初中数学湘教版八年级下学期期中复习专题8 矩形的性质与判定
一、单选题
1．（2017八下·厦门期中）下列四边形对角线相等但不一定垂直的是（ ）
A．矩形 B．平行四边形 C．菱形 D．正方形
【答案】A
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】矩形的对角线相等且互相平分，但不一定垂直。
故答案为：A.
【分析】由矩形的性质可得，矩形的对角线相等且互相平分。
2．（2019八下·郾城期中）矩形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．两组对边分别平行
C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等
【答案】A
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：A、对角线相等是矩形的性质，平行四边形不具有；
B、两组对边分别平行是平行四边形的性质，也是矩形的性质；
C、对角线互相平分是平行四边形的性质，也是矩形的性质；
D，两组对角分别相等是平行四边形的性质，也是矩形的性质；
故答案为：A.
【分析】利用矩形的性质，可知矩形的特殊性质：四个角是直角，对角线相等，即可得出答案。
3．（2020八下·镇江月考）如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：连接OP，
∵矩形ABCD，AB=6，BC=8，
∴∠ABC=90°，OA=OD=OC
在Rt△ABC中，
∴OA=OD=5；
∴S矩形ABCD=6×8=48，
∴S△AOD=S矩形ABCD=×48=12；
∵S△AOD=S△AOP+S△POD=
∴
解之：PE+PF=4.8.
故答案为：C
【分析】 连接OP，利用矩形的性质及勾股定理求出AC的长，从而可得到OA、OD的长，利用矩形的面积公式可求出矩形ABCD的面积，再根据S△AOD=S矩形ABCD，求出△AOD的面积，然后由S△AOD=S△AOP+S△POD，利用三角形的面积公式就可求出PE+PF的值。
4．（2019八下·温州期末）如图，矩形ABCD的对角线交于点O．若∠BAO=55°，则∠AOD等于（ ）
A．110° B．115° C．120° D．125°
【答案】A
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OB，∠OAB=∠OBA=55°，∠AOD=∠OAB+∠OBA=55°+55°=110°.
故答案为：A
【分析】由矩形的对角线互相平分得，OA=OB，再由三角形的外角性质得到∠AOD等于∠OAB和∠OBA之和即可求解。
5．矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成2和3两部分，则该矩形的周长是（ ）.
A．12 B．14 C．16 D．14或16
【答案】D
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，BE平分∠ABC交AD于点E，
∴∠ABE=∠EBC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=CD，AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∴AB=AE，
当AE=2，DE=3时，
∴AD=AE+DE=5，AB=AE=2，
∴矩形的周长为2（AD+AB）=2（5+2）=14，
当AE=3，DE=2时，AD=AE+DE=5，AB=AE=3，
矩形的周长为2（AD+AB）=2（5+3）=16，
故答案为：14或16.
【分析】分两种情况讨论，①当AE=2，DE=3时，②当AE=3，DE=2时，分别求出AD与AB的长，利用矩形的周长=（长+宽）×2即可求出结论.
6．如果依次连接四边形各边的中点所得四边形是矩形，那么原来的四边形的两条对角线（ ）
A．相等 B．互相垂直
C．互相平分 D．互相平分且相等
【答案】B
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点所得的图形是矩形．
如图：
∵E、F、G、H分别为各边中点，
∴EF∥GH∥DB，EF=GH= DB，
EH=FG= AC，EH∥FG∥AC，
∵DB⊥AC，
∴EF⊥EH
∴四边形EFGH是矩形．
故答案为：B．
【分析】由于顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形，再由矩形的判定可知，依次连接对角线互相垂直的四边形各边的中点所得四边形是矩形.
7．（2019八下·天台期中）在四边形ABCD中，对角线 互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是矩形，则这个条件可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】∵在四边形ABCD中，对角线AC、BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴（1）当添加∠ABC=90°时，能使平行四边形ABCD是矩形；（2）当添加AC⊥BD时，不能使平行四边形ABCD是矩形；（3）当添加AB=CD时，不能使平行四边形ABCD是矩形；（4）当添加AB∥CD时，不能使平行四边形ABCD是矩形；
故答案为：A.
