初中数学湘教版八年级下册2.6.1菱形的性质 同步练习
一、单选题
1．（2020八下·陆川期末）如图，菱形 的两条对角线相交于点O，若 ， ，则菱形 的面积是（ ）
A．24 B．16 C．12 D．10
2．（2020八下·崆峒期末）已知某菱形的周长为 ，高为 ，则该菱形的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2020八下·横县期末）如图，菱形ABCD 中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中不一定成立的是（ ）
A．AB∥DC B．AC=BD C．AC ⊥BD D．OA=OC
4．（2020八下·枣阳期末）若菱形的周长为8，高为1，则菱形两邻角的度数比为（ ）
A．3∶1 B．4∶1 C．5∶1 D．6∶1
5．（2020八下·巴彦淖尔期中）已知菱形 的对角线 的长分别为6，8，则菱形的周长为（ ）
A．10 B．20 C．24 D．40
6．（2020八下·厦门期末）菱形ABCD的周长为36，其相邻两内角的度数比1：5，则此菱形的面积为（ ）
A．40.5 B．20.25 C．45 D．22.5
7．（2020八下·浦东期末）菱形的一条对角线与它的边相等，则它的锐角等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
8．（2020八下·察哈尔右翼前旗期末）如图，已知某菱形花坛 的周长是 ， ，则花坛对角线 的长是( )
A． B． C． D．
9．（2020八下·迁西期末）如图，菱形 ABCD 的顶点 C 在直线 MN 上，若∠1＝50°，∠2＝20°，则∠BDC 的度数为（ ）
A．20° B．30° C．35° D．40°
10．（2020八下·建湖月考）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC=130°，则∠AOE的大小为（ ）
A．75° B．65° C．55° D．50°
二、填空题
11．（2020八下·隆回期末）已知菱形的周长为20，一条对角线长为8，则菱形的面积为 ．
12．（2020八下·三台期末）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝16，DB＝12，DH⊥AB于点H，则DH等于 ．
13．（2019八下·徐汇期末）已知菱形的周长是48cm一条较小的对角线的长是12cm，则该菱形较大的内角是 度．
14．（2020八下·曲阜期末）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AB边中点，菱形ABCD的周长为24，则OH的长等于 ．
三、解答题
15．如图，用3个全等的菱形构成活动衣帽架，顶点A、E、F、C、G、H是上、下两排挂钩，根据需要可以改变挂钩之间的距离（比如AC两点可以自由上下活动），若菱形的边长为13厘米，要使两排挂钩之间的距离为24厘米，并在点B、M处固定，则B、M之间的距离是多少？
16．如图，点E，F分别在菱形ABCD的边DC，DA上，且CE＝AF.求证：∠ABF＝∠CBE.
17．如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是菱形外一点，且DE∥AC，CE∥BD，连接OE．
求证：OE=CD．
18．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E，若AC=8，BD=6，求四边形ACDE的面积．
四、综合题
19．（2018八下·东台期中）如图菱形ABCD中，∠ADC=60°，M、N分别为线段AB，BC上两点，且BM=CN，且AN，CM所在直线相交于E.
（1）证明△BCM≌△CAN；
（2）∠AEM= °；
（3）求证DE平分∠AEC；
（4）试猜想AE，CE，DE之间的数量关系并证明.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵AC=6，BD=4，
∴菱形ABCD的面积为 AC BD= ×6×4=12，
故答案为：C.
【分析】根据菱形的面积= AC BD，代入求出即可.
2．【答案】A
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：菱形的边长： .
菱形的面积： .
故答案为：A.
【分析】先利用菱形的四边相等及菱形周长的计算方法求出菱形的边长为2，再利用菱形的面积=底× 高即可算出答案.
3．【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形；
∴AB∥DC，故A正确，不合题意；
无法得出AC=BD，故B错误，符合题意；
AC⊥BD，故C正确，不合题意；
OA=OC，故D正确，不合题意；
故答案为：B．
【分析】根据菱形的性质，菱形具有平行四边形的性质，菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角，可以判断出AC=BD不一定成立。
4．【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，菱形的周长为8，
∴AB=BC=CD=DA=2，∠DAB+∠B=180°，
∵AE=1，AE⊥BC，
∴AE= AB，
∴∠B=30°，
∴∠DAB=150°，
∴∠DAB：∠B=5：1；
故答案为：C.
