第十章 10.1.4　概率的基本性质（PDF版学案）

10.1.4 概率的基本性质
学习目标 1.理解概率的基本性质.2.掌握利用互斥事件和对立事件的概率公式解决与古典
概型有关的问题.
知识点 概率的基本性质
性质 1 对任意的事件 A，都有 P(A)≥0.
性质 2 必然事件的概率为 1，不可能事件的概率为 0，即 P(Ω)＝1，P( )＝0.
性质 3 如果事件 A与事件 B互斥，那么 P(A∪B)＝P(A)＋P(B).
性质 4 如果事件 A与事件 B互为对立事件，那么 P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B).
性质 5 如果 A B，那么 P(A)≤P(B).
性质 6 设 A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B).
思考 (1)如果事件 A1，A2，…，An两两互斥，那么事件 A1，A2，…，An的和事件的概率等
于事件 A1，A2，…，An的概率和吗？
答案 相等.P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).
(2)对于任意事件 A，事件 A的概率的范围是多少？
答案 因 A Ω，∴0≤P(A)≤1.
1.A，B为两个事件，则 P(A＋B)＝P(A)＋P(B).( × )
2.若事件 A，B，C两两互斥，则 P(A)＋P(B)＋P(C)＝1.( × )
3.事件 A，B满足 P(A)＋P(B)＝1，则 A，B是对立事件.( × )
4.如果事件 A与事件 B互斥，那么 P(A)＋P(B)≤1.( √ )
一、互斥事件与对立事件概率公式的应用
例 1 某射手在一次射击中射中 10 环、9 环、8 环、7 环、7 环以下的概率分别为
0.24,0.28,0.19,0.16,0.13.计算这个射手在一次射击中：
(1)射中 10环或 9环的概率；
(2)至少射中 7环的概率；
(3)射中 8环以下的概率.
解 “射中 10环”“射中9环”“射中 8环”“射中7环”“射中 7环以下”是彼此互斥的，
可运用互斥事件的概率加法公式求解.
设“射中 10环”“射中 9环”“射中 8环”“射中 7环”“射中 7环以下”的事件分别为事
件 A，B，C，D，E，则
(1)P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.24＋0.28＝0.52，所以射中 10环或 9环的概率为 0.52.
(2)方法一 P(A＋B＋C＋D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.24＋0.28＋0.19＋0.16＝0.87，所
以至少射中 7环的概率为 0.87.
方法二 事件“至少射中 7环”的对立事件是“射中 7环以下”，其概率为 0.13，则至少射
中 7环的概率为 1－0.13＝0.87.
(3)P(D＋E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.13＝0.29，所以射中 8环以下的概率为 0.29.
反思感悟 运用互斥事件的概率加法公式解题的一般步骤
(1)确定各事件彼此互斥.
(2)求各事件分别发生的概率，再求其和.
注意：(1)是公式使用的前提条件，不符合这点，是不能运用互斥事件的概率加法公式的.
跟踪训练 1 在数学考试中，小明的成绩在 90分及 90分以上的概率是 0.18，在 80～89分(包
括 80 分与 89 分，下同)的概率是 0.51，在 70～79 分的概率是 0.15，在 60～69 分的概率是
0.09,60分以下的概率是 0.07.计算下列事件的概率：
(1)小明在数学考试中取得 80分及 80分以上的成绩；
(2)小明考试及格(60分及 60分以上为及格).
解 分别记小明的成绩“在 90分及 90分以上”，“在 80～89分”，“在 70～79分”，“在
60～69分”为事件 B，C，D，E，显然这四个事件彼此互斥.
(1)小明的成绩在 80分及 80分以上的概率是
P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69.
(2)方法一 小明考试及格的概率是
P(B＋C＋D＋E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.
方法二 因为小明考试不及格的概率是 0.07，所以小明考试及格的概率是 1－0.07＝0.93.
二、互斥、对立事件与古典概型的综合应用
例 2 一盒中装有各色球 12个，其中 5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球，从中随机取
出 1球，求：
(1)取出 1球是红球或黑球的概率；
(2)取出 1球是红球或黑球或白球的概率.