【分析】题干中已经给出四边形的对角线互相平分，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形ABCD是平行四边形，在平行四边形的基础上要判断该四边形是矩形，只需要添加矩形具有的一条特殊性质：一个内角是直角或对角线相等即可，从而即可一一判断得出答案。
8．下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直且相等的四边形是矩形
C．对角线互相平分的四边形是矩形
D．对角线互相垂直的四边形是矩形
【答案】A
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A选项，对角线互相平分且相等的四边形是矩形，符合题意，正确；
B选项，对角线互相垂直且相等的四边形是正方形，不符合题意，错误；
C选项，对角线互相平分的四边形是平行四边形，不符合题意，错误；
D选项，对角线互相垂直的四边形是矩形，不符合题意，错误。
故答案为：A。
【分析】判断事物的语句叫做命题，其中正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题，根据四边形的判定方法进行判断即可。
9．（2020八下·通州月考）在数学活动课上，老师让同学们判定一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作小组的四位同学的拟订方案，其中正确的是（ ）
A．测量对角线是否互相平分
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量一组对角是否为直角
D．测量两组对边是否相等，再测量对角线是否相等
【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】A、根据对角线互相平分只能得出四边形是平行四边形，故本选项错误；
B、根据对边分别相等，只能得出四边形是平行四边形，故本选项错误；
C、根据一组对角是否为直角不能得出四边形的形状，故本选项错误；
D、根据对边相等可得出四边形是平行四边形，根据对角线相等的平行四边形是矩形可得出此时四边形是矩形，故本选项正确；
故答案为：D.
【分析】利用矩形的性质：矩形的对角线相等，即可得出答案。
10．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知下列6个条件：①AB∥DC；②AB=DC；③AC=BD；④∠ABC=90°；⑤OA=OC；⑥OB=OD.则不能使四边形ABCD成为矩形的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．②⑤⑥ D．④⑤⑥
【答案】C
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、①AB∥CD；②AB=DC可判定四边形是平行四边形，在加上③AC=BD可根据对角线相等的平行四边形是矩形进行判断，故不符合题意；
B、②AB=DC；③AC=BD；④∠ABC=90°，可根据题意判断出△BCD≌△CBA(SSS)，进而得出四边形是矩形进行判定，故不符合题意；
C、⑤OA=OC；⑥OB=OD可判定四边形是平行四边形，再加②AB=DC也不能判定是矩形，故符合题意；
D、⑤OA=OC；⑥OB=OD可判定四边形是平行四边形，再加④∠ABC=90°可根据一个角为直角的平行四边形是矩形进行判定，故不符合题意。
故答案为：C
【分析】选项A，①AB∥CD，②AB=DC可判定四边形是平行四边形，再加上③AC=BD，可根据对角线相等的平行四边形是矩形进行判断；选项B，可根据题意判断出△BCD≌△CBA(SSS)，进而得出四边形是矩形；选项C，⑤OA=OC；⑥OB=OD可判定四边形是平行四边形，再加②AB=DC也不能判定是矩形；选项D，⑤OA=OC；⑥OB=OD可判定四边形是平行四边形，再加④∠ABC=90°可根据一个角为直角的平行四边形是矩形进行判定.
二、填空题
11．（2020八下·秦淮期末）在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，若OA＝2，则BD的长是 .
【答案】4
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，
∴OB=OA=2，
∴BD=4.
故答案为：4.
【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分的性质解答即可.
12．（2019八下·静安期末）在矩形 中, 与 相交于点 ， ,那么 的度数为， ．
【答案】
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】∵四边形 是矩形
∴OA=OC=OB=OD，
∴∠DAO=∠ADO，
∵∠AOB=∠DAO+∠ADO=46°，
∴ = ∠AOB= ×46°=23°
即 =23°．
故答案为：23°.
