初中数学苏科版七年级下册 7.4 认识三角形 同步训练
一、单选题
1．下列说法错误的是（ ）
A．任意三角形都有三条高线、中线、角平分线
B．钝角三角形有两条高线在三角形的外部
C．直角三角形只有一条高线
D．锐角三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线分别交于一点
2．（2020七下·天府新期末）能将一个三角形分成面积相等的两个三角形的一条线段是（ ）
A．三角形的高线 B．边的中垂线
C．三角形的中线 D．三角形的角平分线
3．（2020七下·高新期末）在下列各图的△ABC中，正确画出AC边上的高的图形是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2019七下·桥西期末）如图，AD⊥BC，GC⊥BC，CF⊥AB，垂足分别是D、C、F，下列说法中，不正确的是（ ）
A．△ABC中，AD是边BC上的高 B．△ABC中，GC是边BC上的高
C．△GBC中，GC是边BC上的高 D．△GBC中，CF是边BG上的高
5．（2020七下·和平月考）下列哪些线段能组成三角形（ ）
①3cm、3cm、5cm ②3cm、3cm、3cm ③2cm、2cm、4cm ④3cm、5cm、9cm
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
6．（2019七下·迁西期末）如图，D是△ABC的边BC上任意一点，E、F分别是线段AD．CE的中点，且△ABC的面积为20cm2，则△BEF的面积是（ ）
A．10 B．9 C．6 D．5
7．（2020七下·铜仁期末）如图，点 在直线 上移动， 是直线 上的两个定点，且直线 .对于下列各值：①点 到直线 的距离；② 的周长；③ 的面积；④ 的大小.其中不会随点 的移动而变化的是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
8．（2018七上·银海期末）a，b，c为△ABC的三边，化简|a+b+c|－|a－b－c|－|a－b+c|－|a+b－c|，结果是（ ）
A．0 B．2a+2b+2c C．4a D．2b2c
9．（2020七下·渭滨期末）如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，点F为BC的中点，若∠BAC＝104°，∠C＝40°，则有下列结论：①∠BAE＝52°；②∠DAE＝2°；③EF＝ED；④S△ABF＝ S△ABC.其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2017七下·惠山期末）设△ABC的面积为1，如图①将边BC、AC分别2等份，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图②将边BC、AC分别3等份，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S2；……， 依此类推，则S5的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2020七下·厦门期末）在门框钉一根木条能固定住门框，不易变形，这里利用的数学原理是 ．
12．若H是△ABC三条高AD、BE、CF的交点，则△HBC中BC边上的高是 ，△BHA中BH边上的高是 ．
13．（2020七下·张掖期末）从长为3 cm，5cm，7cm，10cm的四根木棒中选出三根组成三角形，共有 种选法.
14．如图，已知AE是△ABC的边BC上的中线，若AB=8cm，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，则AC= cm．
15．（2020七下·上海期中）如图，
AD//BC， BD、AC 相交于点 O， △AOB 的面积为 2， △BOC
的面积为 4，则△DOC 的面积等于 ．
16．（2018七下·黑龙江期中）△ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD把三角形的周长分为9cm和12cm两部分，则此三角形的腰长是 ．
17．（2020七下·江阴期中）如图，△ABC的面积为49cm2，AE＝ED，BD＝3DC，则图中△AEF的面积等于 .
18．（2020七下·无锡期中）如图，四边形ABCD中，E、F、G、H依次是各边中点，O是形内一点，若四边形AEOH、四边形BFOE、四边形CGOF的面积分别为4、5、7，四边形DHOG面积为 .
