初中数学湘教版八年级下学期期中复习专题10 正方形的性质与判定
一、单选题
1．（2017-2018学年数学浙教版八年级下册5.3.2 正方形的判定 同步练习）如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH的面积是（ ）
A．30 B．34 C．36 D．40
2．（2019八下·汉阳期中）如图，把一个长方形纸片对折两次，然后沿图中虚线剪下一个角，为了得到一个正方形，剪口与折痕所成的角的大小等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
3．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十八章平行四边形 复习专练）如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PD＝ EC；②四边形PECF的周长为8；③△APD一定是等腰三角形；④AP＝EF；⑤EF的最小值为2 ；⑥AP⊥EF．其中正确结论的序号为（ ）
A．①②④⑤⑥ B．①②④⑤ C．②④⑤ D．②④⑤⑥
4．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 18.2.3正方形 同步练习）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（ ）
A．1 B． C．4－2 D．3 －4
5．（2019八上·青岛月考）如图1是边长分别为 的两个正方形，经如图2所示的割补可以得到边长为 的正方形，且面积等于割补前的两正方形的面积之和．利用这个方法可以推得或验证勾股定理．现请你通过对图2的观察指出下面对割补过程的理解错误的是（ ）
A．割⑤补⑥ B．割③补① C．割①补④ D．割③补②
6．（2020八下·哈尔滨期中）下列说法不能判断是正方形的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的平行四边形
B．对角线互相垂直的矩形
C．对角线相等的菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形
7．（2019八下·吉林期末）在四边形 中， ，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，这个条件可以是（ ）
A． B． C． D．
8．（2019八下·卢龙期末）小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使 ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中不正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
9．（2019八上·东平月考）四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，能判定它是正方形的是（ ）
A．AO＝OC，OB＝OD B．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD
C．AO＝OC，OB＝OD，AC⊥BD D．AO＝OC＝OB＝OD
10．（2020八下·广州月考）如图，在四边形ABCD中，点O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ）
A．AC=BD，AB∥CB，AD∥BC B．AD∥BC，∠BAD =∠BCD
C．AO=CO，BO=DO，AB=BC D．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD
11．（2020八下·牡丹江期中）已知四边形 是平行四边形，下列条件：① ；② ；③ ；④ ．选两个作为补充条件，使得四边形 是正方形，其中错误的选法是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
二、填空题
12．（2019八上·民勤月考）如果正方形的对角线长为 ，那么这个正方形的面积为 .
13．（2020八下·海安月考）如图，直线过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直E的距离分别是1和2，则正方形ABCD面积是 .
14．（2018-2019学年初中数学浙教版八年级下册第五章特殊平行四边形 章末检测）如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论：（1）AE=BF；（2）AE⊥BF；（3）AO=OE；（4） ，其中正确的是 (填序号）．
15．（2018八下·合肥期中）已知矩形ABCD，当满足条件 时，它成为正方形 填一个你认为正确条件即可 ．
16．（2020八下·明水期中）如图，四边形ABCD是矩形，则只须补充条件 （用字母表示只添加一个条件）就可以判定四边形ABCD是正方形．
17．（2016八下·广饶开学考）已知：如图所示，E是正方形ABCD边BC延长线一点，若EC=AC，AE交CD于F，则∠AFC= 度．
三、解答题
18．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 18.2.3正方形 同步练习）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.E，G分别是OB，OC上的点，CE与DG的延长线相交于点F.若DF⊥CE，求证：OG＝OE.
19．（2017-2018学年数学浙教版八年级下册5.3.2 正方形的判定 同步练习）如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由
四、综合题
20．（初中数学北师大版八年级上册平行线的证明练习题 (5)）如图，在正方形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE=EF=FD，连接AF、AE、CE、CF，请你判断四边形AECF的形状，并证明你的结论．
21．（2020八下·建湖月考）△ABC中，点O是AC上一动点，过点O作直线MN∥BC，若MN交∠BCA的平分线于点E，交∠DCA的平分线于点F，连接AE、AF.
（1）说明：OE＝OF
（2）当点O运动到AC中点处时，求证：四边形AECF是矩形；
（3）在(2)的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF为正方形，并加以证明.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】由题意可知△AEH，△BFE，△CGF，△DHG都是直角边分别为5cm和3cm的直角三角形，所以这四个直角三角形的面积为：4× ×5×3＝30cm2，而正方形ABCD的面积为64cm2，所以四边形EFGH的面积是34cm2。
故答案为：B.