解 记事件 A1＝{任取 1球为红球}；A2＝{任取 1球为黑球}；A3＝{任取 1球为白球}；A4＝{任
取 1球为绿球}，则
P(A 51)＝ ，P(A )
4 P(A ) 22 ＝ ， 3 ＝ ，P(A
1
4)＝ .
12 12 12 12
根据题意，事件 A1，A2，A3，A4彼此互斥.
方法一 由互斥事件概率公式，得
(1)取出 1球为红球或黑球的概率为
P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A )
5 4 3
2 ＝ ＋ ＝ .
12 12 4
(2)取出 1球为红球或黑球或白球的概率为
P(A 5 4 2 111＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝ ＋ ＋ ＝ .
12 12 12 12
方法二 (1)取出 1球为红球或黑球的对立事件为取出 1球为白球或绿球，即 A1＋A2的对立事
件为 A3＋A4，所以取出 1球为红球或黑球的概率为
P(A1＋A2)＝1－P(A3＋A4)＝1－P(A3)－P(A4)
1 2 1 9 3＝ － － ＝ ＝ .
12 12 12 4
(2)A1＋A2＋A3的对立事件为 A4，所以
P(A1＋A2＋A3)＝1－P(A ) 1 1 114 ＝ － ＝ .
12 12
反思感悟 求复杂事件的概率通常有两种方法
(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件.
(2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分
类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”，它常用来求“至少……”或“至
多……”型事件的概率.
跟踪训练 2 某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有 10名队员，某些队员不止参加了一
支球队，具体情况如图所示.现从中随机抽取一名队员，求：
(1)该队员只属于一支球队的概率；
(2)该队员最多属于两支球队的概率.
解 分别令“抽取一名队员只属于篮球队、羽毛球队、乒乓球队”为事件 A，B，C.由题图知
3支球队共有球员 20名.
P(A) 5则 ＝ ，P(B) 3＝ ，P(C) 4＝ .
20 20 20
(1)令“抽取一名队员，该队员只属于一支球队”为事件 D.
则 D＝A＋B＋C，∵事件 A，B，C两两互斥，
∴P(D)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
5 3 4 3
＝ ＋ ＋ ＝ .
20 20 20 5
(2)令“抽取一名队员，该队员最多属于两支球队”为事件 E，
则 E 为“抽取一名队员，该队员属于 3支球队”，
2 9
∴P(E)＝1－P( E )＝1－ ＝ .
20 10
正难则反思想的应用
典例 一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字 1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相
同.随机有放回地抽取 3次，每次抽取 1张，将抽取的卡片上的数字依次记为 a，b，c.
(1)求“抽取的卡片上的数字满足 a＋b＝c”的概率；
(2)求“抽取的卡片上的数字 a，b，c不完全相同”的概率.
解 (1)由题意知，(a，b，c)所有可能的结果为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，
(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，
(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共 27种.
设“抽取的卡片上的数字满足 a＋b＝c”为事件 A，
则事件 A包含的样本点有(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共 3个.
所以 P(A) 3 1＝ ＝ .
27 9
1
即“抽取的卡片上的数字满足 a＋b＝c”的概率为 .
9
(2)设“抽取的卡片上的数字 a，b，c不完全相同”为事件 B，则事件 B的对立事件 B 包括
的样本点有(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共 3种.
3 8
∴P(B)＝1－P( B )＝1－ ＝ .
27 9
8
即“抽取的卡片上的数字 a，b，c不完全相同”的概率为 .
9
[素养提升] 当正面考虑所解决的问题比较繁琐复杂时，可以通过逻辑推理，找到所求事件
的对立事件，利用对立事件的概率的公式求解.
1.在一个试验中，若 P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1，事件 A与事件 B的关系是( )
A.互斥不对立 B.对立不互斥
C.互斥且对立 D.以上答案都不对
答案 C
2.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出 1个球，摸出红球的概率是 0.42，
摸出白球的概率是 0.28，那么摸出黑球的概率是( )
A.0.42 B.0.28 C.0.3 D.0.7
答案 C
解析 ∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，∴摸出黑球的概率是 1－0.42－0.28＝
0.3，故选 C.