三、解答题
19．如图，△ABC，按要求完成下列各题：
①画△ABC的中线CD；
②画△ABC的角平分线AE；
③画△ABC的高BF；
④画出把△ABC沿射线BF方向平移3cm后得到的△A1B1C1．
20．如图，在△ABC中，点D、E分别为BC、AD的中点，若S△ABC=1，求S△ABE．
21．如图，已知△ABC的高AD，角平分线AE，∠B=26°，∠ACD=56°，求∠AED的度数。
22．在锐角三角形ABC中，AB＞AC，AM为中线，P为△AMC内一点，证明：PB＞PC（如图）．
23．如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE平分∠BAC，若∠B=42°，∠C=70°，求∠AEC和∠DAE的度数．
24．如图，AD、CE是△ABC的两条高，已知AD=10，CE=9，AB=12．
（1）求△ABC的面积；
（2）求BC的长．
25．（2020七下·衡阳期末）如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，过点E作EF垂直BC，垂足为点F．
（1）∠ABE=15 ，∠BAD=55 ，求∠BED的度数；
（2）若△ABC的面积为30，EF=5，求CD．
26．（2019七下·迁西期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC
（1）若∠B=70°，∠C=30°，求；
①∠BAE的度数．
②∠DAE的度数．
（2）探究：如果只知道∠B=∠C+40°，那么能求岀∠DAE的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：A、任意三角形都有三条高线、中线、角平分线，正确；
B、钝角三角形有两条高线在三角形的外部，正确；
C、∵直角三角形有三条高线，
∴直角三角形只有一条高线，错误；
D、锐角三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线分别交于一点，正确．
故选C．
【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的定义，逐一分析四个选项的正误，由此可得出结论．
2．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：三角形的中线平分三角形的面积，
故答案为：C．
【分析】根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分可直接得到答案．
3．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：AC边上的高就是过B作垂线垂直AC交AC的延长线于D点，因此只有C符合条件，
故答案为：C．
【分析】根据三角形的高的概念判断．
4．【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】A、AD经过△ABC的一个顶点，且AD垂直于BC边所在的直线，所以△ABC中AD是边BC上的高，故此选项不符合题意；
B、GC没有经过BC所对的顶点A，所以△ABC中，GC不是BC边上的高，故此选项符合题意；
C、GC经过△GBC的一个顶点，且GC垂直于BC，所以△GBC中GC是边BC上的高，故此选项不符合题意；
D、CF经过△GBC的一个顶点，且CF垂直于BG，所以△GBC中CF是边BG上的高，故此选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高，据此逐一判断即可.
5．【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：①3+3>5，能组成三角形；
②3+3>3，能组成三角形；
③2+2=4，不能组成三角形；
④3+5<9，不能组成三角形．
故能组成三角形的只有①②．
故答案为：A．
【分析】两条较小的边的和大于最大的边即可构成三角形．
6．【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵点E是AD的中点，
∴S△ABE= S△ABD，S△ACE= S△ADC，
∴S△ABE+S△ACE= S△ABC= ×20=10cm2，
∴S△BCE= S△ABC= ×20=10cm2，
∵点F是CE的中点，
∴S△BEF= S△BCE= ×10=5cm2．
故答案为：D．
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可．
7．【答案】B
【知识点】点到直线的距离；平行线之间的距离；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵直线 ，
∴①点 到直线 的距离不会随点 的移动而变化；
∵PA、PB的长随点P的移动而变化，
∴②△PAB的周长会随点 的移动而变化，④∠APB的大小会随点 的移动而变化；
∵点 到直线 的距离不变，AB的长度不变，
∴③△PAB的面积不会随点 的移动而变化；
综上，不会随点 的移动而变化的是①③.
故答案为：B.
【分析】根据平行线间的距离不变即可判断①；根据三角形的周长和点P的运动变化可判断②④；根据同底等高的三角形的面积相等可判断③；进而可得答案.
8．【答案】A
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；三角形三边关系
【解析】【解答】|a+b+c| |a b c| |a b+c| |a+b c|，=a+b+c+a b c a+b c a b+c=0.
故答案为：A.
【分析】利用三角形三边关系定理，可知a+b+c＞0，a b c＜0，a b+c＞0，a+b c＞0，再化简绝对值，然后合并同类项可得出结果。
9．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：∵AE是△ABC的角平分线，∠BAC＝104°，
∴∠BAE=∠CAE＝ =52°；
①正确；
∵AD⊥BC，∠C＝40°，
∴∠CAD=90°-40°=50°；
∴∠DAE＝∠CAE -∠CAD =2°；
②正确；
∵F为BC的中点，
∴S△ABF＝ S△ABC.
④正确.
根据已知条件不能够判定③正确.
综上，正确的结论为①②④，共3个，
故答案为：C.
【分析】根据角平分线的定义可判定①,根据角平分线的定义及垂直的定义求得∠CAE=52°,∠CAD=50°,再由∠DAE＝∠CAE -∠CAD即可判定②；根据三角形中线的性质即可判定④；③根据已知条件判定不出，由此即可解答.
10．【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】如图①，连接OC，
由 、 分别将边BC、AC2等份， ，所以 ，即 ，根据等底同高的两个三角形的面积相等可得
所以 ，即可求得 ，所以 ；
如图②，连接OC， OD1，OE2，
由图（1）的方法可得
，
所以
，
同样的方法可求得 ，以此类推可得 .故答案为：D.
【分析】根据等底同高的两个三角形的面积相等，找出面积相等的三角形，由中线定义求出5等分点的面积值.