【分析】四边形EFGH的外围有四个直角三角形， 每个直角三角形面积=（8-5）×5÷2. 则四边形EFGH面积=方形ABCD的面积-四个直角三角形面积.
2．【答案】B
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：动手操作，可得剪切线与折痕所成的角是所得正方形的顶角的一半，即∠α=45°.
故答案为：B.
【分析】将剪裁的图形展开后会发现是一个正方形，而且剪切线与折痕所成的角是所得正方形的顶角的一半，根据正方形的每一条对角线平分一组对角即可得出剪口与折痕所成的角的大小 .
3．【答案】A
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：①如图，延长FP交AB与G，连PC，延长AP交EF与H，
∵GF∥BC，
∴∠DPF＝∠DBC，
∵四边形ABCD是正方形
∴∠DBC＝45°
∴∠DPF＝∠DBC＝45°，
∴∠PDF＝∠DPF＝45°，
∴PF＝EC＝DF，
∴在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝EC2+EC2＝2EC2，
∴DP＝ EC．
故①正确；
②∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°，
∴四边形PECF为矩形，
∴四边形PECF的周长＝2CE+2PE＝2CE+2BE＝2BC＝8，
故②正确；
③∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∠ADP＝45度，
∴当∠PAD＝45度或67.5度或90度时，△APD是等腰三角形，
除此之外，△APD不是等腰三角形，
故③错误．
④∵四边形PECF为矩形，
∴PC＝EF，∠PFE＝∠ECP，
由正方形为轴对称图形，
∴AP＝PC，∠BAP＝∠ECP，
∴AP＝EF，∠PFE＝∠BAP，
故④正确；
⑤由EF＝PC＝AP，
∴当AP最小时，EF最小，
则当AP⊥BD时，即AP＝ BD＝ ＝2 时，EF的最小值等于2 ，
故⑤正确；
⑥∵GF∥BC，
∴∠AGP＝90°，
∴∠BAP+∠APG＝90°，
∵∠APG＝∠HPF，
∴∠PFH+∠HPF＝90°，
∴AP⊥EF，
故⑥正确；
本题正确的有：①②④⑤⑥；
故答案为：A．
【分析】由正方形ABCD，PF⊥CD，易得△PDF是等腰直角三角形，故斜边DP＝ EC；四边形PECF的周长等于CF与PF和的2倍，又PF=DF，即可得四边形PECF周长为CD长的2倍为8；P是动点，不能保证△APD一定是等腰三角形；连接PC后，易得AP=PC，即可得到在矩形PECF中，AP=PC=EF；EF的最小值即AP的最小值，垂线段最短即可得；延长AP交EF于H后，易得∠PFH+∠HPF=90°，从而AP⊥EF。
4．【答案】C
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】连接AC，交BD与点O
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAO=45°，∠AOE=90°
∵∠BAE=22.5°，
∴∠EAO=22.5°
∵EF⊥AB，
∴∠AFE=∠AOE=90°，
∵AE=AE，
∴ΔAEF≌ΔAEO（AAS）
∴OE=EF
设EF=x，由勾股定理可知，BO=AO=，BE=BF=EF，
∵BO=BE+EO，∴，解得：x=，
即EF=
故答案为：C。
【分析】根据正方形的性质可得AC与BD互相垂直且平分，由∠BAC与∠BAE的度数可知∠EAO与∠BAE相等，再由∠EFA与∠AOE都是直角，加上AE这条公共边可知三角形AEF全等于三角形AEO，所以OE=EF，因为三角形BEF是等腰直角三角形，所以BF=EF，根据勾股定理可知BE=，BO=，设EF=x，则BO=BE+EO，即，解得x的值即为EF的值。
5．【答案】B
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
要拼成一个正方形，应当割⑤补⑥，割①补④，割③补②，
故答案为：B．
【分析】根据题意，由正方形的性质，判断得到答案即可。
6．【答案】D
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】A.对角线相互垂直的平行四边形可判断为菱形，又有对角线相等，可得正方形；
B.对角线相互垂直的矩形，可得正方形；
C.对角线相等的菱形，可得正方形；
D.对角线相互垂直平分，仅可推导出菱形，符合题意
故答案为：D
【分析】正方形是特殊的矩形和菱形，要判断是正方形，选项中必须要有1个矩形的特殊条件和1个菱形的特殊条件.
