第十章 10.2　事件的相互独立性（PDF版学案）

10.2 事件的相互独立性
学习目标 1.在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念.2.能利用相互独立事件同时发
生的概率公式解决一些简单的实际问题.
知识点一 相互独立事件的概念
对任意两个事件 A与 B，如果 P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件 A与事件 B相互独立，简称
独立.
知识点二 相互独立事件的性质
如果事件 A与 B相互独立，那么 A与 B ， A 与 B， A 与 B 也都相互独立.
1.不可能事件与任何一个事件相互独立.( √ )
2.必然事件与任何一个事件相互独立.( √ )
3.“P(AB)＝P(A)·P(B)”是“事件 A，B相互独立”的充要条件.( √ )
4.如果两个事件相互独立，则它们的对立事件也是相互独立的.( √ )
一、事件独立性的判断
例 1 判断下列事件是否为相互独立事件.
(1)甲组 3名男生，2名女生；乙组 2名男生，3名女生，现从甲、乙两组各选 1名同学参加
演讲比赛，“从甲组中选出 1名男生”与“从乙组中选出 1名女生”.
(2)容器内盛有 5个白乒乓球和 3个黄乒乓球，“从 8个球中任意取出 1个，取出的是白球”
与“从剩下的 7个球中任意取出 1个，取出的还是白球”.
解 (1)“从甲组中选出 1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出 1名女生”这一
事件是否发生没有影响，所以它们是相互独立事件.
(2)“从 8 5个球中任意取出 1个，取出的是白球”的概率为 ，若这一事件发生了，则“从剩
8
4
下的 7个球中任意取出 1个，取出的仍是白球”的概率为 ；若前一事件没有发生，则后一
7
5
事件发生的概率为 ，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者
7
不是相互独立事件.
反思感悟 两个事件是否相互独立的判断
(1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.
(2)公式法：若 P(AB)＝P(A)·P(B)，则事件 A，B为相互独立事件.
跟踪训练 1 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 A是“第一枚为正面”，事件 B是“第
二枚为正面”，事件 C是“两枚结果相同”，则下列事件具有相互独立性的是________.(填
序号)
①A，B；②A，C；③B，C.
答案 ①②③
解析 根据事件相互独立性的定义判断，只要 P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)
＝P(B)P(C)成立即可.
利用古典概型概率公式计算可得 P(A)＝0.5，P(B)＝0.5，P(C)＝0.5，P(AB)＝0.25，P(AC)＝
0.25，P(BC)＝0.25.
可以验证 P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C).
所以根据事件相互独立的定义，事件 A与 B相互独立，事件 B与 C相互独立，事件 A与 C
相互独立.
二、相互独立事件概率的计算
例 2 根据资料统计，某地车主购买甲种保险的概率为 0.5，购买乙种保险的概率为 0.6，购
买甲、乙保险相互独立，各车主间相互独立.
(1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率；
(2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率.
解 记 A表示事件“购买甲种保险”，B表示事件“购买乙种保险”，则由题意得 A与 B，
A与 B ， A 与 B， B 与 A 都是相互独立事件，且 P(A)＝0.5，P(B)＝0.6.
(1)记 C表示事件“同时购买甲、乙两种保险”，
则 C＝AB，所以 P(C)＝P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.5×0.6＝0.3.
(2)记 D表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”，
则 D＝ A B，所以 P(D)＝P( A B)＝P( A )·P(B)＝(1－0.5)×0.6＝0.3.
延伸探究 本例中车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率是多少？
解 记 E表示事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”，
方法一 则事件 E包括 A B，A B ，AB，且它们彼此为互斥事件.
所以 P(E)＝P( A B＋A B ＋AB)＝P( A B)＋P(A B )＋P(AB)＝0.5×0.6＋0.5×0.4＋
0.5×0.6＝0.8.
方法二 事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”与事件“甲、乙两种保险都不购买”为
对立事件.
所以 P(E)＝1－P( A B )＝1－(1－0.5)×(1－0.6)＝0.8.
反思感悟 (1)求相互独立事件同时发生的概率的步骤
①首先确定各事件之间是相互独立的.
②求出每个事件的概率，再求积.
(2)使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是
相互独立的.
1 1
跟踪训练 2 甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为 和 ，两人能否破译密码相
3 4
互独立，求两人破译时，以下事件发生的概率：
(1)两人都能破译的概率；
(2)恰有一人能破译的概率；
(3)至多有一人能破译的概率.
