2012-2013学年度温州大学拜城实验高中5月月考卷

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2012-2013学年度温州大学拜城实验高中5月月考卷
数学
考试范围：选修2；考试时间：100分钟；命题人：田地
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一、选择题（题型注释）
1．设P是双曲线与圆在第一象限的交点，分别是双曲线的左右焦点，且则双曲线的离心率为（　　　　）
Ａ．　Ｂ．　Ｃ．　Ｄ．
2．设已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点是圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为( )
A．(－3，0) B．(－4，0) C．(－10，0) D．(－5，0)
3．过双曲线的右焦点作圆的切线(切点为)，交轴于点．若为线段的中点，则双曲线的离心率为
A．2 B． C． D．
4．已知点．若曲线上存在两点，使为正三角形，则称为型曲线．给定下列三条曲线：①； ②；③．其中，型曲线的个数是（ ▲ ）
A． B． C． D．
5．已知则成立的（ ）
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
6．若曲线在点处的 切线方程为，则( )
A. B. C. D. 不存在
7．设在x＝x0处可导，且，则（ ）
A．1 B．0 C．3 D．
8．已知点、，是直线上任意一点，以、为
焦点的椭圆过点.记椭圆离心率关于的函数为，那么下列结论正确的是（ ）
A.与一一对应 B.函数无最小值，有最大值
C.函数是增函数 D.函数有最小值，无最大值
9．在中,角C,B所对的边长为,则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 　 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
11．巳知全集，是虚数单位，集合（整数集）和的关系韦恩图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有
A．3个 B．2个 C．1个 D．无穷个
12．函数，已知在时取极值，则a＝
A．2 B．3 C．4 D．5

第II卷（非选择题）
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评卷人
得分
二、填空题（题型注释）
13．点在双曲线上运动，为坐标原点，线段中点的轨迹方程是
14．函数y=的导数为_______________
15．已知函数f(x)＝f′sin x＋cos x，则f＝________.
16．设平面区域是由双曲线的两条渐近线和抛物线的准线
所围成的三角形（含边界与内部）．若点，则目标函数的最大值
为 ．
评卷人
得分
三、解答题（题型注释）
17．已知圆O：和定点A(2,1)，由圆O外一点向圆O引切线PQ，切点为Q，且满足
(1) 求实数a、b间满足的等量关系；
(2) 若以P为圆心所作的圆P与圆O有公共点，试求半径取最小值时圆P的方程．
18．（本小题满分12分）双曲线C与椭圆有相同的焦点，直线y=为的一条渐近线.
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）过点(0,4)的直线，交双曲线于A,B两点，交x轴于点（点与的顶点不重合）。当 =，且时，求点的坐标
19．（12分）已知函数，曲线过点P（－1，2），且在点P处的切线恰好与直线x-3y=0垂直。
①求a，b的值；
②求该函数的单调区间和极值。
③若函数在上是增函数，求m的取值范围.
20．（本题满分15分）
已知函数．
（Ⅰ）当时，试判断的单调性并给予证明;
（Ⅱ）若有两个极值点．
（i） 求实数a的取值范围;
（ii）证明：。 （注：是自然对数的底数）
21．已知.
(1)已知函数h(x)=g(x)+ax3的一个极值点为1，求a的取值；
（2） 求函数在上的最小值；
（3）对一切，恒成立，求实数a的取值范围.
22．（本小题满分10分）
已知点，参数，点Q在曲线C：上.
(1)求在直角坐标系中点的轨迹方程和曲线C的方程;
(2)求｜PQ｜的最小值.
23．（12分）
已知函数
（1）求函数＝的最大值；
（2）若，求证：
24．
参考答案
1．D
【解析】
试题分析：P点在双曲线右支上，又点在圆上即
考点：双曲线定义离心率
点评：求离心率需找a,c的齐次方程
2．D
【解析】
试题分析：圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心为，所以椭圆中，椭圆左顶点为
考点：圆与椭圆的性质
点评：焦点在x轴上的椭圆焦点坐标为，顶点为，
3．B
【解析】
试题分析：因为,且 所以，所以 所以，即，所以.