7．【答案】A
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】∵四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
当一组邻边相等时，矩形ABCD为正方形，
这个条件可以是： .
故答案为：A.
【分析】由已知可得该四边形为矩形，再添加条件：一组邻边相等，即可判定为正方形．
8．【答案】B
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，
当②∠ABC=90°时，菱形ABCD是正方形，不合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当②∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形，当AC=BD时，这是矩形的性质，无法得出四边形ABCD是正方形，不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，当③AC=BD时，菱形ABCD是正方形，合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，∴当②∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形，当④AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形，不合题意．
故答案为：C．
【分析】利用矩形、菱形、正方形之间的关系与区别，结合正方形的判定方法逐项分析，证明四边形是正方形可以先证明是矩形，再证明是正方形；也可以先证明是菱形，再证明是正方形.
9．【答案】B
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】∵对角线相等垂直且互相平分的四边形是正方形，
∴选项B符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据正方形的判定定理“对角线相等垂直且互相平分的四边形是正方形”进行解答.
10．【答案】D
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：AO=BO=CO=DO可得四边形ABCD是矩形，再由AC⊥BD可判定这个四边形是正方形，
故答案为：D．
【分析】先证明四边形ABCD是矩形，再根据有一个角是直角的矩形是正方形，进行判断即可。
11．【答案】B
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】 四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，
是菱形，
菱形ABCD是正方形，
A不符合题意；
四边形ABCD是平行四边形，
是矩形，
符合题意；
四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，
是菱形
菱形ABCD是正方形
C不符合题意；
四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，
是矩形，
矩形ABCD是正方形，
不符合题意，
故答案为：B．
【分析】根据菱形、矩形、正方形的判定方法逐项进行分析．
12．【答案】1
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】正方形的面积= .
故答案为：1.
【分析】根据正方形的面积等于对角线乘积的一半求解即可.
13．【答案】5.
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∵AE⊥EF，CF⊥EF，
∴∠AEB=∠BFC=90°，
∴∠ABE+∠CBF=180°-90°=90°，∠ABE+∠EAB=90°，
∴∠EAB=∠CBF，
在△AEB和△BFC中，
，
∴△AEB≌△BFC（AAS），
∴BE=CF=2，
在Rt△AEB中，由勾股定理得： ，
即正方形ABCD的面积是5，
故答案为：5.
【分析】根据正方形性质得出AB=CB，∠ABC=90°，求出∠EAB=∠FBC，证△AEB≌△BFC，求出BE=CF=2，在Rt△AEB中，由勾股定理求出AB，即可求出正方形的面积.
14．【答案】(1)(2)(4)
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD
∴AD=DC=AB，∠ADB=∠BAF=90°，
∵CE=DF
∴AF=DE
在△ABF和△DAE中，
∴△ABF≌△DAE（SAS）
∴AE=BF，故（1）正确；
∴∠DAE-∠ABF
∵∠DAE+∠BAE=90°
∴∠ABF+∠BAE=90°
∴∠AOB=180°-90°=90°
∴AE⊥BF，故（2）正确；
∵△ABF≌△DAE
∴S△ABF=S△DAE
∴S△ABF-S△AOF=S△DAE=S△AOF
即S△AOB=S四边形DEOF，故（4）正确；
若AO=OE，则OA=OF
∴△AOF是等腰直角三角形
∴∠FAO=45°，则点E和点C重合，故AO≠EO，故（3）错误；
故答案为：（1）（2）（4）
【分析】利用正方形的性质，可证得AD=DC=AB，∠ADB=∠BAF=90°，由CE=DF，可得到AF=DE，再证明△ABF≌△DAE，可证AE=BF，∠AOB=90°，可对（2）（1）作出判断，再根据全等三角形的面积相等，可证得S△AOB=S四边形DEOF，可对（4）作出判断；然后证明AO≠OE，可对（3）作出判断；综上所述可得到正确选项的序号。
15．【答案】AB=BC
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】本题答案不唯一，
∵四边形ABCD是矩形，
∴（1）当AB=BC时，矩形ABCD是正方形；（2）当AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形.
故答案为：AB=CD（或AC⊥BD）.
【分析】有一组邻边相等的矩形是正方形，对角线互相垂直的矩形是正方形，据此填空即可.
