初中数学湘教版八年级下册2.7正方形 同步练习
一、单选题
1．（2020八下·淮安期末）正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，则∠CBO等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】B
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】如图，
正方形的对角线即角平分线，AC、BD交于点O，
则∠CBO 45°.
故答案为：B.
【分析】正方形中对角线分别平分一组对角，根据对角线即角平分线的性质可以解题.
2．（2019八下·滦南期末）如图，在正方形 中， 是 上的一点，且 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：在正方形ABCD中，∠BAC＝45°，
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB＝67.5°，
∵∠ABE＋∠EBC＝90°，
∴∠EBC＝22.5°，
故答案为：B．
【分析】在正方形中可知∠BAC＝45°，由AB＝AE，进而求出∠ABE，又知∠ABE＋∠EBC＝90°，故能求出∠EBC．
3．（2020八下·重庆期中）如图，已知四边形ABCD是正方形，E是AB延长线上一点，且BE=BD，则∠BDE的度数是（ ）
A．22.5° B．30° C．45° D．67.5°
【答案】A
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD是正方形 ，
∴∠ABD＝45°，AD＝AB，
∵BE＝BD，
∴∠BED＝∠BDE，
∴∠ABD=∠BED+∠BDE＝45°，
∴2∠BDE＝45°，
∴∠BDE＝22.5°，
故答案为：A.
【分析】由条件BE＝BD，得∠BED＝∠BDE，根据正方形的性质得∠ABD＝45°，根据三角形外角的性质得∠BED+∠BDE＝∠ABD＝45°，从而求得∠BDE.
4．（2020八下·建湖月考）如图，四边形ABCD是正方形，直线L1、L2、L3，若L1与L2的距离为5，L2与L3的距离7，则正方形ABCD的面积等于（ ）
A．70 B．74 C．144 D．148
【答案】B
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：如下图，过点A作AE⊥l2于点E，过点C作CF⊥l2于点F，
由辅助线得，∠CBF+∠BCF=90°.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°
∴∠CBF+∠ABE=90°，
∴∠ABE=∠BCF.
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴AE=BF.
由辅助线得，l1到l2，l2到l3的距离分别是线段AE、CF的长，
∴在Rt△BFC中，BC2=BF2+CF2，
即：BC2=52+72=74.
即：正方形ABCD的面积是74.
故答案为：B.
【分析】过点A作AE⊥l2于点E，过点C作CF⊥l2于点F，即线段AE、CF的长分别是l1到l2，l2到l3的距离，通过证明△ABE≌△BCF，得出BF=AE，再根据勾股定理进而得出正方形ABCD的面积即可.
5．（2020八下·上蔡期末）下列说法正确的个数是（ ）
①对角线互相垂直或有一组邻边相等的矩形是正方形；②对角线相等或有一个角是直角的菱形是正方形；③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；④对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】①对角线互相垂直或有一组邻边相等的矩形是正方形，正确；
②对角线相等或有一个角是直角的菱形是正方形，正确；
③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，正确；
④对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，正确；
综上，四个均正确，
故答案为：D.
【分析】根据正方形的判定方法对各个条件进行分析，从而得到答案.
6．（2020八下·江苏月考）如图，四边形ABCD中，AC、BD交于点O，则根据下列条件能判定它是正方形的是（ ）
A．∠DAB=90°且AD=BC B．AB=BC且AC=BD
C．∠DAB=90°且AC⊥BD D．AC⊥BD且AO=BO=CO=DO
【答案】D
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】A：该条件无法判定它是正方形；
B：该条件无法判定它是正方形；
C：该条件无法判定它是正方形；
D：由AC⊥BD可知该四边形对角线互相垂直，再根据AO=BO=CO=DO可知该四边形对角线相等且平分，所以由此可以判定它是正方形；
故答案为：D.
【分析】根据“对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形”对各选项逐一判断即可.
7．（2020八下·木兰期中）顺次连接四边形各边中点所构成的四边形是正方形，则原四边形可能是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【答案】D
【知识点】正方形的判定与性质
【解析】【解答】∵新四边形是正方形，且正方形各边相等，各角都是90°，
又∵新四边形的各边都平行于原四边形对角线且等于原四边形对角线的一半，
∴原四边形的对角线应相等且垂直，
∴满足条件的原四边形可能是正方形，
故答案为：D．
【分析】根据三角形中位线定理与正方形的性质得出原四边形的对角线应相等且垂直，据此进行判断．
8．（2020八下·淮滨期末）如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，要得到一个正方形，剪口与折痕所成锐角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正方形的判定与性质
【解析】【解答】由题目中的折叠方法，我们可知剪下的是一个四边相等的四边形，即为菱形，
因为有一个角是 的菱形是正方形，
所以剪口与折痕所成锐角的大小为 ，
故答案为：B.
