形，
∴DC=AB，BO=DO= BD，AO=OC= AC=8，BD=AC，
∴BO=OD=AO=OC=8，
∵∠AOB=60°，
∴△ABO是等边三角形，
∴AB=AO=8，
∴DC=8，
即图中长度为8的线段有AO、CO、BO、DO、AB、DC共6条，
故答案为：6．
【分析】因为矩形的对角线相等且互相平分，所以AO=BO=CO=DO，已知∠AOB=60°，所以AB=AO，从而CD=AB=AO．从而可求出线段为8的线段.
12．（2020八下·彭州期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点A作AE⊥BD于点E，已知∠EAD＝3∠BAE，则∠EOA＝ °．
【答案】
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是矩形，
∴ ，OA=OB，
∵∠EAD＝3∠BAE，
∴ ，
∴ ，
∵AE⊥BD，
∴ ，
∴ ，
．
故答案是 ．
【分析】由已知条件可先求得 ，在Rt△ABE中可求得 ，再由矩形的性质可得OA=OB，则可求得 ，即可求得结果；
13．（2020八下·建湖月考）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则△AEF的周长为__△ cm．
【答案】9
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=8，∠BAD=90°，OA=OB=OC=OD，
在Rt△BAD中，∵BD===10，
∴OA=OB=OD=5，
∵点E、F分别是AO、AD的中点，
∴EF=OD=，AE=，AF=4，
∴△AEF的周长为9.
故答案为：9.
【分析】因为四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质得出AD=BC=8，∠BAD=90°，OA=OB=OC=OD，在Rt△BAD中，根据勾股定理可得BD===10，进而得出OA=OB=OD=5. 又点E、F分别是AO、AD的中点，得出EF=OD=，AE=，AF=4，可求得周长.
14．（2020八下·通州月考）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连结AE，如果∠ADB＝30°，则∠E＝ 度.
【答案】15
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：连接AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BE，AC=BD，且∠ADB=∠CAD=30°，
∴∠E=∠DAE，
又∵BD=CE，
∴CE=CA，
∴∠E=∠CAE，
∵∠CAD=∠CAE+∠DAE，
∴∠E+∠E=30°，即∠E=15°，
故答案为15.
【分析】连接AC，由矩形性质可得∠E=∠DAE、BD=AC=CE，知∠E=∠CAE，而∠ADB=∠CAD=30°，可得∠E度数.
15．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.1.1 矩形的性质 同步练习）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上不与A、D重合的一动点，PE⊥AC，PF⊥BD，E、F为垂足，则PE+PF的值为 ．
【答案】
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OP，过点A作AG⊥BD于G，
∵AB=3，AD=4，
∴BD= = =5，
S△ABD= AB AD= BD AG，
即 ×3×4= ×5×AG，
解得AG= ，
在矩形ABCD中，OA=OD，
∵S△AOD= OA PE+ OD PF= OD AG，
∴PE+PF=AG= ．
故答案为： ．
【分析】对角线将平行四边形分为四个面积相等的小三角形，利用等面积法即可证得PE+PF=AG，从而可求得其值.
三、解答题
16．（2020八下·海安月考）如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，OF⊥AD于点F，OF＝2cm，AE⊥BD于点E，且BE﹕BD＝1﹕4，求AC的长.
【答案】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD＝90°，OB＝OD，AC＝BD，
又∵OF⊥AD，
∴OF∥AB，
又∵OB＝OD ，
∴
AB＝2OF＝4cm，
∵BE︰BD＝1︰4，
∴BE︰ED＝1︰3
设BE＝x，ED＝3x ，
则BD＝4 x ，
∵AE⊥BD于点E
∴ ，
∴16－x2＝AD2－9x2
又∵AD2＝BD2－AB2＝16 x2－16 ，
∴16－x2＝16 x2－16－9x2，8x2＝32
∴x2＝4，
∴x＝2
∴BD＝2×4＝8（cm），
∴AC＝8cm .
【知识点】矩形的性质
【解析】【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得OA=OB，根据比例设BE=x，表示出BD=4x，然后求出BE=OE，从而判断出△ABO是等边三角形，然后判断出OE是△AOD的中位线，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出AB，再求解即可.
17．（2018-2019学年初中数学浙教版八年级下册第五章特殊平行四边形 章末检测）如图，E为矩形ABCD内一点，且EB=EC，求证：AE=ED．
【答案】 证明：∵矩形ABCD
∴∠ABC=∠BCD=90°，AB=CD
∵EB=EC，
∴∠EBC=∠ECB，
∵∠ABE=90°-∠EBC，∠ECD=90°-∠ECB，
∴∠ABE=∠ECD，
在△ABE和△DCE中，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴AE=ED。
【知识点】矩形的性质
【解析】【分析】根据矩形的性质，易证∠ABC=∠BCD=90°，AB=CD，再根据等腰三角形的性质去证明∠ABE=∠ECD，然后利用SAS证明△ABE≌△DCE，利用全等三角形的性质，可证得结论。
18．（2017八下·门头沟期末）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠AOB=60°，AB=3，求BD的长．
【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO=BO= BD，又∵∠AOB=60°，∴△AOB为等边三角形，∴BO=AB=3，∴BD=2BO=6．
【知识点】矩形的性质
【解析】【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可知AO=BO，∠AOB=60°，则△AOB为等边三角形，则BO=AB=3，可得BD=2BO=6。
四、综合题
19．（2017八上·衡阳期末）某学校有一块长方形活动场地，长为 米，宽比长少 米，实施“阳光体育”行动以后，学校为了扩大学生的活动场地，让学生能更好地进行体育活动，将操场的长和宽都增加 米.
（1）求活动场地原来的面积是多少平方米.（用含 的代数式表示）
（2）若 ，求活动场地面积增加后比原来多多少平方米.
【答案】（1）解：2x(2x－5)
（2）解：（2x＋4）(2x－1)－2x(2x－5)=16x－4，
当x=20时，原式=316
答：活动场地面积增加后比原来多316平方米
【知识点】矩形的性质
【解析】【分析】第1小题，矩形的长和宽在增加前表示为2x和2x-5，用矩形的面积公式可求解；第2小题，矩形的长和宽在增加后表示为2x＋4和2x－1，然后用增加后的面积-增加前的面积即为活动场地面积增加后比原来多多少的面积，再把x=20代入即可求解。
1 / 1