【分析】根据矩形的性质可得∠OAD=∠ODA，再根据三角形的外角性质可得∠AOB=∠DAO+∠ADO=46°，从而可求∠OAD度数．
13．（2017八下·江苏期中）如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝DC. 在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上的一个条件是 ．
【答案】 （或 或 ）（说明：答案有三类：一是一个内角为直角；二是相邻两角相等；三是对角互补）
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】添加的条件是∠A=90°，
理由是：∵AB∥DC，AB=DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠A=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，
【分析】根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可知只需再加上的一个条件是其中一个角=90度即可。
14．（2017八下·东城期中）在平行四边形 中，若再增加一个条件 ，使平行四边形 能成为矩形（填写一个你认为正确的即可）．
【答案】 或
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】∵有一个角为 的平行四边形为矩形；对角线相等的平行四边形为矩形
∴可增加一个条件是： 或 .
【分析】根据矩形判定定理，便可得到结果。
15．（2020八下·木兰期中）在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O且AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是矩形，则这个条件可以是 (填写一个即可)．
【答案】AC=BD或四边形ABCD有1个内角等于90度．
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】∵对角线AC与BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
要使四边形ABCD成为矩形，
需添加一个条件是：AC=BD或四边形ABCD有1个内角等于90度．
故答案为：AC=BD或四边形ABCD有1个内角等于90度．
【分析】因为在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相平分，所以四边形ABCD是平行四边形，根据矩形的判定，要使四边形ABCD成为矩形，添加的一个条件可以是一个角是直角或者对角线相等，从而得出答案．
三、解答题
16．如图，矩形ABCD中，AC与BD相交于点O．若 AO=3，∠OBC=30°，求矩形的周长和面积．
【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，AO=3，
∴∠ABC=90°，AD=BC，AB=DC，AO=OC，OB=OD，AC=BD，
∴AC=BD=2AO=6，OB=OC，
∴AB= AC=3，
由勾股定理得：BC=3 ，
∴AB=DC=3，AD=BC=3 ，
∴矩形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD=6+6 ，
矩形ABCD的面积是AB×BC=3×3 =9
【知识点】矩形的性质
【解析】【分析】根据矩形的性质得出∠ABC=90°，AD=BC，AB=DC，AO=OC，OB=OD，AC=BD，求出AC=BD=2AO=6，OB=OC，求出AB、BC，最后求出周长和面积即可.
17．（2017八下·卢龙期末）如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，DE和CE相交于E，求证：四边形OCED是菱形。
【答案】证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC与BD相等且互相平分，
∴OD=OC，
∴四边形OCDE是菱形
【知识点】矩形的性质
【解析】【分析】根据矩形对角线相等且互相平分可得OD=OC，由已知条件可得，四边形OCED为平行四边形，因此该四边形为菱形.
18．（2020八下·建湖月考）如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点D、C分别作AC、BD的平行线，交于点E.
求证：四边形ODEC为矩形；
【答案】证明：∵过点D、C分别作AC、BD的平行线，相交于点E.
∴DE∥OC，DO∥CE，
∴四边形ODEC是平行四边形.
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
即∠DOC=90°，
∴四边形ODEC是矩形.
【知识点】矩形的判定
【解析】【分析】根据平行四边形的判定得出四边形ODEC是平行四边形.根据菱形的性质求出∠DOC=90°，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得证.
19．（2017八下·临沧期末）已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，若MA=MC，∠BAN=90°，求证：四边形ADCN是矩形．
【答案】证明：∵CN∥AB，
∴∠DAC=∠NCA，
在△AMD和△CMN中，
∵ ，
∴△AMD≌△CMN（ASA），
∴AD=CN．
又∵AD∥CN，
∴四边形ADCN是平行四边形．
又∵∠BAN=90度，
∴四边形ADCN是矩形
【知识点】矩形的判定
【解析】【分析】通过证明△AMD≌△CMN得到对应边AD=CN；结合已知条件“CN∥AB”判定四边形ADCN是平行四边形；再根据“有一内角为直角的平行四边形是矩形”证得结论．
四、综合题
20．如图所示，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连结AE、CF.
（1）求证：AF＝CE；
（2）若AC＝EF，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论．
【答案】（1）证明：在△ADF和△CDE中，∵AF∥BE，∴∠FAD＝∠ECD.又∵D是AC的中点，∴AD＝CD.∵∠ADF＝∠CDE，∴△ADF≌△CDE，∴AF＝CE.