【分析】可动手操作，根据正方形的判定进行求解.
9．（2020八下·邯郸月考）如图①、图②，在给定的一张矩形纸片上作一个正方形，甲、乙两人的作法如下：
甲：以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，以点D为圆心，AD长为半径画弧，交CD于点F，连接EF，则四边形AEFD即为所求；
乙：作∠DAB的平分线，交CD于点M，同理作∠ADC的平分线，交AB于点N，连接MN，则四边形ADMN即为所求．
对于以上两种作法，可以做出的判定是（ ）
A．甲正确，乙不正确 B．甲、乙正确
C．乙正确，甲不正确 D．甲、乙均不正确
【答案】B
【知识点】正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：由甲的作图可知 ， ，
四边形ABCD是矩形
四边形AEFD是矩形
四边形AEFD是正方形，甲符合题意；
如图，AM和DN交于点O，
四边形ABCD是矩形
是∠DAB的平分线， 是∠ADC的平分线，
，
，即 ，
同理可证
且AM和DN互相平分
四边形AEFD是正方形，乙符合题意.
所以甲乙的均符合题意.
故答案为：B.
【分析】由一组邻边相等的矩形是正方形可知甲符合题意，由对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形可知乙符合题意.
10．（2019八下·鹿邑期中）如图，点 、 分别是正方形 的边 、 上的点，且 ， 、 相交于点 ，下列结论：① ；② ；③ ，其中一定正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAF=∠ADE=90°.
∵CE=DF，∴AF=DE.
∴△ABF≌△DAE.
∴AE=BF；∠AFB=∠AED.
∵∠AED+∠DAE=90°，
∴∠AFB+∠DAE=90°，
∴∠AOF=90°，
即AE⊥BF，故①正确；
若AO=OE，则BO垂直平分AE，
∴AB=BC=BE，这与BE>BC矛盾，故②不正确；
S△AOB=S△ABF-S△AOF，S四边形DEOF=S△ADE-S△AOF，
∵△ABF≌△DAE，
∴S△ABF=S△ADE，
∴S△AOB=S四边形DEOF，故③正确.
故答案为：C.
【分析】根据正方形的性质，运用SAS证明△ABF≌△DAE，运用全等三角形性质逐一解答.
二、填空题
11．（2020八上·社旗月考）若一个正方形的面积为a2+a+ ，则此正方形的周长为 .
【答案】4a+2
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形的面积为a2＋a＋ =（a+ ）2，
∴正方形的边长为a+ ，
∴正方形的周长为4a+2.
故答案为4a+2.
【分析】由完全平方公式可将正方形的面积分解因式得原式=（a+）2，再根据正方形的面积等于边长的平方可将正方形的面积开平方求得边长，然后由正方形的周长=4边长可求解.
12．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为
【答案】
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=1，∠B=90°，
∴AC2=12+22，AC=；
同理可求：AE=（）2，HE=（）3…，
∴第n个正方形的边长an=（）n-1.
故答案为：（）n-1.
【分析】根据正方形的性质得出∠B=90°，AB=BC=1，根据勾股定理求出AC，再次应用勾股定理可以求出AE，依次类推得到规律.