16．【答案】AB＝AD（答案不唯一）
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：因为有一组邻边相等的矩形是正方形，
故答案为：AB＝AD（答案不唯一）．
【分析】本题中给出在矩形的基础上，可以加上有一组邻边相等即可判定四边形ABCD是正方形．
17．【答案】112.5
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵EC=AC，∠ACD=45°
∴∠E=22.5°
∴∠AFC=90°+22.5=112.5°，
故答案为：112.5°．
【分析】利用正方形的性质和三角形外角定理可求出结果.
18．【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OC=OD，
∴∠DOG=∠EOC=90°，∠OCE+∠CED=90°
∵DF⊥CE，
∴∠EDF+∠CED=90°
∴∠EDF=∠OEC
∴△DOG≌△COE（ASA）
∴OE=OG
【知识点】正方形的性质
【解析】【分析】由四边形ABCD是正方形，对角线互相垂直且互相平分，可知角DOG等于角EOC，DO等于CO，再由已知条件给出的DF与CE垂直，可知角EDF与角DEF互余，这样根据同角的余角相等，可以得到角ODG与角OCE相等，即可证得△DOG与△EOC全等，由全等三角形的对应边相等，可证OG=OE。
19．【答案】（1）证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴平行四边形AEBD是矩形
（2）解：当∠BAC=90°时，
理由：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD=BD=CD，
∵由（1）得四边形AEBD是矩形，
∴矩形AEBD是正方形
【知识点】正方形的判定
【解析】【分析】利用平行四边形的判定首先得出四边形AEBD是平行四边形，进而由等腰三角形的性质得出∠ADB=90°，即可得AEBD是矩形；利用等腰直角三角形的性质得出AD=BD=CD，进而利用正方形的判定得出即可．
20．【答案】解：四边形AECF是菱形．
∵在正方形ABCD中，AB=AD，
∴∠ABE=∠ADF，
又∵BE=DF，
∴△ABE≌△ADF，
∴AE=AF，
同理可得，CE=CF，
∵在正方形ABCD中，CD=AD，∠CDE=∠ADF，DF=DF，
∴△ADF≌△CDF，
∴AF=CF，
∴AE=AF=CF=CE，
∴四边形AECF是菱形．
【知识点】正方形的性质
【解析】【分析】根据正方形的性质，即可判定△ABE≌△ADF，得出AE=AF，CE=CF，判定△ADF≌△CDF，即可得出AF=CF，根据AE=AF=CF=CE，可得四边形AECF是菱形．
21．【答案】（1）证明：∵MN∥BC，
∴∠OFC=∠FCD，
又∵CF平分∠ACD，
∴∠OCF=∠FCD，
∴∠OFC=∠OCF，
∴OF=OC，
同理：OE=OC，
∴OE=OF.
（2）证明：当点O运动到AC中点处时，OA=OC，
由第（1）知，OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形.
∵CF、CE分别是∠ACD和∠ACB的角平分线，
∴∠ACF=∠ACD，∠ACE=∠ACB，
∴∠ACF+∠ACE=∠ACD+∠ACB=（∠ACD+∠ACB）=×180°=90°，
即：∠FCE=90°，
∴四边形AECF是矩形.
（3）解：当点O运动到AC中点处时，且△ABC满足∠ACB是直角的直角三角形时，四边形AECF为正方形.
理由如下：
∵由第（2）问知，当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形.
∵MN∥BC，
∴当∠ACB=90°时，AC⊥EF，四边形AECF是菱形.
∴此时四边形AECF是正方形.
∴△ABC满足∠ACB是直角的直角三角形时，四边形AECF为正方形.
【知识点】正方形的判定
【解析】【分析】（1）由平行线的性质及角平分线，推出∠OFC=∠OCF，进而得出OF=OC，同理：OE=OC，得证；
（2）当点O运动到AC中点处时，OA=OC，由第（1）知，OE=OF，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证出四边形AECF是平行四边形. 由CF、CE分别是∠ACD和∠ACB的角平分线，得出∠ACF+∠ACE=∠ACD+∠ACB=（∠ACD+∠ACB）=×180°=90°，即∠FCE=90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证出结论；
（3）由第（2）问知，当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形. 由题设MN∥BC，当∠ACB=90°时，AC⊥EF，四边形AECF是菱形. 四边形AECF既是矩形，又是菱形，故是正方形.