【分析】先根据菱形的性质求出边长AB=2，再根据直角三角形的性质求出∠B=30°，得出∠DAB=150°，即可得出结论.
5．【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA= AC=3，OB= BD=4，AB=BC=CD=AD，
∴ = =5，
∴菱形的周长= =20，
故答案为：B.
【分析】根据菱形的性质先求出菱形的对角线的一半分别是OA=3，OB=4，利用勾股定理求出边长即可得到答案.
6．【答案】A
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：作AE⊥BC于E点，
∵其相邻两内角的度数比为1：5，
∴∠B＝180°× ＝30°，
∵菱形ABCD的周长为36，
∴AB＝BC＝ ×36＝9．
∴AE＝ ×9＝ ．
∴菱形的面积为：BC AE＝9× ＝40.5．
故答案为：A．
【分析】根据相邻两内角的度数比为1：5，可求出一个30°角，根据周长为36，求出菱形的边长，根据直角三角形里30°角的性质求出高，从而求出面积．
7．【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：由菱形的性质得，菱形相邻的两边相等，则与这条对角线组成等边三角形，则它的锐角等于60°，
故答案为：C．
【分析】由菱形的性质可得这条对角线与菱形的两边组成等边三角形，从而求得锐角的度数等于60°．
8．【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形花坛ABCD的周长是24m，∠BAD=120°，
∴AB=BC=6m，AD∥BC，
∴∠ABC=180°-∠BAD=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=6m．
故答案为：B．
【分析】由四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，易得△ABC是等边三角形，继而求得答案．
9．【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】∵∠1＝50°，∠2＝20°
∴
∵四边形ABCD为菱形
∴
∴
故答案为：C．
【分析】先求出 ，根据菱形性质得出 ，即得到 ，可得 的度数．
10．【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：在菱形ABCD中，∠ADC=130°，
∴∠BAD=180°-130°=50°，
∴∠BAO=∠BAD=×50°=25°，
∵OE⊥AB，
∴∠AOE=90°-∠BAO=90°-25°=65°.
故答案为：B.
【分析】先根据菱形的性质，邻角互补求出∠BAD的度数，再根据菱形的对角线平分一组对角求出∠BAO的度数，进而根据直角三角形两锐角互余，计算即可. 熟练掌握菱形的相关性质是本题关键.
11．【答案】24
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：如下图,
∵菱形的周长为20，
∴边长AB=5,
∵对角线互相垂直平分, 一条对角线长为8，
∴BO=4,AO=3（勾股定理）,
∴AC=6,
∴S菱形= .
【分析】根据题意画出图形,利用对角线互相垂直平分,菱形面积等于二分之一对角线乘积即可解题.
12．【答案】
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝8，OB＝OD＝6，AC⊥BD，
在Rt△AOB中，AB＝ ＝10，
∵S菱形ABCD＝ AC BD，
S菱形ABCD＝DH AB，
∴DH 10＝ ×12×16，
∴DH＝ ．
故答案为 ．
【分析】先根据菱形的性质得OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，再利用勾股定理计算出AB＝10，然后根据菱形的面积公式得到 AC BD＝DH AB，再解关于DH的方程即可．
13．【答案】120
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】∵菱形的周长为48cm，
∴菱形的边长为：48÷4=12cm，
∵一条对角线的长是12cm，
∴这条对角线跟相邻的两边组成的三角形为等边三角形，
则菱形的较小的内角为60°，
则较大内角为180°-60°=120°．
故答案为：120．
【分析】先根据菱形的性质求出菱形的边长，然后根据对角线长为12cm，可判断出菱形一个角的度数，继而可求得该菱形较大的内角度数．
14．【答案】3
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】∵菱形ABCD的周长等于24，
∴AB= =6，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵H为AB边中点，
∴在Rt△AOB中，OH为斜边上的中线，
∴OH= AB=3．
故答案为：3．
【分析】根据已知可求得菱形的边长，再根据对角线互相垂直平分，H为AB的中点，从而求得OH的长．
15．【答案】解：连接AC，BD交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO= AC=12厘米，AC⊥BD，
∴BO= = =5厘米，
∴BD=2BO=10厘米，
∴BM=3BD=30厘米．
【知识点】菱形的性质
【解析】【分析】先根据菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求得一个菱形中另一条对角线的长，即可求得BM的长.
