第八章 立体几何初步再练一课(范围：8.4～8.6)（Word含答案解析）

再练一课(范围：8.4～8.6)
1.如图所示，下列符号表示错误的是(　　)
A.l∈α B.P l C.l α D.P∈α
2.对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l(　　)
A.平行 B.相交
C.垂直 D.互为异面直线
3.直线在平面外是指(　　)
A.直线与平面没有公共点
B.直线与平面相交
C.直线与平面平行
D.直线与平面最多只有一个公共点
4.下列命题：
①一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，必与另外一个平面相交；
②如果一个平面平行于另外两个平行平面中的一个平面，必平行于另一个平面；
③夹在两个平行平面间的平行线段相等.
其中正确的命题的个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.0
5.(多选)在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中正确的是(　　)
A.平面PAB⊥平面PAD
B.平面PAB⊥平面PBC
C.平面PBC⊥平面PCD
D.平面PCD⊥平面PAD
6.互不重合的三个平面最多可以把空间分成________个部分.
7.一个正四面体木块如图所示，点P是棱VA的中点.过点P将木块锯开，使截面PDEF平行于棱VB和AC，若木块的棱长为a，则截面面积为________.
8.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是________.
9.已知△ABC是边长为1的等边三角形，D，E分别是AB，AC边上的点，AD＝AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到三棱锥A－BCF，其中BC＝.
(1)证明：DE∥平面BCF；
(2)证明：CF⊥平面ABF.
10.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD，B1C的中点.
求证：(1)MN∥平面CC1D1D；
(2)平面MNP∥平面CC1D1D.
11.下列不能确定两个平面垂直的是(　　)
A.两个平面相交，所成二面角是直二面角
B.一个平面垂直于另一个平面内的一条直线
C.一个平面经过另一个平面的一条垂线
D.平面α内的直线a垂直于平面β内的直线b
12.已知直线m，n与平面α，β，给出下列三个结论：
①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n⊥α，则m⊥n；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β.
其中正确结论的个数是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
13.如图，在多面体ABC－DEFG中，平面ABC∥平面DEFG，AD∥BE，AC∥DG∥EF，且AB＝DE，DG＝2EF，则下列说法中正确的是________.(填序号)
①BF∥平面ACGD；
②CF∥平面ABED；
③BC∥FG；
④平面ABED∥平面CGF.
14.如图，二面角α－l－β的大小是60°，线段AB α，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是________.
15.如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，点E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：
①平面EFGH∥平面ABCD；
②BC∥平面PAD；
③AB∥平面PCD；
④平面PAD⊥平面PAB.
其中正确的有(　　)
A.①③ B.①④ C.①②③ D.②③
16.如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.
(1)求证：DC⊥平面PAC；
(2)求证：平面PAB⊥平面PAC；
(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？请说明理由.
再练一课(范围：8.4～8.6)
1.如图所示，下列符号表示错误的是(　　)
A.l∈α B.P l C.l α D.P∈α
答案　A
解析　观察图知，P l，P∈α，l α，则l∈α是错误的.
2.对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l(　　)
A.平行 B.相交
C.垂直 D.互为异面直线
答案　C
3.直线在平面外是指(　　)
A.直线与平面没有公共点
B.直线与平面相交
C.直线与平面平行
D.直线与平面最多只有一个公共点
答案　D
解析　直线与平面的位置关系为：平行、相交、在平面内，其中平行和相交统称为直线在平面外，所以直线在平面外是指直线与平面最多只有一个公共点.
4.下列命题：
①一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，必与另外一个平面相交；
②如果一个平面平行于另外两个平行平面中的一个平面，必平行于另一个平面；
③夹在两个平行平面间的平行线段相等.
其中正确的命题的个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.0
答案　C
解析　根据面面平行的性质知①②③正确.
5.(多选)在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中正确的是(　　)
A.平面PAB⊥平面PAD
B.平面PAB⊥平面PBC
C.平面PBC⊥平面PCD
D.平面PCD⊥平面PAD
答案　ABD
解析　对于A，∵PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，∴PA⊥AB，又AB⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，∴AB⊥平面PAD，∴平面PAB⊥平面PAD，故A正确；对于B，∵PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB 平面PAB，∴BC⊥平面PAB，∴平面PAB⊥平面PBC，故B正确；对于D，∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD，又CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，∴CD⊥平面PAD，∴平面PCD⊥平面PAD，故D正确.
6.互不重合的三个平面最多可以把空间分成________个部分.
答案　8
解析　互不重合的三个平面将空间分成几部分有五种情形：当三个平面互相平行时，将空间分成四部分；当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成六部分；当三个平面相交于同一条直线时，将空间分成六部分；当三个平面相交于三条直线时，且三条交线交于同一点时，将空间分成八个部分；当三个平面相交于三条直线，且三条交线互相平行时，将空间分成七部分.即不重合的三个平面可以将空间分成四部分或六部分或七部分或八部分.所以最多将空间分成8部分.
7.一个正四面体木块如图所示，点P是棱VA的中点.过点P将木块锯开，使截面PDEF平行于棱VB和AC，若木块的棱长为a，则截面面积为________.
答案　
解析　由于平面PDEF与VB和AC都平行，所以PF∥DE，PF＝VB，PD∥EF，PD＝AC，所以四边形PDEF为平行四边形.又四面体为正四面体，所以VB⊥AC，且VB＝AC，所以PF⊥EF，且PF＝FE，则四边形PDEF是边长为a的正方形，故其面积为.
8.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是________.