1 / 1初中数学湘教版八年级下学期期中复习专题10 正方形的性质与判定
一、单选题
1．（2017-2018学年数学浙教版八年级下册5.3.2 正方形的判定 同步练习）如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH的面积是（ ）
A．30 B．34 C．36 D．40
【答案】B
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】由题意可知△AEH，△BFE，△CGF，△DHG都是直角边分别为5cm和3cm的直角三角形，所以这四个直角三角形的面积为：4× ×5×3＝30cm2，而正方形ABCD的面积为64cm2，所以四边形EFGH的面积是34cm2。
故答案为：B.
【分析】四边形EFGH的外围有四个直角三角形， 每个直角三角形面积=（8-5）×5÷2. 则四边形EFGH面积=方形ABCD的面积-四个直角三角形面积.
2．（2019八下·汉阳期中）如图，把一个长方形纸片对折两次，然后沿图中虚线剪下一个角，为了得到一个正方形，剪口与折痕所成的角的大小等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】B
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：动手操作，可得剪切线与折痕所成的角是所得正方形的顶角的一半，即∠α=45°.
故答案为：B.
【分析】将剪裁的图形展开后会发现是一个正方形，而且剪切线与折痕所成的角是所得正方形的顶角的一半，根据正方形的每一条对角线平分一组对角即可得出剪口与折痕所成的角的大小 .
3．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十八章平行四边形 复习专练）如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PD＝ EC；②四边形PECF的周长为8；③△APD一定是等腰三角形；④AP＝EF；⑤EF的最小值为2 ；⑥AP⊥EF．其中正确结论的序号为（ ）
A．①②④⑤⑥ B．①②④⑤ C．②④⑤ D．②④⑤⑥
【答案】A
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：①如图，延长FP交AB与G，连PC，延长AP交EF与H，
∵GF∥BC，
∴∠DPF＝∠DBC，
∵四边形ABCD是正方形
∴∠DBC＝45°
∴∠DPF＝∠DBC＝45°，
∴∠PDF＝∠DPF＝45°，
∴PF＝EC＝DF，
∴在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝EC2+EC2＝2EC2，
∴DP＝ EC．
故①正确；
②∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°，
∴四边形PECF为矩形，
∴四边形PECF的周长＝2CE+2PE＝2CE+2BE＝2BC＝8，
故②正确；
③∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∠ADP＝45度，
∴当∠PAD＝45度或67.5度或90度时，△APD是等腰三角形，
除此之外，△APD不是等腰三角形，
故③错误．
④∵四边形PECF为矩形，
∴PC＝EF，∠PFE＝∠ECP，
由正方形为轴对称图形，
∴AP＝PC，∠BAP＝∠ECP，
∴AP＝EF，∠PFE＝∠BAP，
故④正确；
⑤由EF＝PC＝AP，
∴当AP最小时，EF最小，
则当AP⊥BD时，即AP＝ BD＝ ＝2 时，EF的最小值等于2 ，
故⑤正确；
⑥∵GF∥BC，
∴∠AGP＝90°，
∴∠BAP+∠APG＝90°，
∵∠APG＝∠HPF，
∴∠PFH+∠HPF＝90°，
∴AP⊥EF，
故⑥正确；
本题正确的有：①②④⑤⑥；
故答案为：A．
【分析】由正方形ABCD，PF⊥CD，易得△PDF是等腰直角三角形，故斜边DP＝ EC；四边形PECF的周长等于CF与PF和的2倍，又PF=DF，即可得四边形PECF周长为CD长的2倍为8；P是动点，不能保证△APD一定是等腰三角形；连接PC后，易得AP=PC，即可得到在矩形PECF中，AP=PC=EF；EF的最小值即AP的最小值，垂线段最短即可得；延长AP交EF于H后，易得∠PFH+∠HPF=90°，从而AP⊥EF。
4．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 18.2.3正方形 同步练习）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（ ）
A．1 B． C．4－2 D．3 －4
【答案】C
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】连接AC，交BD与点O
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAO=45°，∠AOE=90°
∵∠BAE=22.5°，
∴∠EAO=22.5°
∵EF⊥AB，
∴∠AFE=∠AOE=90°，
∵AE=AE，
∴ΔAEF≌ΔAEO（AAS）
∴OE=EF
设EF=x，由勾股定理可知，BO=AO=，BE=BF=EF，
∵BO=BE+EO，∴，解得：x=，
即EF=
故答案为：C。
【分析】根据正方形的性质可得AC与BD互相垂直且平分，由∠BAC与∠BAE的度数可知∠EAO与∠BAE相等，再由∠EFA与∠AOE都是直角，加上AE这条公共边可知三角形AEF全等于三角形AEO，所以OE=EF，因为三角形BEF是等腰直角三角形，所以BF=EF，根据勾股定理可知BE=，BO=，设EF=x，则BO=BE+EO，即，解得x的值即为EF的值。
5．（2019八上·青岛月考）如图1是边长分别为 的两个正方形，经如图2所示的割补可以得到边长为 的正方形，且面积等于割补前的两正方形的面积之和．利用这个方法可以推得或验证勾股定理．现请你通过对图2的观察指出下面对割补过程的理解错误的是（ ）
A．割⑤补⑥ B．割③补① C．割①补④ D．割③补②
【答案】B
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