（2）证明：若AC＝EF，则四边形AFCE是平行四边形．由(1)知AF∥CE，AF＝CE，∴四边形的AFCE是平行四边形，又∵AC＝EF，∴四边形AFCE是矩形
【知识点】矩形的性质
【解析】【分析】由已知条件证明△ADF≌△CDE得到AF＝CE.矩形的对角线相等且互相平分，证明矩形就是证明对角线相等.
21．如图，在等边三角形ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边三角形ADE.
（1）求∠CAE的度数；
（2）取AB边的中点F，连结CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形．
【答案】（1）解：在等边三角形ABC中，
∵点D是BC边的中点，∴∠DAC＝30°.
又∵△ADE为等边三角形，∴∠DAE＝60°.
∴∠CAE＝∠DAE－∠DAC＝30°
（2）解：由(1)知，∠EAF＝90°，
由F为AB的中点知，∠CFA＝90°，∴CF∥EA.
在等边三角形ABC中，CF＝AD.
在等边三角形ADE中，AD＝EA.
∴CF＝EA.
∴四边形AFCE为平行四边形．
又∵∠CFA＝90°，∴四边形AFCE为矩形．
【知识点】矩形的性质
【解析】【分析】根据等边三角形三线合一的特点，易求得∠DAC=30°，则∠CAE=∠DAE-∠DAC．先证明四边形AECF是平行四边形，然后根据∠CFA=∠FAE=90°，由矩形的定义判定四边形AFCE是矩形.
22．（2020八下·建湖月考）如图，在 ABCD中，AC＝8，BD＝12，点E、F在对角线BD上，点E从点B出发以1个单位每秒的速度向点D运动，同时点F从点D出发以相同速度向点B运动，到端点时运动停止，运动时间为t秒．
（1）求证：四边形AECF为平行四边形．
（2）求t为何值时，四边形AECF为矩形．
【答案】（1）证明：在 ABCD中，
∵AD∥BC，AD=BC，
∴∠EBC=∠ADF，
由题意知，BE=DF，
在△BEC与DFA中，
，
∴△BEC≌△DFA中（SAS），
∴CE=AF，
同理：AE=CF，
∴四边形AECF为平行四边形．
（2）解：如下图，
由矩形的性质知OE=OF，OA=OC，由（1）知，要使四边形AECF为矩形即∠EAF是直角即可，这时只需OE=OF=OA=AC=4 cm，
则∠1＝∠2，∠3=∠4，
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴2∠2+2∠3=180°，
∴∠2+∠3=90° ，
即∠EAF=90°，
此时BE=DF=（BD-EF）=×（12-8）=2 cm或BE=DF=12-2=10 cm.
即t=2或t=10时，四边形AECF为矩形．
【知识点】矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形证出四边形AECF为平行四边形；
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证得OE=OF=OA=AC=4 cm，再根据等腰三角形的性质求BE的长即可. 注意分两种情况.
23．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，且AF＝CD，连接CF.
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）若AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
【答案】（1）证明：∵AF∥BC
∴∠AFE=∠DCE，∠FAE=∠CDE
∵点E为AD的中点
∴AE=DE
在△AEF和△DEC中，∵∠AFE=∠DCE，∠EAF=∠CDE，AE=DE
∴△AEF≌△DEC
（2）解：若AB=AC，∴四边形AFBD为矩形，理由如下：
∵AF∥BD，AF=BD
∴四边形AFBD是平行四边形
∵△AEF≌△DEC
∴AF=CD
∵AF=BD
∴CD=BD
∵AB=AC,BD=CD
∴∠ADB=90°
∴平行四边形AFBD为矩形。
【知识点】矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等求出角度相等，根据角角边的判定定理证明三角形全等；
（2）根据（1）的条件，可以证明四边形AFBD为平行四边形，根据等腰三角形的三线合一定理求得∠ADB=90°，证明四边形AFBD为矩形即可。
1 / 1初中数学湘教版八年级下学期期中复习专题8 矩形的性质与判定
一、单选题
1．（2017八下·厦门期中）下列四边形对角线相等但不一定垂直的是（ ）
A．矩形 B．平行四边形 C．菱形 D．正方形
2．（2019八下·郾城期中）矩形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．两组对边分别平行
C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等
3．（2020八下·镇江月考）如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（ ）
A． B． C． D．无法确定
4．（2019八下·温州期末）如图，矩形ABCD的对角线交于点O．若∠BAO=55°，则∠AOD等于（ ）
A．110° B．115° C．120° D．125°
5．矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成2和3两部分，则该矩形的周长是（ ）.