16．【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，∠A=∠C
∵CE=AF，
∴ΔABF≌ΔCBE（SAS），
∴∠ABF=∠CBE
【知识点】菱形的性质
【解析】【分析】由菱形的性质四条边相等，可知AB=BC，再由菱形的对角相等，可知∠A=∠C，加上已知条件中给出的CE=AF，由三角形的判定定理SAS可知三角形ABF与三角形CBE全等，由全等三角形的对应角相等，即可证得∠ABF=∠CBE。
17．【答案】证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠COD=90°，AB=BC=CD=AD，
∴四边形OCED是矩形，
∴OE=DC；
【知识点】菱形的性质
【解析】【分析】先求出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出∠COD=90°，证明OCED是矩形，由矩形的性质可得OE=DC．
18．【答案】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD，
∴AE∥CD，∠AOB=90°，
∵DE⊥BD，即∠EDB=90°，
∴∠AOB=∠EDB，
∴DE∥AC，
∴四边形ACDE是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，
∴AO=4，DO=3，AD=CD=5，S菱形ABCD= ×6×8=24，
∵四边形ACDE是平行四边形，
∴AE=CD=5，
∴四边形ACDE的面积=S菱形ABCD= ×6×8=24
【知识点】菱形的性质
【解析】【分析】首先判断四边形ACDE是平行四边形，再利用菱形面积求法得出答案．
19．【答案】（1）证明：如图1中，连接AC．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，
∵∠ADC=60°，
∴△ACD，△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠B=∠ACN=60°，
在△BCM和△CAN中，
，
∴△BCM≌△CAN
（2）60
（3）证明：如图2中，作DG⊥AN于G．DH⊥MC交MC的延长线于H．
∵∠AEM=60°，
∴∠AEC=120°，
∵∠DGE=∠H=90°，
∴∠GEH+∠GDH=180°，
∴∠GDH=∠ADC=60°，
∴∠ADG=∠CDH，
在△DGA和△DHC中，
，
∴△DGA≌△DHC，
∴DG=DH，
∵DG⊥AN，DH⊥MC，
∴∠DEG=∠DEH．
∴DE平分∠AEC．
（4）证明：结论：EA+EC=ED．理由如下：
如图2中，由（3）可知，∠GED=60°，
在Rt△DEG中，∵∠EDG=30°，
∴DE=2EG，
易知△DEG≌△DEH，
∴EG=EH，
∴EA+EC=EG+AG+EH-CH，
∵△DGA≌△DHC，
∴GA=CH，
∴EA+EC=2EG=DE，
∴EA+EC=ED.
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：（2）如图1中，∵△BCM≌△CAN，
∴∠BCM=∠CAN，
∴AEM=∠ACE+∠EAC=∠ACE+∠BCM=60°．
故答案为60．
【分析】(1)连接AC，因为∠ADC=，利用菱形四边相等的性质，可知△ADC为等边三角形，所以AC=BC ，又因为菱形的对角线平分一组对角，所以∠ACN==∠B，因为BM=CN，所以△BCM≌△CAN；
（2）因为∠AEM=∠CEN，对顶角相等，由全等可知∠AEM=∠CEN=∠B=；
（3）过点D做AE、CM两边的垂线，利用角角边可得到△DHC≌△DGA，可得DH=DG，再用角平分线的性质，到一个角两边距离相等的点在这个角的角平分线上；
（4）由全等可知EA+EC=2EG，又因为在Rt△中的角所对的边等于斜边的一半，所以EA +EC=DE.
