第九章 9.1.1　简单随机抽样 学案

9.1.1　简单随机抽样
学习目标　1.了解随机抽样的必要性和重要性.2.理解随机抽样的目的和基本要求.3.理解简单随机抽样中的抽签法、随机数法.4.掌握用样本的平均数估计总体的平均数.
知识点一　全面调查(普查)、抽样调查
1.全面调查(普查)：对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查.
总体：调查对象的全体.
个体：组成总体的每一个调查对象.
2.抽样调查：根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法.
样本：从总体中抽取的那部分个体.
样本量：样本中包含的个体数.
知识点二　简单随机抽样
1.定义：一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n(1≤n2.方法：抽签法和随机数法.
知识点三　抽签法、随机数法
1.抽签法：把总体中的N个个体编号，把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签，将号签放在一个不透明容器中，充分搅拌后，每次从中不放回地抽取一个号签，连续抽取n次，使与号签上的编号对应的个体进入样本，就得到一个容量为n的样本.
2.随机数法
(1)用随机试验生成随机数
(2)用信息技术生成随机数：①用计算器生成随机数；②用电子表格软件生成随机数；③用R统计软件生成随机数.
知识点四　用样本平均数估计总体平均数
1.总体平均数
一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称＝＝i为总体均值，又称总体平均数.
2.样本平均数
如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称＝＝i为样本均值，又称样本平均数.
1.简单随机抽样包括有放回的抽样和不放回的抽样.(　√　)
2.简单随机抽样中每个个体被抽到的机会相等.(　√　)
3.某班有40名学生，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛，是简单随机抽样.
(　×　)
4.从高一(1)班抽取10人，若这10人的平均视力为4.8，则该班所有学生的平均视力一定是4.8.(　×　)
一、简单随机抽样的理解
例1　(1)(多选)下列4个抽样中，为简单随机抽样的是(　　)
A.从无数个个体中抽取50个个体作为样本
B.仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查
C.一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中不放回地逐个抽出6个号签
D.箱子里共有100个零件，从中选出10个零件进行质量检验，在抽样操作中，从中任意取出1个零件进行质量检验后，再把它放回箱子里
答案　CD
解析　根据简单随机抽样的特点逐个判断.A项不是简单随机抽样.因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的. B项不是简单随机抽样.虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”. C项是简单随机抽样.因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，是不放回、等可能的抽样. D项是放回简单随机抽样.综上，只有CD是简单随机抽样.
(2)在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性(　　)
A.与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性大一些
B.与第几次抽样无关，每次抽到的可能性都相等
C.与第几次抽样有关，最后一次抽到的可能性要大些
D.与第几次抽样无关，每次都是等可能的抽取，但各次抽取的可能性不一定
答案　B
解析　在简单随机抽样中，每一个个体被抽到的可能性都相等，与第几次抽样无关，故A，C，D不正确，B正确.
反思感悟　简单随机抽样必须具备下列特点
(1)被抽取样本的总体中的个体数N是有限的.
(2)抽取的样本是从总体中逐个抽取的.
(3)简单随机抽样是一种等可能的抽样.
如果3个特征有一个不满足，就不是简单随机抽样.
跟踪训练1　(1)从某年级的500名学生中抽取60名学生进行体重的统计分析，下列说法正确的是(　　)
A.500名学生是总体
B.每个学生是个体
C.抽取的60名学生的体重是一个样本
D.抽取的60名学生的体重是样本量
答案　C
解析　由题意可知在此简单随机抽样中，总体是500名学生的体重，A错；个体是每个学生的体重，B错；样本量为60，D错.
(2)从总体容量为N的一批零件中，通过简单随机抽样抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽到的可能性为0.25，则N的值为(　　)
A.120 B.200 C.150 D.100
答案　A
解析　因为从含有N个个体的总体中通过简单随机抽样抽取一个容量为30的样本时，每个个体被抽到的可能性为，所以＝0.25，从而有N＝120.故选A.
二、抽签法和随机数法
例2　某卫生单位为了支援抗震救灾，要在50名志愿者中选取10人组成医疗小组去参加救治工作，请分别用抽签法和随机数法设计抽样方案.