13．（2017八下·重庆期中）如图，E为正方形ABCD对角线BD上一点，且BE=BC，则∠DCE= ．
【答案】22.5°
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CBE=45°，∠BCD=90°，
∵BE=BC，
∴∠BCE= （180°﹣∠BCE）= ×（180°﹣45°）=67.5°，
∴∠DCE=∠BCD﹣∠BCE=90°﹣67.5°=22.5°．
故答案为：22.5°．
【分析】根据正方形的对角线平分一组对角求出∠CBE=45°，再根据等腰三角形两底角相等求出∠BCE=67.5°，然后根据∠DCE=∠BCD﹣∠BCE计算即可得解．
14．在平行四边形ABCD中，对角线AC，DB相交于点O.要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD.其中正确的是 .(填序号)
【答案】①③④
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】①AB⊥AD说明有一个角是直角，AB=AD说明有一组邻边相等，有一个角是直角，有一组邻边相等的平行四边形是正方形，所以正确；
②AB=BD说明一条边与对角线相等，AB⊥BD说明一条边与对角线垂直，没有这样的判定条件可以判定平行四边形是正方形，所以错误；
③OB=OC说明对角线相等，OB⊥OC说明对角线互相垂直，对角线相等且垂直的平行四边形是正方形，所以正确；
④AB=AD说明有一组邻边相等，AC=BD说明对角线相等，有一组邻边相等，对角线相等的平行四边形是正方形，所以正确。
故答案为：①③④
【分析】①中有一个角是直角，一组邻边相等的平行四边形叫做正方形，这是正方形的定义，所以能判定平行四边形ABCD是正方形；③中对角线相等说明这个平行四边形是矩形，且对角线互相垂直说明这个平行四边形是菱形，所以这个平行四边形是正方形；④中一组邻边相等说明这个平行四边形是菱形，对角线相等说明这个平行四边形是矩形，所以这个平行四边形是正方形，唯独②中的条件不能判定这个平行四边形是正方形。
15．（2020八下·上饶月考）如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC，则 的值为 ．
【答案】
【知识点】正方形的判定与性质
【解析】【解答】设正方形的边长为a，则BC=CD=BP=a，
又∵BC⊥CD，
∴BD= BC= a
∴PD=BD-BP= a-a=( -1)a，
∴ = ，
故答案为：
【分析】设正方形的边长为a，则由正方形的性质即可求解.
三、解答题
16．如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，点F在边BC上，联结BE、DF，DF交对角线AC于点G，且DE=DG；
（1）求证：AE=CG；
（2）求证：BE∥DF．
【答案】证明：（1）∵DE=DG，
∴∠DEG=∠DGE，
∴∠AED=∠CGD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=BC，∠DAC=∠BCE=∠DCA=45°，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（AAS），
∴AE=CG；
（2）在△BCE和△DCE中，
，
∴△BCE≌△DCE （SAS），
∴∠BEC=∠DEG，
∴∠BEC=∠DGE，
∴BE∥DF．
【知识点】正方形的性质
【解析】【分析】（1）先证∠AED=∠CGD，再证明△ADE≌△CDG，根据全等三角形的对应边相等即可得出结论；
（2）先证明△BCE≌△DCE，得出对应角相等∠BEC=∠DEG，得出∠BEC=∠DGE，即可证出平行线．
17．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，点P、Q分别是AB、AC上的一动点，且满足BP=AQ，D是BC的中点．
（1）求证：△PDQ是等腰直角三角形；
（2）当点P运动到什么位置时，四边形APDQ是正方形，并说明理由．
【答案】证明：（1）连接AD
∵△ABC是等腰直角三角形，D是BC的中点
∴AD⊥BC，AD=BD=DC，∠DAQ=∠B，
在△BPD和△AQD中，
，
∴△BPD≌△AQD（SAS），
∴PD=QD，∠ADQ=∠BDP，
∵∠BDP+∠ADP=90°
∴∠ADP+∠ADQ=90°，即∠PDQ=90°，
∴△PDQ为等腰直角三角形；
（2）解：当P点运动到AB的中点时，四边形APDQ是正方形；理由如下：
∵∠BAC=90°，AB=AC，D为BC中点，
∴AD⊥BC，AD=BD=DC，∠B=∠C=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
当P为AB的中点时，DP⊥AB，即∠APD=90°，
又∵∠A=90°，∠PDQ=90°，
∴四边形APDQ为矩形，
又∵DP=AP=AB，
∴矩形APDQ为正方形（邻边相等的矩形为正方形）．
【知识点】正方形的判定
【解析】【分析】（1）连接AD，根据直角三角形的性质可得AD=BD=DC，从而证明△BPD≌△AQD，得到PD=QD，∠ADQ=∠BDP，则△PDQ是等腰三角形；由∠BDP+∠ADP=90°，得出∠ADP+∠ADQ=90°，得到△PDQ是直角三角形，从而证出△PDQ是等腰直角三角形；
（2）若四边形APDQ是正方形，则DP⊥AP，得到P点是AB的中点．
四、综合题
18．（2019八下·柳江期中）如图，点E、H分别在正方形ABCD的边AB、BC上，且AE=BH
求证：
（1）DE=AH
（2）DE⊥AH
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB， ∠DAE=∠ABC，
∵AE=BH
∴△AED≌△BHA（SAS）
∴DE=AH
（2）证明：∵△AED≌△BHA
∴∠EDA=∠HAB
∵∠HAB+∠HAD=90°
∴∠EDA+∠HAD=90°
∴DE⊥AH
【知识点】正方形的性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质可得AD=AB， ∠DAE=∠ABC，然后利用“边角边”证明△AD和△BHA全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=AH；（2）根据全等三角形对应角相等可得∴∠EDA=∠HAB，然后求出∠EDA+∠HAD =∠DAE=90°，判断出AH⊥DE.
