第十章 10.1.3古典概型（PDF版学案）

10.1.3 古典概型
学习目标 1.理解古典概型的概念及特点.2.掌握利用古典概型概率公式解决简单的概率计
算问题.
知识点一 随机事件的概率
对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件 A的概率用 P(A)表示.
知识点二 古典概型
一般地，若试验 E具有以下特征：
(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
称试验 E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.
知识点三 古典概型的概率公式
一般地，设试验 E是古典概型，样本空间Ω包含 n个样本点，事件 A包含其中的 k个样本点，
则定义事件 A的概率 P(A) k n A ＝ ＝ .
n n Ω
1.古典概型中每个事件发生的可能性相同.( × )
2.古典概型有两个重要条件：①样本空间中样本点总数是有限的，每次试验只出现其中的一
个结果；②各个样本点的出现是等可能的.( √ )
3.用古典概型的概率公式可求“在线段[0,5]上任取一点，此点小于 2”的概率.( × )
4.从甲地到乙地共 n条线路，且这 n条线路长短各不相同，求某人任选一条路线正好选中最
短路线的概率是古典概型问题.( √ )
一、古典概型的判断
例 1 下列概率模型是古典概型吗？为什么？
(1)从区间[1,10]内任意取出一个实数，求取到实数 2的概率；
(2)向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率；
(3)从 1,2,3，…，100这 100个整数中任意取出一个整数，求取到偶数的概率.
解 (1)不是古典概型，因为区间[1,10]中有无限多个实数，取出的实数有无限多种结果，与
古典概型定义中“所有可能结果只有有限个”矛盾.
(2)不是古典概型，因为硬币不均匀导致“正面朝上”与“反面朝上”的概率不相等，与古
典概型定义中“每一个试验结果出现的可能性相同”矛盾.
(3)是古典概型，因为在试验中所有可能出现的结果是有限的，而且每个整数被抽到的可能
性相等.
反思感悟 古典概型需满足两个条件
(1)样本点总数有限.
(2)各个样本点出现的可能性相等.
跟踪训练 1 下列问题中是古典概型的是( )
A.种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率
B.掷一颗质地不均匀的骰子，求掷出 1点的概率
C.在区间[1,4]上任取一数，求这个数大于 1.5的概率
D.同时掷两颗质地均匀的骰子，求向上的点数之和是 5的概率
答案 D
解析 A，B两项中的样本点的出现不是等可能的；C项中样本点的个数是无限多个；D项
中样本点的出现是等可能的，且是有限个.故选 D.
二、古典概型概率的计算
例 2 一个口袋内装有大小相等的 1个白球和已编有不同号码的 3个黑球，从中摸出 2个球.
求：
(1)样本空间的样本点的总数 n；
(2)事件“摸出 2个黑球”包含的样本点的个数；
(3)摸出 2个黑球的概率.
解 由于 4个球的大小相等，摸出每个球的可能性是均等的，所以是古典概型.
(1)将黑球编号为黑 1，黑 2，黑 3，从装有 4个球的口袋内摸出 2个球，
样本空间Ω＝{(黑 1，黑 2)，(黑 1，黑 3)，(黑 1，白)，(黑 2，黑 3)，(黑 2，白)，(黑 3，白)}，
其中共有 6个样本点.
(2)事件“摸出 2个黑球”＝{(黑 1，黑 2)，(黑 2，黑 3)，(黑 1，黑 3)}，共 3个样本点.
(3)样本点总数 n 6 3 1＝ ，事件“摸出两个黑球”包含的样本点个数 m＝3，故 P＝ ＝ ，即摸出
6 2
2 1个黑球的概率为 .
2
反思感悟 求古典概型概率的步骤
(1)确定样本空间的样本点的总数 n.
(2)确定所求事件 A包含的样本点的个数 m.
(3)P(A) m＝ .
n
跟踪训练 2 为美化环境，从红、黄、白、紫 4种颜色的花中任选 2种花种在一个花坛中，
余下的 2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是________.
2
答案
3
解析 从 4种颜色的花中任选 2种颜色的花种在一个花坛中，余下 2种颜色的花种在另一花
坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、红紫—白黄、黄白—红紫、黄紫—红白、白紫—红
黄，共 6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有红黄—白紫、红白—黄紫、黄紫—
4 2
红白、白紫—红黄，共 4种，故所求概率为 P＝ ＝ .