11．【答案】三角形的稳定性
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：在刚做好的门框架上，为了避免门框变形，在框架上斜钉一根木条，
故这种做法根据的是三角形的稳定性．
故答案为：三角形的稳定性．
【分析】用木条固定矩形门框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释．
12．【答案】HD；AE
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解： △HBC中BC边上的高是HD，△BHA中BH边上的高是AE
【分析】根据三角形高的定义可得.三角形的高即从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高.
13．【答案】2
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边
则有以下两种选法：
（ 1 ）选 三根木棒， ，满足三角形的三边关系定理
（ 2 ）选 三根木棒， ，满足三角形的三边关系定理
故答案为：2.
【分析】根据三角形的三边关系定理即可得.
14．【答案】10
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解： ∵AE是△ABC的边BC上的中线，
∴CE=BE，
又∵AE=AE，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，
∴AC﹣AB=2cm，
即AC﹣8=2cm，
∴AC=10cm，
故答案为：10
【分析】根据AE是△ABC的边BC上的中线可得CE=BE，再由 △ACE的周长比△AEB的周长多2cm， 可得AC-AB=2cm，从而求出AC的长.
15．【答案】2
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】∵AD∥BC，
∴点A、点D到直线BC的距离相等，
∴S△ABC =S△DBC，
∴S△ABC -S△BOC = S△DBC -S△BOC，
∴S△AOB =S△DOC =2，
故答案为：2．
【分析】由于AD∥BC，则点A、点D到直线BC的距离相等，利用三角形面积公式得到S△ABC=S△DBC，两三角形的面积都减去△BOC的面积，即可求解．
16．【答案】8cm或6cm
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据题意画出图形，如图，
设等腰三角形的腰长AB=AC=2x，BC=y，
∵BD是腰上的中线，
∴AD=DC=x，
若AB+AD的长为12，则2x+x=12，解得x=4cm，
则x+y=9，即4+y=9，解得y=5cm；
若AB+AD的长为9，则2x+x=9，解得x=3cm，
则x+y=12，即3+y=12，解得y=9cm；
所以等腰三角形的腰长为8cm或6cm．
故答案为：8cm或6cm．
【分析】由于本题没有说明把三角形分成两部分后哪部分长为9cm或12cm，所以需分情况说明，当AB+=9时，AB=6cm，因为三角形的周长为21cm，所以底边长为9cm，6+6>9，所以成立. 当时，AB=8cm，底边长为5cm，因为8+8>5，所以成立.
17．【答案】
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：如图：
∵BD＝3DC，△ABC的面积为49cm2，
∴S△ABD＝S△ABC＝cm2，S△ADC＝S△ABC＝cm2，
∵AE＝ED，
∴S△BED＝S△ABD＝cm2，S△AEF＝S△EFD，
∴S△BDF＝S△BED＋S△AEF＝＋S△AEF，
∵BD＝3DC，
∴S△FDC＝S△BDF＝＋S△AEF，
∵S△ADC＝S△AEF＋S△EFD＋S△FDC，
∴＝2S△AEF＋＋S△AEF，
∴S△AEF＝cm2.
故答案为： .
【分析】连接DF，根据AE＝ED，BD＝3DC，及同高三角形的面积的关系得出S△AEF＝S△EFD，S△ABE＝S△BED，S△BDF＝3S△FDC，S△ABD＝3S△ADC，根据△ABC的面积等于49cm2即可得出S△ABD＝S△ABC＝cm2，S△ADC＝S△ABC＝cm2，S△BED＝S△ABD＝cm2，S△BDF＝S△BED＋S△AEF＝＋S△AEF，S△FDC＝S△BDF＝＋S△AEF，最后根据S△ADC＝S△AEF＋S△EFD＋S△FDC，建立方程，求解即可.
18．【答案】6
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】连接OC，OB，OA，OD，
∵E、F、G、H依次是各边中点，
∴△AOE和△BOE等底等高，
∴S△OAE＝S△OBE，
同理可证，S△OBF＝S△OCF，S△ODG＝S△OCG，S△ODH＝S△OAH，
∴S四边形AEOH＋S四边形CGOF＝S四边形DHOG＋S四边形BFOE，
∵S四边形AEOH＝4，S四边形BFOE＝5，S四边形CGOF＝7，
∴4＋7＝5＋S四边形DHOG，
解得，S四边形DHOG＝6.
故答案为：6.
【分析】连接OC，OB，OA，OD，易证S△OBF＝S△OCF，S△ODG＝S△OCG，S△ODH＝S△OAH，S△OAE＝S△OBE，所以S四边形AEOH＋S四边形CGOF＝S四边形DHOG＋S四边形BFOE，所以可以求出S四边形DHOG.
