初中数学湘教版八年级下册2.5.2矩形的判定 同步练习
一、单选题
1．（2020八下·镇海期末）已知四边形ABCD中AC＝BD，再补充一个条件使得四边形ABCD是矩形，这个条件可以是（ ）
A．AC⊥BD B．∠ABC＝90°
C．AC与BD互相平分 D．AB＝BC
【答案】C
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：四边形ABCD中AC＝BD，再补充一个条件使得四边形ABCD是矩形，这个条件可以是AC与BD互相平分，理由如下：
∵在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形.
故答案为：C.
【分析】四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，得四边形ABCD是平行四边形，又由AC＝BD，即可求得答案.
2．（2019八下·方城期末）如图，在 中，对角线 与 交于点 ，添加下列条件不能判定 为矩形的只有（ ）
A． B． ， ，
C． D．
【答案】C
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A. ，对角线相等，可以判定 为矩形 ，此选项不符合题意 ；
B. ， ， ，可知△ABC为直角三角形，且∠ABC=90°，故可以判定 为矩形，此选项不符合题意 ；
C. ，可以判定 为菱形，此选项符合题意 ；
D. ，可得AO=BO,故AC=BD，可以判定 为矩形，此选项不符合题意 .
故答案为：C.
【分析】根据矩形的判定“有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形”即可判断求解.
3．（2020八下·三台期中）如图，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，下列条件中，可使四边形EFGH是矩形的是（ ）
A．AB=CD B．AC⊥BD C．AC=BD D．AD∥BC
【答案】B
【知识点】矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接AC,BD，
∵顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，
∴EF∥HG∥AC，EH∥FG∥BD，
要使四边形EFGH为矩形，
则EF⊥EH，
故EF⊥AC，
则AC⊥BD，
故答案为：B
【分析】连接AC,BD，根据中位线的性质及矩形的判定方法即可求解.
4．（2019八下·郑州期末）如图,为一副重叠放置的三角板,其中∠ABC=∠EDF=90°,BC与DF共线，将△DEF沿CB方向平移,当EF经过AC的中点O时,直线EF交AB于点G,若BC=3,则此时OG的长度为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【知识点】矩形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：过O作OH⊥BC于H,过G作GI⊥OH于I ,
∵∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
∴OH∥AB，
又O为中点，
∴H为BC的中点，
∴BH= BC= ,
∵GI⊥OH，
∴四边形BHIG为矩形，
∴GI∥BH,GI=BH= ,
又∠F=45°，
∴∠OGI=45°，
∴OG= .
【分析】过O作OH⊥BC于H,过G作GI⊥OH于I ,根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得出OH∥AB，根据三角形中位线的判定定理的逆用得出H为BC的中点，故BH= BC= ,很容易判断出四边形BHIG为矩形，根据矩形的性质得出GI∥BH,GI=BH= ,从而根据等腰直角三角形的性质得出OG的长。
5．（2020八下·金华期中）如图，在 ABCD中，AB=2 ，AD=4，AC⊥BC，则△DBC比△ABC的周长长（ ）
A．2 B．4 C．5 D．
【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点D作DG⊥BC，交BC的延长线于点G，
∵平行四边形ABCD，
∴AD=BC=4，AB=CD=，AD∥BC
∵AC⊥BC
∴AC⊥AD
∴∠CAD=∠ACG=∠DGC=90°
∴四边形ACGD是矩形，
∴AD=CG；
∴BG=BC+CG=4+4=8；
在Rt△ABC中，
在Rt△BDC中，
∴ △DBC和△ABC的周长差为
BD+BC+DC-AB-AC-BC=BD-AC=10-6=4.
故答案为：4.