19．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，点P，Q分别是AB， AC上的一动点，且满足BP=AQ，D是BC的中点.
（1）求证：△PDQ是等腰直角三角形.
（2）当点P运动到什么位置时，四边形APDQ是正方形，并说明理由.
【答案】（1）证明：连接AD.
∵△ABC是等腰直角三角形，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，AD=BD=DC，∠DAQ=∠B，
又∵BP=AQ，∴△BPD≌△AQD，
∴PD=QD，∠BDP=∠ADQ，
∵∠BDP+∠ADP=90°，
∴∠ADP+∠ADQ=∠PDQ=90°，
∴△PDQ为等腰直角三角形
（2）解：当P点运动到AB的中点时，四边形APDQ是正方形；理由如下：
由(1)知△ABD为等腰直角三角形，
当P为AB的中点时，DP⊥AB，即∠APD=90°，
又∵∠BAC=90°，∠PDQ=90°，
∴四边形APDQ为矩形，
又∵DP=AP= AB，∴四边形APDQ为正方形
【知识点】正方形的判定
【解析】【分析】连接AD，根据直角三角形的性质可得AD=BD=DC，从而证明△BPD≌△AQD，得到PD=QD，∠ADQ=∠BDP，则△PDQ是等腰三角形；由∠BDP+∠ADP=90°，得出∠ADP+∠ADQ=90°，得到△PDQ是直角三角形，从而证出△PDQ是等腰直角三角形；若四边形APDQ是正方形，则DP⊥AB，得到P点是AB的中点．
1 / 1初中数学湘教版八年级下册2.7正方形 同步练习
一、单选题
1．（2020八下·淮安期末）正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，则∠CBO等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
2．（2019八下·滦南期末）如图，在正方形 中， 是 上的一点，且 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020八下·重庆期中）如图，已知四边形ABCD是正方形，E是AB延长线上一点，且BE=BD，则∠BDE的度数是（ ）
A．22.5° B．30° C．45° D．67.5°
4．（2020八下·建湖月考）如图，四边形ABCD是正方形，直线L1、L2、L3，若L1与L2的距离为5，L2与L3的距离7，则正方形ABCD的面积等于（ ）
A．70 B．74 C．144 D．148
5．（2020八下·上蔡期末）下列说法正确的个数是（ ）
①对角线互相垂直或有一组邻边相等的矩形是正方形；②对角线相等或有一个角是直角的菱形是正方形；③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；④对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2020八下·江苏月考）如图，四边形ABCD中，AC、BD交于点O，则根据下列条件能判定它是正方形的是（ ）
A．∠DAB=90°且AD=BC B．AB=BC且AC=BD
C．∠DAB=90°且AC⊥BD D．AC⊥BD且AO=BO=CO=DO
7．（2020八下·木兰期中）顺次连接四边形各边中点所构成的四边形是正方形，则原四边形可能是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
8．（2020八下·淮滨期末）如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，要得到一个正方形，剪口与折痕所成锐角的大小为（ ）
A． B． C． D．
9．（2020八下·邯郸月考）如图①、图②，在给定的一张矩形纸片上作一个正方形，甲、乙两人的作法如下：
甲：以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，以点D为圆心，AD长为半径画弧，交CD于点F，连接EF，则四边形AEFD即为所求；
乙：作∠DAB的平分线，交CD于点M，同理作∠ADC的平分线，交AB于点N，连接MN，则四边形ADMN即为所求．
对于以上两种作法，可以做出的判定是（ ）
A．甲正确，乙不正确 B．甲、乙正确
C．乙正确，甲不正确 D．甲、乙均不正确
10．（2019八下·鹿邑期中）如图，点 、 分别是正方形 的边 、 上的点，且 ， 、 相交于点 ，下列结论：① ；② ；③ ，其中一定正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
11．（2020八上·社旗月考）若一个正方形的面积为a2+a+ ，则此正方形的周长为 .