1 / 1初中数学湘教版八年级下册2.6.1菱形的性质 同步练习
一、单选题
1．（2020八下·陆川期末）如图，菱形 的两条对角线相交于点O，若 ， ，则菱形 的面积是（ ）
A．24 B．16 C．12 D．10
【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵AC=6，BD=4，
∴菱形ABCD的面积为 AC BD= ×6×4=12，
故答案为：C.
【分析】根据菱形的面积= AC BD，代入求出即可.
2．（2020八下·崆峒期末）已知某菱形的周长为 ，高为 ，则该菱形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：菱形的边长： .
菱形的面积： .
故答案为：A.
【分析】先利用菱形的四边相等及菱形周长的计算方法求出菱形的边长为2，再利用菱形的面积=底× 高即可算出答案.
3．（2020八下·横县期末）如图，菱形ABCD 中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中不一定成立的是（ ）
A．AB∥DC B．AC=BD C．AC ⊥BD D．OA=OC
【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形；
∴AB∥DC，故A正确，不合题意；
无法得出AC=BD，故B错误，符合题意；
AC⊥BD，故C正确，不合题意；
OA=OC，故D正确，不合题意；
故答案为：B．
【分析】根据菱形的性质，菱形具有平行四边形的性质，菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角，可以判断出AC=BD不一定成立。
4．（2020八下·枣阳期末）若菱形的周长为8，高为1，则菱形两邻角的度数比为（ ）
A．3∶1 B．4∶1 C．5∶1 D．6∶1
【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，菱形的周长为8，
∴AB=BC=CD=DA=2，∠DAB+∠B=180°，
∵AE=1，AE⊥BC，
∴AE= AB，
∴∠B=30°，
∴∠DAB=150°，
∴∠DAB：∠B=5：1；
故答案为：C.
【分析】先根据菱形的性质求出边长AB=2，再根据直角三角形的性质求出∠B=30°，得出∠DAB=150°，即可得出结论.
5．（2020八下·巴彦淖尔期中）已知菱形 的对角线 的长分别为6，8，则菱形的周长为（ ）
A．10 B．20 C．24 D．40
【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA= AC=3，OB= BD=4，AB=BC=CD=AD，
∴ = =5，
∴菱形的周长= =20，
故答案为：B.
【分析】根据菱形的性质先求出菱形的对角线的一半分别是OA=3，OB=4，利用勾股定理求出边长即可得到答案.
6．（2020八下·厦门期末）菱形ABCD的周长为36，其相邻两内角的度数比1：5，则此菱形的面积为（ ）
A．40.5 B．20.25 C．45 D．22.5
【答案】A
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：作AE⊥BC于E点，
∵其相邻两内角的度数比为1：5，
∴∠B＝180°× ＝30°，
∵菱形ABCD的周长为36，
∴AB＝BC＝ ×36＝9．
∴AE＝ ×9＝ ．
∴菱形的面积为：BC AE＝9× ＝40.5．
故答案为：A．
【分析】根据相邻两内角的度数比为1：5，可求出一个30°角，根据周长为36，求出菱形的边长，根据直角三角形里30°角的性质求出高，从而求出面积．
7．（2020八下·浦东期末）菱形的一条对角线与它的边相等，则它的锐角等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：由菱形的性质得，菱形相邻的两边相等，则与这条对角线组成等边三角形，则它的锐角等于60°，
故答案为：C．
【分析】由菱形的性质可得这条对角线与菱形的两边组成等边三角形，从而求得锐角的度数等于60°．
8．（2020八下·察哈尔右翼前旗期末）如图，已知某菱形花坛 的周长是 ， ，则花坛对角线 的长是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形花坛ABCD的周长是24m，∠BAD=120°，
∴AB=BC=6m，AD∥BC，
∴∠ABC=180°-∠BAD=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=6m．
故答案为：B．
【分析】由四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，易得△ABC是等边三角形，继而求得答案．
9．（2020八下·迁西期末）如图，菱形 ABCD 的顶点 C 在直线 MN 上，若∠1＝50°，∠2＝20°，则∠BDC 的度数为（ ）
A．20° B．30° C．35° D．40°
【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】∵∠1＝50°，∠2＝20°
∴
∵四边形ABCD为菱形
∴
∴
故答案为：C．
【分析】先求出 ，根据菱形性质得出 ，即得到 ，可得 的度数．
10．（2020八下·建湖月考）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC=130°，则∠AOE的大小为（ ）
A．75° B．65° C．55° D．50°
【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：在菱形ABCD中，∠ADC=130°，
∴∠BAD=180°-130°=50°，
∴∠BAO=∠BAD=×50°=25°，
∵OE⊥AB，
∴∠AOE=90°-∠BAO=90°-25°=65°.
