初中数学湘教版八年级下学期期中复习专题5 平行四边形的性质与判定

初中数学湘教版八年级下学期期中复习专题5 平行四边形的性质与判定
一、单选题
1．（2020八下·北京期中）如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD＝24．若△OAB的周长是20，则AB的长为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．12
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】∵ ABCD
∴OA=OC，OB=OD，AB=CD
∵△OAB的周长是20
∴OA+OB+AB=20
∵OA+OB+AB+OC+OD+CD=20+20=40，AC+BD=24
∴AC+BD+2AB=40
∴AB=8
故答案为：A.
【分析】由平行四边形对角线互相平分的性质，进行等量转换，即可得解.
2．（2019八下·余姚期末）如图，在 ABCD中，∠A=130°，则∠C-∠B的度数为（　　）
A．90° B．80° C．70° D．60°
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AD∥BC，则∠B=180°-∠A=180°-130°=50°，又∵∠C=∠A=130°，故∠C-∠B=130°-50°=80°.
故答案为：B
【分析】根据平行四边形的性质得到对角相等，对边平行，根据平行线的性质得到同旁内角互补，分别计算出∠B和∠C的度数，则∠C-∠B的读数可求.
3．如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC.若AB＝4，AC＝6，则BD的长是（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝ AC＝3，BD＝2OB.
∵AB⊥AC，
∴∠OAB＝90°.在Rt△AOB中，
∵OA2＋AB2＝OB2，∴OB＝ ＝5，
∴BD＝2OB＝10.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的对角线互相平分可得OA＝ AC＝3，BD＝2OB.则在Rt△AOB中，用勾股定理可求得OB==5，所以BD＝2OB＝10.
4．（2020八下·温州期中）如图所示，在 ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,过点O的直线EF分别交AD于点E，BC于点F， ,则 ABCD的面积…（　　）
A．24 B．32 C．40 D．48
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴OB=OD，AD∥BC，
∴∠EDO=∠FBO
在△DOE和△BOF中
∴△DOE≌△BOF（ASA）
∴S△DOE=S△BOF=5
∵S△AOD=S△AOE+S△DOE=3+5=8
∴平行四边形ABCD的面积为：4S△AOD=4×8=32.
故答案为：B.
【分析】利用平行四边形的性质易证OB=OD，AD∥BC，根据两直线平行，内错角相等，可证得∠EDO=∠FBO，再利用ASA证明△DOE≌△BOF，利用全等三角形的面积相等，可得到S△DOE=S△BOF=5，从而可求出△AOD的面积，然后根据平行四边形ABCD的面积为=4S△AOD，代入计算可求解。
5．如图，在 ABCD中，AB＝4，∠BAD的平分线与BC的延长线相交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG＝1，则AE的长为（　　）
A．2 B．4 C．4 D．8
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】∵AE为∠DAB的平分线，
∴∠DAE=∠BAE，
∵DC∥AB，
∴∠BAE=∠DFA，
∴∠DAE=∠DFA，
∴AD=FD，
又F为DC的中点，
∴DF=CF，
∴AD=DF=DC=AB=2，
在Rt△ADG中，根据勾股定理得：AG=，
则AF=2AG=2，
∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠DAF=∠E，∠ADF=∠ECF，
在△ADF和△ECF中，
，
∴△ADF≌△ECF（AAS），
∴AF=EF，
则AE=2AF=4．
故答案为：B．
【分析】根据△ADF≌△ECF可说明AE＝2AF=2EF．由DC∥AB，AF是∠BAD的平分线，可得到∠DAG=∠DFG，所以根据等角对等边可得AD＝FD，在Rt△DGF中用勾股定理可计算GF，根据AE＝2AF＝4GF可求解．
6．（2020八下·丽水期中）如图，在 ABCD中，AB=4，BC=6，BC边上的高AE=2，则DC边上的高AF的长是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=4，
∴四边形ABCD的面积=BC·AE=CD·AF
即6×2=4×AF
∴AF=3.
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的对边相等可得CD=AB=4，由平行四边形的面积=底×高列出等式，继而求出结论.
7．（2019八下·莲都期末）如图,在四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　）
A．AB∥DC,AB=DC B．AB=DC,AD=BC
C．AB∥DC,AD=BC D．OA=OC,OB=OD
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、∵AB∥DC,AB=DC ，∴ 四边形ABCD为平行四边形 ，故A不符合题意；
B、∵AB=DC,AD=BC ，∴ 四边形ABCD为平行四边形 ，故B不符合题意；
C、∵AB∥DC,AD=BC ，∴ 四边形ABCD可以为等腰梯形，故C符合题意；
D、∵OA=OC,OB=OD ，∴ 四边形ABCD为平行四边形 ，故D不符合题意。
故答案为：C。
【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可一一判断得出答案。
8．（2018八上·广东期中）下面有四个命题：
⑴一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形；
⑵一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；
⑶一组对角相等，这一组对角的顶点所连接的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；
⑷一组对角相等，这一组对角的顶点所连接的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形.
