人教版数学八年级下册第十八章 平行四边形测试卷

人教版数学八年级下册第十八章 平行四边形测试卷
一、单选题
1．（2020八下·北京期中）如图，在学习“四边形”一章时，小明的书上有一图因不小心被滴上墨水，看不清所印的字，请问被墨迹遮盖了的文字应是（　　）
A．四边形 B．梯形 C．矩形 D．菱形
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】由题意，得
被墨迹遮盖了的文字应是矩形，
故答案为：C.
【分析】有一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形，图中已有菱形，那么另一个表中应是矩形.
2．（2020八下·哈尔滨期中）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，AB=10，D、E分别为AC、AB中点，连接DE，则DE长为（　　）
A．4 B．3 C．8 D．5
【答案】B
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵∠C=90°，AC=8，AB=10，
∴BC= =6，
∵D、E分别为AC、AB中点，
∴DE= BC=3，
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理求出BC，根据三角形中位线定理计算即可．
3．（2020八下·鼎城期中）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（　　）
A．当 时，它是菱形 B．当 时，它是菱形
C．当 时，它是矩形 D．当 时，它是正方形
【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A.有一组邻边相等的平行四边形是菱形，A选项不符合题意；
B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形，B选项不符合题意；
C.有一个角是直角的平行四边形是矩形，C选项不符合题意；
D.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，D选项符合题意.
故答案为：D
【分析】根据特殊平行四边形的判定方法判断即可.
4．（2020八下·长兴期末）如图，平行四边形ABCD的对角线交于点E，已知AB=5cm，△ABE的周长比△BEC的周长小3cm，则AD的长度为（　　）
A．8cm B．5cm C．3cm D．2cm
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：平行四边形ABCD，
∴AE=CE，
∵△ABE的周长比△BEC的周长小3cm，
∴AB+BE+AE=（BE+BC+CE）-3
∴AB+BE+AE-BE-BC-AE=-3
∴5-BC=-3
解之：BC=8.
故答案为：A.
【分析】利用平行四边形的性质，可证得AE=CE，再根据△ABE的周长比△BEC的周长小3cm，可建立关于BC的方程，解方程求出BC的长。
5．（2020八下·济南期中）如图，在四边形 中， 是 边的中点，连接 并延长，交 的延长线于点 ， ．添加一个条件使四边形 是平行四边形，你认为下面四个条件中可选择的是（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】添加A、 ，无法得到AD∥BC或CD=BA，故不符合题意；
添加B、 ，无法得到CD∥BA或 ，故不符合题意；
添加C、 ，无法得到 ，故不符合题意；
添加D、
∵ ， ， ，
∴ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴四边形 是平行四边形．
故答案为：D．
【分析】把A、B、C、D四个选项分别作为添加条件进行验证，D为符合题意选项．添加D选项，即可证明△DEC≌△FEB，从而进一步证明DC＝BF＝AB，且DC∥AB．
6．（2020八下·福州期中）如图，正方形ABCD的面积为8，菱形AECF的面积为4，则EF的长是（　　）
A．4 B． C．2 D．1
【答案】C
【知识点】菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：连接AC，如下图所示：
∵正方形ABCD的面积为8
∴AD=
∴在Rt△ACD中，由勾股定理知：
，
∵菱形AECF的面积为4，
∴ ×EF×AC=4，代入AC=4，
故求得EF=2.
故答案选：C．
【分析】连接AC，由正方形ABCD的面积求出AC的长，再由菱形的面积等于对角线乘积的一半求出EF的长即可.