解 记事件 A为“甲独立地破译出密码”，事件 B为“乙独立地破译出密码”.
(1) 1 1 1两个人都破译出密码的概率为 P(AB)＝P(A)P(B)＝ × ＝ .
3 4 12
(2)恰有一人破译出密码分为两类：甲破译出乙破译不出，乙破译出甲破译不出，即 A B ＋
A B，
∴P(A B ＋ A B)＝P(A B )＋P( A B)
＝P(A)P( B )＋P( A )P(B)
1 1 1 11 － － 1 5
＝ × 4 ＋ 3 × ＝ .
3 4 12
(3)至多有一人破译出密码的对立事件是两人都破译出密码，
1 P(AB) 1 1 11∴其概率为 － ＝ － ＝ .
12 12
三、相互独立事件概率的综合应用
例 3 计算机考试分理论考试与实际操作两部分进行，每部分考试成绩只记“合格”与“不
合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书.甲、乙、丙
4 3 2
三人在理论考试中“合格”的概率依次为 ，，，在实际操作考试中“合格”的概率依次为
5 4 3
1 2 5
，，，所有考试是否合格相互之间没有影响.
2 3 6
(1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？
(2)这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率.
解 (1)记“甲获得合格证书”为事件 A，“乙获得合格证书”为事件 B，“丙获得合格证
书”为事件 C，则
P(A) 4 1 2＝ × ＝ ，
5 2 5
P(B) 3 2 1＝ × ＝ ，
4 3 2
P(C) 2 5 5＝ × ＝ .
3 6 9
因为 P(C)>P(B)>P(A)，所以丙获得合格证书的可能性最大.
(2)设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件 D，
由题易知三人是否获得合格证书相互独立，则
P(D)＝P(AB C )＋P(A B C)＋P( A BC)
2 1 4 2 1 5 3 1 5 11
＝ × × ＋ × × ＋ × × ＝ .
5 2 9 5 2 9 5 2 9 30
反思感悟 求较复杂事件的概率的一般步骤如下
(1)列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示.
(2)理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立的)，列出关系式.
(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算.
(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求
出符合条件的事件的概率.
跟踪训练 3 1 3 3三个元件 T1，T2，T3正常工作的概率分别为 ，，，将它们中某两个元件并联
2 4 4
后再和第三个元件串联接入电路，它们是否正常工作相互独立.在如图所示的电路中，电路
不发生故障的概率是多少？
解 记 T1正常工作为事件 A，T2正常工作为事件 B，T3正常工作为事件 C，
P(A) 1则 ＝ ，P(B)＝P(C) 3＝ ，
2 4
电路不发生故障，即 T1正常工作且 T2，T3至少有一个正常工作，T2，T3至少有一个正常工
1 3 1 3－ － 15
作的概率 P1＝1－ 4 × 4 ＝ ，
16
所以整个电路不发生故障的概率为 P＝P(A) P 1 15 15× 1＝ × ＝ .
2 16 32
方程思想在相互独立事件概率中的应用
典例 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而
1
乙机床加工的零件不是一等品的概率为 ，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件
4
1 2
不是一等品的概率为 ，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为 ，分别求甲、乙、
12 9
丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率.
解 记事件 A，B，C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品.
P A ·[1－P B ] 1＝ ，
4
由题设知 P B ·[1－P C ]
1
＝ ，
12
P A ·P C 2＝ ，
9
解方程组并舍去不合题意的根，得
P(A) 1＝ ，P(B) 1 P(C) 2＝ ， ＝ .
3 4 3
1 1 2
即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是 ，， .
3 4 3
[素养提升] 对于相互独立事件中的概率问题，可先从问题的数量关系入手，根据概率的定
义、公式等构造方程(组)，通过解方程(组)解决问题，提升数学抽象素养.
1.坛子里放有 3个白球，2个黑球，从中不放回地摸球，用 A1表示第 1次摸到白球，A2表示
第 2次摸到白球，则 A1与 A2( )
A.是互斥事件 B.是相互独立事件
C.是对立事件 D.不是相互独立事件
答案 D
解析 互斥事件和对立事件是同一次试验的两个不同时发生的事件，故选项 A，C 错.而事
件 A1的发生对事件 A2发生的概率有影响，故两者是不相互独立事件.
