20.3矩形的判定 课件
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课件38张PPT。矩形的判定一个角是直角有一个角是直角的平行四边形叫做矩形矩形的 两条对角线相等且互相平分矩形的对边平行且相等矩形的四个角都是直角边对角线角矩形的定义矩形的性质小丽和吴娟是怎样知道所买的相框是矩形的呢?请你思考通过测量四个角是直角有三个角是直角的四边形是矩形吗?已知:如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.证明:∵ ∠A=∠B=∠C=90°,∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°.∴AD∥BC,AB∥CD.求证:四边形ABCD是矩形.∴四边形ABCD是平行四边形.∴四边形ABCD是矩形.猜想加证明矩形判定1：有三个角是直角的四边形是矩形 除度量角度之外,她们需要度量什么也能知道做好的相框是矩形呢? 能证明它的正确性吗?活动一:证明：AB=DC,BD=CA,AD=DA∴△BAD≌△CDA(SSS)∴∠BAD=∠CDA∵AB∥CD∴∠BAD +∠CDA=180° ∴∠BAD＝90° ∴四边形ABCD是矩形（有一个内角是直角的平行四边形是矩形）对角线相等的平行四边形是矩形吗？猜想加证明四边形ABCD是平行四边形,AC=BD四边形ABCD是矩形已知:求证:矩形判定2：对角线相等的平行四边形是矩形推论:对角线互相平分且相等的四边形是矩形四边形ABCD
是矩形平行四边形是矩形.四边形是矩形.矩形的判定方法:例 1： 已知：如图．矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点，求证四边形EFGH是矩形． 证明：∵四边形ABCD是矩形∴AC=BD（矩形的对角线相等)AO=BO=CO=DO（矩形的对角线互相平分）∵ E、F、G、H分别是AO、BO、
CO、DO的中点∴OE=OF=OG=OH∴四边形EFGH是平行四边形（对角
线互相平分的四边形是平行四边形）∵EO+OG=FO+OH即EG=FH∴四边形EFGH是矩形（对角线相等的
平行四边形是矩形）。
已知：如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G 、 H分别是AO 、BO 、 CO 、 DO上的一点 ,且AE=BF=CG=DH.求证:四边形EFGH是矩形变式一:例2.已知: 如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF? AE于F，若AE＝BC，求证: CE＝FE.证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴ AD＝BC＝AE， ? B＝90? ，
AD∥BC 。 ∴ ? DAE＝ ? AEB。
又∵ DF?AE于F， ∴? AFD＝ 90?＝? B 。
∴ △AFD≌△EBA . ∴ AF＝BE ,
∵ AE＝BC ∴ AE－AF＝BC－BE 即 CE＝FE 例3.已知：如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD 相交于点o， △ AOB是等边三角形。
求： ∠BAD的度数解：∵ △AOB是等边三角形∴OA=OB∵四边形ABCD是平行四边形∴AC=2OA,BD=2BO∴AC=BD∴平行四边形ABCD是矩形∴∠BAD＝90°。例4：一张四边形纸板ＡＢＣＤ形状如图，
（１）若要从这张纸板中剪出一个平行四边形，并且使它的四个顶点分别落在四边形ＡＢＣＤ的四条边上，可怎样剪？ＥＦＧＨ⑵四边形ＡＢＣＤ满足什么情况下中点四边形ＥＦＧＨ为矩形？并说明理由．解：分别取ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ的中点Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ，可剪得中点四边形ＥＦＧＨ为平行四边形．两条对角线互相垂直，ＡＣ⊥ＢＤ (2)、一张四边形的纸板ABCD的形状如图（1），它的两条对角线互相垂直。如果要从这张纸板中剪出一个矩形，并且使它的四个顶点分别落在四边形ABCD的四条边上，可以怎么剪？解：ＥＦＧＨ理由如下：∵ＧＨ是⊿ＡＣＤ的中位线∴ＧＨ∥ＡＣ１２３∵ＡＣ⊥ＢＤ∴∠１＝９０°（三角形的中位线平行于第三边
且等于第三边的一半）∴∠２＝∠１＝９０°∵ＥＨ是⊿ＡＢＤ的中位线∴ＥＨ∥ＢＤ∴∠３＝∠２＝９０°，４５（三角形的中位线平行于第三边）同理可得：∠４＝９０°， ∠５＝９０°∴四边形ＥＦＧＨ是矩形．（三个角是直角的四边形是矩形）例5．已知矩形ABCD中，AB=2 BD=4,AE⊥BD与E，请你分别求出图中线段AC、BE的长以及∠ADB的度数. 解: ∵四边形ABCD为矩形
∵BD=4，∴AC=4，OB=OA=2.