要拼成一个正方形，应当割⑤补⑥，割①补④，割③补②，
故答案为：B．
【分析】根据题意，由正方形的性质，判断得到答案即可。
6．（2020八下·哈尔滨期中）下列说法不能判断是正方形的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的平行四边形
B．对角线互相垂直的矩形
C．对角线相等的菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形
【答案】D
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】A.对角线相互垂直的平行四边形可判断为菱形，又有对角线相等，可得正方形；
B.对角线相互垂直的矩形，可得正方形；
C.对角线相等的菱形，可得正方形；
D.对角线相互垂直平分，仅可推导出菱形，符合题意
故答案为：D
【分析】正方形是特殊的矩形和菱形，要判断是正方形，选项中必须要有1个矩形的特殊条件和1个菱形的特殊条件.
7．（2019八下·吉林期末）在四边形 中， ，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，这个条件可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】∵四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
当一组邻边相等时，矩形ABCD为正方形，
这个条件可以是： .
故答案为：A.
【分析】由已知可得该四边形为矩形，再添加条件：一组邻边相等，即可判定为正方形．
8．（2019八下·卢龙期末）小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使 ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中不正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
【答案】B
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，
当②∠ABC=90°时，菱形ABCD是正方形，不合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当②∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形，当AC=BD时，这是矩形的性质，无法得出四边形ABCD是正方形，不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，当③AC=BD时，菱形ABCD是正方形，合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，∴当②∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形，当④AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形，不合题意．
故答案为：C．
【分析】利用矩形、菱形、正方形之间的关系与区别，结合正方形的判定方法逐项分析，证明四边形是正方形可以先证明是矩形，再证明是正方形；也可以先证明是菱形，再证明是正方形.
9．（2019八上·东平月考）四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，能判定它是正方形的是（ ）
A．AO＝OC，OB＝OD B．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD
C．AO＝OC，OB＝OD，AC⊥BD D．AO＝OC＝OB＝OD
【答案】B
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】∵对角线相等垂直且互相平分的四边形是正方形，
∴选项B符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据正方形的判定定理“对角线相等垂直且互相平分的四边形是正方形”进行解答.
10．（2020八下·广州月考）如图，在四边形ABCD中，点O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ）
A．AC=BD，AB∥CB，AD∥BC B．AD∥BC，∠BAD =∠BCD
C．AO=CO，BO=DO，AB=BC D．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD
【答案】D
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：AO=BO=CO=DO可得四边形ABCD是矩形，再由AC⊥BD可判定这个四边形是正方形，
故答案为：D．
【分析】先证明四边形ABCD是矩形，再根据有一个角是直角的矩形是正方形，进行判断即可。
11．（2020八下·牡丹江期中）已知四边形 是平行四边形，下列条件：① ；② ；③ ；④ ．选两个作为补充条件，使得四边形 是正方形，其中错误的选法是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
【答案】B
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】 四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，
是菱形，
菱形ABCD是正方形，
A不符合题意；
四边形ABCD是平行四边形，
是矩形，
符合题意；
四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，
是菱形
菱形ABCD是正方形
C不符合题意；
四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，
是矩形，
矩形ABCD是正方形，
不符合题意，
故答案为：B．
【分析】根据菱形、矩形、正方形的判定方法逐项进行分析．
二、填空题
12．（2019八上·民勤月考）如果正方形的对角线长为 ，那么这个正方形的面积为 .