A．12 B．14 C．16 D．14或16
6．如果依次连接四边形各边的中点所得四边形是矩形，那么原来的四边形的两条对角线（ ）
A．相等 B．互相垂直
C．互相平分 D．互相平分且相等
7．（2019八下·天台期中）在四边形ABCD中，对角线 互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是矩形，则这个条件可以是（ ）
A． B． C． D．
8．下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直且相等的四边形是矩形
C．对角线互相平分的四边形是矩形
D．对角线互相垂直的四边形是矩形
9．（2020八下·通州月考）在数学活动课上，老师让同学们判定一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作小组的四位同学的拟订方案，其中正确的是（ ）
A．测量对角线是否互相平分
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量一组对角是否为直角
D．测量两组对边是否相等，再测量对角线是否相等
10．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知下列6个条件：①AB∥DC；②AB=DC；③AC=BD；④∠ABC=90°；⑤OA=OC；⑥OB=OD.则不能使四边形ABCD成为矩形的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．②⑤⑥ D．④⑤⑥
二、填空题
11．（2020八下·秦淮期末）在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，若OA＝2，则BD的长是 .
12．（2019八下·静安期末）在矩形 中, 与 相交于点 ， ,那么 的度数为， ．
13．（2017八下·江苏期中）如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝DC. 在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上的一个条件是 ．
14．（2017八下·东城期中）在平行四边形 中，若再增加一个条件 ，使平行四边形 能成为矩形（填写一个你认为正确的即可）．
15．（2020八下·木兰期中）在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O且AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是矩形，则这个条件可以是 (填写一个即可)．
三、解答题
16．如图，矩形ABCD中，AC与BD相交于点O．若 AO=3，∠OBC=30°，求矩形的周长和面积．
17．（2017八下·卢龙期末）如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，DE和CE相交于E，求证：四边形OCED是菱形。
18．（2020八下·建湖月考）如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点D、C分别作AC、BD的平行线，交于点E.
求证：四边形ODEC为矩形；
19．（2017八下·临沧期末）已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，若MA=MC，∠BAN=90°，求证：四边形ADCN是矩形．
四、综合题
20．如图所示，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连结AE、CF.
（1）求证：AF＝CE；
（2）若AC＝EF，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论．
21．如图，在等边三角形ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边三角形ADE.
（1）求∠CAE的度数；
（2）取AB边的中点F，连结CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形．
22．（2020八下·建湖月考）如图，在 ABCD中，AC＝8，BD＝12，点E、F在对角线BD上，点E从点B出发以1个单位每秒的速度向点D运动，同时点F从点D出发以相同速度向点B运动，到端点时运动停止，运动时间为t秒．
（1）求证：四边形AECF为平行四边形．
（2）求t为何值时，四边形AECF为矩形．
23．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，且AF＝CD，连接CF.
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）若AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】矩形的对角线相等且互相平分，但不一定垂直。
故答案为：A.
【分析】由矩形的性质可得，矩形的对角线相等且互相平分。
2．【答案】A
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：A、对角线相等是矩形的性质，平行四边形不具有；
B、两组对边分别平行是平行四边形的性质，也是矩形的性质；
C、对角线互相平分是平行四边形的性质，也是矩形的性质；
D，两组对角分别相等是平行四边形的性质，也是矩形的性质；
故答案为：A.