解　抽签法：
第一步，将50名志愿者编号，号码为01,02,03，…，50.
第二步，将号码分别写在相同的纸条上，揉成团，制成号签.
第三步，将得到的号签放到一个不透明的盒子中，充分搅匀.
第四步，从盒子中依次不放回地取出10个号签，并记录上面的编号.
第五步，与所得号码对应的志愿者就是医疗小组成员.
随机数法：
(1)将50名志愿者编号，号码为01,02,03，…，50.
(2)准备10个大小，质地均匀的小球，小球上分别写上数字0,1,2，…，9.
(3)把小球放入一个不透明的容器中，搅拌均匀，从容器中有放回地抽取2次，并把第一次、第二次抽到的小球上的数字分别作为十位、个位数字，这样就生成了一个随机数，如果这个随机数在1～50范围内，就代表了对应编号的志愿者被抽中，否则舍弃编号.
(4)重复抽取随机数，直到抽中10名志愿者为止.
反思感悟　(1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是个体之间差异不明显.一般地，当样本容量和总体容量较小时，可用抽签法.
(2)当总体容量较大、样本容量不大时，用随机数法抽取样本较好.
跟踪训练2　(1)抽签法确保样本具有代表性的关键是(　　)
A.制签 B.搅拌均匀
C.逐一抽取 D.抽取不放回
答案　B
解析　若样本具有很好的代表性，则每一个个体被抽取的机会相等，故需要对号签搅拌均匀.
(2)使用简单随机抽样从1 000件产品中抽出50件进行某项检查，合适的抽样方法是(　　)
A.抽签法 B.随机数法
C.随机抽样法 D.以上都不对
答案　B
解析　由于总体相对较大，样本量较小，故采用随机数法较为合适.
三、用样本的平均数估计总体的平均数
例3　为了调查某校高一学生每天午餐消费情况，从该校高一学生中抽查了20名学生，通过调查这20名学生每天午餐消费数据如下(单位：元)
8　10　6　6　8　12　15　6　8　6　10　8　8　15　6 8　10　8　8　10
试估计该校高一学生每天午餐的平均费用，以及午餐费用不低于10元的比例.
解　样本的平均数为＝＝8.8，
样本中消费不低于10元的比例为＝0.35，
所以估计该校高一全体学生每天午餐的平均费用为8.8元.
在全体学生中，午餐费用不低于10元的比例约为0.35.
反思感悟　当总体容量很大时，一般用样本的平均数估计总体的平均数，用样本中某类个体所占的比例估计该类个体在总体中所占的比例.
跟踪训练3　为了了解某校高三学生每天的作业量，通过简单随机抽样从该校高三学生中抽取了60名学生，通过调查发现这60名学生每天完成作业平均用时2小时，则可以推测该校高三学生每天完成作业所需时间的平均数(　　)
A.一定为2小时 B.高于2小时
C.低于2小时 D.约为2小时
答案　D
1.(多选)下列抽查，适合抽样调查的是(　　)
A.调查黄河的水质情况
B.调查某化工厂周围5个村庄是否受到污染
C.调查某药品生产厂家一批药品的质量情况
D.进行某一项民意测验
答案　ACD
解析　A项因为无法对所有的黄河水质进行全面调查，所以只能采取抽样调查的方式；B项适合全面调查；C项对药品的质量检验具有破坏性，所以只能采取抽样调查；D项由于民意测验的特殊性，不可能也没必要对所有的人都进行调查，因此也是采用抽样调查的方式.
2.下列抽样方法是简单随机抽样的是(　　)
A.从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本
B.某饮料公司从仓库中的1 000箱饮料中一次性抽取20箱进行质量检查
C.某连队从200名战士中，挑选出50名最优秀的战士去参加抢险救灾活动
D.从10个手机中逐个不放回地随机抽取2个进行质量检验(假设10个手机已编好号，对编号随机抽取)
答案　D
解析　选项A中，平面直角坐标系中有无数个点，这与要求总体中的个体数有限不相符，故错误；选项B中，一次性抽取不符合简单随机抽样逐个抽取的特点，故错误；选项C中，50名战士是最优秀的，不符合简单随机抽样的等可能性，故错误.