【答案】1
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】正方形的面积= .
故答案为：1.
【分析】根据正方形的面积等于对角线乘积的一半求解即可.
13．（2020八下·海安月考）如图，直线过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直E的距离分别是1和2，则正方形ABCD面积是 .
【答案】5.
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∵AE⊥EF，CF⊥EF，
∴∠AEB=∠BFC=90°，
∴∠ABE+∠CBF=180°-90°=90°，∠ABE+∠EAB=90°，
∴∠EAB=∠CBF，
在△AEB和△BFC中，
，
∴△AEB≌△BFC（AAS），
∴BE=CF=2，
在Rt△AEB中，由勾股定理得： ，
即正方形ABCD的面积是5，
故答案为：5.
【分析】根据正方形性质得出AB=CB，∠ABC=90°，求出∠EAB=∠FBC，证△AEB≌△BFC，求出BE=CF=2，在Rt△AEB中，由勾股定理求出AB，即可求出正方形的面积.
14．（2018-2019学年初中数学浙教版八年级下册第五章特殊平行四边形 章末检测）如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论：（1）AE=BF；（2）AE⊥BF；（3）AO=OE；（4） ，其中正确的是 (填序号）．
【答案】(1)(2)(4)
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD
∴AD=DC=AB，∠ADB=∠BAF=90°，
∵CE=DF
∴AF=DE
在△ABF和△DAE中，
∴△ABF≌△DAE（SAS）
∴AE=BF，故（1）正确；
∴∠DAE-∠ABF
∵∠DAE+∠BAE=90°
∴∠ABF+∠BAE=90°
∴∠AOB=180°-90°=90°
∴AE⊥BF，故（2）正确；
∵△ABF≌△DAE
∴S△ABF=S△DAE
∴S△ABF-S△AOF=S△DAE=S△AOF
即S△AOB=S四边形DEOF，故（4）正确；
若AO=OE，则OA=OF
∴△AOF是等腰直角三角形
∴∠FAO=45°，则点E和点C重合，故AO≠EO，故（3）错误；
故答案为：（1）（2）（4）
【分析】利用正方形的性质，可证得AD=DC=AB，∠ADB=∠BAF=90°，由CE=DF，可得到AF=DE，再证明△ABF≌△DAE，可证AE=BF，∠AOB=90°，可对（2）（1）作出判断，再根据全等三角形的面积相等，可证得S△AOB=S四边形DEOF，可对（4）作出判断；然后证明AO≠OE，可对（3）作出判断；综上所述可得到正确选项的序号。
15．（2018八下·合肥期中）已知矩形ABCD，当满足条件 时，它成为正方形 填一个你认为正确条件即可 ．
【答案】AB=BC
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】本题答案不唯一，
∵四边形ABCD是矩形，
∴（1）当AB=BC时，矩形ABCD是正方形；（2）当AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形.
故答案为：AB=CD（或AC⊥BD）.
【分析】有一组邻边相等的矩形是正方形，对角线互相垂直的矩形是正方形，据此填空即可.
16．（2020八下·明水期中）如图，四边形ABCD是矩形，则只须补充条件 （用字母表示只添加一个条件）就可以判定四边形ABCD是正方形．
【答案】AB＝AD（答案不唯一）
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：因为有一组邻边相等的矩形是正方形，
故答案为：AB＝AD（答案不唯一）．
【分析】本题中给出在矩形的基础上，可以加上有一组邻边相等即可判定四边形ABCD是正方形．
17．（2016八下·广饶开学考）已知：如图所示，E是正方形ABCD边BC延长线一点，若EC=AC，AE交CD于F，则∠AFC= 度．
【答案】112.5
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵EC=AC，∠ACD=45°
∴∠E=22.5°
∴∠AFC=90°+22.5=112.5°，
故答案为：112.5°．
【分析】利用正方形的性质和三角形外角定理可求出结果.
三、解答题
18．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 18.2.3正方形 同步练习）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.E，G分别是OB，OC上的点，CE与DG的延长线相交于点F.若DF⊥CE，求证：OG＝OE.