【分析】过点D作DG⊥BC，交BC的延长线于点G，利用平行四边形的性质，可证得AD=BC=4，AB=CD=，AD∥BC，再证明四边形ACGD是矩形，根据矩形的性质，可证得AD=CG，由此可求出BG的长，然后利用勾股定理求出BD，AC的长，再求出△DBC和△ABC的周长差就是BD与AC的差，即可求出结果。
6．如图△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．4
【答案】A
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE是AC的垂直的平分线，F是AB的中点，
∴DF∥BC，
∴∠C=90°，
∴四边形BCDE是矩形．
∵∠A=30°，∠C=90°，BC=2，
∴AB=4，
∴AC= =2 ．
∴BE=CD= ．
∴四边形BCDE的面积为：2× =2 ．
故答案为：A．
【分析】根据三角形的中位线定理得到DF∥BC，由∠C=90°，得到四边形BCDE是矩形；根据勾股定理求出BE=CD的值，求出四边形BCDE的面积.
7．（2018八下·合肥期中）如图，为了检验教室里的矩形门框是否合格，某班的四个学习小组用三角板和细绳分别测得如下结果，其中不能判定门框是否合格的是（ ）
A．AB=CD，AD=BC，AC=BD B．AC=BD，∠B=∠C=90°
C．AB=CD，∠B=∠C=90° D．AB=CD，AC=BD
【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】A、∵AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，
故能判定门框合格；
B、在Rt△ABC和Rt△DCB中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），
∴AB＝CD，
∵∠B＝∠C＝90°，∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
故能判定门框合格；
C、∵∠B＝∠C＝90°，∴AB∥CD，
∵AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
故能判定门框合格；
D、当四边形ABCD是等腰梯形时，也满足AB＝CD，AC＝BD，故不能判定门框合格．
故答案为：D．
【分析】条件中只给出了三角板和绳子，所以可以测量四条边的长，如果对边分别相等，可以判定为平行四边形，再测量对角线，如果对角线也相等则为矩形.
8．如图，有两张形状、大小完全相同的直角三角形纸片（同一个直角三角形的两条直角边不相等），把两个三角形相等的边靠在一起（两张纸片不重叠），可以拼出若干种图形，其中，形状不同的四边形有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【解答】如图，①②③，
； ；
共有4种情况，两种平行四边形，矩形和一般的四边形；
故答案为：B.
【分析】根据题意将所有情况列出即可.
9．（2020八下·镇江月考）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（ ）
A．AB＝BE B．BE⊥DC C．∠ADB＝90° D．CE⊥DE
【答案】B
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC∥AD，AD=BC，
∴DE=BC，
∴四边形DBCE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∵AB=BE，∴△ABE是等腰三角形，
∵DE=AD，∴BD⊥DE，
∴四边形DBCE是矩形，正确，不符合题意；
B、由A知四边形DBCE是平行四边形， BE⊥DC ，∴四边形DBCE是菱形，错误，不符合题意.
C、由A知四边形DBCE是平行四边形， ∵∠ADB＝90° ，∴四边形DBCE是矩形，正确，不符合题意；
D、由A知四边形DBCE是平行四边形， ∵CE⊥DE，∠DEC＝90° ，∴四边形DBCE是矩形，正确，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】由平行四边形的性质，结合DE=AD，可证四边形DBCE是平行四边形，由于AB=CE，利用等腰三角形的性质可得BD⊥DE，则由一个角是直角的平行四边形是矩形可证四边形DBCE是矩形；CD都可依据一个角是直角的平行四边形是矩形可证四边形DBCE是矩形；而B项对角线互相垂直只能得出四边形DBCE是菱形.