其中正确命题的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】⑴⑵⑶均不能证明该四边形是平行四边形。
⑷∵一组对角相等，且这一组对角的顶点所连接的对角线平分另一条对角线
∴对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形.
正确的有1个.
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形的判定方法逐个判断即可。
9．（2020八下·余干期末）如图， ， ，则图中一共有平行四边形（　　）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】∵ ， ，
∴四边形AHOB、四边形HGFO、四边形BODC、四边形OFED、四边形AGFB、四边形BFEC、四边形AHDC、四边形HGED、四边形AGEC都是平行四边形，
故答案为：C．
【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形解答即可．
10．（2019八下·洛龙期中）如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点,当E，F满足下列哪个条件时,四边形DEBF不一定是平行四边形的是（　　）
A．AE=CF B．DE=BF C．∠ADE=∠CBF D．∠ABE=∠CDF
【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，AD//BC，AB//CD， AD=BC，AB=CD，
∴∠DAE=∠BCF，∠BAE=∠DCF，
A、∵AE=CF，
∴EO=FO，
∵DO=BO，
∴四边形DEBF是平行四边形；
C、∵∠ADE=∠CBF，AD=BC，∠DAE=∠BCF，
∴△ADE≌△CBF，
∴AE=CF，
∴EO=FO，
∵DO=BO，
∴四边形DEBF是平行四边形.
同理若∠ABE=∠CDF，也能证明△ABE≌△CDF，从而四边形DEBF是平行四边形；
只有B选项不能得出结论，
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质得出AO=CO，BO=DO，AD//BC，AB//CD， AD=BC，AB=CD，根据二直线平行，内错角相等得出∠DAE=∠BCF，∠BAE=∠DCF，A、如果添加AE=CF，可以利用等式的性质得出EO=FO，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形DEBF是平行四边形；C、如果添加 ∠ADE=∠CBF ，可以利用ASA判断出△ADE≌△CBF，根据全等三角形的对应边相等得出AE=CF，根据等式的性质得出EO=FO，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形DEBF是平行四边形；D、同理若添加∠ABE=∠CDF，也能证明△ABE≌△CDF，从而四边形DEBF是平行四边形，综上所沪即可得出答案。
11．如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连结DE并延长，交AB的延长线于F点，AB=BF。添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形。你认为下面四个条件中可选择的是(　　)
A．AB=BC B．CD=BF C．∠A=∠C D．∠F=∠CDE
【答案】D
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】根据平行四边形的判定定理依次分析各项即可判断。
【解答】∵∠F=∠CDE
∴CD∥AF
在△DEC与△FEB中，
∠DCE=∠EBF，CE=BE（点E为BC的中点)，∠CED=∠BEF
∴△DEC≌△FEB
∴DC=BF，∠C=∠EBF
∴AB∥DC
∵AB=BF
∴DC=AB
∴四边形ABCD为平行四边形。
选项A、B、C都不能证明△DEC≌△FEB；
故选D．
【点评】解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的判定定理：
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
④对角线互相平分的四边形是平行四边形；
⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
12．（2019八下·兰州期末）如图,在四边形ABCD中, AD//BC,且AD>BC,BC= 6cm, AD=9cm, P、Q分别从A，C同时出发,P以1cm/s的速度由A向D运动,Q以2cm/s的速度由C向B运动,多少s时直线将四边形ABCD截出一个平行四边形（　　）
A．1 B．2 C．3 D．2或3
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；四边形-动点问题
【解析】【解答】根据题意设t秒时，直线将四边形ABCD截出一个平行四边形
则AP=t,DP=9-t,CQ=2t,BQ=6-2t
要使构成平行四边形
则：AP=BQ或CQ=PD
进而可得： 或
解得 或
故答案为：D.
【分析】根据点P、Q的运动速度和方向，用含t的代数式表示出AP、CQ，BQ、PD的长，要使直线将四边形ABCD截出一个平行四边形，分情况讨论：当AP=BQ；CQ=PD，分别建立关于t的方程，解方程求出t的值。
二、填空题
13．（2020八下·建湖月考） ABCD中对角线AC和BD交于点O，AC=12，BD=10，AB=m，则m取值范围是　 　.
【答案】1【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如下图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，AC=12，BD=10，
∴OA=OC=6，OD=OB=5，
在△OAB中，OA-OB即6-5∴1故答案为：1【分析】根据平行四边形的性质求出OA、OB的长，根据三角形三边的关系得出OA-OB14．如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点A′处，BC与A′D交于点G。若∠1＝∠2＝50°，则∠A′＝　 　.
