云南省临沧市云县2021-2022学年高二下学期期中考试数学试题（Word版含解析）

云县2021~2022学年度第二学期高二年级期中统一考试
数学
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
3.本卷命题范围：必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册，选择性必修第二册，选择性必修第三册第六章~第七章7.3。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.双曲线：的实轴长为（ ）
A. B. C.4 D.2
2.已知，则（ ）
A.2 B. C. D.
3.已知为虚数单位，复数满足，则（ ）
A. B.
C. D.
4.下面是离散型随机变量的是（ ）
A.电灯炮的使用寿命
B.小明射击1次，击中目标的环数
C.测量一批电阻两端的电压，在之间的电压值
D.一个在轴上随机运动的质点，它在轴上的位置
5.将5封不同的电子邮件发送到4个电子信箱中，则不同的发送方法共有（ ）
A.种 B.种 C.种 D.种
6.已知函数，则的值为（ ）
A.0 B. C. D.
7.“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的（ ）
A.充要条件 B.必要不充分条件
C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
8.若直线与曲线相切，则（ ）
A. B.2 C. D.4
9.已知函数，若，，则的最小值为（ ）
A.2 B.4 C.6 D.8
10.已知数列满足，，则（ ）
A. B. C. D.
11.从有3个红球和4个黑球的盒子中，每次随机摸出一个球，摸出的球不再放回.则第2次摸到红球的概率为（ ）
A. B. C. D.
12.的展开式中的系数是（ ）
A.56 B.84 C.96 D.126
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若，则正整数的值是________.
14.已知直线：与：相交于点，则________.
15.把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件，“第二次出现反面”为事件，则________.
16.如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供4种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻颜色不同，则不同的涂色方法种数为________.
三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17.（本小题满分10分）
在中，角的对边分别为，向量，，，且.
（1）求的值；
（2）若，，求的大小.
18.（本小题满分12分）
已知单调递减的等比数列的前项和为，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求满足的所有正整数的值.
19.（本小题满分12分）
已知双曲线的右焦点与抛物线：的焦点重合，且双曲线的一条渐近线为：.
（1）求双曲线的方程；
（2）若过点且与平行的直线交抛物线于两点，求线段的长.
20.（本小题满分12分）
如图，在正方体中，为的中点，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
21.（本小题满分12分）
每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书和版权日”.为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了1000名高一学生进行在线调查，得到了这1000名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.
（1）求的值；
（2）为进一步了解这1000名学生数字媒体阅读时间和纸质阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间，两组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为，求的分布列和数学期望.
22.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，证明：.
云县2021~2022学年度第二学期高二年级期中统一考试·数学
参考答案、提示及评分细则
1.A 因为双曲线的实轴长为，所以双曲线的实轴长为.故选A.
2.C .故选C.
3.A 因为，所以.故选A.
4.B 根据离散型随机变量的定义知，是离散型随机变量.故选B.
5.C 将5封不同的电子邮件发送到4个电子信箱中，共有种发送方法.故选C.
6.D 由题意知，，所以，故选D.
7.A
8.B 设切点坐标为，∵，，直线的斜率为，所以直线的方程为，即，所以，因此.故选B.
9.A 由，，可知，所以，即，又，所以.故选A.
10.C 因为，所以.故选C.
11.C 用表示第一次摸到红球，表示第二次摸到红球，表示第一次摸到黑球，表示第二次摸到黑球.则.故选C.
12.D 的展开式中的系数是.故选D.
13.2或3 由或，可得或3.
14. 由已知，可得，，所以.
15. 法一：.
法二：包括的基本事件为{正，正}、{正，反}，包括的基本事件为{正，反}，∴.
16.72 对于区域，有4种颜色可选，若，颜色相同，则有3种颜色可选，有2种颜色可选，有2种颜色可选，共有种；
对于区域，有4种颜色可选，若，颜色不相同，则有3种颜色可选，有2种颜色可选，有1种颜色可选，有1种颜色可选，共有种，所以一共有种.
17.解：（1）因为，，且，
所以，即，……………………………………………………………………2分
因为，所以；……………………………………………………4分
（2）因为，，，
所以，即，………………………………………………………………………6分
在中，由正弦定理，得，又，，
所以，……………………………………………………………………………………8分
所以，即，
因为，所以.…………………………………………………………………………10分
18.解：（1）设公比为，因为等比数列单调递减，所以，
有………………………………………………………………………………2分
解得，…………………………………………………………………………………………5分
数列的通项公式为；……………………………………………………………………6分
（2），……………………………………………………………………8分
由单调递增，，，……………………………………11分
故满足的所有正整数的值为.………………………………12分
19.解：（1）因为抛物线的焦点为，
故可设双曲线的方程为，
所以解得，，
故双曲线的方程为；……………………………………………………………………………6分
（2）由已知，可得直线的方程为，设，，
由消去，整理得，所以，
所以线段的长为.…………………………………………………………12分
20.（1）证明：连.
∵几何体为正方体，∴，………………………………………………2分
∵，∴，………………………………………………………………………………4分
∵，平面，平面，∴平面；……………………5分
（2）解：以为坐标原点，向量，，方向分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
令，可得点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为.……………………………………………………………………………………………………………7分
，，，…………………………………………………………8分
设平面的法向量为，有取，，.
可得，…………………………………………………………………………………………10分
由，，，有.
故直线与平面所成角的正弦值为.…………………………………………………………12分
21.解：（1）由频率分布直方图得：
，……………………………………3分
解得；………………………………………………………………………………………………4分
（2）由频率分布直方图得：
这1000名学生中日平均阅读时间在，两组内的学生人数之比为，
若采用分层抽样的方法抽取了10人，……………………………………………………………………5分
则从日平均阅读时间在内的学生中抽取（人），
在日平均阅读时间在内的学生中抽取4人，……………………………………………………6分
现从这10人中随机抽取3人，则的可能取值为0，1，2，3，
，……………………………………………………………………………7分
，…………………………………………………………………………8分
，………………………………………………………………………9分
，…………………………………………………………………………10分
∴的分布列为：
0 1 2 3
…………………………………………………………………………………………………………………11分
.………………………………………………………………12分
22.（1）解：.………………………………………………………1分
若，，所以在上单调递增，在上单调递减；…………2分
若，令，解得（舍）或，
所以在上单调递增，在上单调递减；……………………4分
若，当，即时，在上恒成立，所以在上单调递增；……………………………………………………………………………………………………………5分
当时，令，解得或，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；…………………………6分
（2）证明：若，要证，即证，即证.……………………………………………………………………………………………………8分
令函数，则.
令，得；令，得.
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，………………9分
令函数，则.
当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增，所以.…………………10分
因为，所以，…………………………………………………………11分
即，从而得证.…………………………………………12分