7．（2020八下·滨州月考）如图，一根竹竿AB，斜靠在竖直的墙上，P是AB中点，A'B'表示竹竿AB端沿墙上、下滑动过程中的某个位置，则在竹竿AB滑动过程中OP（　　）
A．下滑时，OP增大 B．上升时，OP减小
C．无论怎样滑动，OP不变 D．只要滑动，OP就变化
【答案】C
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵AO⊥BO，点P为AB的中点
∴OP=AB
∴在滑动的过程中，OP的长度不变
故答案为：C.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到OP的长度。
8．（2020八下·滨州月考）以下四个条件中可以判定四边形是平行四边形的有（　　）
①两组对边分别平行；
②两组对边分别相等；
③有一组对边平行且相等；
④对角线相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：①两组对边分别平行的四边形为平行四边形；
②两组对边分别相等的四边形为平行四边形；
③一组对边平行且相等的四边形为平行四边形；
④对角线互相平分的四边形为平行四边形。
∴①②③正确
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的判定定理，分别判断得到答案即可。
9．（2019八下·余杭期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠B＜90°，BC＞AB．作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，记∠EAF的度数为α，AE＝a，AF＝b．则以下选项错误的是（　　）
A．∠D的度数为α
B．a∶b＝CD∶BC
C．若α＝60°，则平行四边形ABCD的周长为
D．若α＝60°，则四边形AECF的面积为平行四边形ABCD面积的一半
【答案】D
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：A.∵ AE⊥BC ， AF⊥CD ，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
∴∠α+∠C=180°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C+∠D=180°，
∴∠D=∠α，故正确，A不符合题意；
B.∵ AE⊥BC ， AF⊥CD ，
∴S四边形ABCD=BC·AE=CD·AF，
∵ AE＝a，AF＝b，
∴BC·a=CD·b，
即CD：BC=a：b，故正确，B不符合题意；
C.由A知∠D=∠α，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠α=60°，
∴∠B=∠D=60°，
∵AE⊥BC ，
∴∠AEC=90°，
∴∠BAE=30°，
在Rt△ABE中，
∵AE＝a ，
∴BE=AB，AB2=BE2+AE2，
即AB2=（AB）2+a2，
解得：AB=a，
∵ AF⊥CD ，∴∠AFC=90°，
∴∠DAF=30°，
在Rt△ADF中，
∵AF＝b ，
∴DF=AD，AD2=DF2+AF2，
即AD2=（AD）2+b2，
解得：AD=b，
∴C四边形ABCD=2（AB+AD）=2×（a+b）=（a+b），
故正确，C不符合题意；
D.由C知AB=a，AD=b，
∴BE=a，DF=b，
∴S△ABE=·BE·AE=×a×a=a2，
S△ADF=·DF·AF=×b×b=b2，
∵S四边形ABCD=BC·AE=ab，
∴S四边形AECF=S四边形ABCD-S△ABE-S△ADF，
=ab-a2-b2，
故错误，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】A.根据垂直定义和四边形内角和得∠α+∠C=180°，再由平行四边形性质得∠C+∠D=180°，等量代换即可得∠D=∠α，故正确；
B. 由平行四边形面积公式可得BC·a=CD·b，即CD：BC=a：b，故正确；
C.由A知∠B=∠D=60°，在Rt△ABE、Rt△ADF中，根据勾股定理可得AB=a，AD=b，
根据平行四边形周长公式即可求得C四边形ABCD=（a+b），故正确；
D.由C知AB=a，AD=b，从而可得BE=a，DF=b，根据三角形面积 公式分别求得
S△ABE=a2，S△ADF=b2，由S四边形AECF=S四边形ABCD-S△ABE-S△ADF=ab-a2-b2，故错误.
10．（2017八下·卢龙期末）如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论①AE=BF；②AE⊥BF；③ AO=OE；④ 中，错误的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：在正方形ABCD中，∠BAF=∠D=90°，AB=AD=CD，
∵CE=DF，∴AD DF=CD CE，即AF=DE，
在△ABF和△DAE中， ，
∴△ABF≌△DAE(SAS)，
∴AE=BF，故①正确；
由①可以得到∠ABF=∠DAE，∵∠DAE+∠BAO=90°，∴∠ABF+∠BAO=90°，
在△ABO中，∠AOB=180° (∠ABF+∠BAO)=180° 90°=90°
∴AE⊥BF，故②正确；
假设AO=OE，
∵AE⊥BF(已证)，
∴AB=BE(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等)，
∵在Rt△BCE中，BE>BC，∴AB>BC，这与正方形的边长AB=BC相矛盾，
所以，假设不成立，AO≠OE，故③错误；
∵△ABF≌△DAE，∴ ，
∴S△ABF S△AOF=S△DAE S△AOF，
即 ，故④正确；
综上所述，错误的有1个。故选A.
二、填空题
11．（2020八下·北京期中）在平行四边形ABCD中，若∠A+∠C=140°，则∠B=　 　．
【答案】110°
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴∠A+∠B=180°，∠A=∠C，
∵∠A+∠C=140°，
∴∠A=∠C=70°，
∴∠B=110°．
【分析】由平行四边形的性质得出∠A+∠B=180°，∠A=∠C，再由∠A+∠C=140°， 求出∠A=70°，即可求出∠B的度数为110°．
12．（2019八上·吴兴期中）Rt△ABC中∠ABC=90°，斜边AC=10cm，D为斜边上的中点，斜边上的中线BD=　 　.
【答案】5cm
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，
∵∠ABC=90°，
且∵D为AC的中点
∴BD=AC=5.
故答案为：5cm.
【分析】因为△ABC为直角三角形，AC为斜边，根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半即可求得BD的长度.
13．（2019八上·北京期中）如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AC，AB边的中点，AH⊥BC于H，FD=12，则HE等于　 　.