19．【答案】解：如图所示：
．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；作图﹣平移
【解析】【分析】①首先确定AB中点，再连接CD即可；②利用量角器∠A的度数，在算出平分时的角度，以A为端点画射线，与BC的交点记作E；③延长CA，利用直角三角板，一条直角边与AC重合，沿AC平移，是另一直角边过B，再以B为端点沿直角边画射线交CA得延长线于F；④在BF上截取BB1=3cm，再过A、C画BF的平行线，使AA1=CC1=BB1=3cm，然后再连接A1、B1、C1即可．
20．【答案】解：∵点D、E分别是BC、AD边的中点，
∴S△ABD= S△ABC，S△ABE= S△ABD，
∴S△ABE= S△ABC，
∵S△ABC=1，
∴S△ABE=1× = ．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【分析】根据三角形的中线平分三角形面积可得
S△ABE= S△ABC ，代入求解得出答案.
21．【答案】解：∵∠B=26°，∠ACD=56°
∴∠BAC=30°
∵AE平分∠BAC
∴∠BAE=15°
∴∠AED=∠B+∠BAE=41°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【分析】利用三角形内角和定理和平分线定义，运用外角定理即可求出答案.
22．【答案】证明：在△AMB与△AMC中，AM是公共边，BM=MC，且AB＞AC，
∴∠AMB＞∠AMC，
∴∠AMC＜90°．
过点P作PH⊥BC，垂足为H，则H必定在线段BM的延长线上．
如果H在线段MC内部，则BH＞BM=MC＞HC．
所以PB＞PC．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形三边关系
【解析】【分析】在△AMB和△AMC中，由AM是中线，可得出AB＞AC，根据再两边对应相等的两个三角形中，第三边大的对应的角也大，可证得∠AMC＜90°， 再过点P作PH⊥BC，垂足为H，则H必定在线段BM的延长线上，就可得出 BH＞BM=MC＞HC，继而可证得结论。
23．【答案】解：∵∠B=42°，∠C=70°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=68°，
∵AE是角平分线，
∴∠EAC= ∠BAC=34°．
∵AD是高，∠C=70°，
∴∠DAC=90°﹣∠C=20°，
∴∠EAD=∠EAC﹣∠DAC=34°﹣20°=14°，
∠AEC=90°﹣14°=76°．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【分析】由三角形内角和定理可求得∠BAC的度数，在Rt△ADC中，可求得∠DAC的度数，AE是角平分线，有∠EAC= ∠BAC，故∠EAD=∠EAC﹣∠DAC．
24．【答案】（1）解：∵CE=9，AB=12，
∴△ABC的面积= ×12×9=54；
（2）解：△ABC的面积= BC AD=54，
即 BC 10=54，
解得BC= ．
【知识点】三角形的面积
【解析】【分析】（1）根据三角形的面积公式计算即可得解；
（2）根据△ABC的面积列式计算即可得解.
25．【答案】（1）解：如图，∠BED是△ABE的一个外角，
∵∠ABE=15°，∠BAD=55°，
∴∠BED=∠ABE+∠BAD
=15°+55°
=70°；
（2）解：∵AD是△ABC的中线，
∴S△ABD= S△ABC，
又∵S△ABC=30，
∴S△ABD= ×30=15，
又∵BE为△ABD的中线，
∴S△BDE= S△ABD，
∴S△BDE= ×15= ，
∵EF⊥BC，且EF=5
∴S△BDE = BD EF，
∴ BD×5= ，
∴BD=3，
∴CD=BD=3．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；三角形的外角性质
【解析】【分析】（1）根据三角形内角与外角的性质解答即可；（2）根据三角形的中线将三角形分成两个三角形得到S△BDE= ，根据三角形面积公式求得CD=BD=3．
26．【答案】（1）解：①∵∠B=70°，∠C=30°，
∴∠BAC=180°-70°-30°=80°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=40°；
②∵AD⊥BC，∠B=70°，
∴∠BAD=90°-∠B=90°-70°=20°，
而∠BAE=40°，
∴∠DAE=20°
（2）解：∵AE为角平分线，
∴∠BAE= （180°-∠B-∠C），
∵∠BAD=90°-∠B，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD= （180°-∠B-∠C）-（90°-∠B）= （∠B-∠C），
又∵∠B=∠C+40°，
∴∠B-∠C=40°，
∴∠DAE=20°．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【分析】（1）①利用三角形的内角和定理求出∠BAC，再利用角平分线定义求∠BAE．②先求出∠BAD，就可知道∠DAE的度数．（2）用∠B，∠C表示∠DAE，即可求岀∠DAE的度数．
1 / 1初中数学苏科版七年级下册 7.4 认识三角形 同步训练
一、单选题
1．下列说法错误的是（ ）
A．任意三角形都有三条高线、中线、角平分线
B．钝角三角形有两条高线在三角形的外部
C．直角三角形只有一条高线
D．锐角三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线分别交于一点