【答案】105°
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：根据题意可得，∠ADB=∠BDG=∠DBG，根据三角形的外角性质可得∠BDG=∠DBG=∠1=25°，
∴∠ADB=25°
根据三角形的外角和为180°即可求出∠A′=105°
故答案为：105°。
【分析】根据平行四边形的性质以及折叠的性质得出三组角相等，根据外角的性质求出∠BDG的度数，根据三角形的内角和定理求出正确答案即可。
15．（2020八上·渝北月考）如图，在平行四边形 中， 平分 ， ， ，则 的周长是　 　.
【答案】16
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∵ ABCD中,AD∥BC，
∴∠ADE=∠CED，
∴∠CDE=∠CED，
∴CE=CD，
∵在 ABCD中，AD=5，BE=2，
∴AD=BC=5，
∴CE=BC BE=5 2=3，
∴CD=AB=3，
∴ ABCD的周长=5+5+3+3=16.
故答案为：16.
【分析】由平行四边形的性质和角平分线的定义可得∠CDE=∠CED，AD=BC，CD=AB，由等角对等边可得CE=CD，由线段的构成得CE=BC-BE，则根据平行四边形的周长等于四边之和可求解四边形的周长.
16．阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
已知：如图1，△ABC及AC边的中点O．
求作：平行四边形ABCD．
小敏的作法如下：
①连接BO并延长，在延长线上截取OD=BO；
②连接DA、DC．所以四边形ABCD就是所求作的平行四边形．
老师说：“小敏的作法正确．”
请回答：小敏的作法正确的理由是　 　．
【答案】对角线互相平分的四边形是平行四边形
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵O是AC边的中点，
∴OA=OC，
∵OD=OB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
依据：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
【分析】根据平行四边形的判定方法，对角线互相平分的四边形是平行四边形；作出平行四边形.
17．（2019八上·织金期中）如图,在四边形ABCD中,已知AB∥CD,再添加一个条件　 　,则四边形ABCD是平行四边形(图中不再添加辅助线)
【答案】AB=CD（或AD∥BC）
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：已知AB∥CD，
∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
∴可添加AB=CD或AD∥BC，
故答案为：AB=CD（或AD∥BC）.
【分析】一组对边平行且相等或两组对边分别平行的四边形是平行四边形，据此解答即可.
18．（2019八下·南山期中）如图，在 ABCD中，AC与BD交于点M，点F在AD上，AF=6cm，BF=12cm，∠FBM=∠CBM，点E是BC的中点，若点P以1cm/s秒的速度从点A出发，沿AD向点F运动；点Q同时以2cm/秒的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P运动到F点时停止运动，点Q也同时停止运动，当点P运动　 　秒时，以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
【答案】3或5
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：在 口ABCD中，AD=BC，AD∥BC
∴∠ADB=∠CBM
又∵∠FBM=∠CBM
∴∠ADB=∠FBM
∴DF=BF=12
∴BC=AD=AF+DF=18
∴CE= BC=9
设点P运动了t（0＜t≤6）秒，则PF=（6-t）cm，CQ=2tcm.
∵AD∥BC即PF∥EQ
∴当PF=EQ时，以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形。
分两种情况：
①当点Q运动到点E的右边（如图1所示）时，EQ=（9-2t）cm，则有9-2t=6-t，解得t=3；
②
当点Q运动到点E的左边（如图2所示）时，EQ=（2t-9）cm，则有2t-9=6-t，解得t=5.
故答案为：3或5.
【分析】设运动时间为t秒，根据路程与速度和时间的关系表示出各相关线段的长度，然后依据平行四边形的判定方法列出方程求得t的值即可。
三、解答题
19．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，BD⊥AD，求BC，CD及OB的长.
【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形ABCD
∴BC=AD=12，CD=AB=13，OB= BD
∵BD⊥AD，∴BD= = =5
∴OB=
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质和勾股定理可求BC，CD及OB的长。
20．如图，把 ABCD分成4个小平行四边形，已知 AEOG， BFOG， CFOH的面积分别为8，10，30，求 OEDH的面积．
【答案】解：设平行线AD，GH之间的距离为h1，
平行线GH，BC之间的距离为h2，则 ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，∴ ＝ ，即 ＝ ，∴S OEDH＝24
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】根据平行线间的距离相等可设平行线AD，GH之间的距离为h1，平行线GH，BC之间的距离为h2，则，，，所以四边形OEDH的面积=24.