考点：双曲线的简单性质．
点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的关键是利用圆的切线的性质和数形结合的数学思想的运用．
4．C
【解析】对于①，该线段的两端点的距离为，该点直线的距离为，若存，使为正三角形，则该正三角形的边长为，且，所以存在；
对于②，表示在第二象限的的半圆。假设是全圆，那么该点和原点的连线为圆的直径，也必为正三角形的中垂线，而此时为半圆，只能是在第三象限 的圆弧上对称存在两点。而该点和这两点所成的线段的夹角最小为（-1 -1）,（0 -1），（-1 0）三个点构成的夹角，必大于60度，所以不可能。
对于③表示双曲线在第四象限的一支，由于曲线是无穷长的，那么如果给定曲线上一点，必有另外一点与（-1 -1）该点的距离相等，由于线段的长度可以是连续变化的，那么两条线段之间的夹角也是可以连续变化的，所以总有成60度的时候，由于两条线段是按相等来取的，所以成正三角形。所以选C
5．A
【解析】
试题分析：因为时，；
反之，，所以成立的充分不必要条件，选A。
考点：本题主要考查充要条件的概念，不等式的性质。
点评：基础题，充要条件的判断问题，是高考不可少的内容，特别是充要条件可以和任何知识点相结合。充要条件的判断一般有三种思路：定义法、等价关系转化法、集合关系法。
6．B
【解析】略
7．D
【解析】略
8．B
【解析】
考点：椭圆的简单性质．
分析：由题意可得c=1，椭圆离心率e= ，由椭圆的定义可得PA+PB=2a，a= ，再由PA+PB 有最小值而没有最大值，从而得出结论．
解答：由题意可得c=1，椭圆离心率e==．故当a取最大值时e取最小，a取最小值时e取最大．
由椭圆的定义可得PA+PB=2a，a=．
由于PA+PB 有最小值而没有最大值，即a有最小值而没有最大值，
故椭圆离心率e 有最大值而没有最小值，故B正确，且 D不正确．
当直线y=x+2和椭圆相交时，这两个交点到A、B两点的距离之和相等，
都等于2a，故这两个交点对应的离心率e相同，故A不正确．
由于当x0的取值趋于负无穷大时，PA+PB=2a趋于正无穷大；
而当当x0的取值趋于正无穷大时，PA+PB=2a也趋于正无穷大，故函数e（x0）不是增函数，故C不正确．
故选B．
9．A
【解析】略
10．A
【解析】选：C
x=1，y=1，n=1，z=2满足条件，执行循环；依此类推，当z=55，i=9，不满足条件，退出循环体，输出z，从而得到判定框中应填内容．
解：x=1，y=1，n=1，z=2满足条件，执行循环；
x=1，y=2，n=2，z=3满足条件，执行循环；
x=2，y=3，n=3，z=5满足条件，执行循环；
x=3，y=5，n=4，z=8满足条件，执行循环；
x=5，y=8，n=5，z=13满足条件，执行循环；
x=8，y=13，n=6，z=21满足条件，执行循环；
x=13，y=21，n=7，z=34满足条件，执行循环；
x=21，y=34，n=8，z=55不满足条件，退出循环体，输出z=55
故判定框中应填n≤8
故选：C
11．B
【解析】略
12．D
【解析】本题考查函数的导数和极值.
由得；在时取极值，则，即，即得
故正确答案为D
13．;
【解析】
试题分析：设M(x,y),P(),则由中点坐标公式得，即，代入即得所求轨迹方程。
考点：本题主要考查曲线与方程的概念，轨迹方程的求法。
点评：基础题，利用“相关点法”求轨迹方程。
14．
【解析】
试题分析：y==，所以y‘=。
考点：复合函数的导数。
点评：若对函数直接求导较难求时，可先化简函数。
15．0
【解析】略
16．3
【解析】
双曲线的两条渐近线为，
抛物线的准线为，
当直线过点时，.
17．(1)；(2) 。
【解析】
试题分析：（1）连为切点，，由勾股定理有
.
又由已知，故
即：.
化简得：.
（2）设圆 的半径为，
圆与圆O有公共点，且半径最小，
，
故当时，
此时, ，.
得半径取最小值时圆的方程为．
另解： 圆与圆O有公共点，圆半径最小时为与圆O外切的情形，而这些半径的最小值为圆心到直线的距离减去，圆心为过原点与垂直的直线 与的交点.
= －1 = －1.
又 ：x－2y = 0,
解方程组，得.即 ( ,).
∴ 所求圆方程为.
考点：圆的方程；两点间的距离公式；直线与圆的综合应用。
点评：此题主要考查了圆的标准方程，两点间的距离公式，以及二次函数的性质，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．
18．（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）设双曲线方程为
由椭圆 求得两焦点为，对于双曲线，
又为双曲线的一条渐近线, ,
又因为，可以解得 ，
双曲线的方程为. ……4分
（Ⅱ）由题意知直线的斜率存在且不等于零
设的方程：，，则，
,
,
. ……8分
在双曲线上，
同理有：
若则直线过顶点，不合题意
是二次方程的两根，
，
此时
所求的坐标为. ……12分
考点：本小题主要考查椭圆与双曲线的基本运算、向量的数量积运算以及直线与圆锥曲线的位置关系，考查学生分析问题、解决问题的能力和运算求解能力以及分类讨论思想的应用.