【分析】利用矩形的性质，可知矩形的特殊性质：四个角是直角，对角线相等，即可得出答案。
3．【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：连接OP，
∵矩形ABCD，AB=6，BC=8，
∴∠ABC=90°，OA=OD=OC
在Rt△ABC中，
∴OA=OD=5；
∴S矩形ABCD=6×8=48，
∴S△AOD=S矩形ABCD=×48=12；
∵S△AOD=S△AOP+S△POD=
∴
解之：PE+PF=4.8.
故答案为：C
【分析】 连接OP，利用矩形的性质及勾股定理求出AC的长，从而可得到OA、OD的长，利用矩形的面积公式可求出矩形ABCD的面积，再根据S△AOD=S矩形ABCD，求出△AOD的面积，然后由S△AOD=S△AOP+S△POD，利用三角形的面积公式就可求出PE+PF的值。
4．【答案】A
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OB，∠OAB=∠OBA=55°，∠AOD=∠OAB+∠OBA=55°+55°=110°.
故答案为：A
【分析】由矩形的对角线互相平分得，OA=OB，再由三角形的外角性质得到∠AOD等于∠OAB和∠OBA之和即可求解。
5．【答案】D
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，BE平分∠ABC交AD于点E，
∴∠ABE=∠EBC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=CD，AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∴AB=AE，
当AE=2，DE=3时，
∴AD=AE+DE=5，AB=AE=2，
∴矩形的周长为2（AD+AB）=2（5+2）=14，
当AE=3，DE=2时，AD=AE+DE=5，AB=AE=3，
矩形的周长为2（AD+AB）=2（5+3）=16，
故答案为：14或16.
【分析】分两种情况讨论，①当AE=2，DE=3时，②当AE=3，DE=2时，分别求出AD与AB的长，利用矩形的周长=（长+宽）×2即可求出结论.
6．【答案】B
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点所得的图形是矩形．
如图：
∵E、F、G、H分别为各边中点，
∴EF∥GH∥DB，EF=GH= DB，
EH=FG= AC，EH∥FG∥AC，
∵DB⊥AC，
∴EF⊥EH
∴四边形EFGH是矩形．
故答案为：B．
【分析】由于顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形，再由矩形的判定可知，依次连接对角线互相垂直的四边形各边的中点所得四边形是矩形.
7．【答案】A
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】∵在四边形ABCD中，对角线AC、BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴（1）当添加∠ABC=90°时，能使平行四边形ABCD是矩形；（2）当添加AC⊥BD时，不能使平行四边形ABCD是矩形；（3）当添加AB=CD时，不能使平行四边形ABCD是矩形；（4）当添加AB∥CD时，不能使平行四边形ABCD是矩形；
故答案为：A.
【分析】题干中已经给出四边形的对角线互相平分，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形ABCD是平行四边形，在平行四边形的基础上要判断该四边形是矩形，只需要添加矩形具有的一条特殊性质：一个内角是直角或对角线相等即可，从而即可一一判断得出答案。
8．【答案】A
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A选项，对角线互相平分且相等的四边形是矩形，符合题意，正确；
B选项，对角线互相垂直且相等的四边形是正方形，不符合题意，错误；
C选项，对角线互相平分的四边形是平行四边形，不符合题意，错误；
D选项，对角线互相垂直的四边形是矩形，不符合题意，错误。
故答案为：A。
【分析】判断事物的语句叫做命题，其中正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题，根据四边形的判定方法进行判断即可。
9．【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】A、根据对角线互相平分只能得出四边形是平行四边形，故本选项错误；
B、根据对边分别相等，只能得出四边形是平行四边形，故本选项错误；
C、根据一组对角是否为直角不能得出四边形的形状，故本选项错误；
D、根据对边相等可得出四边形是平行四边形，根据对角线相等的平行四边形是矩形可得出此时四边形是矩形，故本选项正确；
故答案为：D.