10．（2017八下·栾城期末）如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（ ）
A．AB∥DC B．AC=BD C．AC⊥BD D．AB=DC
【答案】C
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：依题意得，四边形EFGH是由四边形ABCD各边中点连接而成，
连接AC、BD，
故EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，
所以四边形EFGH是平行四边形，
要使四边形EFGH为矩形，
根据矩形的判定（有一个角为直角的平行四边形是矩形）
故当AC⊥BD时，∠EFG=∠EHG=90度．四边形EFGH为矩形．
故选C．
【分析】根据矩形的判定定理（有一个角为直角的平行四边形是矩形）．先证四边形EFGH是平行四边形，要使四边形EFGH为矩形，需要∠EFG=90度．由此推出AC⊥BD．
二、填空题
11．（2020八下·北京期中）如图，为了检查平行四边形书架 ABCD 的侧边是否与上、下边都垂直，工人师傅用一根绳子比较了其对角线 AC，BD 的长度，若二者长度相等，则该书架的侧边与上、下边都垂直，请你说出其中的数学原理 ．
【答案】对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角；
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】因为平行四边形ABCD的对角线相等，所以四边形ABCD是矩形，而矩形的四个角都是直角．
故答案是：对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角
【分析】根据矩形的判定和性质定理，即可解答．
12．如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=70°，将平行四边形ABCD变化为一个矩形（图中的虚线部分），在此过程中，分析每条边的运动．AB： ；AD： ；BC： ；CD： ．
【答案】不动；绕点A沿逆时针旋转20°；绕点B沿逆时针旋转20°；平移
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】ABCD是平行四边形，两组对边分别平行，只要保证一个角为90°，则四边形ABCD即为矩形.
【分析】熟练掌握矩形的判定.平行四边形只要保证一个角为直角，则四边形为矩形.
13．（2020八下·哈尔滨期中）如图，点E、F、G、H分别是矩形ABCD边AB、BC、CD、DA上的点，且HG与EF交于点I，连接HE、FG，若AB=6，BC=5，EF//AD，HG//AB，则HE+FG的最小值是 ．
【答案】
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，∠A=∠C=∠B=90°，AB∥CD，AD∥BC
∵EF//AD，HG//AB
∴四边形AHIE和四边形IFCG为矩形
∴HE=AI，FG=CI
∴HE+FG的长度也就是AI+CI的长度
又因为AI+CI≥AC
∴当A，I，C三点共线时，AI+CI最小，即AC的长度
在Rt△ABC中，
∴HE+FG的最小值为
故答案为：
【分析】由EF//AD，HG//AB，结合矩形的性质可得四边形AHIE和四边形IFCG为矩形，然后根据矩形的性质可的HE+FG的长度也就是AI+CI的长度，然后利用两点之间，线段最短求其最小值即可．
14．（2020八下·丰县月考）如图，在矩形ABCD中，BC＝40cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和1cm/s，则最快 s后，四边ABPQ成为矩形.
【答案】10
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴∠BAQ=∠ABP=90°，AD=BC=40cm
设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，此时AQ=BP
∴3x=40-x
∴x=10
故答案为：10.
【分析】根据矩形的四个角都是直角且对边相等得出∠BAQ=∠ABP=90°，AD=BC=40cm，根据运动的观点来看，DQ=x，BP=3x，故AQ=40-x，当四边形ABPQ成为矩形时，AQ=BP，从而即可列出方程，求解即可.
三、解答题
15．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，以AB、BD为邻边作 ABDE，连接AD，EC．求证：四边形ADCE是矩形．
【答案】证明：∵AB=AC，D为BC边的中点，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴∠ADC=90°，
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE∥BD，AE=BD，
∴AE∥CD，AE=CD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
又∵∠ADC=90°，
∴四边形ADCE是矩形
【知识点】矩形的判定
【解析】【分析】根据平行四边形的性质、利用等腰三角形的“三合一”性质推知AD⊥BC，即∠ADC=90°；由平行四边形的判定定理（对边平行且相等是四边形是平行四边形）证得四边形ADCE是平行四边形，所以有一个角是直角的平行四边形是矩形.
16．（2017八下·宁波期中）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形，求证：四边形ADCE是矩形.
【答案】证明：∵四边形ABDE是平行四边形，且D为BC中点
∴AE∥CD，AE=CD
∴四边形ADCE是平行四边形
又∵AB=AC，D为BC中点
∴∠ADC=90°
∴四边形ADCE是矩形
【知识点】矩形的判定；矩形的判定与性质
【解析】【分析】主要考查对矩形，矩形的性质，矩形的判定考点的理解.