21．（2017八下·富顺期中）如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别为AC，AB的中点，点F在BC的延长线上，且∠CDF=∠A．求证：四边形DECF为平行四边形．
【答案】证明：∵点D、E分别是AC、AB的中点，
∴DE//BC
∵在△ABC中，∠ACB=90°，
∴CE= AB=AE，
∴∠A=∠DCE，
又 ∵∠CDF=∠A，
∴∠CDF=∠DCE，
∴DF//EC，
∴四边形DECF是平行四边形
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【分析】根据DE是三角形的中位线得到DE∥BC，根据CE是直角三角形斜边上的中线得到CE=AE，得∠A=∠ACE∵∠CDF=∠A∴∠CDF=∠ACE∴DF∥CE．再根据：两组对边分别平行的四边形是平行四边形而得证.
22．如图，在△ABC中，D，E，F分别为边AB，BC，CA的中点．求证：四边形DECF是平行四边形．
【答案】解：解：∵点D和点F分别为AB和AC的中点
∴DF∥BC，DF=BC
又∵E为BC的中点
∴DF=EC
所以四边形DCXF为平行四边形。
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【分析】根据三角形的中位线定理求出DF∥EC且DF=BC，根据E为BC的中点得到DF∥EC，DF=EC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可进行证明。
四、综合题
23．如图，E是平行四边形ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F.
（1）求证：△ADE≌△FCE；
（2）若∠BAF＝90°，BC＝5，EF＝3，求CD的长．
【答案】（1）∵四边形ABCD为平行四边形
∴∠D=∠C
∵E为CD的中点
∴CE=DE，
又∵∠AED=∠CEF
∴△ADE≌△FCE
（2）由（1）得，CD=AB，AE=EF=3，BC=CF=5
∴BF=10，AF=6
∵∠BAF=90°
∴由勾股定理得，CD=AB==8.
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质以及中点的性质，即可证明△ADE≌△FCE；
（2）根据平行四边形的性质以及全等三角形的性质，即可根据勾股定理求得CD的长度。
24．（2018八上·定安期末）如图，已知□ABCD中，DE是∠ADC的角平分线，交BC于点E．
（1）求证：CD=CE；
（2）若BE=CE，求证：AE⊥DE.
【答案】（1）证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD∥BC，∴ ∠ADE=∠DEC.∵ DE是∠ADC的角平分线，
∴ ∠ADE=∠CDE，
∴ ∠CDE=∠DEC，
∴ CD=CE
（2）证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB=DC.∵ CD=CE，BE=CE
∴ AB=BE，
∴ ∠BAE=∠BEA.∵ AD∥BC，
∴ ∠DAE=∠BEA.
∴ ∠DAE=∠BAE= ∠BAD.
∵ AB∥DC，
∴ ∠BAD+∠ADC=180°，
∵ ∠ADE= ∠ADC，
∴ ∠DAE+∠ADE= (∠BAD+∠ADC)=90°，
∴ ∠AED=90°，∴ AE⊥DE.
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）先依据角平分线的定义和平行线的性质可证明∠CDE=∠DEC，最后，依据等角对等边的性质进行证明即可；
（2）先证明BE=AB，可得到∠BAE=∠BEA，然后可证明∠BAE=∠DAE，从而可证明∠EAD+∠ADE=(∠BAD+∠ADC)=90°，然后可证明∠AED=90°.
25．（2017八下·萧山期中）综合题：探索与发现
（1）如图1，以 BMDC的两相邻边CB、CD为腰，在 BMDC的外侧，作两个等腰Rt△CBF和Rt△CDH，则□ BMDC中与C相对的顶点M与这两等腰直角三角形的两顶点F、H形成一个新的等腰直角三角形FMH. 请证明△FMH为等腰直角三角形。
（2）如图2，以 BMDC的两相邻边CB、CD为腰， 在 BMDC的外侧，作两个等腰△CBF和△CDH，使其顶角∠CBF=∠CDH=α，则 BMDC中与C相对的顶点M与两等腰三角形的两顶点F、H形成一个新的等腰三角形，写出顶角∠FMH的度数。试说明理由。
【答案】（1）解：由BC∥MD可得∠DMH+∠FMH+∠BMF+∠CBM=180°，由三角形内角和可得
∠CBM+∠CBF+∠BFM=180°，将两个式子整理可得∠FMH=90°.
（2）解：由BC∥MD可得∠DMH+∠FMH+∠BMF+∠CBM=180°，由三角形内角和可得
∠CBM+∠CBF+∠BFM=180°，将两个式子整理可得∠FMH=α.