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：A、任意三角形都有三条高线、中线、角平分线，正确；
B、钝角三角形有两条高线在三角形的外部，正确；
C、∵直角三角形有三条高线，
∴直角三角形只有一条高线，错误；
D、锐角三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线分别交于一点，正确．
故选C．
【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的定义，逐一分析四个选项的正误，由此可得出结论．
2．（2020七下·天府新期末）能将一个三角形分成面积相等的两个三角形的一条线段是（ ）
A．三角形的高线 B．边的中垂线
C．三角形的中线 D．三角形的角平分线
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：三角形的中线平分三角形的面积，
故答案为：C．
【分析】根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分可直接得到答案．
3．（2020七下·高新期末）在下列各图的△ABC中，正确画出AC边上的高的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：AC边上的高就是过B作垂线垂直AC交AC的延长线于D点，因此只有C符合条件，
故答案为：C．
【分析】根据三角形的高的概念判断．
4．（2019七下·桥西期末）如图，AD⊥BC，GC⊥BC，CF⊥AB，垂足分别是D、C、F，下列说法中，不正确的是（ ）
A．△ABC中，AD是边BC上的高 B．△ABC中，GC是边BC上的高
C．△GBC中，GC是边BC上的高 D．△GBC中，CF是边BG上的高
【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】A、AD经过△ABC的一个顶点，且AD垂直于BC边所在的直线，所以△ABC中AD是边BC上的高，故此选项不符合题意；
B、GC没有经过BC所对的顶点A，所以△ABC中，GC不是BC边上的高，故此选项符合题意；
C、GC经过△GBC的一个顶点，且GC垂直于BC，所以△GBC中GC是边BC上的高，故此选项不符合题意；
D、CF经过△GBC的一个顶点，且CF垂直于BG，所以△GBC中CF是边BG上的高，故此选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高，据此逐一判断即可.
5．（2020七下·和平月考）下列哪些线段能组成三角形（ ）
①3cm、3cm、5cm ②3cm、3cm、3cm ③2cm、2cm、4cm ④3cm、5cm、9cm
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：①3+3>5，能组成三角形；
②3+3>3，能组成三角形；
③2+2=4，不能组成三角形；
④3+5<9，不能组成三角形．
故能组成三角形的只有①②．
故答案为：A．
【分析】两条较小的边的和大于最大的边即可构成三角形．
6．（2019七下·迁西期末）如图，D是△ABC的边BC上任意一点，E、F分别是线段AD．CE的中点，且△ABC的面积为20cm2，则△BEF的面积是（ ）
A．10 B．9 C．6 D．5
【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵点E是AD的中点，
∴S△ABE= S△ABD，S△ACE= S△ADC，
∴S△ABE+S△ACE= S△ABC= ×20=10cm2，
∴S△BCE= S△ABC= ×20=10cm2，
∵点F是CE的中点，
∴S△BEF= S△BCE= ×10=5cm2．
故答案为：D．
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可．
7．（2020七下·铜仁期末）如图，点 在直线 上移动， 是直线 上的两个定点，且直线 .对于下列各值：①点 到直线 的距离；② 的周长；③ 的面积；④ 的大小.其中不会随点 的移动而变化的是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【答案】B
【知识点】点到直线的距离；平行线之间的距离；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵直线 ，
∴①点 到直线 的距离不会随点 的移动而变化；
∵PA、PB的长随点P的移动而变化，
∴②△PAB的周长会随点 的移动而变化，④∠APB的大小会随点 的移动而变化；
∵点 到直线 的距离不变，AB的长度不变，
∴③△PAB的面积不会随点 的移动而变化；
综上，不会随点 的移动而变化的是①③.
故答案为：B.
【分析】根据平行线间的距离不变即可判断①；根据三角形的周长和点P的运动变化可判断②④；根据同底等高的三角形的面积相等可判断③；进而可得答案.
8．（2018七上·银海期末）a，b，c为△ABC的三边，化简|a+b+c|－|a－b－c|－|a－b+c|－|a+b－c|，结果是（ ）
A．0 B．2a+2b+2c C．4a D．2b2c
【答案】A
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；三角形三边关系
【解析】【解答】|a+b+c| |a b c| |a b+c| |a+b c|，=a+b+c+a b c a+b c a b+c=0.