3.在一次随机试验中，彼此互斥的事件 A，B，C，D的概率分别是 0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说
法正确的是( )
A.A＋B与 C是互斥事件，也是对立事件
B.B＋C与 D是互斥事件，也是对立事件
C.A＋C与 B＋D是互斥事件，但不是对立事件
D.A与 B＋C＋D是互斥事件，也是对立事件
答案 D
解析 由于 A，B，C，D彼此互斥，且 P(A＋B＋C＋D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝1，知 A
＋B＋C＋D是一个必然事件，故四个事件的关系如图所示.由图可知，任何一个事件与其余 3
个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立
事件，故选 D.
4.从装有 3个红球、2个白球的袋中任取 3个球，则所取的 3个球中至少有 1个白球的概率是
( )
A. 1 B. 3
10 10
C.3 D. 9
5 10
答案 D
解析 记 3个红球分别为 a1，a2，a3,2个白球分别为 b1，b2，从 3个红球、2个白球中任取 3
个，则样本空间Ω＝{(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，
(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)}，共含 10个样本点，
样本点出现的机会均等，因此这些样本点的出现是等可能的.用事件 A表示“所取的 3个球中
至少有 1个白球”，则其对立事件 A 表示“所取的 3个球中没有白球”，则事件 A 包含的
1 1 9
样本点有 1个(a1，a2，a3)，所以 P( A )＝ .故 P(A)＝1－P( A )＝1－ ＝ .
10 10 10
5. 3中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为 ，
7
1
乙夺得冠军的概率为 ，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________.
4
19
答案
28
解析 由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠
军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件的概率加法公式进行
3 1 19
计算，即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为 ＋ ＝ .
7 4 28
1.知识清单：
性质 1 对任意的事件 A，都有 P(A)≥0.
性质 2 必然事件的概率为 1，不可能事件的概率为 0，即 P(Ω)＝1，P( )＝0.
性质 3 如果事件 A与事件 B互斥，那么 P(A∪B)＝P(A)＋P(B).
性质 4 如果事件 A与事件 B互为对立事件，那么 P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B).
性质 5 如果 A B，那么 P(A)≤P(B).
性质 6 设 A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B).
2.方法归纳：
(1)将所求事件转化为互斥事件的并事件.
(2)将求复杂事件的概率转化为求其对立事件的概率.
3.常见误区：将事件拆分成若干个互斥的事件，不能重复和遗漏.
1.P(A)＝0.1，P(B)＝0.2，则 P(A＋B)等于( )
A.0.3 B.0.2 C.0.1 D.不确定
答案 D
解析 由于不能确定 A与 B是否互斥，则 P(A＋B)的值不能确定.
2.(多选)下列四个命题中错误的是( )
A.对立事件一定是互斥事件
B.若 A，B为两个事件，则 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
C.若事件 A，B，C两两互斥，则 P(A)＋P(B)＋P(C)＝1
D.事件 A，B满足 P(A)＋P(B)＝1，则 A，B是对立事件
答案 BCD
解析 对立事件首先是互斥事件，故 A正确；只有互斥事件的和事件的概率才适合概率的加
法公式，故 B不正确；概率的加法公式可以适合多个互斥事件的和事件，但和事件不一定是
必然事件，故 C不正确；对立事件和的概率公式逆用不正确，比如在掷骰子试验中，设事件
A＝{正面为奇数}，B＝{正面为 1,2,3}，则 P(A)＋P(B)＝1.而 A，B不是对立事件，故 D不正
确.
3.若事件 A和 B是互斥事件，且 P(A)＝0.1，则 P(B)的取值范围是( )
A.[0,0.9] B.[0.1,0.9]
C.(0,0.9] D.[0,1]
答案 A
解析 由于事件 A和 B是互斥事件，则 P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋P(B)，又 0≤P(A＋B)≤1，
所以 0≤0.1＋P(B)≤1，又 P(B)≥0，所以 0≤P(B)≤0.9，故选 A.
4.从一箱产品中随机地抽取一件，设事件 A＝“抽到一等品”，事件 B＝“抽到二等品”，事
件 C＝“抽到三等品”.已知 P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一等
品”的概率为( )
A.0.20 B.0.39 C.0.35 D.0.90
答案 C
解析 ∵抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，而 P(A)＝0.65，∴抽到的不是一等品
的概率是 1－0.65＝0.35.