【答案】12
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】∵D、F是BC、AB的中点，
∴AC=2FD=2×12=24，
∵E是AC的中点，AH⊥BC于点H，
∴EH= AC=12．
【分析】先根据三角形中位线定理求出AC的长，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
14．（2020八下·北京期中）如图，在 ABCD中，以点A为圆心，以任意长为半径画圆弧，分别交边AD、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，以大于 长为半径画圆弧，两弧交于点P，作射线AP交边CD于点E，过点E作EF∥AD交AB于点F．若AB=5，CE=2，则四边形ADEF的周长为　 　．
【答案】12
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】∵ ABCD
∴AD∥BC，AB∥CD
∴DE∥AF，∠AED=∠BAE
∵EF∥AD
∴四边形ADEF是平行四边形
∵AE平分∠BAD
∴∠DAE=∠BAE
∴∠AED=∠DAE
∴AD=DE
∴四边形ADEF是菱形
∵AB=5，CE=2，
∴DE=CD-CE=AB-CE=5-2=3
∴四边形ADEF的周长为3×4=12
故答案为：12.
【分析】首先判定四边形ADEF是平行四边形，然后根据角平分线的性质得出AD=DE，进而判定四边形ADEF是菱形，即可求出其周长.
15．（2020八下·鄂城期中）如图所示，DE为 的中位线，点F在DE上，且 ，若 ， ，则 的长为　 　.
【答案】3
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】∵ 为 的中位线， ，
∴
∵
∴
∴
故答案为：3.
【分析】根据中位线的性质求得 ，再根据直角三角形斜边中线定理求得 ，根据 即可求出EF的长度.
16．（2019八下·东至期末）如图，点O是 ABCD的对角线交点，AD＞AB，E、F是AB边上的点，且EF= AB；G、H是BC边上的点，且GH= BC，若S1，S2分别表示△EOF和△GOH的面积，则S1：S2=　 　 ．
【答案】3：2
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ = = ， = = ，
∴S1= S△AOB，S2= S△BOC．
∵点O是 ABCD的对称中心，
∴S△AOB=S△BOC= S ABCD，
∴S1：S2= ： =3：2，
故答案为：3：2．
【分析】根据同高的两个三角形面积之比等于底边之比得 = = ， = = ，再由点O是 ABCD的对称中心，根据平行四边形的性质可得S△AOB=S△BOC= S ABCD，从而得出S1与S2之间的等量关系．
17．如图，已知 OABC的顶点A、C分别在直线x=1和x=4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为　 　．
【答案】5
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：当B在x轴上时，对角线OB长的最小，如图所示：
过点B作BE∥x轴交x=4于点E，直线x=1与x轴交于点D
根据题意得：∠ADO=∠CEB=90°，OD=1，OE=4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA∥BC，OA=BC，
∴∠AOD=∠1=∠CBE，
在△AOD和△CBE中，
，
∴△AOD≌△CBE（AAS），
∴OD=BE=1，
∴故点B可视为在直线x=5上运动，由垂线段最短，可得当且仅当OB⊥x=5时最短，
即此时B(5，0)，最小值OB=5
故答案为：5．
【分析】利用中点公式可以快速得到B点横坐标为5，即等于A、C两点横坐标之和快速判断点B在一条定直线上运动，进一步在书写上利用全等写清原因.
三、解答题
18．如图，在 ABCD中，AE⊥BD于点E，BM⊥AC于点M，CN⊥BD于点N，DF⊥AC于点F.求证：EF∥MN.
【答案】解：连结ME，NF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵BM⊥AC，DF⊥AC，∴∠BMO＝∠DFO＝90°.又∵∠BOM＝∠DOF，∴△BMO≌△DFO(AAS)．∴OM＝OF.同理可得OE＝ON，∴四边形MEFN是平行四边形，∴EF∥MN.
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】连结ME，NF.根据平行四边形的性质可得OA＝OC，OB＝OD.由已知条件用角角边可证得△BMO≌△DFO，所以OM＝OF.同理可得OE＝ON，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形MEFN是平行四边形，由平行四边形的性质可得EF∥MN.
19．（2017八下·富顺期中）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，∠BCD的平分线CF交边AB于F，∠ADC的平分线DG交边AB于G.求证：AF=GB
【答案】证明：在平行四边形ABCD中，
∵CF，DG分别为∠ADC与∠BCD的平分线，
∴∠BFC=∠BCF，即BF=BC，
同理，AD=AG，
∴AG=BF，
∴AF=GB.
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质，AD=BC，要求AF=GB，可先利用角关系求解AG=BF，再减去公共线段FG即可.本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题.