2.一个电路上装有甲、乙两根保险丝，甲熔断的概率为 0.85，乙熔断的概率为 0.74，甲、乙
两根保险丝熔断与否相互独立，则两根保险丝都熔断的概率为( )
A.1 B.0.629
C.0 D.0.74或 0.85
答案 B
解析 设“甲保险丝熔断”为事件 A，“乙保险丝熔断”为事件 B，
则 P(A)＝0.85，P(B)＝0.74，
由事件 A与 B相互独立，
得“两根保险丝都熔断”为事件 AB，
∴P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.85×0.74＝0.629.
3. 1 1从应届高中生中选飞行员，已知这批学生体形合格的概率为 ，视力合格的概率为 ，其他
3 6
1
综合标准合格的概率为 ，从中任选一学生，则三项均合格的概率为(假设三项标准互不影
5
响)( )
A.4 B. 1 C.4 D.5
9 90 5 9
答案 B
解析 由题意知三项标准互不影响，
P 1 1 1 1∴ ＝ × × ＝ .
3 6 5 90
4.有甲、乙两批种子，发芽率分别为 0.8和 0.9，在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能
发芽的概率是( )
A.0.26 B.0.08 C.0.18 D.0.72
答案 A
解析 甲种子发芽而乙种子不发芽的概率为 0.8×0.1＝0.08.
乙种子发芽而甲种子不发芽的概率为 0.9×0.2＝0.18，
故恰有一粒种子能发芽的概率为 0.08＋0.18＝0.26.
5. 1 1 1加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为 ， ， ，且各道
70 69 68
工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________.
3
答案
70
1 1－ 1 1 1－ 1－
解析 加工出来的零件的正品率是 70 × 69 × 68 67＝ ，因此加工出来的零件的
70
67 3
次品率为 1－ ＝ .
70 70
1.知识清单：
(1)相互独立事件的判断.
(2)相互独立事件概率的计算.
2.方法归纳：构造方程(组)、通过解方程(组)求概率，正难则反思想求概率.
3.常见误区：相互独立事件与互斥事件易混淆.
1.掷一颗骰子一次，设事件 A：“掷出偶数点”，事件 B：“掷出 3点或 6点”，则事件 A，
B的关系是( )
A.互斥但不相互独立
B.相互独立但不互斥
C.互斥且相互独立
D.既不相互独立也不互斥
答案 B
解析 事件 A＝{2,4,6}，事件 B＝{3,6}，事件 AB＝{6}，样本空间Ω＝{1,2,3,4,5,6}，所以
P(A) 3 1＝ ＝ ，P(B) 2 1＝ ＝ ，P(AB) 1 1 1＝ ＝ × ，即 P(AB)＝P(A)P(B)，因此事件 A与 B相互独
6 2 6 3 6 2 3
立.当“掷出 6点”时，事件 A，B同时发生，所以 A，B不是互斥事件.
2.某射击运动员每次射击命中目标的概率都为 0.9，则他连续射击两次都命中的概率是( )
A.0.64 B.0.56 C.0.81 D.0.99
答案 C
解析 Ai表示“第 i次击中目标”，i＝1,2，
则 P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝0.9×0.9＝0.81.
3.甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为 0.6，乙被录取的概率为 0.7，两人是
否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为( )
A.0.12 B.0.42 C.0.46 D.0.88
答案 D
解析 设“甲被录取”记为事件 A，“乙被录取”记为事件 B，则两人至少有一人被录取的
概率 P＝1－P( A B )＝1－(1－P(A))(1－P(B))＝1－0.4×0.3＝0.88.
4. 1 1从甲袋中摸出 1个红球的概率是 ，从乙袋中摸出 1个红球的概率是 ，从两袋中各摸出 1
3 2
2
个球，则 可能是( )
3
A.2个球不都是红球的概率
B.2个球都是红球的概率
C.至少有 1个红球的概率
D.2个球中恰有 1个红球的概率
答案 C
解析 记 4个选项中的事件分别为 A，B，C，D，则
P(A) 1 1 5＝1－ × ＝ ，
3 2 6
P(B) 1 1 1＝ × ＝ ，
3 2 6
1 1 1 1－ －
P(C)＝1－ 2 × 3 2＝ ，
3
1 1
P(D) 1
1－ 1－
2 3 1 1＝ × ＋ × ＝ .
3 2 2
5.甲、乙两队进行排球决赛.现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才
能获冠军.若每局两队获胜的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )
A.3 B.3 C.2 D.1
4 5 3 2
答案 A
解析 根据已知条件，可知甲队要获得冠军可分为甲队直接胜一局，或乙队先胜一局，甲队
1
再胜一局，这两种情况互斥.甲队直接胜一局，其概率为 P1＝ ；乙队先胜一局，甲队再胜一
2
P 1 1 1. 1 1 1局，其概率为 2＝ × ＝ 由互斥事件的概率加法公式可得甲队获胜的概率为P＝ ＋ × ＝
2 2 4 2 2 2
3.