12．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为
13．（2017八下·重庆期中）如图，E为正方形ABCD对角线BD上一点，且BE=BC，则∠DCE= ．
14．在平行四边形ABCD中，对角线AC，DB相交于点O.要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD.其中正确的是 .(填序号)
15．（2020八下·上饶月考）如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC，则 的值为 ．
三、解答题
16．如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，点F在边BC上，联结BE、DF，DF交对角线AC于点G，且DE=DG；
（1）求证：AE=CG；
（2）求证：BE∥DF．
17．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，点P、Q分别是AB、AC上的一动点，且满足BP=AQ，D是BC的中点．
（1）求证：△PDQ是等腰直角三角形；
（2）当点P运动到什么位置时，四边形APDQ是正方形，并说明理由．
四、综合题
18．（2019八下·柳江期中）如图，点E、H分别在正方形ABCD的边AB、BC上，且AE=BH
求证：
（1）DE=AH
（2）DE⊥AH
19．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，点P，Q分别是AB， AC上的一动点，且满足BP=AQ，D是BC的中点.
（1）求证：△PDQ是等腰直角三角形.
（2）当点P运动到什么位置时，四边形APDQ是正方形，并说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】如图，
正方形的对角线即角平分线，AC、BD交于点O，
则∠CBO 45°.
故答案为：B.
【分析】正方形中对角线分别平分一组对角，根据对角线即角平分线的性质可以解题.
2．【答案】B
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：在正方形ABCD中，∠BAC＝45°，
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB＝67.5°，
∵∠ABE＋∠EBC＝90°，
∴∠EBC＝22.5°，
故答案为：B．
【分析】在正方形中可知∠BAC＝45°，由AB＝AE，进而求出∠ABE，又知∠ABE＋∠EBC＝90°，故能求出∠EBC．
3．【答案】A
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD是正方形 ，
∴∠ABD＝45°，AD＝AB，
∵BE＝BD，
∴∠BED＝∠BDE，
∴∠ABD=∠BED+∠BDE＝45°，
∴2∠BDE＝45°，
∴∠BDE＝22.5°，
故答案为：A.
【分析】由条件BE＝BD，得∠BED＝∠BDE，根据正方形的性质得∠ABD＝45°，根据三角形外角的性质得∠BED+∠BDE＝∠ABD＝45°，从而求得∠BDE.
4．【答案】B
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：如下图，过点A作AE⊥l2于点E，过点C作CF⊥l2于点F，
由辅助线得，∠CBF+∠BCF=90°.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°
∴∠CBF+∠ABE=90°，
∴∠ABE=∠BCF.
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴AE=BF.
由辅助线得，l1到l2，l2到l3的距离分别是线段AE、CF的长，
∴在Rt△BFC中，BC2=BF2+CF2，
即：BC2=52+72=74.
即：正方形ABCD的面积是74.
故答案为：B.
【分析】过点A作AE⊥l2于点E，过点C作CF⊥l2于点F，即线段AE、CF的长分别是l1到l2，l2到l3的距离，通过证明△ABE≌△BCF，得出BF=AE，再根据勾股定理进而得出正方形ABCD的面积即可.
5．【答案】D
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】①对角线互相垂直或有一组邻边相等的矩形是正方形，正确；
②对角线相等或有一个角是直角的菱形是正方形，正确；
③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，正确；
④对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，正确；
综上，四个均正确，
故答案为：D.
【分析】根据正方形的判定方法对各个条件进行分析，从而得到答案.
6．【答案】D
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】A：该条件无法判定它是正方形；
B：该条件无法判定它是正方形；
C：该条件无法判定它是正方形；
D：由AC⊥BD可知该四边形对角线互相垂直，再根据AO=BO=CO=DO可知该四边形对角线相等且平分，所以由此可以判定它是正方形；
故答案为：D.
【分析】根据“对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形”对各选项逐一判断即可.
7．【答案】D
【知识点】正方形的判定与性质
【解析】【解答】∵新四边形是正方形，且正方形各边相等，各角都是90°，
又∵新四边形的各边都平行于原四边形对角线且等于原四边形对角线的一半，
∴原四边形的对角线应相等且垂直，
∴满足条件的原四边形可能是正方形，
故答案为：D．
【分析】根据三角形中位线定理与正方形的性质得出原四边形的对角线应相等且垂直，据此进行判断．
8．【答案】B
【知识点】正方形的判定与性质
【解析】【解答】由题目中的折叠方法，我们可知剪下的是一个四边相等的四边形，即为菱形，
因为有一个角是 的菱形是正方形，
所以剪口与折痕所成锐角的大小为 ，
故答案为：B.