20．（2019八下·北京房山期末）已知：如图，四边形ABCD中，AC⊥BD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD
、DA的中点，判断EG与FH的数量关系并加以证明．
【答案】解：连接EF,FG,HG,EH,
∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD 、DA的中点，
∴EF∥AC,EF= AC,同理HG∥AC,GH= AC,
∴EF∥HG,EF=GH
∴四边形EFGH为平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴EF⊥BD，故EF⊥FG，
∴平行四边形EFGH为矩形，∴EG=FH.
【知识点】矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】连接EF,FG,HG,EH,根据中位线的性质与垂直证明四边形EFGH为矩形，即可得到结论.
21．（2019八下·句容期中）已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，且AG＝AB、CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD.试探究当∠BCD＝▲°时，四边形ACDF是矩形，证明你的结论.
【答案】120；
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠AFC＝∠DCG，
∵点G为AD的中点，
∴GA＝GD，
又∠AGF＝∠CGD，
∴△AGF≌△DGC（ASA），
∴AF＝CD，
又AB∥CD，AB＝CD，
∴AB＝AF，四边形ACDF是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠BCD＝120°，
∴∠FAG＝60°，
∵AB＝AG＝AF，
∴△AFG是等边三角形，
∴AG＝GF，
∵△AGF≌△DGC，
∴FG＝CG，
∵AG＝GD，
∴AD＝CF，
∴四边形ACDF是矩形.
故答案为：120.
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】根据平行四边形的性质证△AGF≌△DGC，根据全等三角形的性质可证AB＝AF，四边形ACDF是平行四边形，进而证得AD＝CF，根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可.
四、综合题
22．（2019八下·长丰期末）如图：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于点E，垂足为F，连结CD，BE，
（1）当点D是AB的中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由
（2）在（1）的条件下，当∠A=　 　时四边形BECD是正方形．
【答案】（1）解：当点D是AB的中点时，四边形BECD是菱形；理由如下：
∵DE⊥BC，
∴∠DFB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE=AD；
∵D为AB中点，
∴AD=BD，
∴BD=CE，
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB=90°，D为AB中点，
∴CD= AB=BD，
∴四边形BECD是菱形
（2）45°
【知识点】平行四边形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】（2）当∠A=45°时，四边形BECD是正方形；理由如下：
∵∠ACB=90°，∠A=45°，
∴∠ABC=45°，
∵四边形BECD是菱形，
∴∠ABC= ∠DBE，
∴∠DBE=90°，
∴四边形BECD是正方形．
故答案为：45°
【分析】（1）先证明AC∥DE，得出四边形BECD是平行四边形，再“根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证出CD=BD，得出四边形BECD是菱形；（2）先求出∠ABC=45°，再根据菱形的性质求出∠DBE=90°，即可证出结论．
23．（2019八下·盐都期中）如图，在等腰直角三角形ABC中， ， ，D是AB的中点，E、F分别是AC、BC上的点（点E不与端点A、C重合），连接EF并取EF的中点O，连接DO并延长至点G，使 ，连接DE、GE、GF.
（1）求证：四边形EDFG是平行四边形；
（2）若 ，探究四边形EDFG的形状？
（3）在（2）的条件下，当E点在何处时，四边形EDFG的面积最小，并求出最小值.
【答案】（1）证明：∵O是EF的中点，
∴OE＝OF，
∵OG＝OD，
∴四边形EDFG是平行四边形
（2）解：四边形EDFG是正方形，理由是：
连接CD，如图1所示，
∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D是AB的中点，
∴∠A＝∠DCF＝45°，AD＝CD.
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF.
∵∠ADE＋∠EDC＝90°，
∴∠EDC＋∠CDF＝∠EDF＝90°，
由（1）知：四边形EDFG是平行四边形；
∴四边形EDFG是正方形
（3）解：过点D作DE′⊥AC于E′，如图2所示.
∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，
∴DE′＝ BC＝2，AB＝4 ，点E′为AC的中点，
∴2≤DE＜2 （点E与点E′重合时取等号）.
∴4≤S四边形EDFG＝DE2＜8.
∴当点E为线段AC的中点时，四边形EDFG的面积最小，该最小值为4.
【知识点】平行四边形的判定与性质；正方形的判定
【解析】【分析】（1）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得结论；（2）连接CD，根据等腰直角三角形的性质可得出∠A＝∠DCF＝45°、AD＝CD，结合AE＝CF可证出△ADE≌△CDF（SAS），根据全等三角形的性质可得出DE＝DF、ADE＝∠CDF，通过角的计算可得出∠EDF＝90°，再根据（1）中的结论，由此即可证出四边形EDFG是正方形；（3）过点D作DE′⊥AC于E′，根据等腰直角三角形的性质可得出DE′的长度，从而得出2≤DE＜2 ，再根据正方形的面积公式即可得出四边形EDFG的面积的最小值.