【分析】利用矩形的性质：矩形的对角线相等，即可得出答案。
10．【答案】C
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、①AB∥CD；②AB=DC可判定四边形是平行四边形，在加上③AC=BD可根据对角线相等的平行四边形是矩形进行判断，故不符合题意；
B、②AB=DC；③AC=BD；④∠ABC=90°，可根据题意判断出△BCD≌△CBA(SSS)，进而得出四边形是矩形进行判定，故不符合题意；
C、⑤OA=OC；⑥OB=OD可判定四边形是平行四边形，再加②AB=DC也不能判定是矩形，故符合题意；
D、⑤OA=OC；⑥OB=OD可判定四边形是平行四边形，再加④∠ABC=90°可根据一个角为直角的平行四边形是矩形进行判定，故不符合题意。
故答案为：C
【分析】选项A，①AB∥CD，②AB=DC可判定四边形是平行四边形，再加上③AC=BD，可根据对角线相等的平行四边形是矩形进行判断；选项B，可根据题意判断出△BCD≌△CBA(SSS)，进而得出四边形是矩形；选项C，⑤OA=OC；⑥OB=OD可判定四边形是平行四边形，再加②AB=DC也不能判定是矩形；选项D，⑤OA=OC；⑥OB=OD可判定四边形是平行四边形，再加④∠ABC=90°可根据一个角为直角的平行四边形是矩形进行判定.
11．【答案】4
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，
∴OB=OA=2，
∴BD=4.
故答案为：4.
【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分的性质解答即可.
12．【答案】
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】∵四边形 是矩形
∴OA=OC=OB=OD，
∴∠DAO=∠ADO，
∵∠AOB=∠DAO+∠ADO=46°，
∴ = ∠AOB= ×46°=23°
即 =23°．
故答案为：23°.
【分析】根据矩形的性质可得∠OAD=∠ODA，再根据三角形的外角性质可得∠AOB=∠DAO+∠ADO=46°，从而可求∠OAD度数．
13．【答案】 （或 或 ）（说明：答案有三类：一是一个内角为直角；二是相邻两角相等；三是对角互补）
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】添加的条件是∠A=90°，
理由是：∵AB∥DC，AB=DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠A=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，
【分析】根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可知只需再加上的一个条件是其中一个角=90度即可。
14．【答案】 或
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】∵有一个角为 的平行四边形为矩形；对角线相等的平行四边形为矩形
∴可增加一个条件是： 或 .
【分析】根据矩形判定定理，便可得到结果。
15．【答案】AC=BD或四边形ABCD有1个内角等于90度．
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】∵对角线AC与BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
要使四边形ABCD成为矩形，
需添加一个条件是：AC=BD或四边形ABCD有1个内角等于90度．
故答案为：AC=BD或四边形ABCD有1个内角等于90度．
【分析】因为在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相平分，所以四边形ABCD是平行四边形，根据矩形的判定，要使四边形ABCD成为矩形，添加的一个条件可以是一个角是直角或者对角线相等，从而得出答案．
16．【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，AO=3，
∴∠ABC=90°，AD=BC，AB=DC，AO=OC，OB=OD，AC=BD，
∴AC=BD=2AO=6，OB=OC，
∴AB= AC=3，
由勾股定理得：BC=3 ，
∴AB=DC=3，AD=BC=3 ，
∴矩形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD=6+6 ，
矩形ABCD的面积是AB×BC=3×3 =9
【知识点】矩形的性质
【解析】【分析】根据矩形的性质得出∠ABC=90°，AD=BC，AB=DC，AO=OC，OB=OD，AC=BD，求出AC=BD=2AO=6，OB=OC，求出AB、BC，最后求出周长和面积即可.
17．【答案】证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC与BD相等且互相平分，
∴OD=OC，
∴四边形OCDE是菱形
【知识点】矩形的性质
【解析】【分析】根据矩形对角线相等且互相平分可得OD=OC，由已知条件可得，四边形OCED为平行四边形，因此该四边形为菱形.
18．【答案】证明：∵过点D、C分别作AC、BD的平行线，相交于点E.
∴DE∥OC，DO∥CE，
∴四边形ODEC是平行四边形.
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
即∠DOC=90°，
∴四边形ODEC是矩形.
【知识点】矩形的判定
【解析】【分析】根据平行四边形的判定得出四边形ODEC是平行四边形.根据菱形的性质求出∠DOC=90°，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得证.