点评：椭圆与双曲线混合运算时，要注意椭圆中而双曲线中，不要弄混了；而考查直线与圆锥曲线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在.
19．解：① a=1，b=3②函数的递增区间是（-∞，-2）和（0，+∞），递减区间是（-2,0），
极大值是f（-2）=4，极小值是f（0）=0.③ m≤-3，或m≥0.
【解析】
试题分析：（1）将M的坐标代入f（x）的解析式，得到关于a，b的一个等式；求出导函数，求出f′（1）即切线的斜率，利用垂直的两直线的斜率之积为-1，列出关于a，b的另一个等式，解方程组，求出a，b的值．
（2）求出 f′（x），令f′（x）＞0，求出函数的单调递增区间
（3）在上一问的基础上，据题意知[m，m+1]?（-∝，-2]∪[0，+∝），列出端点的大小，求出m的范围．
解：① 因为，所以，
根据题意得 -a+b=2 ，得 a=1，b=3
3a-2b=-3

② ，
当＞0时，解得 x＜-2，或x＞0；
当＜0时，解得 -2＜x＜0.
因此，该函数的递增区间是（-∞，-2）和（0，+∞），递减区间是（-2,0），
极大值是f（-2）=4，极小值是f（0）=0.
③ 根据题意m+1≤-2，或m≥0，解得m≤-3，或m≥0.
考点：本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。
点评：解决该试题注意函数在切点处的导数值是曲线的切线斜率；直线垂直的充要条件是斜率之积为-1。
20．（1）在R上单调递减 （2）,对于函数中不等式的证明，一般要功过构造函数来结合函数的最值来证明不等式的成立。
【解析】
试题分析：解：（1）当时，，在R上单调递减 …………1分
，只要证明恒成立， …………………………2分
设，则，
当时，，
当时，，当时， ………………4分
，故恒成立
所以在R上单调递减 ……………………6分
（2）（i）若有两个极值点，则是方程的两个根，
故方程有两个根，
又显然不是该方程的根，所以方程有两个根， …………8分
设，得
若时，且，单调递减
若时，
时，单调递减
时，单调递增 ……………………………10分
要使方程有两个根，需，故且
故的取值范围为 ……………………………………12分
法二：设，则是方程的两个根，
则，
当时，恒成立，单调递减，方程不可能有两个根
所以，由，得，
当时，，当时，
，得
（ii） 由，得：，故，
， ………………14分
设，则，上单调递减
故，即 ………………………………15分
考点：本试题考查了导数的运用。
点评：利用导数求解函数的单调性和求解函数的极值和最值，这是导数作为工具性的一个重要的体现。同时对于含有参数的导数的单调性的判定要学会结合导数的正负来求解单调增减区间，同时利用导数在某点处的正负来判定极值，而运用导数证明不等式，一般构造函数来证明。属于难度题。
21．（1）.（2）. （3
【解析】
试题分析：（1），因为1为极值点，
则满足，所以. 4分
（2），当，，单调递减，
当时，，单调递增. 6分
① ，t无解；
② ，即时，；
③ ，即时，在上单调递增，；
所以. 8分
（3），则，设， 10分
则，
，，单调递减，
，，单调递增，所以，
因为对一切，恒成立，所以； 12分
考点：本题考查了导数的运用
点评：此类问题是在知识的交汇点处命题，将函数、导数、不等式、方程的知识融合在一起进行考查，重点考查了利用导数研究函数的极值与最值等知识．
22．（1）点的轨迹是上半圆：曲线C的直角坐标方程：（2）-1
【解析】
试题分析：设点P的坐标为（x，y），则有消去参数α，可得由于α∈[0，π]，∴y≥0，故点P的轨迹是上半圆∵曲线C：，即，即 ρsinθ-ρcosθ=10，故曲线C的直角坐标方程：x-y+10=0．（2）如图所示：由题意可得点Q在直线x-y+10=0 上，点P在半圆上，半圆的圆心C（1，0）到直线x-y+10=0的距离等于．即|PQ|的最小值为-1．
考点：本题考查了把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法及直线与圆的位置关系
点评：对于参数方程与极坐标的考查，主要的就是考查参数方程和极坐标转化为普通方程的过程，有时需要注意参数和极坐标的角的范围.直线的极坐标方程的建立一般是通过直角三角形来处理
23．
【解析】略
24．
【解析】略