答案　60°
解析　连接AB1，易知AB1∥EF，连接B1C交BC1于点G，取AC的中点H，连接GH，
则GH∥AB1∥EF.
设AB＝BC＝AA1＝a，连接HB，
在△GHB中，易知GH＝HB＝GB＝a，
故两直线所成的角即为∠HGB＝60°.
9.已知△ABC是边长为1的等边三角形，D，E分别是AB，AC边上的点，AD＝AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到三棱锥A－BCF，其中BC＝.
(1)证明：DE∥平面BCF；
(2)证明：CF⊥平面ABF.
证明　(1)在等边三角形ABC中，AD＝AE，
∴＝，
在折叠后的三棱锥A－BCF中也成立，∴DE∥BC.
∵DE 平面BCF，BC 平面BCF，
∴DE∥平面BCF.
(2)在等边三角形ABC中，F是BC的中点，
∴AF⊥BC，折叠后，AF⊥CF.
∵在△BFC中，BC＝，BF＝CF＝，
∴BC2＝BF2＋CF2，∴CF⊥BF.
又AF∩BF＝F，AF，BF 平面ABF，
∴CF⊥平面ABF.
10.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD，B1C的中点.
求证：(1)MN∥平面CC1D1D；
(2)平面MNP∥平面CC1D1D.
证明　(1)如图，连接AC，CD1.
因为ABCD为正方形，N为BD的中点，所以N为AC的中点.
又M为AD1的中点，
所以MN∥CD1.
因为MN 平面CC1D1D，CD1 平面CC1D1D，
所以MN∥平面CC1D1D.
(2)连接BC1，C1D，
因为B1BCC1为正方形，P为B1C的中点，所以P为BC1的中点.
又N为BD的中点，所以PN∥C1D.
因为PN 平面CC1D1D，C1D 平面CC1D1D，
所以PN∥平面CC1D1D.
由(1)知MN∥平面CC1D1D，且MN∩PN＝N，MN，PN 平面MNP，
所以平面MNP∥平面CC1D1D.
11.下列不能确定两个平面垂直的是(　　)
A.两个平面相交，所成二面角是直二面角
B.一个平面垂直于另一个平面内的一条直线
C.一个平面经过另一个平面的一条垂线
D.平面α内的直线a垂直于平面β内的直线b
答案　D
解析　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1B1CD内的直线A1B1垂直于平面ABCD内的一条直线BC，但平面A1B1CD与平面ABCD显然不垂直.
12.已知直线m，n与平面α，β，给出下列三个结论：
①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n⊥α，则m⊥n；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β.
其中正确结论的个数是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
答案　C
解析　①若m∥α，n∥α，则m与n可能平行、相交或异面，故①错误；易知②③正确.所以正确结论的个数是2.
13.如图，在多面体ABC－DEFG中，平面ABC∥平面DEFG，AD∥BE，AC∥DG∥EF，且AB＝DE，DG＝2EF，则下列说法中正确的是________.(填序号)
①BF∥平面ACGD；
②CF∥平面ABED；
③BC∥FG；
④平面ABED∥平面CGF.
答案　①
解析　∵EF∥DG，EF 平面ADGC，DG 平面ADGC，
∴EF∥平面ADGC，
同理，BE∥平面ADGC，
又∵BE∩EF＝E，
∴平面BEF∥平面ACGD，
∵BF 平面BEF，∴BF∥平面ACGD，故①正确；
由于DG＝2EF，则四边形EFGD是梯形，
GF的延长线必与直线DE相交，故④不正确；
选项②③不能推出.
14.如图，二面角α－l－β的大小是60°，线段AB α，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是________.
答案　
解析　如图，作AO⊥β于O，AC⊥l于C，
连接OB，OC，则OC⊥l，则∠ACO为二面角α－l－β的平面角，∠ABC为AB与l所成的角.
设AB与β所成的角为θ，则∠ABO＝θ.
由图象得sin θ＝＝·＝sin 30°·sin 60°＝.
15.如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，点E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：
①平面EFGH∥平面ABCD；
②BC∥平面PAD；
③AB∥平面PCD；
④平面PAD⊥平面PAB.
其中正确的有(　　)
A.①③ B.①④ C.①②③ D.②③
答案　C
解析　把平面展开图还原为四棱锥如图所示，则EH∥AB，又EH 平面ABCD，AB 平面ABCD，所以EH∥平面ABCD.同理可证EF∥平面ABCD，又EF∩EH＝E，EF，EH 平面EFGH，所以平面EFGH∥平面ABCD；平面PAD，平面PBC，平面PAB，平面PDC均是四棱锥的四个侧面，则它们两两相交.
∵AB∥CD，AB 平面PCD，CD 平面PCD，
∴AB∥平面PCD.同理BC∥平面PAD.
16.如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.
(1)求证：DC⊥平面PAC；
(2)求证：平面PAB⊥平面PAC；
(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？请说明理由.
(1)证明　∵PC⊥平面ABCD，DC 平面ABCD，
∴PC⊥DC.
又AC⊥DC，PC∩AC＝C，PC 平面PAC，AC 平面PAC，∴CD⊥平面PAC.
(2)证明　∵AB∥CD，CD⊥平面PAC，
∴AB⊥平面PAC，
又AB 平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAC.
(3)解　棱PB上存在点F，使得PA∥平面CEF.
证明如下：取PB的中点F，连接EF，CE，CF，
又∵E为AB的中点，
∴EF为△PAB的中位线，∴EF∥PA.
又PA 平面CEF，EF 平面CEF，
∴PA∥平面CEF.