1 / 1人教版数学八年级下册第十八章 平行四边形测试卷
一、单选题
1．（2020八下·北京期中）如图，在学习“四边形”一章时，小明的书上有一图因不小心被滴上墨水，看不清所印的字，请问被墨迹遮盖了的文字应是（　　）
A．四边形 B．梯形 C．矩形 D．菱形
2．（2020八下·哈尔滨期中）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，AB=10，D、E分别为AC、AB中点，连接DE，则DE长为（　　）
A．4 B．3 C．8 D．5
3．（2020八下·鼎城期中）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（　　）
A．当 时，它是菱形 B．当 时，它是菱形
C．当 时，它是矩形 D．当 时，它是正方形
4．（2020八下·长兴期末）如图，平行四边形ABCD的对角线交于点E，已知AB=5cm，△ABE的周长比△BEC的周长小3cm，则AD的长度为（　　）
A．8cm B．5cm C．3cm D．2cm
5．（2020八下·济南期中）如图，在四边形 中， 是 边的中点，连接 并延长，交 的延长线于点 ， ．添加一个条件使四边形 是平行四边形，你认为下面四个条件中可选择的是（　　）

A． B． C． D．
6．（2020八下·福州期中）如图，正方形ABCD的面积为8，菱形AECF的面积为4，则EF的长是（　　）
A．4 B． C．2 D．1
7．（2020八下·滨州月考）如图，一根竹竿AB，斜靠在竖直的墙上，P是AB中点，A'B'表示竹竿AB端沿墙上、下滑动过程中的某个位置，则在竹竿AB滑动过程中OP（　　）
A．下滑时，OP增大 B．上升时，OP减小
C．无论怎样滑动，OP不变 D．只要滑动，OP就变化
8．（2020八下·滨州月考）以下四个条件中可以判定四边形是平行四边形的有（　　）
①两组对边分别平行；
②两组对边分别相等；
③有一组对边平行且相等；
④对角线相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2019八下·余杭期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠B＜90°，BC＞AB．作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，记∠EAF的度数为α，AE＝a，AF＝b．则以下选项错误的是（　　）
A．∠D的度数为α
B．a∶b＝CD∶BC
C．若α＝60°，则平行四边形ABCD的周长为
D．若α＝60°，则四边形AECF的面积为平行四边形ABCD面积的一半
10．（2017八下·卢龙期末）如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论①AE=BF；②AE⊥BF；③ AO=OE；④ 中，错误的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．（2020八下·北京期中）在平行四边形ABCD中，若∠A+∠C=140°，则∠B=　 　．
12．（2019八上·吴兴期中）Rt△ABC中∠ABC=90°，斜边AC=10cm，D为斜边上的中点，斜边上的中线BD=　 　.
13．（2019八上·北京期中）如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AC，AB边的中点，AH⊥BC于H，FD=12，则HE等于　 　.
14．（2020八下·北京期中）如图，在 ABCD中，以点A为圆心，以任意长为半径画圆弧，分别交边AD、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，以大于 长为半径画圆弧，两弧交于点P，作射线AP交边CD于点E，过点E作EF∥AD交AB于点F．若AB=5，CE=2，则四边形ADEF的周长为　 　．
15．（2020八下·鄂城期中）如图所示，DE为 的中位线，点F在DE上，且 ，若 ， ，则 的长为　 　.
16．（2019八下·东至期末）如图，点O是 ABCD的对角线交点，AD＞AB，E、F是AB边上的点，且EF= AB；G、H是BC边上的点，且GH= BC，若S1，S2分别表示△EOF和△GOH的面积，则S1：S2=　 　 ．
17．如图，已知 OABC的顶点A、C分别在直线x=1和x=4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为　 　．
三、解答题
18．如图，在 ABCD中，AE⊥BD于点E，BM⊥AC于点M，CN⊥BD于点N，DF⊥AC于点F.求证：EF∥MN.
19．（2017八下·富顺期中）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，∠BCD的平分线CF交边AB于F，∠ADC的平分线DG交边AB于G.求证：AF=GB
20．（2019八下·北京房山期末）已知：如图，四边形ABCD中，AC⊥BD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD
、DA的中点，判断EG与FH的数量关系并加以证明．
21．（2019八下·句容期中）已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，且AG＝AB、CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD.试探究当∠BCD＝▲°时，四边形ACDF是矩形，证明你的结论.
四、综合题
22．（2019八下·长丰期末）如图：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于点E，垂足为F，连结CD，BE，
（1）当点D是AB的中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由
（2）在（1）的条件下，当∠A=　 　时四边形BECD是正方形．
23．（2019八下·盐都期中）如图，在等腰直角三角形ABC中， ， ，D是AB的中点，E、F分别是AC、BC上的点（点E不与端点A、C重合），连接EF并取EF的中点O，连接DO并延长至点G，使 ，连接DE、GE、GF.