17．（2020八下·福州期末）如图， 的对角线AC， BD相交于点O，将△ABO平移到△DCE，已知AO= 1， BO=2， ，求证：四边形OCED是矩形．
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO=1，BO=DO=2，AB=CD= ，
∵将△ABO平移到△DCE，
∴AO=DE=1，BO=CE=2，
∴CO=DE，DO=CE，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵CO2+DO2=1+4=5，CD2=5，
∴CO2+DO2=CD2，
∴∠COD=90°，
∴平行四边形OCED是矩形．
【知识点】矩形的判定
【解析】【分析】由平行四边形的性质可得AO=CO=1，BO=DO=2，AB=CD= ，由平移的性质可得AO=CO=DE=1，DO=CE=BO=2，可证四边形OCED是平行四边形，由勾股定理的逆定理可证∠COD=90°，可得结论．
四、综合题
18．（2020八下·长兴期中） ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，DF=BE，连接：BF，AF。
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若AF平分∠BAD，且AE-3，DF=5，求矩形BFDE的面积。
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD
∵BE∥DF，BE=DF，
∴四边形BFDE是平行四边形
∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，
∴四边形BFDE是矩形
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠BAF=∠DFA，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∴∠DFA=∠DAF，
∴AD=DF=5，
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°，由勾股定理得：DE= =4，
∴矩形BFDE的面积=DF×DE=5×4=20
【知识点】矩形的判定
【解析】【分析】（1）先判断四边形BFDE是平行四边形，再判断出一个角等于90°，即证明出四边形BFDE是矩形。
（2）先根据角相等得出 AD=DF，再根据勾股定理求出DE，就能求出矩形BFDE的面积。
1 / 1初中数学湘教版八年级下册2.5.2矩形的判定 同步练习
一、单选题
1．（2020八下·镇海期末）已知四边形ABCD中AC＝BD，再补充一个条件使得四边形ABCD是矩形，这个条件可以是（ ）
A．AC⊥BD B．∠ABC＝90°
C．AC与BD互相平分 D．AB＝BC
2．（2019八下·方城期末）如图，在 中，对角线 与 交于点 ，添加下列条件不能判定 为矩形的只有（ ）
A． B． ， ，
C． D．
3．（2020八下·三台期中）如图，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，下列条件中，可使四边形EFGH是矩形的是（ ）
A．AB=CD B．AC⊥BD C．AC=BD D．AD∥BC
4．（2019八下·郑州期末）如图,为一副重叠放置的三角板,其中∠ABC=∠EDF=90°,BC与DF共线，将△DEF沿CB方向平移,当EF经过AC的中点O时,直线EF交AB于点G,若BC=3,则此时OG的长度为（ ）
A．3 B． C． D．
5．（2020八下·金华期中）如图，在 ABCD中，AB=2 ，AD=4，AC⊥BC，则△DBC比△ABC的周长长（ ）
A．2 B．4 C．5 D．
6．如图△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．4
7．（2018八下·合肥期中）如图，为了检验教室里的矩形门框是否合格，某班的四个学习小组用三角板和细绳分别测得如下结果，其中不能判定门框是否合格的是（ ）
A．AB=CD，AD=BC，AC=BD B．AC=BD，∠B=∠C=90°
C．AB=CD，∠B=∠C=90° D．AB=CD，AC=BD
8．如图，有两张形状、大小完全相同的直角三角形纸片（同一个直角三角形的两条直角边不相等），把两个三角形相等的边靠在一起（两张纸片不重叠），可以拼出若干种图形，其中，形状不同的四边形有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
9．（2020八下·镇江月考）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（ ）
A．AB＝BE B．BE⊥DC C．∠ADB＝90° D．CE⊥DE
10．（2017八下·栾城期末）如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（ ）
A．AB∥DC B．AC=BD C．AC⊥BD D．AB=DC
二、填空题
11．（2020八下·北京期中）如图，为了检查平行四边形书架 ABCD 的侧边是否与上、下边都垂直，工人师傅用一根绳子比较了其对角线 AC，BD 的长度，若二者长度相等，则该书架的侧边与上、下边都垂直，请你说出其中的数学原理 ．
12．如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=70°，将平行四边形ABCD变化为一个矩形（图中的虚线部分），在此过程中，分析每条边的运动．AB： ；AD： ；BC： ；CD： ．
13．（2020八下·哈尔滨期中）如图，点E、F、G、H分别是矩形ABCD边AB、BC、CD、DA上的点，且HG与EF交于点I，连接HE、FG，若AB=6，BC=5，EF//AD，HG//AB，则HE+FG的最小值是 ．
14．（2020八下·丰县月考）如图，在矩形ABCD中，BC＝40cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和1cm/s，则最快 s后，四边ABPQ成为矩形.