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）可证FBM△MHD，利用对应边相等和对应角相等可得出结论.（2）延长BC交HM于N，FM交BC于O．只需证明△FBM≌△MDH即可解决问题；
1 / 1初中数学湘教版八年级下学期期中复习专题5 平行四边形的性质与判定
一、单选题
1．（2020八下·北京期中）如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD＝24．若△OAB的周长是20，则AB的长为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．12
2．（2019八下·余姚期末）如图，在 ABCD中，∠A=130°，则∠C-∠B的度数为（　　）
A．90° B．80° C．70° D．60°
3．如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC.若AB＝4，AC＝6，则BD的长是（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
4．（2020八下·温州期中）如图所示，在 ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,过点O的直线EF分别交AD于点E，BC于点F， ,则 ABCD的面积…（　　）
A．24 B．32 C．40 D．48
5．如图，在 ABCD中，AB＝4，∠BAD的平分线与BC的延长线相交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG＝1，则AE的长为（　　）
A．2 B．4 C．4 D．8
6．（2020八下·丽水期中）如图，在 ABCD中，AB=4，BC=6，BC边上的高AE=2，则DC边上的高AF的长是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（2019八下·莲都期末）如图,在四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　）
A．AB∥DC,AB=DC B．AB=DC,AD=BC
C．AB∥DC,AD=BC D．OA=OC,OB=OD
8．（2018八上·广东期中）下面有四个命题：
⑴一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形；
⑵一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；
⑶一组对角相等，这一组对角的顶点所连接的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；
⑷一组对角相等，这一组对角的顶点所连接的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形.
其中正确命题的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2020八下·余干期末）如图， ， ，则图中一共有平行四边形（　　）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
10．（2019八下·洛龙期中）如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点,当E，F满足下列哪个条件时,四边形DEBF不一定是平行四边形的是（　　）
A．AE=CF B．DE=BF C．∠ADE=∠CBF D．∠ABE=∠CDF
11．如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连结DE并延长，交AB的延长线于F点，AB=BF。添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形。你认为下面四个条件中可选择的是(　　)
A．AB=BC B．CD=BF C．∠A=∠C D．∠F=∠CDE
12．（2019八下·兰州期末）如图,在四边形ABCD中, AD//BC,且AD>BC,BC= 6cm, AD=9cm, P、Q分别从A，C同时出发,P以1cm/s的速度由A向D运动,Q以2cm/s的速度由C向B运动,多少s时直线将四边形ABCD截出一个平行四边形（　　）
A．1 B．2 C．3 D．2或3
二、填空题
13．（2020八下·建湖月考） ABCD中对角线AC和BD交于点O，AC=12，BD=10，AB=m，则m取值范围是　 　.
14．如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点A′处，BC与A′D交于点G。若∠1＝∠2＝50°，则∠A′＝　 　.
15．（2020八上·渝北月考）如图，在平行四边形 中， 平分 ， ， ，则 的周长是　 　.
16．阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
已知：如图1，△ABC及AC边的中点O．
求作：平行四边形ABCD．
小敏的作法如下：
①连接BO并延长，在延长线上截取OD=BO；
②连接DA、DC．所以四边形ABCD就是所求作的平行四边形．
老师说：“小敏的作法正确．”
请回答：小敏的作法正确的理由是　 　．
17．（2019八上·织金期中）如图,在四边形ABCD中,已知AB∥CD,再添加一个条件　 　,则四边形ABCD是平行四边形(图中不再添加辅助线)
18．（2019八下·南山期中）如图，在 ABCD中，AC与BD交于点M，点F在AD上，AF=6cm，BF=12cm，∠FBM=∠CBM，点E是BC的中点，若点P以1cm/s秒的速度从点A出发，沿AD向点F运动；点Q同时以2cm/秒的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P运动到F点时停止运动，点Q也同时停止运动，当点P运动　 　秒时，以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
三、解答题
19．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，BD⊥AD，求BC，CD及OB的长.
20．如图，把 ABCD分成4个小平行四边形，已知 AEOG， BFOG， CFOH的面积分别为8，10，30，求 OEDH的面积．
21．（2017八下·富顺期中）如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别为AC，AB的中点，点F在BC的延长线上，且∠CDF=∠A．求证：四边形DECF为平行四边形．
22．如图，在△ABC中，D，E，F分别为边AB，BC，CA的中点．求证：四边形DECF是平行四边形．
四、综合题
23．如图，E是平行四边形ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F.
（1）求证：△ADE≌△FCE；
（2）若∠BAF＝90°，BC＝5，EF＝3，求CD的长．
24．（2018八上·定安期末）如图，已知□ABCD中，DE是∠ADC的角平分线，交BC于点E．
（1）求证：CD=CE；
（2）若BE=CE，求证：AE⊥DE.