3.下列抽样试验中，适合用抽签法的是(　　)
A.从某厂生产的3 000件产品中抽取600件进行质量检验
B.从某厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验
C.从甲、乙两厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验
D.从某厂生产的3 000件产品中抽取10件进行质量检验
答案　B
解析　个体数和样本容量较小时适合用抽签法，排除A，D；C中甲、乙两厂生产的两箱产品质量可能差别较大，也不适用，故选B.
4.一个总体中含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的可能性为________.
答案　
解析　因为是简单随机抽样，故每个个体被抽到的机会相等，所以指定的某个个体被抽到的可能性为.
5.从一个篮球训练营中抽取10名学员进行投篮比赛，每人投10次，统计出该10名学员投篮投中的次数，4个投中5次，3个投中6次，2个投中7次，1个投中8次.试估计该训练营投篮投中的比例为________.
答案　 0.6
解析　10名学员投中的平均次数为＝6，所以投中的比例约为＝0.6.
1.知识清单：
(1)简单随机抽样.
(2)抽签法，随机数法.
(3)用样本平均数估计总体平均数.
2.方法归纳：数据分析.
3.常见误区：在简单随机抽样中，每个个体被抽取的可能性是相等的.
1.(多选)下列调查中属于抽样调查的是(　　)
A.每隔5年进行一次人口普查
B.调查某商品的质量优劣
C.某报社对某个事情进行舆论调查
D.高考考生的查体
答案　BC
解析　人口普查和高考考生的查体都属于全面调查，调查某商品的质量优劣和对某个事情进行舆论调查只能是抽样调查.
2.为了了解全校240名高一学生的身高情况，从中抽取40名学生进行测量.下列说法正确的是(　　)
A.总体是240名 B.个体是每一个学生
C.样本是40名学生 D.样本量是40
答案　D
解析　在这个问题中，总体是240名学生的身高，个体是每个学生的身高，样本是40名学生的身高，样本量是40.因此选D.
3.使用简单随机抽样从2 000名学生抽出100人进行某项检查，合适的抽样方法是(　　)
A.抽签法 B.随机数法
C.随机抽样法 D.以上都不对
答案　B
解析　由于总体相对较大，样本量较小，故采用随机数法较为合适.
4.某中学高一年级有400人，高二年级有320人，高三年级有280人，若每人被抽到的可能性都为0.2，用随机数法在该中学抽取容量为n的样本，则n等于(　　)
A.80 B.160 C.200 D.280
答案　C
解析　由题意可知，＝0.2，解得n＝200.
5.从某批零件中抽取50个，然后再从50个中抽出40个进行合格检查，发现合格品有36个，则该批产品的合格率为(　　)
A.36% B.72% C.90% D.25%
答案　C
解析　×100%＝90%.
6.用随机数法从100名学生(男生25人)中抽选20人进行评教，某男学生被抽到的可能性是________.
答案　0.2
解析　因为样本量为20，总体容量为100，所以总体中每个个体被抽到的可能性都为＝0.2.
7.某乡镇有居民20 000户，从中随机抽取200户调查是否安装宽带网线，调查的结果如下表所示，则该乡镇已安装宽带网线的居民大约有________户.
网线 动迁户 原住户
已安装 65 30
未安装 40 65
答案　9 500
解析　20 000×＝9 500(户).
8.为了了解参加运动会的2 000名运动员的年龄情况，从中抽取20名运动员的年龄进行统计分析.就这个问题，下列说法中正确的有________.(填序号)
①2 000名运动员是总体；
②每个运动员是个体；
③所抽取的20名运动员是一个样本；
④样本量为20；
⑤每个运动员被抽到的机会相等.
答案　④⑤
解析　①2 000名运动员不是总体，2 000名运动员的年龄才是总体；②每个运动员的年龄是个体；③20名运动员的年龄是一个样本.故①②③均错误，正确说法是④⑤.