∵AB=2 ∴OB=OA=AB.
∴△AOB为等边三角形.
又AE⊥OB于E,∴E为BO的中点.∴BE=OB=1∵∠DAB=900,∴∠ADB=900－600=300.做一做：工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：做一做：(2)摆放成如图所示的四边形，则这时窗框的形状是____________形，数学原理是_______________________________________平行四边两组对边分别相等的四边形是平行四边形做一做：(3)将直角尺靠紧窗框的一个角(如图所示)，调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时，说明窗框合格，这时窗框是_____形，数学原理是_________________________________矩有一个角为直角的平行四边形是矩形给你一根足够长的绳子，你能用这根绳子来检查教室的门框是否是矩形吗？请说出你的方法以及数学依据。利用上图：判断下列命题是否正确，并说明理由。 （1）对角互补的平行四边形是矩形。（2）一组邻角相等的平行四边形是矩形。（3）对角线相等的四边形是矩形。（4）内角都相等的四边形是矩形。注意审题哦！（5）对角线相等的四边形是矩形。
（6）对角线互相平分且相等的四边形是矩形。
（7）有一个角是直角的四边形是矩形。
（8）四个角都是直角的四边形是矩形。
（9）四个角都相等的四边形是矩形。
（10）对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形。
（11）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形。想一想，做一做1.在矩形ABCD中,对角线AC、BD交与点O，∠AOD=1200，AB=1，则AC= ，AD= .
2.已知矩形的一条对角线与边的夹角是400,则两条对角线所交成的锐角是＿＿＿. 3.矩形相邻两边的差为2,对角线长为4,则矩形周长为______.4.如图, 在平行四边形ABCD中,AF,BH,CH,DF分别
平分∠BAD, ∠ABC, ∠BCD, ∠ADC,
求证:EG=HF.ABCDHEFG 5、已知：如图，AC与BD相交于点O，AB CD 且∠1=∠2 。 求证：四边形ABCD是矩形6、已知：如图，Rt△ABC≌Rt△CDA，且AD的对应边是CB，∠B=∠D=Rt∠； 求证：四边形ABCD是矩形。ADCB1.若矩形的一条对角线与一边的夹角是35°，则两条对角线相交所成的锐角是
A、35° B、70° C、105°D、90° 挑战练习2.在矩形ABCD中DE⊥AC于点E，∠BDA︰∠BDC=2︰3，则∠BDE的度数是（ ）
A 18° B 36° C 72° D 以上都不对3.已知矩形ABCD的两条对角线相交于O,∠1=60°,AB=4cm，求矩形的对角线的长及矩形另一边BC的长．14.在矩形ABCD中，对角线BD、AC相交于点O，AE⊥BD，E为垂足，且∠BAE= ∠DAB，
求（1）∠CAE度数；
（2）若AE=2,求AC的长.5.如图，在长方形ABCD中，AE平分∠BAD，∠1=15°．
（1）求∠2的度数；
（2）求证：BO=BE．
6.如图，在平行四边形ABCD中,E、F分别在AB、CD上,且AE=CF,AF⊥DE，G为垂足,BF、CE相交于点H,试说明四边形EHFG是矩形． 7.如图，将一张周长为50cm的矩形纸片沿对角线BD折叠，顶点C落在E处，DE交AB于F．
（1）试说明DF=BF；
（2）求△AFD的周长．8.如图，是阳光广告公司为某种商品设计的商标图案（图中阴影部分），若每个小长方形的面积都是1，则阴影部分的面积是 ．9.如图,△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，AE是∠BAC外角的平分线，DE∥AB于E，你发现四边形ADCE是何种四边形？说明理由.10.如图,直线MN经过线段AC的端点A,点B、D分别在∠NAC , ∠MAC 的角平分线AE、AF上，BD交AC于点O，如果O是BD的中点.试找出当O在线段AC的什么位置时,四边形ABCD是矩形,并说明理由.矩形有几种判定方法？有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（定义）