6 3
三、较复杂的古典概型的概率计算
例 3 先后抛掷两枚质地均匀的骰子.
(1)求点数之和为 7的概率；
(2)求掷出两个 4点的概率；
(3)求点数之和能被 3整除的概率.
解 如图所示，从图中容易看出样本点与所描点一一对应，共 36种.
(1)记“点数之和为 7”为事件 A，从图中可以看出，事件 A包含的样本点共有 6个：(6,1)，
(5,2)，(4,3)，(3,4)，(2,5)，(1,6).
故 P(A) 6 1＝ ＝ .
36 6
(2)记“掷出两个 4点”为事件 B，从图中可以看出，事件 B包含的样本点只有 1个，即(4,4).
故 P(B) 1＝ .
36
(3)记“点数之和能被 3整除”为事件 C，则事件 C包含的样本点共 12个：(1,2)，(2,1)，(1,5)，
(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，(6,6).
故 P(C) 12 1＝ ＝ .
36 3
反思感悟 在求概率时，若事件可以表示成有序数对的形式，则可以把全体样本点用平面直
角坐标系中的点表示，即采用图表的形式可以准确地找出样本点的个数.故采用数形结合法
求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观，更方便.
跟踪训练 3 某旅游爱好者计划从 3个亚洲国家 A1，A2，A3和 3个欧洲国家 B1，B2，B3中
选择 2个国家去旅游.
(1)若从这 6个国家中任选 2个，求这 2个国家都是亚洲国家的概率；
(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选 1个，求这 2个国家包括 A1但不包括 B1的概率.
解 (1)由题意知，从 6 个国家中任选 2 个国家，其一切可能的结果有(A1，A2)，(A1，A3)，
(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，
(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共 15个.
所选 2个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共 3
个，
3 1
则所求事件的概率为 P＝ ＝ .
15 5
(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选 1个，其一切可能的结果有(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，
(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，共 9个.
包括 A1但不包括 B1的事件所包含的基本事件有
(A1，B2)，(A1，B3)，共 2个，
P 2则所求事件的概率为 ＝ .
9
1.下列不是古典概型的是( )
A.从 6名同学中，选出 4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小
B.同时掷两颗质地均匀的骰子，点数和为 7的概率
C.近三天中有一天降雨的概率
D.10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率
答案 C
解析 A，B，D为古典概型，因为都适合古典概型的两个特征：有限性和等可能性，而 C
不满足等可能性，故不为古典概型.
2.甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是( )
A.1 B.1 C.1 D.2
6 2 3 3
答案 C
解析 样本点有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲共六个.甲站在中间
2 1
的事件包括：乙甲丙、丙甲乙，共 2个，所以甲站在中间的概率 P＝ ＝ .
6 3
3.已知 5件产品中有 2件次品，其余为合格品.现从这 5件产品中任取 2件，恰有一件次品的
概率为( )
A.0.4 B.0.6
C.0.8 D.1
答案 B
解析 记 3 件合格品分别为 A1，A2，A3,2 件次品分别为 B1，B2，从 5件产品中任取 2 件，
有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，
B2)，(B1，B2)，共 10种可能，其中恰有一件次品有 6 种可能，由古典概型得所求事件概率
6
为 ＝0.6.
10
4.用 1,2,3组成无重复数字的三位数，这些数能被 2整除的概率是( )
A.1 B.1 C.1 D.2
6 2 3 3
答案 C
解析 用 1,2,3组成的无重复数字的三位数共 6个，分别为 123,132,213,231,312,321，其中能
被 2 1整除的有 132,312这 2个数，故能被 2整除的概率为 .
3
5.从 1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，则其和为 5的概率是________.
答案 0.2
解析 两数之和等于 5有两种情况(1,4)和(2,3)，总的样本点有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，
(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共 10 2种，所以 P＝ ＝0.2.
10
1.知识清单：
(1)古典概型.
(2)古典概型的概率公式.
2.方法归纳：常用列举法(列表法、树状图)求样本点的总数.
3.常见误区：列举样本点的个数时，要按照一定顺序，做到不重、不漏.
1.下列是古典概型的是( )
A.任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点
B.求任意的一个正整数平方的个位数字是 1的概率，将取出的正整数作为样本点
C.在甲、乙、丙、丁 4名志愿者中，任选一名志愿者去参加跳高项目，求甲被选中的概率
D.抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止，抛掷的次数作为样本点
答案 C
解析 A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故 A不是；B项中的样本点的个数是无
限的，故 B不是；C项中满足古典概型的有限性和等可能性，故 C是古典概型；D项中样
本点既不是有限个也不具有等可能性，故 D不是.