（1）求证：四边形EDFG是平行四边形；
（2）若 ，探究四边形EDFG的形状？
（3）在（2）的条件下，当E点在何处时，四边形EDFG的面积最小，并求出最小值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】由题意，得
被墨迹遮盖了的文字应是矩形，
故答案为：C.
【分析】有一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形，图中已有菱形，那么另一个表中应是矩形.
2．【答案】B
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵∠C=90°，AC=8，AB=10，
∴BC= =6，
∵D、E分别为AC、AB中点，
∴DE= BC=3，
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理求出BC，根据三角形中位线定理计算即可．
3．【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A.有一组邻边相等的平行四边形是菱形，A选项不符合题意；
B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形，B选项不符合题意；
C.有一个角是直角的平行四边形是矩形，C选项不符合题意；
D.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，D选项符合题意.
故答案为：D
【分析】根据特殊平行四边形的判定方法判断即可.
4．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：平行四边形ABCD，
∴AE=CE，
∵△ABE的周长比△BEC的周长小3cm，
∴AB+BE+AE=（BE+BC+CE）-3
∴AB+BE+AE-BE-BC-AE=-3
∴5-BC=-3
解之：BC=8.
故答案为：A.
【分析】利用平行四边形的性质，可证得AE=CE，再根据△ABE的周长比△BEC的周长小3cm，可建立关于BC的方程，解方程求出BC的长。
5．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】添加A、 ，无法得到AD∥BC或CD=BA，故不符合题意；
添加B、 ，无法得到CD∥BA或 ，故不符合题意；
添加C、 ，无法得到 ，故不符合题意；
添加D、
∵ ， ， ，
∴ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴四边形 是平行四边形．
故答案为：D．
【分析】把A、B、C、D四个选项分别作为添加条件进行验证，D为符合题意选项．添加D选项，即可证明△DEC≌△FEB，从而进一步证明DC＝BF＝AB，且DC∥AB．
6．【答案】C
【知识点】菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：连接AC，如下图所示：
∵正方形ABCD的面积为8
∴AD=
∴在Rt△ACD中，由勾股定理知：
，
∵菱形AECF的面积为4，
∴ ×EF×AC=4，代入AC=4，
故求得EF=2.
故答案选：C．
【分析】连接AC，由正方形ABCD的面积求出AC的长，再由菱形的面积等于对角线乘积的一半求出EF的长即可.
7．【答案】C
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵AO⊥BO，点P为AB的中点
∴OP=AB
∴在滑动的过程中，OP的长度不变
故答案为：C.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到OP的长度。
8．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：①两组对边分别平行的四边形为平行四边形；
②两组对边分别相等的四边形为平行四边形；
③一组对边平行且相等的四边形为平行四边形；
④对角线互相平分的四边形为平行四边形。
∴①②③正确
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的判定定理，分别判断得到答案即可。
9．【答案】D
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：A.∵ AE⊥BC ， AF⊥CD ，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
∴∠α+∠C=180°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C+∠D=180°，
∴∠D=∠α，故正确，A不符合题意；
B.∵ AE⊥BC ， AF⊥CD ，
∴S四边形ABCD=BC·AE=CD·AF，
∵ AE＝a，AF＝b，
∴BC·a=CD·b，
即CD：BC=a：b，故正确，B不符合题意；
C.由A知∠D=∠α，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠α=60°，
∴∠B=∠D=60°，
∵AE⊥BC ，
∴∠AEC=90°，
∴∠BAE=30°，
在Rt△ABE中，
∵AE＝a ，
∴BE=AB，AB2=BE2+AE2，
即AB2=（AB）2+a2，
解得：AB=a，
∵ AF⊥CD ，∴∠AFC=90°，
∴∠DAF=30°，
在Rt△ADF中，
∵AF＝b ，
∴DF=AD，AD2=DF2+AF2，
即AD2=（AD）2+b2，
解得：AD=b，
∴C四边形ABCD=2（AB+AD）=2×（a+b）=（a+b），
故正确，C不符合题意；
D.由C知AB=a，AD=b，
∴BE=a，DF=b，
∴S△ABE=·BE·AE=×a×a=a2，
S△ADF=·DF·AF=×b×b=b2，
∵S四边形ABCD=BC·AE=ab，
∴S四边形AECF=S四边形ABCD-S△ABE-S△ADF，
=ab-a2-b2，
故错误，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】A.根据垂直定义和四边形内角和得∠α+∠C=180°，再由平行四边形性质得∠C+∠D=180°，等量代换即可得∠D=∠α，故正确；
B. 由平行四边形面积公式可得BC·a=CD·b，即CD：BC=a：b，故正确；
C.由A知∠B=∠D=60°，在Rt△ABE、Rt△ADF中，根据勾股定理可得AB=a，AD=b，
根据平行四边形周长公式即可求得C四边形ABCD=（a+b），故正确；
D.由C知AB=a，AD=b，从而可得BE=a，DF=b，根据三角形面积 公式分别求得
S△ABE=a2，S△ADF=b2，由S四边形AECF=S四边形ABCD-S△ABE-S△ADF=ab-a2-b2，故错误.