故答案为：B.
【分析】先根据菱形的性质，邻角互补求出∠BAD的度数，再根据菱形的对角线平分一组对角求出∠BAO的度数，进而根据直角三角形两锐角互余，计算即可. 熟练掌握菱形的相关性质是本题关键.
二、填空题
11．（2020八下·隆回期末）已知菱形的周长为20，一条对角线长为8，则菱形的面积为 ．
【答案】24
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：如下图,
∵菱形的周长为20，
∴边长AB=5,
∵对角线互相垂直平分, 一条对角线长为8，
∴BO=4,AO=3（勾股定理）,
∴AC=6,
∴S菱形= .
【分析】根据题意画出图形,利用对角线互相垂直平分,菱形面积等于二分之一对角线乘积即可解题.
12．（2020八下·三台期末）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝16，DB＝12，DH⊥AB于点H，则DH等于 ．
【答案】
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝8，OB＝OD＝6，AC⊥BD，
在Rt△AOB中，AB＝ ＝10，
∵S菱形ABCD＝ AC BD，
S菱形ABCD＝DH AB，
∴DH 10＝ ×12×16，
∴DH＝ ．
故答案为 ．
【分析】先根据菱形的性质得OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，再利用勾股定理计算出AB＝10，然后根据菱形的面积公式得到 AC BD＝DH AB，再解关于DH的方程即可．
13．（2019八下·徐汇期末）已知菱形的周长是48cm一条较小的对角线的长是12cm，则该菱形较大的内角是 度．
【答案】120
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】∵菱形的周长为48cm，
∴菱形的边长为：48÷4=12cm，
∵一条对角线的长是12cm，
∴这条对角线跟相邻的两边组成的三角形为等边三角形，
则菱形的较小的内角为60°，
则较大内角为180°-60°=120°．
故答案为：120．
【分析】先根据菱形的性质求出菱形的边长，然后根据对角线长为12cm，可判断出菱形一个角的度数，继而可求得该菱形较大的内角度数．
14．（2020八下·曲阜期末）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AB边中点，菱形ABCD的周长为24，则OH的长等于 ．
【答案】3
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】∵菱形ABCD的周长等于24，
∴AB= =6，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵H为AB边中点，
∴在Rt△AOB中，OH为斜边上的中线，
∴OH= AB=3．
故答案为：3．
【分析】根据已知可求得菱形的边长，再根据对角线互相垂直平分，H为AB的中点，从而求得OH的长．
三、解答题
15．如图，用3个全等的菱形构成活动衣帽架，顶点A、E、F、C、G、H是上、下两排挂钩，根据需要可以改变挂钩之间的距离（比如AC两点可以自由上下活动），若菱形的边长为13厘米，要使两排挂钩之间的距离为24厘米，并在点B、M处固定，则B、M之间的距离是多少？
【答案】解：连接AC，BD交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO= AC=12厘米，AC⊥BD，
∴BO= = =5厘米，
∴BD=2BO=10厘米，
∴BM=3BD=30厘米．
【知识点】菱形的性质
【解析】【分析】先根据菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求得一个菱形中另一条对角线的长，即可求得BM的长.
16．如图，点E，F分别在菱形ABCD的边DC，DA上，且CE＝AF.求证：∠ABF＝∠CBE.