2.4张卡片上分别写有数字 1,2,3,4，从这 4张卡片中随机抽取 2张，则取出的 2张卡片上的
数字之和为奇数的概率为( )
A.1 B.1 C.2 D.3
3 2 3 4
答案 C
解析 试验的样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，共 6 个样本点，且每
2
个样本点出现的可能性相同，数字之和为奇数的有 4个样本点，所以所求概率为 .
3
3.从 1,2,3,4中任取 2个不同的数，则取出的 2个数之差的绝对值为 2的概率是( )
A.1 B.1 C.1 D.1
2 3 4 6
答案 B
解析 样本点的总数为 6，
构成“取出的 2个数之差的绝对值为 2”这个事件的样本点的个数为 2，
P 2 1所以所求概率 ＝ ＝ ，故选 B.
6 3
4.小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是 M，I，N中的一个字母，
第二位是 1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )
A. 8 B.1 C. 1 D. 1
15 8 15 30
答案 C
解析 ∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，
(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，∴基本事件总数为 15.
∵正确的开机密码只有 1种，∴P 1＝ .
15
5.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为 a，从{1,2,3}中随机选取一个数为 b，则 b>a的概率是
( )
A.4 B.3 C.2 D.1
5 5 5 5
答案 D
解析 设“所取的数中 b>a”为事件 A，如果把选出的数 a，b写成数对(a，b)的形式，则样
本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，
(5,1)，(5,2)，(5,3)}，共 15个，事件 A包含的样本点有(1,2)，(1,3)，(2,3)，共 3个，因此所
P(A) 3 1求的概率 ＝ ＝ .
15 5
6.从三男三女共 6名学生中任选 2名(每名同学被选中的概率均相等)，则 2 名都是女同学的
概率为________.
1
答案
5
解析 用 A，B，C分别表示三名男同学，用 a，b，c分别表示三名女同学，则从 6名同学
中选出 2人的所有选法为 AB，AC，Aa，Ab，Ac，BC，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，ab，ac，
bc，共 15种.其中 2名都是女同学包括 ab，ac，bc，共 3 3 1种.故所求的概率为 ＝ .
15 5
7.在 1,2,3,4 四个数中，可重复地选取两个数，其中一个数是另一个数的 2 倍的概率是
________.
1
答案
4
解析 用列举法知，可重复地选取两个数共有 16种可能，其中一个数是另一个数的 2倍的
有(1,2)，(2,1)，(2,4)，(4,2)共 4 4 1种，故所求的概率为 ＝ .
16 4
8.袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为 0的小球 1个，标号为 1的小球 1
个，标号为 2的小球 n个. 1已知从袋子中随机抽取 1个小球，取到标号是 2的小球的概率是 ，
2
则 n的值为________.
答案 2
n 1
解析 由题意可知 ＝ ，解得 n＝2.
1＋1＋n 2
9.某学校有初级教师 21人，中级教师 14人，高级教师 7人，现采用分层随机抽样的方法从
这些教师中抽取 6人对绩效工资情况进行调查.
(1)求应从初级教师、中级教师、高级教师中分别抽取的人数；
(2)若从分层随机抽样抽取的 6 名教师中随机抽取 2 名教师做进一步数据分析，求抽取的 2
名教师均为初级教师的概率.
解 (1)共抽取 6 人，又 21∶14∶7＝3∶2∶1，所以应从初级教师、中级教师、高级教师中
抽取的人数分别为 3，2,1.
(2)在分层随机抽样抽取的 6名教师中，3名初级教师分别记为 A1，A2，A3,2名中级教师分别
记为 A4，A5，高级教师记为 A6，则从中抽取 2名教师的样本空间为Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，
(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，
(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)}，即样本点的总数为 15.抽取的 2 名教师均为初级
教师(记为事件 B)包含的样本点为(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共 3个.
所以 P(B) 3 1＝ ＝ .
15 5
10.某小组共有 A，B，C，D，E五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/
米 2)如下表所示：
A B C D E
身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82
体重指标 19.2 25.1 18.5 23.3 20.9
(1)从该小组身高低于 1.80米的同学中任选 2人，求选到的 2人身高都在 1.78米以下的概率；
(2)从该小组同学中任选 2人，求选到的 2人的身高都在 1.70米以上且体重指标都在[18.5,23.9)
中的概率.