10．【答案】A
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：在正方形ABCD中，∠BAF=∠D=90°，AB=AD=CD，
∵CE=DF，∴AD DF=CD CE，即AF=DE，
在△ABF和△DAE中， ，
∴△ABF≌△DAE(SAS)，
∴AE=BF，故①正确；
由①可以得到∠ABF=∠DAE，∵∠DAE+∠BAO=90°，∴∠ABF+∠BAO=90°，
在△ABO中，∠AOB=180° (∠ABF+∠BAO)=180° 90°=90°
∴AE⊥BF，故②正确；
假设AO=OE，
∵AE⊥BF(已证)，
∴AB=BE(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等)，
∵在Rt△BCE中，BE>BC，∴AB>BC，这与正方形的边长AB=BC相矛盾，
所以，假设不成立，AO≠OE，故③错误；
∵△ABF≌△DAE，∴ ，
∴S△ABF S△AOF=S△DAE S△AOF，
即 ，故④正确；
综上所述，错误的有1个。故选A.
11．【答案】110°
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴∠A+∠B=180°，∠A=∠C，
∵∠A+∠C=140°，
∴∠A=∠C=70°，
∴∠B=110°．
【分析】由平行四边形的性质得出∠A+∠B=180°，∠A=∠C，再由∠A+∠C=140°， 求出∠A=70°，即可求出∠B的度数为110°．
12．【答案】5cm
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，
∵∠ABC=90°，
且∵D为AC的中点
∴BD=AC=5.
故答案为：5cm.
【分析】因为△ABC为直角三角形，AC为斜边，根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半即可求得BD的长度.
13．【答案】12
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】∵D、F是BC、AB的中点，
∴AC=2FD=2×12=24，
∵E是AC的中点，AH⊥BC于点H，
∴EH= AC=12．
【分析】先根据三角形中位线定理求出AC的长，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
14．【答案】12
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】∵ ABCD
∴AD∥BC，AB∥CD
∴DE∥AF，∠AED=∠BAE
∵EF∥AD
∴四边形ADEF是平行四边形
∵AE平分∠BAD
∴∠DAE=∠BAE
∴∠AED=∠DAE
∴AD=DE
∴四边形ADEF是菱形
∵AB=5，CE=2，
∴DE=CD-CE=AB-CE=5-2=3
∴四边形ADEF的周长为3×4=12
故答案为：12.
【分析】首先判定四边形ADEF是平行四边形，然后根据角平分线的性质得出AD=DE，进而判定四边形ADEF是菱形，即可求出其周长.
15．【答案】3
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】∵ 为 的中位线， ，
∴
∵
∴
∴
故答案为：3.
【分析】根据中位线的性质求得 ，再根据直角三角形斜边中线定理求得 ，根据 即可求出EF的长度.
16．【答案】3：2
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ = = ， = = ，
∴S1= S△AOB，S2= S△BOC．
∵点O是 ABCD的对称中心，
∴S△AOB=S△BOC= S ABCD，
∴S1：S2= ： =3：2，
故答案为：3：2．
【分析】根据同高的两个三角形面积之比等于底边之比得 = = ， = = ，再由点O是 ABCD的对称中心，根据平行四边形的性质可得S△AOB=S△BOC= S ABCD，从而得出S1与S2之间的等量关系．
17．【答案】5
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：当B在x轴上时，对角线OB长的最小，如图所示：
过点B作BE∥x轴交x=4于点E，直线x=1与x轴交于点D
根据题意得：∠ADO=∠CEB=90°，OD=1，OE=4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA∥BC，OA=BC，
∴∠AOD=∠1=∠CBE，
在△AOD和△CBE中，
，
∴△AOD≌△CBE（AAS），
∴OD=BE=1，
∴故点B可视为在直线x=5上运动，由垂线段最短，可得当且仅当OB⊥x=5时最短，
即此时B(5，0)，最小值OB=5
故答案为：5．
【分析】利用中点公式可以快速得到B点横坐标为5，即等于A、C两点横坐标之和快速判断点B在一条定直线上运动，进一步在书写上利用全等写清原因.