故答案为：A.
【分析】利用三角形三边关系定理，可知a+b+c＞0，a b c＜0，a b+c＞0，a+b c＞0，再化简绝对值，然后合并同类项可得出结果。
9．（2020七下·渭滨期末）如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，点F为BC的中点，若∠BAC＝104°，∠C＝40°，则有下列结论：①∠BAE＝52°；②∠DAE＝2°；③EF＝ED；④S△ABF＝ S△ABC.其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：∵AE是△ABC的角平分线，∠BAC＝104°，
∴∠BAE=∠CAE＝ =52°；
①正确；
∵AD⊥BC，∠C＝40°，
∴∠CAD=90°-40°=50°；
∴∠DAE＝∠CAE -∠CAD =2°；
②正确；
∵F为BC的中点，
∴S△ABF＝ S△ABC.
④正确.
根据已知条件不能够判定③正确.
综上，正确的结论为①②④，共3个，
故答案为：C.
【分析】根据角平分线的定义可判定①,根据角平分线的定义及垂直的定义求得∠CAE=52°,∠CAD=50°,再由∠DAE＝∠CAE -∠CAD即可判定②；根据三角形中线的性质即可判定④；③根据已知条件判定不出，由此即可解答.
10．（2017七下·惠山期末）设△ABC的面积为1，如图①将边BC、AC分别2等份，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图②将边BC、AC分别3等份，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S2；……， 依此类推，则S5的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】如图①，连接OC，
由 、 分别将边BC、AC2等份， ，所以 ，即 ，根据等底同高的两个三角形的面积相等可得
所以 ，即可求得 ，所以 ；
如图②，连接OC， OD1，OE2，
由图（1）的方法可得
，
所以
，
同样的方法可求得 ，以此类推可得 .故答案为：D.
【分析】根据等底同高的两个三角形的面积相等，找出面积相等的三角形，由中线定义求出5等分点的面积值.
二、填空题
11．（2020七下·厦门期末）在门框钉一根木条能固定住门框，不易变形，这里利用的数学原理是 ．
【答案】三角形的稳定性
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：在刚做好的门框架上，为了避免门框变形，在框架上斜钉一根木条，
故这种做法根据的是三角形的稳定性．
故答案为：三角形的稳定性．
【分析】用木条固定矩形门框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释．
12．若H是△ABC三条高AD、BE、CF的交点，则△HBC中BC边上的高是 ，△BHA中BH边上的高是 ．
【答案】HD；AE
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解： △HBC中BC边上的高是HD，△BHA中BH边上的高是AE
【分析】根据三角形高的定义可得.三角形的高即从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高.
13．（2020七下·张掖期末）从长为3 cm，5cm，7cm，10cm的四根木棒中选出三根组成三角形，共有 种选法.
【答案】2
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边
则有以下两种选法：
（ 1 ）选 三根木棒， ，满足三角形的三边关系定理
（ 2 ）选 三根木棒， ，满足三角形的三边关系定理
故答案为：2.
【分析】根据三角形的三边关系定理即可得.
14．如图，已知AE是△ABC的边BC上的中线，若AB=8cm，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，则AC= cm．
【答案】10
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解： ∵AE是△ABC的边BC上的中线，
∴CE=BE，
又∵AE=AE，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，
∴AC﹣AB=2cm，
即AC﹣8=2cm，
∴AC=10cm，
故答案为：10
【分析】根据AE是△ABC的边BC上的中线可得CE=BE，再由 △ACE的周长比△AEB的周长多2cm， 可得AC-AB=2cm，从而求出AC的长.
15．（2020七下·上海期中）如图，
AD//BC， BD、AC 相交于点 O， △AOB 的面积为 2， △BOC
的面积为 4，则△DOC 的面积等于 ．
【答案】2
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】∵AD∥BC，
∴点A、点D到直线BC的距离相等，
∴S△ABC =S△DBC，
∴S△ABC -S△BOC = S△DBC -S△BOC，
∴S△AOB =S△DOC =2，
故答案为：2．
【分析】由于AD∥BC，则点A、点D到直线BC的距离相等，利用三角形面积公式得到S△ABC=S△DBC，两三角形的面积都减去△BOC的面积，即可求解．
16．（2018七下·黑龙江期中）△ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD把三角形的周长分为9cm和12cm两部分，则此三角形的腰长是 ．
【答案】8cm或6cm
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据题意画出图形，如图，
设等腰三角形的腰长AB=AC=2x，BC=y，
∵BD是腰上的中线，
∴AD=DC=x，
若AB+AD的长为12，则2x+x=12，解得x=4cm，
则x+y=9，即4+y=9，解得y=5cm；
若AB+AD的长为9，则2x+x=9，解得x=3cm，
则x+y=12，即3+y=12，解得y=9cm；
所以等腰三角形的腰长为8cm或6cm．
故答案为：8cm或6cm．
【分析】由于本题没有说明把三角形分成两部分后哪部分长为9cm或12cm，所以需分情况说明，当AB+=9时，AB=6cm，因为三角形的周长为21cm，所以底边长为9cm，6+6>9，所以成立. 当时，AB=8cm，底边长为5cm，因为8+8>5，所以成立.