19．【答案】证明：∵CN∥AB，
∴∠DAC=∠NCA，
在△AMD和△CMN中，
∵ ，
∴△AMD≌△CMN（ASA），
∴AD=CN．
又∵AD∥CN，
∴四边形ADCN是平行四边形．
又∵∠BAN=90度，
∴四边形ADCN是矩形
【知识点】矩形的判定
【解析】【分析】通过证明△AMD≌△CMN得到对应边AD=CN；结合已知条件“CN∥AB”判定四边形ADCN是平行四边形；再根据“有一内角为直角的平行四边形是矩形”证得结论．
20．【答案】（1）证明：在△ADF和△CDE中，∵AF∥BE，∴∠FAD＝∠ECD.又∵D是AC的中点，∴AD＝CD.∵∠ADF＝∠CDE，∴△ADF≌△CDE，∴AF＝CE.
（2）证明：若AC＝EF，则四边形AFCE是平行四边形．由(1)知AF∥CE，AF＝CE，∴四边形的AFCE是平行四边形，又∵AC＝EF，∴四边形AFCE是矩形
【知识点】矩形的性质
【解析】【分析】由已知条件证明△ADF≌△CDE得到AF＝CE.矩形的对角线相等且互相平分，证明矩形就是证明对角线相等.
21．【答案】（1）解：在等边三角形ABC中，
∵点D是BC边的中点，∴∠DAC＝30°.
又∵△ADE为等边三角形，∴∠DAE＝60°.
∴∠CAE＝∠DAE－∠DAC＝30°
（2）解：由(1)知，∠EAF＝90°，
由F为AB的中点知，∠CFA＝90°，∴CF∥EA.
在等边三角形ABC中，CF＝AD.
在等边三角形ADE中，AD＝EA.
∴CF＝EA.
∴四边形AFCE为平行四边形．
又∵∠CFA＝90°，∴四边形AFCE为矩形．
【知识点】矩形的性质
【解析】【分析】根据等边三角形三线合一的特点，易求得∠DAC=30°，则∠CAE=∠DAE-∠DAC．先证明四边形AECF是平行四边形，然后根据∠CFA=∠FAE=90°，由矩形的定义判定四边形AFCE是矩形.
22．【答案】（1）证明：在 ABCD中，
∵AD∥BC，AD=BC，
∴∠EBC=∠ADF，
由题意知，BE=DF，
在△BEC与DFA中，
，
∴△BEC≌△DFA中（SAS），
∴CE=AF，
同理：AE=CF，
∴四边形AECF为平行四边形．
（2）解：如下图，
由矩形的性质知OE=OF，OA=OC，由（1）知，要使四边形AECF为矩形即∠EAF是直角即可，这时只需OE=OF=OA=AC=4 cm，
则∠1＝∠2，∠3=∠4，
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴2∠2+2∠3=180°，
∴∠2+∠3=90° ，
即∠EAF=90°，
此时BE=DF=（BD-EF）=×（12-8）=2 cm或BE=DF=12-2=10 cm.
即t=2或t=10时，四边形AECF为矩形．
【知识点】矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形证出四边形AECF为平行四边形；
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证得OE=OF=OA=AC=4 cm，再根据等腰三角形的性质求BE的长即可. 注意分两种情况.
23．【答案】（1）证明：∵AF∥BC
∴∠AFE=∠DCE，∠FAE=∠CDE
∵点E为AD的中点
∴AE=DE
在△AEF和△DEC中，∵∠AFE=∠DCE，∠EAF=∠CDE，AE=DE
∴△AEF≌△DEC
（2）解：若AB=AC，∴四边形AFBD为矩形，理由如下：
∵AF∥BD，AF=BD
∴四边形AFBD是平行四边形
∵△AEF≌△DEC
∴AF=CD
∵AF=BD
∴CD=BD
∵AB=AC,BD=CD
∴∠ADB=90°
∴平行四边形AFBD为矩形。
【知识点】矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等求出角度相等，根据角角边的判定定理证明三角形全等；
（2）根据（1）的条件，可以证明四边形AFBD为平行四边形，根据等腰三角形的三线合一定理求得∠ADB=90°，证明四边形AFBD为矩形即可。
1 / 1