9.学校举办元旦晚会，需要从每班选10名男生，8名女生参加合唱节目，某班有男生32名，女生28名，试用抽签法确定该班参加合唱的同学.
解　第一步，将32名男生从0到31进行编号.
第二步，用相同的纸条制成32个号签，在每个号签上写上这些编号.
第三步，将写好的号签放在一个不透明的容器内摇匀，不放回地从中逐个抽出10个号签.
第四步，相应编号的男生参加合唱.
第五步，用相同的办法从28名女生中选出8名，则此8名女生参加合唱.
10.某校从高一全体男生中用简单随机抽样抽取了20人测量出体重情况如下：(单位kg)
65　56　70　82　66　72　54　86　70　62　58　72　64　60　76　72　80　68　58　66
试估计该校高一男生的平均体重，以及体重在60～75 kg之间的人数所占比例.
解　这20名男生的平均体重为＝67.85(kg).
20名男生中体重在60～75 kg之间的人数为12，
故这20名男生体重在60～75 kg之间的人数所占比例为＝0.6.
所以估计该校高一男生的平均体重约为67.85 kg，体重在60～75 kg之间的人数所占比例约为0.6.
11.为了分析高三年级8个班400名学生第一次模拟考试的数学成绩，决定在8个班中每班随机抽取12份试卷进行分析，在这个问题中样本量是(　　)
A.8 B.400
C.96 D.96名学生的成绩
答案　C
12.用简单随机抽样法从含有10个个体的总体中，抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性，“第二次被抽到”的可能性分别是(　　)
A.， B.，
C.， D.，
答案　A
解析　简单随机抽样中每个个体被抽取的机会均等，都为.
13.已知总体容量为108，若用随机数法抽取一个容量为10的样本，下列对总体的编号正确的是(　　)
A.1,2，…，108 B.01,02，…，108
C.00,01，…，107 D.001,002，…，108
答案　D
解析　用随机数法选取样本时，样本的编号位数要一致.故选D.
14.从一批产品中用简单随机抽样抽取了一部分作为样品，检测产品的合格率，其中甲检验员从中抽取了50件产品，其合格率为94.5%，乙检验员从中抽取了100件产品，其合格率为95.6%，则估计该产品合格率更接近于________检验员检测的结果.
答案　乙
解析　因为乙检验员抽取的样本量更大，所以检测结果更准确.
15.从一群做游戏的小孩中随机选出k人，一人分一个苹果，让他们返回继续做游戏.过了一会儿，再从中随机选出m人，发现其中有n个小孩曾分过苹果，估计参加游戏的小孩的人数为(　　)
A. B.k＋m－n
C. D.不能估计
答案　C
解析　设参加游戏的小孩有x人，则＝，x＝.
16.某电视台举行颁奖典礼，邀请20名港台、内地艺人演出，其中从30名内地艺人中随机挑选10人，从18名香港艺人中随机挑选6人，从10名台湾艺人中随机挑选4人.试分别用抽签法和随机数法确定选中的艺人.
解　抽签法：
(1)将30名内地艺人从01到30编号，然后用相同的纸条做成30个号签，在每个号签上写上这些编号，揉成团，然后放入一个不透明小筒中摇匀，从中逐个不放回地抽出10个号签，则相应编号的艺人参加演出；
(2)运用相同的办法分别从10名台湾艺人中抽取4人，从18名香港艺人中抽取6人.
随机数法：
(1)将30名内地艺人从01到30编号，准备10个大小，质地一样的小球.小球上分别写上数字0,1,2，……9.把它们放入一个不透明的袋中，从袋中有放回地摸取2次，每次摸取前充分搅拌，并把第一次、第二次摸到的数字分别作为十位、个位数字，这样就生成了一个随机数，如果这个随机数在1～30范围内，就代表了对应编号的艺人被抽中，否则舍弃编号，重复抽取随机数，直到抽中10名艺人为止.
(2)运用相同的办法分别从18名香港艺人中抽取6人，从10名台湾艺人中抽取4人.