17．（2020七下·江阴期中）如图，△ABC的面积为49cm2，AE＝ED，BD＝3DC，则图中△AEF的面积等于 .
【答案】
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：如图：
∵BD＝3DC，△ABC的面积为49cm2，
∴S△ABD＝S△ABC＝cm2，S△ADC＝S△ABC＝cm2，
∵AE＝ED，
∴S△BED＝S△ABD＝cm2，S△AEF＝S△EFD，
∴S△BDF＝S△BED＋S△AEF＝＋S△AEF，
∵BD＝3DC，
∴S△FDC＝S△BDF＝＋S△AEF，
∵S△ADC＝S△AEF＋S△EFD＋S△FDC，
∴＝2S△AEF＋＋S△AEF，
∴S△AEF＝cm2.
故答案为： .
【分析】连接DF，根据AE＝ED，BD＝3DC，及同高三角形的面积的关系得出S△AEF＝S△EFD，S△ABE＝S△BED，S△BDF＝3S△FDC，S△ABD＝3S△ADC，根据△ABC的面积等于49cm2即可得出S△ABD＝S△ABC＝cm2，S△ADC＝S△ABC＝cm2，S△BED＝S△ABD＝cm2，S△BDF＝S△BED＋S△AEF＝＋S△AEF，S△FDC＝S△BDF＝＋S△AEF，最后根据S△ADC＝S△AEF＋S△EFD＋S△FDC，建立方程，求解即可.
18．（2020七下·无锡期中）如图，四边形ABCD中，E、F、G、H依次是各边中点，O是形内一点，若四边形AEOH、四边形BFOE、四边形CGOF的面积分别为4、5、7，四边形DHOG面积为 .
【答案】6
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】连接OC，OB，OA，OD，
∵E、F、G、H依次是各边中点，
∴△AOE和△BOE等底等高，
∴S△OAE＝S△OBE，
同理可证，S△OBF＝S△OCF，S△ODG＝S△OCG，S△ODH＝S△OAH，
∴S四边形AEOH＋S四边形CGOF＝S四边形DHOG＋S四边形BFOE，
∵S四边形AEOH＝4，S四边形BFOE＝5，S四边形CGOF＝7，
∴4＋7＝5＋S四边形DHOG，
解得，S四边形DHOG＝6.
故答案为：6.
【分析】连接OC，OB，OA，OD，易证S△OBF＝S△OCF，S△ODG＝S△OCG，S△ODH＝S△OAH，S△OAE＝S△OBE，所以S四边形AEOH＋S四边形CGOF＝S四边形DHOG＋S四边形BFOE，所以可以求出S四边形DHOG.
三、解答题
19．如图，△ABC，按要求完成下列各题：
①画△ABC的中线CD；
②画△ABC的角平分线AE；
③画△ABC的高BF；
④画出把△ABC沿射线BF方向平移3cm后得到的△A1B1C1．
【答案】解：如图所示：
．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；作图﹣平移
【解析】【分析】①首先确定AB中点，再连接CD即可；②利用量角器∠A的度数，在算出平分时的角度，以A为端点画射线，与BC的交点记作E；③延长CA，利用直角三角板，一条直角边与AC重合，沿AC平移，是另一直角边过B，再以B为端点沿直角边画射线交CA得延长线于F；④在BF上截取BB1=3cm，再过A、C画BF的平行线，使AA1=CC1=BB1=3cm，然后再连接A1、B1、C1即可．
20．如图，在△ABC中，点D、E分别为BC、AD的中点，若S△ABC=1，求S△ABE．
【答案】解：∵点D、E分别是BC、AD边的中点，
∴S△ABD= S△ABC，S△ABE= S△ABD，
∴S△ABE= S△ABC，
∵S△ABC=1，
∴S△ABE=1× = ．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【分析】根据三角形的中线平分三角形面积可得
S△ABE= S△ABC ，代入求解得出答案.