5.从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于 4.8 g的概率为 0.3，质量小于 4.85 g的概率为
0.32，那么质量在 4.8～4.85 g范围内的概率是( )
A.0.62 B.0.38 C.0.02 D.0.68
答案 C
解析 设“质量小于 4.8g”为事件 A，“质量小于 4.85 g”为事件 B，“质量在 4.8～4.85 g”
为事件 C，则 A＋C＝B，且 A，C为互斥事件，所以 P(B)＝P(A＋C)＝P(A)＋P(C)，则 P(C)
＝P(B)－P(A)＝0.32－0.3＝0.02.
6.某城市 2018年的空气质量状况如下表所示：
污染指数 T 30 60 100 110 130 140
1 1 1 7 2 1
概率 P
10 6 3 30 15 30
其中污染指数 T≤50时，空气质量为优；50气质量为轻微污染，该城市 2018年空气质量达到良或优的概率为________.
3
答案
5
解析 由于空气质量达到良或优包含污染指数 T≤100，由互斥事件概率的加法公式，得该城
2018 1 1 1 3市 年空气质量达到良或优的概率为 ＋ ＋ ＝ .
10 6 3 5
7. 2事件 A，B互斥，它们都不发生的概率为 ，且 P(A)＝2P(B)，则 P(A)＝________.
5
2
答案
5
2 2 3
解析 因为事件 A，B互斥，它们都不发生的概率为 ，所以 P(A)＋P(B)＝1－ ＝ .又因为 P(A)
5 5 5
＝2P(B)，
P(A) 1 3所以 ＋ P(A)＝ ，
2 5
所以 P(A) 2＝ .
5
8.某袋中有编号为 1,2,3,4,5,6的 6个球(小球除编号外完全相同)，甲先从袋中摸出一个球，记
下编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号，则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概
率是________.
5
答案
6
解析 设 a，b分别为甲、乙摸出球的编号.由题意知，摸球试验共有 36种不同的结果，满足
a b 6 . P 1 6 5＝ 的基本事件共有 种 所以摸出编号不同的概率 ＝ － ＝ .
36 6
9.某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别.公司准备了两种不同的饮料共 5杯，
其颜色完全相同，并且其中 3杯为 A饮料，另外 2杯为 B饮料，公司要求此员工一一品尝后，
从 5杯饮料中选出 3杯 A饮料.若该员工 3杯都选对，则评为优秀；若 3杯选对 2杯，则评为
良好；否则评为不合格.假设此人对 A和 B两种饮料没有鉴别能力.
(1)求此人被评为优秀的概率；
(2)求此人被评为良好及以上的概率.
解 将 5杯饮料编号为 1,2,3,4,5，编号 1,2,3表示 A饮料，编号 4,5表示 B饮料，则从 5杯饮
料中选出 3杯的所有可能情况为(123)，(124)，(125)，(134)，(135)，(145)，(234)，(235)，(245)，
(345)，共有 10种.
令 D表示此人被评为优秀的事件，E表示此人被评为良好的事件，F表示此人被评为良好及
以上的事件，则
(1)P(D) 1＝ .
10
(2)P(E) 3＝ ，P(F)＝P(D)＋P(E) 7＝ .
5 10
10.袋中有外形、质量完全相同的红球、黑球、黄球、绿球共 12个，从中任取一球，得到红
1 5 5
球的概率是 ，得到黑球或黄球的概率是 ，得到黄球或绿球的概率也是 .
3 12 12
(1)试分别求得到黑球、黄球、绿球的概率；
(2)从中任取一球，求得到的不是红球也不是绿球的概率.
解 (1)从袋中任取一球，记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别
为 A，B，C，D，
则 P(A) 1 5 5＝ ，P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝ ，P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝ ，P(B∪C∪D)＝P(B)＋
3 12 12
P(C)＋P(D)＝1－P(A) 1 2＝1－ ＝ .
3 3
P B ＋P C 5＝ ，
12
联立 P C ＋P D
5
＝ ，
12
P B ＋P C ＋P D 2＝ ，
3
1 1 1
解得 P(B)＝ ，P(C)＝ ，P(D)＝ ，
4 6 4
1 1 1
故得到黑球，得到黄球，得到绿球的概率分别为 ，， .