【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，∠A=∠C
∵CE=AF，
∴ΔABF≌ΔCBE（SAS），
∴∠ABF=∠CBE
【知识点】菱形的性质
【解析】【分析】由菱形的性质四条边相等，可知AB=BC，再由菱形的对角相等，可知∠A=∠C，加上已知条件中给出的CE=AF，由三角形的判定定理SAS可知三角形ABF与三角形CBE全等，由全等三角形的对应角相等，即可证得∠ABF=∠CBE。
17．如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是菱形外一点，且DE∥AC，CE∥BD，连接OE．
求证：OE=CD．
【答案】证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠COD=90°，AB=BC=CD=AD，
∴四边形OCED是矩形，
∴OE=DC；
【知识点】菱形的性质
【解析】【分析】先求出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出∠COD=90°，证明OCED是矩形，由矩形的性质可得OE=DC．
18．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E，若AC=8，BD=6，求四边形ACDE的面积．
【答案】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD，
∴AE∥CD，∠AOB=90°，
∵DE⊥BD，即∠EDB=90°，
∴∠AOB=∠EDB，
∴DE∥AC，
∴四边形ACDE是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，
∴AO=4，DO=3，AD=CD=5，S菱形ABCD= ×6×8=24，
∵四边形ACDE是平行四边形，
∴AE=CD=5，
∴四边形ACDE的面积=S菱形ABCD= ×6×8=24
【知识点】菱形的性质
【解析】【分析】首先判断四边形ACDE是平行四边形，再利用菱形面积求法得出答案．
四、综合题
19．（2018八下·东台期中）如图菱形ABCD中，∠ADC=60°，M、N分别为线段AB，BC上两点，且BM=CN，且AN，CM所在直线相交于E.
（1）证明△BCM≌△CAN；
（2）∠AEM= °；
（3）求证DE平分∠AEC；
（4）试猜想AE，CE，DE之间的数量关系并证明.
【答案】（1）证明：如图1中，连接AC．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，
∵∠ADC=60°，
∴△ACD，△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠B=∠ACN=60°，
在△BCM和△CAN中，
，
∴△BCM≌△CAN
（2）60
（3）证明：如图2中，作DG⊥AN于G．DH⊥MC交MC的延长线于H．
∵∠AEM=60°，
∴∠AEC=120°，
∵∠DGE=∠H=90°，
∴∠GEH+∠GDH=180°，
∴∠GDH=∠ADC=60°，
∴∠ADG=∠CDH，
在△DGA和△DHC中，
，
∴△DGA≌△DHC，
∴DG=DH，
∵DG⊥AN，DH⊥MC，
∴∠DEG=∠DEH．
∴DE平分∠AEC．
（4）证明：结论：EA+EC=ED．理由如下：
如图2中，由（3）可知，∠GED=60°，
在Rt△DEG中，∵∠EDG=30°，
∴DE=2EG，
易知△DEG≌△DEH，
∴EG=EH，
∴EA+EC=EG+AG+EH-CH，
∵△DGA≌△DHC，
∴GA=CH，
∴EA+EC=2EG=DE，
∴EA+EC=ED.
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：（2）如图1中，∵△BCM≌△CAN，
∴∠BCM=∠CAN，
∴AEM=∠ACE+∠EAC=∠ACE+∠BCM=60°．
故答案为60．
【分析】(1)连接AC，因为∠ADC=，利用菱形四边相等的性质，可知△ADC为等边三角形，所以AC=BC ，又因为菱形的对角线平分一组对角，所以∠ACN==∠B，因为BM=CN，所以△BCM≌△CAN；
（2）因为∠AEM=∠CEN，对顶角相等，由全等可知∠AEM=∠CEN=∠B=；
（3）过点D做AE、CM两边的垂线，利用角角边可得到△DHC≌△DGA，可得DH=DG，再用角平分线的性质，到一个角两边距离相等的点在这个角的角平分线上；
（4）由全等可知EA+EC=2EG，又因为在Rt△中的角所对的边等于斜边的一半，所以EA +EC=DE.
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