有三个角是直角的四边形是矩形（矩形的判定定理1）
对角线相等的平行四边形是矩形（矩形的判定定理2）矩形有一个角是直角对角线相等有三个角是直角方法总结：
是矩形平行四边形是矩形.四边形是矩形.矩形的判定方法:例 1： 已知：如图．矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点，求证四边形EFGH是矩形． 证明：∵四边形ABCD是矩形∴AC=BD（矩形的对角线相等)AO=BO=CO=DO（矩形的对角线互相平分）∵ E、F、G、H分别是AO、BO、
CO、DO的中点∴OE=OF=OG=OH∴四边形EFGH是平行四边形（对角
线互相平分的四边形是平行四边形）∵EO+OG=FO+OH即EG=FH∴四边形EFGH是矩形（对角线相等的
平行四边形是矩形）。
已知：如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G 、 H分别是AO 、BO 、 CO 、 DO上的一点 ,且AE=BF=CG=DH.求证:四边形EFGH是矩形变式一:例2.已知: 如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF? AE于F，若AE＝BC，求证: CE＝FE.证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴ AD＝BC＝AE， ? B＝90? ，
AD∥BC 。 ∴ ? DAE＝ ? AEB。
又∵ DF?AE于F， ∴? AFD＝ 90?＝? B 。
∴ △AFD≌△EBA . ∴ AF＝BE ,
∵ AE＝BC ∴ AE－AF＝BC－BE 即 CE＝FE 例3.已知：如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD 相交于点o， △ AOB是等边三角形。
求： ∠BAD的度数解：∵ △AOB是等边三角形∴OA=OB∵四边形ABCD是平行四边形∴AC=2OA,BD=2BO∴AC=BD∴平行四边形ABCD是矩形∴∠BAD＝90°。例4：一张四边形纸板ＡＢＣＤ形状如图，
（１）若要从这张纸板中剪出一个平行四边形，并且使它的四个顶点分别落在四边形ＡＢＣＤ的四条边上，可怎样剪？ＥＦＧＨ⑵四边形ＡＢＣＤ满足什么情况下中点四边形ＥＦＧＨ为矩形？并说明理由．解：分别取ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ的中点Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ，可剪得中点四边形ＥＦＧＨ为平行四边形．两条对角线互相垂直，ＡＣ⊥ＢＤ (2)、一张四边形的纸板ABCD的形状如图（1），它的两条对角线互相垂直。如果要从这张纸板中剪出一个矩形，并且使它的四个顶点分别落在四边形ABCD的四条边上，可以怎么剪？解：ＥＦＧＨ理由如下：∵ＧＨ是⊿ＡＣＤ的中位线∴ＧＨ∥ＡＣ１２３∵ＡＣ⊥ＢＤ∴∠１＝９０°（三角形的中位线平行于第三边
且等于第三边的一半）∴∠２＝∠１＝９０°∵ＥＨ是⊿ＡＢＤ的中位线∴ＥＨ∥ＢＤ∴∠３＝∠２＝９０°，４５（三角形的中位线平行于第三边）同理可得：∠４＝９０°， ∠５＝９０°∴四边形ＥＦＧＨ是矩形．（三个角是直角的四边形是矩形）例5．已知矩形ABCD中，AB=2 BD=4,AE⊥BD与E，请你分别求出图中线段AC、BE的长以及∠ADB的度数. 解: ∵四边形ABCD为矩形
∵BD=4，∴AC=4，OB=OA=2.
∵AB=2 ∴OB=OA=AB.
∴△AOB为等边三角形.