【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OC=OD，
∴∠DOG=∠EOC=90°，∠OCE+∠CED=90°
∵DF⊥CE，
∴∠EDF+∠CED=90°
∴∠EDF=∠OEC
∴△DOG≌△COE（ASA）
∴OE=OG
【知识点】正方形的性质
【解析】【分析】由四边形ABCD是正方形，对角线互相垂直且互相平分，可知角DOG等于角EOC，DO等于CO，再由已知条件给出的DF与CE垂直，可知角EDF与角DEF互余，这样根据同角的余角相等，可以得到角ODG与角OCE相等，即可证得△DOG与△EOC全等，由全等三角形的对应边相等，可证OG=OE。
19．（2017-2018学年数学浙教版八年级下册5.3.2 正方形的判定 同步练习）如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由
【答案】（1）证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴平行四边形AEBD是矩形
（2）解：当∠BAC=90°时，
理由：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD=BD=CD，
∵由（1）得四边形AEBD是矩形，
∴矩形AEBD是正方形
【知识点】正方形的判定
【解析】【分析】利用平行四边形的判定首先得出四边形AEBD是平行四边形，进而由等腰三角形的性质得出∠ADB=90°，即可得AEBD是矩形；利用等腰直角三角形的性质得出AD=BD=CD，进而利用正方形的判定得出即可．
四、综合题
20．（初中数学北师大版八年级上册平行线的证明练习题 (5)）如图，在正方形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE=EF=FD，连接AF、AE、CE、CF，请你判断四边形AECF的形状，并证明你的结论．
【答案】解：四边形AECF是菱形．
∵在正方形ABCD中，AB=AD，
∴∠ABE=∠ADF，
又∵BE=DF，
∴△ABE≌△ADF，
∴AE=AF，
同理可得，CE=CF，
∵在正方形ABCD中，CD=AD，∠CDE=∠ADF，DF=DF，
∴△ADF≌△CDF，
∴AF=CF，
∴AE=AF=CF=CE，
∴四边形AECF是菱形．
【知识点】正方形的性质
【解析】【分析】根据正方形的性质，即可判定△ABE≌△ADF，得出AE=AF，CE=CF，判定△ADF≌△CDF，即可得出AF=CF，根据AE=AF=CF=CE，可得四边形AECF是菱形．
21．（2020八下·建湖月考）△ABC中，点O是AC上一动点，过点O作直线MN∥BC，若MN交∠BCA的平分线于点E，交∠DCA的平分线于点F，连接AE、AF.
（1）说明：OE＝OF
（2）当点O运动到AC中点处时，求证：四边形AECF是矩形；
（3）在(2)的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF为正方形，并加以证明.
【答案】（1）证明：∵MN∥BC，
∴∠OFC=∠FCD，
又∵CF平分∠ACD，
∴∠OCF=∠FCD，
∴∠OFC=∠OCF，
∴OF=OC，
同理：OE=OC，
∴OE=OF.
（2）证明：当点O运动到AC中点处时，OA=OC，
由第（1）知，OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形.
∵CF、CE分别是∠ACD和∠ACB的角平分线，
∴∠ACF=∠ACD，∠ACE=∠ACB，
∴∠ACF+∠ACE=∠ACD+∠ACB=（∠ACD+∠ACB）=×180°=90°，
即：∠FCE=90°，
∴四边形AECF是矩形.
（3）解：当点O运动到AC中点处时，且△ABC满足∠ACB是直角的直角三角形时，四边形AECF为正方形.
理由如下：
∵由第（2）问知，当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形.
∵MN∥BC，
∴当∠ACB=90°时，AC⊥EF，四边形AECF是菱形.
∴此时四边形AECF是正方形.
∴△ABC满足∠ACB是直角的直角三角形时，四边形AECF为正方形.
【知识点】正方形的判定
【解析】【分析】（1）由平行线的性质及角平分线，推出∠OFC=∠OCF，进而得出OF=OC，同理：OE=OC，得证；
（2）当点O运动到AC中点处时，OA=OC，由第（1）知，OE=OF，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证出四边形AECF是平行四边形. 由CF、CE分别是∠ACD和∠ACB的角平分线，得出∠ACF+∠ACE=∠ACD+∠ACB=（∠ACD+∠ACB）=×180°=90°，即∠FCE=90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证出结论；
（3）由第（2）问知，当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形. 由题设MN∥BC，当∠ACB=90°时，AC⊥EF，四边形AECF是菱形. 四边形AECF既是矩形，又是菱形，故是正方形.
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