25．（2017八下·萧山期中）综合题：探索与发现
（1）如图1，以 BMDC的两相邻边CB、CD为腰，在 BMDC的外侧，作两个等腰Rt△CBF和Rt△CDH，则□ BMDC中与C相对的顶点M与这两等腰直角三角形的两顶点F、H形成一个新的等腰直角三角形FMH. 请证明△FMH为等腰直角三角形。
（2）如图2，以 BMDC的两相邻边CB、CD为腰， 在 BMDC的外侧，作两个等腰△CBF和△CDH，使其顶角∠CBF=∠CDH=α，则 BMDC中与C相对的顶点M与两等腰三角形的两顶点F、H形成一个新的等腰三角形，写出顶角∠FMH的度数。试说明理由。
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】∵ ABCD
∴OA=OC，OB=OD，AB=CD
∵△OAB的周长是20
∴OA+OB+AB=20
∵OA+OB+AB+OC+OD+CD=20+20=40，AC+BD=24
∴AC+BD+2AB=40
∴AB=8
故答案为：A.
【分析】由平行四边形对角线互相平分的性质，进行等量转换，即可得解.
2．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AD∥BC，则∠B=180°-∠A=180°-130°=50°，又∵∠C=∠A=130°，故∠C-∠B=130°-50°=80°.
故答案为：B
【分析】根据平行四边形的性质得到对角相等，对边平行，根据平行线的性质得到同旁内角互补，分别计算出∠B和∠C的度数，则∠C-∠B的读数可求.
3．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝ AC＝3，BD＝2OB.
∵AB⊥AC，
∴∠OAB＝90°.在Rt△AOB中，
∵OA2＋AB2＝OB2，∴OB＝ ＝5，
∴BD＝2OB＝10.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的对角线互相平分可得OA＝ AC＝3，BD＝2OB.则在Rt△AOB中，用勾股定理可求得OB==5，所以BD＝2OB＝10.
4．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴OB=OD，AD∥BC，
∴∠EDO=∠FBO
在△DOE和△BOF中
∴△DOE≌△BOF（ASA）
∴S△DOE=S△BOF=5
∵S△AOD=S△AOE+S△DOE=3+5=8
∴平行四边形ABCD的面积为：4S△AOD=4×8=32.
故答案为：B.
【分析】利用平行四边形的性质易证OB=OD，AD∥BC，根据两直线平行，内错角相等，可证得∠EDO=∠FBO，再利用ASA证明△DOE≌△BOF，利用全等三角形的面积相等，可得到S△DOE=S△BOF=5，从而可求出△AOD的面积，然后根据平行四边形ABCD的面积为=4S△AOD，代入计算可求解。
5．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】∵AE为∠DAB的平分线，
∴∠DAE=∠BAE，
∵DC∥AB，
∴∠BAE=∠DFA，
∴∠DAE=∠DFA，
∴AD=FD，
又F为DC的中点，
∴DF=CF，
∴AD=DF=DC=AB=2，
在Rt△ADG中，根据勾股定理得：AG=，
则AF=2AG=2，
∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠DAF=∠E，∠ADF=∠ECF，
在△ADF和△ECF中，
，
∴△ADF≌△ECF（AAS），
∴AF=EF，
则AE=2AF=4．
故答案为：B．
【分析】根据△ADF≌△ECF可说明AE＝2AF=2EF．由DC∥AB，AF是∠BAD的平分线，可得到∠DAG=∠DFG，所以根据等角对等边可得AD＝FD，在Rt△DGF中用勾股定理可计算GF，根据AE＝2AF＝4GF可求解．
6．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=4，
∴四边形ABCD的面积=BC·AE=CD·AF
即6×2=4×AF
∴AF=3.
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的对边相等可得CD=AB=4，由平行四边形的面积=底×高列出等式，继而求出结论.
7．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、∵AB∥DC,AB=DC ，∴ 四边形ABCD为平行四边形 ，故A不符合题意；
B、∵AB=DC,AD=BC ，∴ 四边形ABCD为平行四边形 ，故B不符合题意；
C、∵AB∥DC,AD=BC ，∴ 四边形ABCD可以为等腰梯形，故C符合题意；
D、∵OA=OC,OB=OD ，∴ 四边形ABCD为平行四边形 ，故D不符合题意。
故答案为：C。
【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可一一判断得出答案。
8．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】⑴⑵⑶均不能证明该四边形是平行四边形。
⑷∵一组对角相等，且这一组对角的顶点所连接的对角线平分另一条对角线
∴对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形.
正确的有1个.