【分析】可动手操作，根据正方形的判定进行求解.
9．【答案】B
【知识点】正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：由甲的作图可知 ， ，
四边形ABCD是矩形
四边形AEFD是矩形
四边形AEFD是正方形，甲符合题意；
如图，AM和DN交于点O，
四边形ABCD是矩形
是∠DAB的平分线， 是∠ADC的平分线，
，
，即 ，
同理可证
且AM和DN互相平分
四边形AEFD是正方形，乙符合题意.
所以甲乙的均符合题意.
故答案为：B.
【分析】由一组邻边相等的矩形是正方形可知甲符合题意，由对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形可知乙符合题意.
10．【答案】C
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAF=∠ADE=90°.
∵CE=DF，∴AF=DE.
∴△ABF≌△DAE.
∴AE=BF；∠AFB=∠AED.
∵∠AED+∠DAE=90°，
∴∠AFB+∠DAE=90°，
∴∠AOF=90°，
即AE⊥BF，故①正确；
若AO=OE，则BO垂直平分AE，
∴AB=BC=BE，这与BE>BC矛盾，故②不正确；
S△AOB=S△ABF-S△AOF，S四边形DEOF=S△ADE-S△AOF，
∵△ABF≌△DAE，
∴S△ABF=S△ADE，
∴S△AOB=S四边形DEOF，故③正确.
故答案为：C.
【分析】根据正方形的性质，运用SAS证明△ABF≌△DAE，运用全等三角形性质逐一解答.
11．【答案】4a+2
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形的面积为a2＋a＋ =（a+ ）2，
∴正方形的边长为a+ ，
∴正方形的周长为4a+2.
故答案为4a+2.
【分析】由完全平方公式可将正方形的面积分解因式得原式=（a+）2，再根据正方形的面积等于边长的平方可将正方形的面积开平方求得边长，然后由正方形的周长=4边长可求解.
12．【答案】
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=1，∠B=90°，
∴AC2=12+22，AC=；
同理可求：AE=（）2，HE=（）3…，
∴第n个正方形的边长an=（）n-1.
故答案为：（）n-1.
【分析】根据正方形的性质得出∠B=90°，AB=BC=1，根据勾股定理求出AC，再次应用勾股定理可以求出AE，依次类推得到规律.
13．【答案】22.5°
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CBE=45°，∠BCD=90°，
∵BE=BC，
∴∠BCE= （180°﹣∠BCE）= ×（180°﹣45°）=67.5°，
∴∠DCE=∠BCD﹣∠BCE=90°﹣67.5°=22.5°．
故答案为：22.5°．
【分析】根据正方形的对角线平分一组对角求出∠CBE=45°，再根据等腰三角形两底角相等求出∠BCE=67.5°，然后根据∠DCE=∠BCD﹣∠BCE计算即可得解．
14．【答案】①③④
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】①AB⊥AD说明有一个角是直角，AB=AD说明有一组邻边相等，有一个角是直角，有一组邻边相等的平行四边形是正方形，所以正确；
②AB=BD说明一条边与对角线相等，AB⊥BD说明一条边与对角线垂直，没有这样的判定条件可以判定平行四边形是正方形，所以错误；
③OB=OC说明对角线相等，OB⊥OC说明对角线互相垂直，对角线相等且垂直的平行四边形是正方形，所以正确；
④AB=AD说明有一组邻边相等，AC=BD说明对角线相等，有一组邻边相等，对角线相等的平行四边形是正方形，所以正确。
故答案为：①③④
【分析】①中有一个角是直角，一组邻边相等的平行四边形叫做正方形，这是正方形的定义，所以能判定平行四边形ABCD是正方形；③中对角线相等说明这个平行四边形是矩形，且对角线互相垂直说明这个平行四边形是菱形，所以这个平行四边形是正方形；④中一组邻边相等说明这个平行四边形是菱形，对角线相等说明这个平行四边形是矩形，所以这个平行四边形是正方形，唯独②中的条件不能判定这个平行四边形是正方形。
15．【答案】
【知识点】正方形的判定与性质
【解析】【解答】设正方形的边长为a，则BC=CD=BP=a，
又∵BC⊥CD，
∴BD= BC= a
∴PD=BD-BP= a-a=( -1)a，
∴ = ，
故答案为：
【分析】设正方形的边长为a，则由正方形的性质即可求解.