18．【答案】解：连结ME，NF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵BM⊥AC，DF⊥AC，∴∠BMO＝∠DFO＝90°.又∵∠BOM＝∠DOF，∴△BMO≌△DFO(AAS)．∴OM＝OF.同理可得OE＝ON，∴四边形MEFN是平行四边形，∴EF∥MN.
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】连结ME，NF.根据平行四边形的性质可得OA＝OC，OB＝OD.由已知条件用角角边可证得△BMO≌△DFO，所以OM＝OF.同理可得OE＝ON，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形MEFN是平行四边形，由平行四边形的性质可得EF∥MN.
19．【答案】证明：在平行四边形ABCD中，
∵CF，DG分别为∠ADC与∠BCD的平分线，
∴∠BFC=∠BCF，即BF=BC，
同理，AD=AG，
∴AG=BF，
∴AF=GB.
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质，AD=BC，要求AF=GB，可先利用角关系求解AG=BF，再减去公共线段FG即可.本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题.
20．【答案】解：连接EF,FG,HG,EH,
∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD 、DA的中点，
∴EF∥AC,EF= AC,同理HG∥AC,GH= AC,
∴EF∥HG,EF=GH
∴四边形EFGH为平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴EF⊥BD，故EF⊥FG，
∴平行四边形EFGH为矩形，∴EG=FH.
【知识点】矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】连接EF,FG,HG,EH,根据中位线的性质与垂直证明四边形EFGH为矩形，即可得到结论.
21．【答案】120；
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠AFC＝∠DCG，
∵点G为AD的中点，
∴GA＝GD，
又∠AGF＝∠CGD，
∴△AGF≌△DGC（ASA），
∴AF＝CD，
又AB∥CD，AB＝CD，
∴AB＝AF，四边形ACDF是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠BCD＝120°，
∴∠FAG＝60°，
∵AB＝AG＝AF，
∴△AFG是等边三角形，
∴AG＝GF，
∵△AGF≌△DGC，
∴FG＝CG，
∵AG＝GD，
∴AD＝CF，
∴四边形ACDF是矩形.
故答案为：120.
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】根据平行四边形的性质证△AGF≌△DGC，根据全等三角形的性质可证AB＝AF，四边形ACDF是平行四边形，进而证得AD＝CF，根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可.
22．【答案】（1）解：当点D是AB的中点时，四边形BECD是菱形；理由如下：
∵DE⊥BC，
∴∠DFB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE=AD；
∵D为AB中点，
∴AD=BD，
∴BD=CE，
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB=90°，D为AB中点，
∴CD= AB=BD，
∴四边形BECD是菱形
（2）45°
【知识点】平行四边形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】（2）当∠A=45°时，四边形BECD是正方形；理由如下：
∵∠ACB=90°，∠A=45°，
∴∠ABC=45°，
∵四边形BECD是菱形，
∴∠ABC= ∠DBE，
∴∠DBE=90°，
∴四边形BECD是正方形．
故答案为：45°
【分析】（1）先证明AC∥DE，得出四边形BECD是平行四边形，再“根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证出CD=BD，得出四边形BECD是菱形；（2）先求出∠ABC=45°，再根据菱形的性质求出∠DBE=90°，即可证出结论．
23．【答案】（1）证明：∵O是EF的中点，
∴OE＝OF，
∵OG＝OD，
∴四边形EDFG是平行四边形
（2）解：四边形EDFG是正方形，理由是：
连接CD，如图1所示，
∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D是AB的中点，
∴∠A＝∠DCF＝45°，AD＝CD.
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF.
∵∠ADE＋∠EDC＝90°，
∴∠EDC＋∠CDF＝∠EDF＝90°，
由（1）知：四边形EDFG是平行四边形；
∴四边形EDFG是正方形
（3）解：过点D作DE′⊥AC于E′，如图2所示.
∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，
∴DE′＝ BC＝2，AB＝4 ，点E′为AC的中点，
∴2≤DE＜2 （点E与点E′重合时取等号）.
∴4≤S四边形EDFG＝DE2＜8.
∴当点E为线段AC的中点时，四边形EDFG的面积最小，该最小值为4.
【知识点】平行四边形的判定与性质；正方形的判定
【解析】【分析】（1）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得结论；（2）连接CD，根据等腰直角三角形的性质可得出∠A＝∠DCF＝45°、AD＝CD，结合AE＝CF可证出△ADE≌△CDF（SAS），根据全等三角形的性质可得出DE＝DF、ADE＝∠CDF，通过角的计算可得出∠EDF＝90°，再根据（1）中的结论，由此即可证出四边形EDFG是正方形；（3）过点D作DE′⊥AC于E′，根据等腰直角三角形的性质可得出DE′的长度，从而得出2≤DE＜2 ，再根据正方形的面积公式即可得出四边形EDFG的面积的最小值.
1 / 1