4
6. 16某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为 ，
25
则该队员每次罚球的命中率为________.
3
答案
5
解析 设此队员每次罚球的命中率为 p，
则 1－p2 16＝ ，所以 p 3＝ .
25 5
7.在甲盒内的 200个螺杆中有 160个是 A型，在乙盒内的 240个螺母中有 180个是 A型.若
从甲、乙两盒内各取一个，则能配成 A型螺栓的概率为________.
3
答案
5
解析 从甲盒内取一个 A型螺杆记为事件 M，从乙盒内取一个 A型螺母记为事件 N，因为
事件M，N相互独立，所以能配成 A型螺栓(即一个 A型螺杆与一个 A型螺母)的概率为 P(MN)
＝P(M)P(N) 160 180 3＝ × ＝ .
200 240 5
8. 4 2甲、乙、丙三位同学上课后独立完成自我检测题，甲及格的概率为 ，乙及格的概率为 ，
5 5
2
丙及格的概率为 ，则三人中至少有一人及格的概率为________.
3
24
答案
25
4 2
解析 设甲及格为事件 A，乙及格为事件 B，丙及格为事件 C，则 P(A)＝ ，P(B)＝ ，P(C)
5 5
2
＝ ，∴P( A ) 1 P( B ) 3 1＝ ， ＝ ，P( C )＝ ，
3 5 5 3
则 P( A B C )＝P( A )P( B )P( C ) 1 3 1 1＝ × × ＝ ，
5 5 3 25
∴所求概率 P＝1－P( A B C ) 24＝ .
25
9.设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为 0.5，购买乙种商品的概率为 0.6，且购
买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的.求：
(1)进入商场的 1位顾客，甲、乙两种商品都购买的概率；
(2)进入商场的 1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
(3)进入商场的 1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率.
解 记 A表示事件“进入商场的 1位顾客购买甲种商品”，则 P(A)＝0.5；
记 B表示事件“进入商场的 1位顾客购买乙种商品”，则 P(B)＝0.6；
记 C表示事件“进入商场的 1位顾客甲、乙两种商品都购买”；
记 D表示事件“进入商场的 1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种”；
记 E表示事件“进入商场的 1位顾客至少购买甲、乙两种商品的一种”.
(1)易知 C＝AB，则 P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.6＝0.3.
(2)易知 D＝(A B )∪( A B)，则 P(D)＝P(A B )＋P( A B)＝P(A)P( B )＋P( A )P(B)＝
0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5.
(3)易知 E ＝ A B ，则 P( E )＝P( A B )＝P( A )P( B )＝0.5×0.4＝0.2.故 P(E)＝1－
P( E )＝0.8.
10.为应对金融危机，刺激消费，某市给市民发放面额为 100 元的旅游消费券，由抽样调查
预计老、中、青三类市民持有这种消费券到某旅游景点的消费额及其概率如下表：
200元 300元 400元 500元
老年 0.4 0.3 0.2 0.1
中年 0.3 0.4 0.2 0.1
青年 0.3 0.3 0.2 0.2
某天恰好有持有这种消费券的老年人、中年人、青年人各一人到该旅游景点.
(1)求这三人恰有两人的消费额不少于 300元的概率；
(2)求这三人的消费总额大于或等于 1 300元的概率.
解 (1)设三人中恰有两人的消费额不少于 300元的概率为 P1，
则 P1＝(0.7)2×0.4＋2×0.3×0.7×0.6＝0.448.
(2)消费总额为 1 500元的概率是 0.1×0.1×0.2＝0.002，
消费总额为 1 400元的概率是(0.1)2×0.2＋2×(0.2)2×0.1＝0.010，
消费总额为 1 300元的概率是(0.1)2×0.3＋0.3×0.1×0.2＋0.1×0.4×0.2＋0.23＋2×0.22×0.1
＝0.033，
所以消费总额大于或等于 1 300元的概率是 0.045.
11.同时转动如图所示的两个质地均匀的转盘，记转盘甲得到的数为 x，转盘乙得到的数为
y(若指针停在边界上则重新转)，x，y构成数对(x，y)，则所有数对(x，y)中，满足 xy＝4的
概率为( )
A. 1 B.1
16 8
C. 3 D.1
16 4
答案 C
解析 满足 xy＝4的所有可能如下：
x＝1，y＝4；x＝2，y＝2；x＝4，y＝1.