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形的判定方法逐个判断即可。
9．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】∵ ， ，
∴四边形AHOB、四边形HGFO、四边形BODC、四边形OFED、四边形AGFB、四边形BFEC、四边形AHDC、四边形HGED、四边形AGEC都是平行四边形，
故答案为：C．
【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形解答即可．
10．【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，AD//BC，AB//CD， AD=BC，AB=CD，
∴∠DAE=∠BCF，∠BAE=∠DCF，
A、∵AE=CF，
∴EO=FO，
∵DO=BO，
∴四边形DEBF是平行四边形；
C、∵∠ADE=∠CBF，AD=BC，∠DAE=∠BCF，
∴△ADE≌△CBF，
∴AE=CF，
∴EO=FO，
∵DO=BO，
∴四边形DEBF是平行四边形.
同理若∠ABE=∠CDF，也能证明△ABE≌△CDF，从而四边形DEBF是平行四边形；
只有B选项不能得出结论，
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质得出AO=CO，BO=DO，AD//BC，AB//CD， AD=BC，AB=CD，根据二直线平行，内错角相等得出∠DAE=∠BCF，∠BAE=∠DCF，A、如果添加AE=CF，可以利用等式的性质得出EO=FO，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形DEBF是平行四边形；C、如果添加 ∠ADE=∠CBF ，可以利用ASA判断出△ADE≌△CBF，根据全等三角形的对应边相等得出AE=CF，根据等式的性质得出EO=FO，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形DEBF是平行四边形；D、同理若添加∠ABE=∠CDF，也能证明△ABE≌△CDF，从而四边形DEBF是平行四边形，综上所沪即可得出答案。
11．【答案】D
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】根据平行四边形的判定定理依次分析各项即可判断。
【解答】∵∠F=∠CDE
∴CD∥AF
在△DEC与△FEB中，
∠DCE=∠EBF，CE=BE（点E为BC的中点)，∠CED=∠BEF
∴△DEC≌△FEB
∴DC=BF，∠C=∠EBF
∴AB∥DC
∵AB=BF
∴DC=AB
∴四边形ABCD为平行四边形。
选项A、B、C都不能证明△DEC≌△FEB；
故选D．
【点评】解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的判定定理：
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
④对角线互相平分的四边形是平行四边形；
⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
12．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；四边形-动点问题
【解析】【解答】根据题意设t秒时，直线将四边形ABCD截出一个平行四边形
则AP=t,DP=9-t,CQ=2t,BQ=6-2t
要使构成平行四边形
则：AP=BQ或CQ=PD
进而可得： 或
解得 或
故答案为：D.
【分析】根据点P、Q的运动速度和方向，用含t的代数式表示出AP、CQ，BQ、PD的长，要使直线将四边形ABCD截出一个平行四边形，分情况讨论：当AP=BQ；CQ=PD，分别建立关于t的方程，解方程求出t的值。
13．【答案】1【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如下图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，AC=12，BD=10，
∴OA=OC=6，OD=OB=5，
在△OAB中，OA-OB即6-5∴1故答案为：1【分析】根据平行四边形的性质求出OA、OB的长，根据三角形三边的关系得出OA-OB14．【答案】105°
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：根据题意可得，∠ADB=∠BDG=∠DBG，根据三角形的外角性质可得∠BDG=∠DBG=∠1=25°，
∴∠ADB=25°
根据三角形的外角和为180°即可求出∠A′=105°
故答案为：105°。
【分析】根据平行四边形的性质以及折叠的性质得出三组角相等，根据外角的性质求出∠BDG的度数，根据三角形的内角和定理求出正确答案即可。
15．【答案】16
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∵ ABCD中,AD∥BC，
∴∠ADE=∠CED，
∴∠CDE=∠CED，
∴CE=CD，
∵在 ABCD中，AD=5，BE=2，
∴AD=BC=5，
∴CE=BC BE=5 2=3，
∴CD=AB=3，
∴ ABCD的周长=5+5+3+3=16.
故答案为：16.
【分析】由平行四边形的性质和角平分线的定义可得∠CDE=∠CED，AD=BC，CD=AB，由等角对等边可得CE=CD，由线段的构成得CE=BC-BE，则根据平行四边形的周长等于四边之和可求解四边形的周长.
16．【答案】对角线互相平分的四边形是平行四边形
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵O是AC边的中点，
∴OA=OC，
∵OD=OB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
依据：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
【分析】根据平行四边形的判定方法，对角线互相平分的四边形是平行四边形；作出平行四边形.
17．【答案】AB=CD（或AD∥BC）
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：已知AB∥CD，
∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
∴可添加AB=CD或AD∥BC，
故答案为：AB=CD（或AD∥BC）.
【分析】一组对边平行且相等或两组对边分别平行的四边形是平行四边形，据此解答即可.