三、解答题
15．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，以AB、BD为邻边作 ABDE，连接AD，EC．求证：四边形ADCE是矩形．
16．（2017八下·宁波期中）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形，求证：四边形ADCE是矩形.
17．（2020八下·福州期末）如图， 的对角线AC， BD相交于点O，将△ABO平移到△DCE，已知AO= 1， BO=2， ，求证：四边形OCED是矩形．
四、综合题
18．（2020八下·长兴期中） ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，DF=BE，连接：BF，AF。
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若AF平分∠BAD，且AE-3，DF=5，求矩形BFDE的面积。
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：四边形ABCD中AC＝BD，再补充一个条件使得四边形ABCD是矩形，这个条件可以是AC与BD互相平分，理由如下：
∵在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形.
故答案为：C.
【分析】四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，得四边形ABCD是平行四边形，又由AC＝BD，即可求得答案.
2．【答案】C
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A. ，对角线相等，可以判定 为矩形 ，此选项不符合题意 ；
B. ， ， ，可知△ABC为直角三角形，且∠ABC=90°，故可以判定 为矩形，此选项不符合题意 ；
C. ，可以判定 为菱形，此选项符合题意 ；
D. ，可得AO=BO,故AC=BD，可以判定 为矩形，此选项不符合题意 .
故答案为：C.
【分析】根据矩形的判定“有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形”即可判断求解.
3．【答案】B
【知识点】矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接AC,BD，
∵顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，
∴EF∥HG∥AC，EH∥FG∥BD，
要使四边形EFGH为矩形，
则EF⊥EH，
故EF⊥AC，
则AC⊥BD，
故答案为：B
【分析】连接AC,BD，根据中位线的性质及矩形的判定方法即可求解.
4．【答案】C
【知识点】矩形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：过O作OH⊥BC于H,过G作GI⊥OH于I ,
∵∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
∴OH∥AB，
又O为中点，
∴H为BC的中点，
∴BH= BC= ,
∵GI⊥OH，
∴四边形BHIG为矩形，
∴GI∥BH,GI=BH= ,
又∠F=45°，
∴∠OGI=45°，
∴OG= .
【分析】过O作OH⊥BC于H,过G作GI⊥OH于I ,根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得出OH∥AB，根据三角形中位线的判定定理的逆用得出H为BC的中点，故BH= BC= ,很容易判断出四边形BHIG为矩形，根据矩形的性质得出GI∥BH,GI=BH= ,从而根据等腰直角三角形的性质得出OG的长。
5．【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点D作DG⊥BC，交BC的延长线于点G，
∵平行四边形ABCD，
∴AD=BC=4，AB=CD=，AD∥BC
∵AC⊥BC
∴AC⊥AD
∴∠CAD=∠ACG=∠DGC=90°
∴四边形ACGD是矩形，
∴AD=CG；
∴BG=BC+CG=4+4=8；
在Rt△ABC中，
在Rt△BDC中，
∴ △DBC和△ABC的周长差为
BD+BC+DC-AB-AC-BC=BD-AC=10-6=4.