解 (1)由题意知，从该小组身高低于 1.80 米的同学中任选 2 人这一试验 E1的样本空间Ω1
＝{AB，AC，AD，BC，BD，CD}，共 6个样本点，且每个样本点出现的可能性相同，故属
于古典概型.设事件 M表示“选到的 2人身高都在 1.78米以下”，则 M＝{AB，AC，BC}，
共含有 3个样本点，
P(M) 3 1所以 ＝ ＝ .
6 2
(2)从该小组同学中任选 2人，这一试验 E2的样本空间Ω2＝{AB，AC，AD，AE，BC，BD，
BE，CD，CE，DE}，共 10个样本点，且每个样本点出现的可能性相等.设事件 N表示“选
到的 2人的身高都在 1.70米以上且体重指标都在[18.5,23.9)中”，则 N＝{CD，CE，DE}，
3
共含有 3个样本点，所以 P(N)＝ .
10
11.如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这 3个数为一组勾股数，从
1,2,3,4,5中任取 3个不同的数，则这 3个数构成一组勾股数的概率为( )
A. 1 B.1 C. 3 D. 1
10 5 10 20
答案 A
解析 从1,2,3,4,5中任取3个不同的数的样本空间Ω＝{(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，
(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)} 1，共 10个，其中勾股数有(3,4,5)，所以概率为 .
10
12.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数 1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的面
的点数分别为 x，y，则 log2xy＝1的概率为( )
A.1 B. 5 C. 1 D.1
6 36 12 2
答案 C
x＝1，
解析 所有样本点的个数为 36.由 log2xy＝1得 2x＝y，其中 x，y∈{1,2,3,4,5,6}，所以
y＝2
x＝2， x＝3，
或 或 满足 log2xy＝1，故事件“log2xy＝1”包含 3个样本点，所以所求的
y＝4 y＝6
3 1
概率为 P＝ ＝ .
36 12
13.一次掷两枚均匀的骰子，得到的点数为 m和 n，则关于 x的方程 x2＋(m＋n)x＋4＝0无实
数根的概率是________.
1
答案
12
解析 总的样本点个数为 36.因为方程无实根，所以Δ＝(m＋n)2－16<0.即 m＋n<4，其中有
(1,1)，(1,2)，(2,1)，共 3个样本点.
3 1
所以所求概率为 ＝ .
36 12
14.从甲、乙、丙、丁、戊五个人中选取三人参加演讲比赛，则甲、乙都被选中的概率为________.
3
答案
10
解析 从五个人中选取三人，则试验的样本空间Ω＝{(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，
戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，
戊)，(丙，丁，戊)}，共 10 3个样本点，甲、乙都被选中的结果有 3种，故所求的概率为 .
10
15.甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为 a，再由乙猜甲刚才所想的数字，
把乙猜的数字记为 b，其中 a，b∈{1,2,3,4,5,6}，若|a－b|≤1，就称“甲、乙心有灵犀”.现
任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )
A.1 B.2 C. 7 D.4
9 9 18 9
答案 D
解析 首先要弄清楚“心有灵犀”的实质是|a－b|≤1，由于 a，b∈{1,2,3,4,5,6}，则满足要
求的事件可能的结果有：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，
(4,5)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)，共 16种，而依题意得，样本点总数为 36.因此他们
16 4
“心有灵犀”的概率 P＝ ＝ .
36 9
16.某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转
盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别
为 x，y.奖励规则如下：
①若 xy≤3，则奖励玩具一个；
②若 xy≥8，则奖励水杯一个；
③其余情况奖励饮料一瓶.
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动.
(1)求小亮获得玩具的概率；
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，
并说明理由.
解 (1)用数对(x，y)表示小亮参加活动先后记录的数，则样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，
(1,4)，(2,1)，(2，2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}即
样本点的总数为 16，
记“xy≤3”为事件 A，则事件 A包含的样本点共 5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)，
P(A) 5 5所以 ＝ ，即小亮获得玩具的概率为 .
16 16
(2)记“xy≥8”为事件 B，“3则事件 B包含的样本点共 6个，
即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4).
P(B) 6 3所以 ＝ ＝ .
16 8
事件 C包含的样本点共 5个，
即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1).
5 3 5
所以 P(C)＝ .因为 > ，
16 8 16
所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.