∴所求事件的概率为
P＝P(x＝1，y＝4)＋P(x＝2，y＝2)＋P(x＝4，y＝1)
1 1 1 1 1 1 3
＝ × ＋ × ＋ × ＝ .
4 4 4 4 4 4 16
12. 1设两个独立事件 A和 B都不发生的概率为 ，A发生 B不发生的概率与 B发生 A不发生
9
的概率相同，则事件 A发生的概率 P(A)等于( )
A.2 B. 1 C.1 D.2
9 18 3 3
答案 D
1
解析 由题意知，P( A )·P( B )＝ ，
9
P( A )·P(B)＝P(A)·P( B ).
设 P(A)＝x，P(B)＝y，
1 x 1 y 1 1 x y xy 1－ － ＝ ， － － ＋ ＝ ，
则 9 即 9
1－x y＝x 1－y ， x＝y.
∴x2－2x＋1 1＝ ，
9
x 1 1 1∴ － ＝－ ，或 x－1＝ (舍去)，
3 3
∴x 2＝ .
3
13. 1 1有一道数学难题，学生 A解出的概率为 ，学生 B解出的概率为 ，学生 C解出的概率为
2 3
1.若 A，B，C三人独立去解答此题，则恰有一人解出的概率为________.
4
11
答案
24
1 2 3 1
解析 一道数学难题恰有一人解出，包括：①A解出，B，C解不出，概率为 × × ＝ ；
2 3 4 4
②B解出，A，C 1 1 3 1 1 2 1 1解不出，概率为 × × ＝ ；③C解出，A，B解不出，概率为 × × ＝ .
2 3 4 8 2 3 4 12
1 1 1 11
所以恰有 1人解出的概率为 ＋ ＋ ＝ .
4 8 12 24
14.某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的 5个问题中，选手若能连续正确回答出 2 个问
题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是 0.8，且每个问题的
回答结果相互独立，则该选手恰好回答了 4个问题就晋级下一轮的概率为________.
答案 0.128
解析 由已知条件知，第 2个问题答错，第 3,4个问题答对，记“问题回答正确”事件为 A，
则 P(A)＝0.8，故 P＝P[(A＋ A ) A AA]＝[1－P(A)]·P(A)·P(A)＝0.128.
15. 1如图，已知电路中 4 个开关每个闭合的概率都是 ，且是互相独立的，则灯亮的概率为
2
( )
A. 3 B.3
16 4
C.13 D.1
16 4
答案 C
解析 灯泡不亮包括四个开关都断开，或下边的 2个都断开且上边的 2个中有一个断开，这
两种情况是互斥的，每一种情况中的事件是相互独立的，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3
∴灯泡不亮的概率为 × × × ＋ × × × ＋ × × × ＝ .
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 16
3 13
∵灯泡亮与不亮是对立事件，∴灯亮的概率是 1－ ＝ .
16 16
16.本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是
每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费 2元(不足一小时的部
分按一小时计算).有甲、乙两人分别来该租车点租车骑游(各租一车一次)，设甲、乙不超过
1 1 1 1
两小时还车的概率分别为 ，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为 ，；两人租车
4 2 2 4
时间互不影响且都不会超过四小时.
(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；
(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为 4的概率.
解 甲、乙两人租车时间超过三小时不超过四小时的概率分别为
1 1 1 1 1 1 1 1－ － ＝ ， － － ＝ .
4 2 4 2 4 4
(1)租车费用相同可分为租车费用都为 0元、2元、4元三种情况.
都付 0 1 1 1元的概率为 P1＝ × ＝ ；
4 2 8
2 1 1 1都付 元的概率为 P2＝ × ＝ ；
2 4 8
都付 4 1 1 1元的概率为 P3＝ × ＝ .
4 4 16
5
所以，甲、乙两人所付租车费用相同的概率为 P＝P1＋P2＋P3＝ .
16
(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为ξ，则ξ＝4表示两人的租车费用之和为 4元，其可能
的情况是甲、乙的租车费用分别为①0元，4元；②2元，2元；③4元，0元.
所以可得 P(ξ＝4) 1 1 1 1 1 1 5＝ × ＋ × ＋ × ＝ ，
4 4 2 4 4 2 16
5
即甲、乙两人所付的租车费用之和为 4元的概率为 .
16