故答案为：4.
【分析】过点D作DG⊥BC，交BC的延长线于点G，利用平行四边形的性质，可证得AD=BC=4，AB=CD=，AD∥BC，再证明四边形ACGD是矩形，根据矩形的性质，可证得AD=CG，由此可求出BG的长，然后利用勾股定理求出BD，AC的长，再求出△DBC和△ABC的周长差就是BD与AC的差，即可求出结果。
6．【答案】A
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE是AC的垂直的平分线，F是AB的中点，
∴DF∥BC，
∴∠C=90°，
∴四边形BCDE是矩形．
∵∠A=30°，∠C=90°，BC=2，
∴AB=4，
∴AC= =2 ．
∴BE=CD= ．
∴四边形BCDE的面积为：2× =2 ．
故答案为：A．
【分析】根据三角形的中位线定理得到DF∥BC，由∠C=90°，得到四边形BCDE是矩形；根据勾股定理求出BE=CD的值，求出四边形BCDE的面积.
7．【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】A、∵AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，
故能判定门框合格；
B、在Rt△ABC和Rt△DCB中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），
∴AB＝CD，
∵∠B＝∠C＝90°，∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
故能判定门框合格；
C、∵∠B＝∠C＝90°，∴AB∥CD，
∵AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
故能判定门框合格；
D、当四边形ABCD是等腰梯形时，也满足AB＝CD，AC＝BD，故不能判定门框合格．
故答案为：D．
【分析】条件中只给出了三角板和绳子，所以可以测量四条边的长，如果对边分别相等，可以判定为平行四边形，再测量对角线，如果对角线也相等则为矩形.
8．【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【解答】如图，①②③，
； ；
共有4种情况，两种平行四边形，矩形和一般的四边形；
故答案为：B.
【分析】根据题意将所有情况列出即可.
9．【答案】B
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC∥AD，AD=BC，
∴DE=BC，
∴四边形DBCE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∵AB=BE，∴△ABE是等腰三角形，
∵DE=AD，∴BD⊥DE，
∴四边形DBCE是矩形，正确，不符合题意；
B、由A知四边形DBCE是平行四边形， BE⊥DC ，∴四边形DBCE是菱形，错误，不符合题意.
C、由A知四边形DBCE是平行四边形， ∵∠ADB＝90° ，∴四边形DBCE是矩形，正确，不符合题意；
D、由A知四边形DBCE是平行四边形， ∵CE⊥DE，∠DEC＝90° ，∴四边形DBCE是矩形，正确，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】由平行四边形的性质，结合DE=AD，可证四边形DBCE是平行四边形，由于AB=CE，利用等腰三角形的性质可得BD⊥DE，则由一个角是直角的平行四边形是矩形可证四边形DBCE是矩形；CD都可依据一个角是直角的平行四边形是矩形可证四边形DBCE是矩形；而B项对角线互相垂直只能得出四边形DBCE是菱形.
10．【答案】C
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：依题意得，四边形EFGH是由四边形ABCD各边中点连接而成，
连接AC、BD，
故EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，
所以四边形EFGH是平行四边形，
要使四边形EFGH为矩形，
根据矩形的判定（有一个角为直角的平行四边形是矩形）
故当AC⊥BD时，∠EFG=∠EHG=90度．四边形EFGH为矩形．
故选C．
【分析】根据矩形的判定定理（有一个角为直角的平行四边形是矩形）．先证四边形EFGH是平行四边形，要使四边形EFGH为矩形，需要∠EFG=90度．由此推出AC⊥BD．
11．【答案】对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角；
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】因为平行四边形ABCD的对角线相等，所以四边形ABCD是矩形，而矩形的四个角都是直角．
故答案是：对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角
【分析】根据矩形的判定和性质定理，即可解答．
12．【答案】不动；绕点A沿逆时针旋转20°；绕点B沿逆时针旋转20°；平移
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】ABCD是平行四边形，两组对边分别平行，只要保证一个角为90°，则四边形ABCD即为矩形.