18．【答案】3或5
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：在 口ABCD中，AD=BC，AD∥BC
∴∠ADB=∠CBM
又∵∠FBM=∠CBM
∴∠ADB=∠FBM
∴DF=BF=12
∴BC=AD=AF+DF=18
∴CE= BC=9
设点P运动了t（0＜t≤6）秒，则PF=（6-t）cm，CQ=2tcm.
∵AD∥BC即PF∥EQ
∴当PF=EQ时，以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形。
分两种情况：
①当点Q运动到点E的右边（如图1所示）时，EQ=（9-2t）cm，则有9-2t=6-t，解得t=3；
②
当点Q运动到点E的左边（如图2所示）时，EQ=（2t-9）cm，则有2t-9=6-t，解得t=5.
故答案为：3或5.
【分析】设运动时间为t秒，根据路程与速度和时间的关系表示出各相关线段的长度，然后依据平行四边形的判定方法列出方程求得t的值即可。
19．【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形ABCD
∴BC=AD=12，CD=AB=13，OB= BD
∵BD⊥AD，∴BD= = =5
∴OB=
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质和勾股定理可求BC，CD及OB的长。
20．【答案】解：设平行线AD，GH之间的距离为h1，
平行线GH，BC之间的距离为h2，则 ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，∴ ＝ ，即 ＝ ，∴S OEDH＝24
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】根据平行线间的距离相等可设平行线AD，GH之间的距离为h1，平行线GH，BC之间的距离为h2，则，，，所以四边形OEDH的面积=24.
21．【答案】证明：∵点D、E分别是AC、AB的中点，
∴DE//BC
∵在△ABC中，∠ACB=90°，
∴CE= AB=AE，
∴∠A=∠DCE，
又 ∵∠CDF=∠A，
∴∠CDF=∠DCE，
∴DF//EC，
∴四边形DECF是平行四边形
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【分析】根据DE是三角形的中位线得到DE∥BC，根据CE是直角三角形斜边上的中线得到CE=AE，得∠A=∠ACE∵∠CDF=∠A∴∠CDF=∠ACE∴DF∥CE．再根据：两组对边分别平行的四边形是平行四边形而得证.
22．【答案】解：解：∵点D和点F分别为AB和AC的中点
∴DF∥BC，DF=BC
又∵E为BC的中点
∴DF=EC
所以四边形DCXF为平行四边形。
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【分析】根据三角形的中位线定理求出DF∥EC且DF=BC，根据E为BC的中点得到DF∥EC，DF=EC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可进行证明。
23．【答案】（1）∵四边形ABCD为平行四边形
∴∠D=∠C
∵E为CD的中点
∴CE=DE，
又∵∠AED=∠CEF
∴△ADE≌△FCE
（2）由（1）得，CD=AB，AE=EF=3，BC=CF=5
∴BF=10，AF=6
∵∠BAF=90°
∴由勾股定理得，CD=AB==8.
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质以及中点的性质，即可证明△ADE≌△FCE；
（2）根据平行四边形的性质以及全等三角形的性质，即可根据勾股定理求得CD的长度。
24．【答案】（1）证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD∥BC，∴ ∠ADE=∠DEC.∵ DE是∠ADC的角平分线，
∴ ∠ADE=∠CDE，
∴ ∠CDE=∠DEC，
∴ CD=CE
（2）证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB=DC.∵ CD=CE，BE=CE
∴ AB=BE，
∴ ∠BAE=∠BEA.∵ AD∥BC，
∴ ∠DAE=∠BEA.
∴ ∠DAE=∠BAE= ∠BAD.
∵ AB∥DC，
∴ ∠BAD+∠ADC=180°，
∵ ∠ADE= ∠ADC，
∴ ∠DAE+∠ADE= (∠BAD+∠ADC)=90°，
∴ ∠AED=90°，∴ AE⊥DE.
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）先依据角平分线的定义和平行线的性质可证明∠CDE=∠DEC，最后，依据等角对等边的性质进行证明即可；
（2）先证明BE=AB，可得到∠BAE=∠BEA，然后可证明∠BAE=∠DAE，从而可证明∠EAD+∠ADE=(∠BAD+∠ADC)=90°，然后可证明∠AED=90°.
25．【答案】（1）解：由BC∥MD可得∠DMH+∠FMH+∠BMF+∠CBM=180°，由三角形内角和可得
∠CBM+∠CBF+∠BFM=180°，将两个式子整理可得∠FMH=90°.
（2）解：由BC∥MD可得∠DMH+∠FMH+∠BMF+∠CBM=180°，由三角形内角和可得
∠CBM+∠CBF+∠BFM=180°，将两个式子整理可得∠FMH=α.
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）可证FBM△MHD，利用对应边相等和对应角相等可得出结论.（2）延长BC交HM于N，FM交BC于O．只需证明△FBM≌△MDH即可解决问题；
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