16．【答案】证明：（1）∵DE=DG，
∴∠DEG=∠DGE，
∴∠AED=∠CGD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=BC，∠DAC=∠BCE=∠DCA=45°，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（AAS），
∴AE=CG；
（2）在△BCE和△DCE中，
，
∴△BCE≌△DCE （SAS），
∴∠BEC=∠DEG，
∴∠BEC=∠DGE，
∴BE∥DF．
【知识点】正方形的性质
【解析】【分析】（1）先证∠AED=∠CGD，再证明△ADE≌△CDG，根据全等三角形的对应边相等即可得出结论；
（2）先证明△BCE≌△DCE，得出对应角相等∠BEC=∠DEG，得出∠BEC=∠DGE，即可证出平行线．
17．【答案】证明：（1）连接AD
∵△ABC是等腰直角三角形，D是BC的中点
∴AD⊥BC，AD=BD=DC，∠DAQ=∠B，
在△BPD和△AQD中，
，
∴△BPD≌△AQD（SAS），
∴PD=QD，∠ADQ=∠BDP，
∵∠BDP+∠ADP=90°
∴∠ADP+∠ADQ=90°，即∠PDQ=90°，
∴△PDQ为等腰直角三角形；
（2）解：当P点运动到AB的中点时，四边形APDQ是正方形；理由如下：
∵∠BAC=90°，AB=AC，D为BC中点，
∴AD⊥BC，AD=BD=DC，∠B=∠C=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
当P为AB的中点时，DP⊥AB，即∠APD=90°，
又∵∠A=90°，∠PDQ=90°，
∴四边形APDQ为矩形，
又∵DP=AP=AB，
∴矩形APDQ为正方形（邻边相等的矩形为正方形）．
【知识点】正方形的判定
【解析】【分析】（1）连接AD，根据直角三角形的性质可得AD=BD=DC，从而证明△BPD≌△AQD，得到PD=QD，∠ADQ=∠BDP，则△PDQ是等腰三角形；由∠BDP+∠ADP=90°，得出∠ADP+∠ADQ=90°，得到△PDQ是直角三角形，从而证出△PDQ是等腰直角三角形；
（2）若四边形APDQ是正方形，则DP⊥AP，得到P点是AB的中点．
18．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB， ∠DAE=∠ABC，
∵AE=BH
∴△AED≌△BHA（SAS）
∴DE=AH
（2）证明：∵△AED≌△BHA
∴∠EDA=∠HAB
∵∠HAB+∠HAD=90°
∴∠EDA+∠HAD=90°
∴DE⊥AH
【知识点】正方形的性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质可得AD=AB， ∠DAE=∠ABC，然后利用“边角边”证明△AD和△BHA全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=AH；（2）根据全等三角形对应角相等可得∴∠EDA=∠HAB，然后求出∠EDA+∠HAD =∠DAE=90°，判断出AH⊥DE.
19．【答案】（1）证明：连接AD.
∵△ABC是等腰直角三角形，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，AD=BD=DC，∠DAQ=∠B，
又∵BP=AQ，∴△BPD≌△AQD，
∴PD=QD，∠BDP=∠ADQ，
∵∠BDP+∠ADP=90°，
∴∠ADP+∠ADQ=∠PDQ=90°，
∴△PDQ为等腰直角三角形
（2）解：当P点运动到AB的中点时，四边形APDQ是正方形；理由如下：
由(1)知△ABD为等腰直角三角形，
当P为AB的中点时，DP⊥AB，即∠APD=90°，
又∵∠BAC=90°，∠PDQ=90°，
∴四边形APDQ为矩形，
又∵DP=AP= AB，∴四边形APDQ为正方形
【知识点】正方形的判定
【解析】【分析】连接AD，根据直角三角形的性质可得AD=BD=DC，从而证明△BPD≌△AQD，得到PD=QD，∠ADQ=∠BDP，则△PDQ是等腰三角形；由∠BDP+∠ADP=90°，得出∠ADP+∠ADQ=90°，得到△PDQ是直角三角形，从而证出△PDQ是等腰直角三角形；若四边形APDQ是正方形，则DP⊥AB，得到P点是AB的中点．
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