4 6 4
(2)事件“得到红球或绿球”可表示为事件 A∪D，由(1)及互斥事件的概率加法公式得 P(A∪D)
P(A) P(D) 1 1 7＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ，
3 4 12
P 1 P(A D) 1 7 5故得到的不是红球也不是绿球的概率 ＝ － ∪ ＝ － ＝ .
12 12
11. 1掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率都为 .事件 A表示“小于 5的偶数点出现”，事件
6
B表示“小于 5的点数出现”，则一次试验中，事件 A＋ B ( B 表示事件 B的对立事件)发生
的概率为( )
A.1 B.1 C.2 D.5
3 2 3 6
答案 C
解析 由题意知， B 表示“大于或等于 5的点数出现”，
事件 A与事件 B 互斥，由互斥事件的概率加法公式，
可得 P(A＋ B )＝P(A) P( B ) 2 2 4 2＋ ＝ ＋ ＝ ＝ .
6 6 6 3
12. 7在 5 件产品中，有 3 件一级品和 2 件二级品，从中任取 2 件，下列事件中概率为 的是
10
( )
A.都是一级品
B.都是二级品
C.一级品和二级品各 1件
D.至少有 1件二级品
答案 D
3
解析 样本点总数为 10,2件都是一级品包含的样本点有 3个，其概率为 ，其对立事件是至
10
少有 1 7件二级品，故“至少有 1件二级品”的概率为 .
10
13.在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多 12人，从这些教师中随机挑选一人表演
9
节目，若选中男教师的概率为 ，则参加联欢会的教师共有________人.
20
答案 120
解析 可设参加联欢会的教师共有 n人，由于从这些教师中选一人，“选中男教师”和“选
9 11
中女教师”两个事件是对立事件，所以选中女教师的概率为 1－ ＝ .
20 20
11 9
再由题意，知 n－ n＝12，解得 n＝120.
20 20
14.袋中有形状、大小都相同的 4只球，其中 1只白球，1只红球，2只黄球.从中一次随机摸
出 2只球，则这 2只球颜色不同的概率为________.
5
答案
6
1 1 5
解析 由题意知摸出的 2只球的颜色相同的概率为 ，故所求概率 P＝1－ ＝ .
6 6 6
15.甲、乙两人从 1,2,3，…，10中各任取一数(不重复)，已知甲取到的数是 5的倍数，则甲数
大于乙数的概率为________.
13
答案
18
解析 甲、乙两人从 1,2,3，…，10中各任取一数(不重复)，甲取到的数是 5的倍数，设甲取
的数为 m，乙取的数为 n，其样本点记为(m，n)，
所以样本空间Ω＝{(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(5,10)，(10,1)，(10,2)，
(10,3)，(10,4)，(10,5)，(10,6)，(10,7)，(10,8)，(10,9)}，共含有 18个样本点，事件“甲数小
于乙数”包括(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(5,10)，共 5个样本点，
P 1 5 13∴甲数大于乙数的概率为 ＝ － ＝ .
18 18
16.某商场有奖销售中，购物满 100元可得 1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，
设特等奖 1个，一等奖 10个，二等奖 50个.设 1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分
别为 A，B，C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
(2)1张奖券的中奖概率；
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.
解 (1)P(A) 1＝ ，P(B) 10 1＝ ＝ ，
1 000 1 000 100
P(C) 50 1＝ ＝ .
1 000 20
1 1 1
故事件 A，B，C的概率分别为 ， ， .
1 000 100 20
(2)1张奖券中奖包含中特等奖，一等奖，二等奖.
设“1张奖券中奖”这个事件为 M，则 M＝A∪B∪C.
∵A，B，C两两互斥，
∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
1 1 1 61
＝ ＋ ＋ ＝ .
1 000 100 20 1 000
1 61故 张奖券的中奖概率为 .
1 000
(3)设“1 张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件 N，则事件 N与“1张奖券中特等奖或中
一等奖”互为对立事件，
1 1
＋
∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－ 1 000 100 989＝ .
1 000
故 1 989张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为 .
1 000