又AE⊥OB于E,∴E为BO的中点.∴BE=OB=1∵∠DAB=900,∴∠ADB=900－600=300.做一做：工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：做一做：(2)摆放成如图所示的四边形，则这时窗框的形状是____________形，数学原理是_______________________________________平行四边两组对边分别相等的四边形是平行四边形做一做：(3)将直角尺靠紧窗框的一个角(如图所示)，调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时，说明窗框合格，这时窗框是_____形，数学原理是_________________________________矩有一个角为直角的平行四边形是矩形给你一根足够长的绳子，你能用这根绳子来检查教室的门框是否是矩形吗？请说出你的方法以及数学依据。利用上图：判断下列命题是否正确，并说明理由。 （1）对角互补的平行四边形是矩形。（2）一组邻角相等的平行四边形是矩形。（3）对角线相等的四边形是矩形。（4）内角都相等的四边形是矩形。注意审题哦！（5）对角线相等的四边形是矩形。
（6）对角线互相平分且相等的四边形是矩形。
（7）有一个角是直角的四边形是矩形。
（8）四个角都是直角的四边形是矩形。
（9）四个角都相等的四边形是矩形。
（10）对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形。
（11）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形。想一想，做一做1.在矩形ABCD中,对角线AC、BD交与点O，∠AOD=1200，AB=1，则AC= ，AD= .
2.已知矩形的一条对角线与边的夹角是400,则两条对角线所交成的锐角是＿＿＿. 3.矩形相邻两边的差为2,对角线长为4,则矩形周长为______.4.如图, 在平行四边形ABCD中,AF,BH,CH,DF分别
平分∠BAD, ∠ABC, ∠BCD, ∠ADC,
求证:EG=HF.ABCDHEFG 5、已知：如图，AC与BD相交于点O，AB CD 且∠1=∠2 。 求证：四边形ABCD是矩形6、已知：如图，Rt△ABC≌Rt△CDA，且AD的对应边是CB，∠B=∠D=Rt∠； 求证：四边形ABCD是矩形。ADCB1.若矩形的一条对角线与一边的夹角是35°，则两条对角线相交所成的锐角是
A、35° B、70° C、105°D、90° 挑战练习2.在矩形ABCD中DE⊥AC于点E，∠BDA︰∠BDC=2︰3，则∠BDE的度数是（ ）
A 18° B 36° C 72° D 以上都不对3.已知矩形ABCD的两条对角线相交于O,∠1=60°,AB=4cm，求矩形的对角线的长及矩形另一边BC的长．14.在矩形ABCD中，对角线BD、AC相交于点O，AE⊥BD，E为垂足，且∠BAE= ∠DAB，
求（1）∠CAE度数；
（2）若AE=2,求AC的长.5.如图，在长方形ABCD中，AE平分∠BAD，∠1=15°．
（1）求∠2的度数；
（2）求证：BO=BE．
6.如图，在平行四边形ABCD中,E、F分别在AB、CD上,且AE=CF,AF⊥DE，G为垂足,BF、CE相交于点H,试说明四边形EHFG是矩形． 7.如图，将一张周长为50cm的矩形纸片沿对角线BD折叠，顶点C落在E处，DE交AB于F．
（1）试说明DF=BF；
（2）求△AFD的周长．8.如图，是阳光广告公司为某种商品设计的商标图案（图中阴影部分），若每个小长方形的面积都是1，则阴影部分的面积是 ．9.如图,△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，AE是∠BAC外角的平分线，DE∥AB于E，你发现四边形ADCE是何种四边形？说明理由.10.如图,直线MN经过线段AC的端点A,点B、D分别在∠NAC , ∠MAC 的角平分线AE、AF上，BD交AC于点O，如果O是BD的中点.试找出当O在线段AC的什么位置时,四边形ABCD是矩形,并说明理由.矩形有几种判定方法？有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（定义）
有三个角是直角的四边形是矩形（矩形的判定定理1）
对角线相等的平行四边形是矩形（矩形的判定定理2）矩形有一个角是直角对角线相等有三个角是直角方法总结：