【分析】熟练掌握矩形的判定.平行四边形只要保证一个角为直角，则四边形为矩形.
13．【答案】
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，∠A=∠C=∠B=90°，AB∥CD，AD∥BC
∵EF//AD，HG//AB
∴四边形AHIE和四边形IFCG为矩形
∴HE=AI，FG=CI
∴HE+FG的长度也就是AI+CI的长度
又因为AI+CI≥AC
∴当A，I，C三点共线时，AI+CI最小，即AC的长度
在Rt△ABC中，
∴HE+FG的最小值为
故答案为：
【分析】由EF//AD，HG//AB，结合矩形的性质可得四边形AHIE和四边形IFCG为矩形，然后根据矩形的性质可的HE+FG的长度也就是AI+CI的长度，然后利用两点之间，线段最短求其最小值即可．
14．【答案】10
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴∠BAQ=∠ABP=90°，AD=BC=40cm
设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，此时AQ=BP
∴3x=40-x
∴x=10
故答案为：10.
【分析】根据矩形的四个角都是直角且对边相等得出∠BAQ=∠ABP=90°，AD=BC=40cm，根据运动的观点来看，DQ=x，BP=3x，故AQ=40-x，当四边形ABPQ成为矩形时，AQ=BP，从而即可列出方程，求解即可.
15．【答案】证明：∵AB=AC，D为BC边的中点，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴∠ADC=90°，
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE∥BD，AE=BD，
∴AE∥CD，AE=CD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
又∵∠ADC=90°，
∴四边形ADCE是矩形
【知识点】矩形的判定
【解析】【分析】根据平行四边形的性质、利用等腰三角形的“三合一”性质推知AD⊥BC，即∠ADC=90°；由平行四边形的判定定理（对边平行且相等是四边形是平行四边形）证得四边形ADCE是平行四边形，所以有一个角是直角的平行四边形是矩形.
16．【答案】证明：∵四边形ABDE是平行四边形，且D为BC中点
∴AE∥CD，AE=CD
∴四边形ADCE是平行四边形
又∵AB=AC，D为BC中点
∴∠ADC=90°
∴四边形ADCE是矩形
【知识点】矩形的判定；矩形的判定与性质
【解析】【分析】主要考查对矩形，矩形的性质，矩形的判定考点的理解.
17．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO=1，BO=DO=2，AB=CD= ，
∵将△ABO平移到△DCE，
∴AO=DE=1，BO=CE=2，
∴CO=DE，DO=CE，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵CO2+DO2=1+4=5，CD2=5，
∴CO2+DO2=CD2，
∴∠COD=90°，
∴平行四边形OCED是矩形．
【知识点】矩形的判定
【解析】【分析】由平行四边形的性质可得AO=CO=1，BO=DO=2，AB=CD= ，由平移的性质可得AO=CO=DE=1，DO=CE=BO=2，可证四边形OCED是平行四边形，由勾股定理的逆定理可证∠COD=90°，可得结论．
18．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD
∵BE∥DF，BE=DF，
∴四边形BFDE是平行四边形
∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，
∴四边形BFDE是矩形
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠BAF=∠DFA，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∴∠DFA=∠DAF，
∴AD=DF=5，
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°，由勾股定理得：DE= =4，
∴矩形BFDE的面积=DF×DE=5×4=20
【知识点】矩形的判定
【解析】【分析】（1）先判断四边形BFDE是平行四边形，再判断出一个角等于90°，即证明出四边形BFDE是矩形。
（2）先根据角相等得出 AD=DF，再根据勾股定理求出DE，就能求出矩形BFDE的面积。
1 / 1