21．如图，已知△ABC的高AD，角平分线AE，∠B=26°，∠ACD=56°，求∠AED的度数。
【答案】解：∵∠B=26°，∠ACD=56°
∴∠BAC=30°
∵AE平分∠BAC
∴∠BAE=15°
∴∠AED=∠B+∠BAE=41°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【分析】利用三角形内角和定理和平分线定义，运用外角定理即可求出答案.
22．在锐角三角形ABC中，AB＞AC，AM为中线，P为△AMC内一点，证明：PB＞PC（如图）．
【答案】证明：在△AMB与△AMC中，AM是公共边，BM=MC，且AB＞AC，
∴∠AMB＞∠AMC，
∴∠AMC＜90°．
过点P作PH⊥BC，垂足为H，则H必定在线段BM的延长线上．
如果H在线段MC内部，则BH＞BM=MC＞HC．
所以PB＞PC．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形三边关系
【解析】【分析】在△AMB和△AMC中，由AM是中线，可得出AB＞AC，根据再两边对应相等的两个三角形中，第三边大的对应的角也大，可证得∠AMC＜90°， 再过点P作PH⊥BC，垂足为H，则H必定在线段BM的延长线上，就可得出 BH＞BM=MC＞HC，继而可证得结论。
23．如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE平分∠BAC，若∠B=42°，∠C=70°，求∠AEC和∠DAE的度数．
【答案】解：∵∠B=42°，∠C=70°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=68°，
∵AE是角平分线，
∴∠EAC= ∠BAC=34°．
∵AD是高，∠C=70°，
∴∠DAC=90°﹣∠C=20°，
∴∠EAD=∠EAC﹣∠DAC=34°﹣20°=14°，
∠AEC=90°﹣14°=76°．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【分析】由三角形内角和定理可求得∠BAC的度数，在Rt△ADC中，可求得∠DAC的度数，AE是角平分线，有∠EAC= ∠BAC，故∠EAD=∠EAC﹣∠DAC．
24．如图，AD、CE是△ABC的两条高，已知AD=10，CE=9，AB=12．
（1）求△ABC的面积；
（2）求BC的长．
【答案】（1）解：∵CE=9，AB=12，
∴△ABC的面积= ×12×9=54；
（2）解：△ABC的面积= BC AD=54，
即 BC 10=54，
解得BC= ．
【知识点】三角形的面积
【解析】【分析】（1）根据三角形的面积公式计算即可得解；
（2）根据△ABC的面积列式计算即可得解.
25．（2020七下·衡阳期末）如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，过点E作EF垂直BC，垂足为点F．
（1）∠ABE=15 ，∠BAD=55 ，求∠BED的度数；
（2）若△ABC的面积为30，EF=5，求CD．
【答案】（1）解：如图，∠BED是△ABE的一个外角，
∵∠ABE=15°，∠BAD=55°，
∴∠BED=∠ABE+∠BAD
=15°+55°
=70°；
（2）解：∵AD是△ABC的中线，
∴S△ABD= S△ABC，
又∵S△ABC=30，
∴S△ABD= ×30=15，
又∵BE为△ABD的中线，
∴S△BDE= S△ABD，
∴S△BDE= ×15= ，
∵EF⊥BC，且EF=5
∴S△BDE = BD EF，
∴ BD×5= ，
∴BD=3，
∴CD=BD=3．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；三角形的外角性质
【解析】【分析】（1）根据三角形内角与外角的性质解答即可；（2）根据三角形的中线将三角形分成两个三角形得到S△BDE= ，根据三角形面积公式求得CD=BD=3．
26．（2019七下·迁西期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC
（1）若∠B=70°，∠C=30°，求；
①∠BAE的度数．
②∠DAE的度数．
（2）探究：如果只知道∠B=∠C+40°，那么能求岀∠DAE的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：①∵∠B=70°，∠C=30°，
∴∠BAC=180°-70°-30°=80°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=40°；
②∵AD⊥BC，∠B=70°，
∴∠BAD=90°-∠B=90°-70°=20°，
而∠BAE=40°，
∴∠DAE=20°
（2）解：∵AE为角平分线，
∴∠BAE= （180°-∠B-∠C），
∵∠BAD=90°-∠B，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD= （180°-∠B-∠C）-（90°-∠B）= （∠B-∠C），
又∵∠B=∠C+40°，
∴∠B-∠C=40°，
∴∠DAE=20°．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【分析】（1）①利用三角形的内角和定理求出∠BAC，再利用角平分线定义求∠BAE．②先求出∠BAD，就可知道∠DAE的度数．（2）用∠B，∠C表示∠DAE，即可求岀∠DAE的度数．
1 / 1
