第十章 10.3　频率与概率（PDF版学案）

10.3 频率与概率
学习目标 1.理解概率的意义以及频率与概率的区别与联系.2.能初步利用概率知识解释现
实生活中的概率问题.3.了解随机模拟的含义，会利用随机模拟估计概率.
知识点一 频率的稳定性
在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件 A 发生的频率具有随机性.一般地，随着试验
次数 n 的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件 A 发生的频率 fn(A)会逐渐稳定于事件 A
发生的概率 P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率 fn(A)估计
概率 P(A).
思考 一枚质地均匀的硬币，抛掷 10次，100次，1 000次，正面向上的频率与 0.5相比，
有什么变化？
答案 随着抛掷的次数增加，正面向上的次数与总次数之比会逐渐接近 0.5.
知识点二 随机模拟
用频率估计概率，需做大量的重复试验，我们可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模
拟试验，这样就可以快速地进行大量重复试验了.我们称利用随机模拟解决问题的方法为蒙
特卡洛方法.
1.设有一批产品，其次品率为 0.05，则从中任取 200件，必有 10件是次品.( × )
2.做 100 次抛硬币的试验，结果 51 次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是
51 .( × )
100
3.某事件发生的概率随着试验次数的变化而变化.( × )
4.小概率事件就是不可能发生的事件.( × )
一、频率与概率的关系
例 1 (1)下列说法一定正确的是( )
A.一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况
B. 1一个骰子掷一次得到 2的概率是 ，则掷 6次一定会出现一次 2
6
C.若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元
D.随机事件发生的概率与试验次数无关
答案 D
解析 A错误，概率小不代表一定不发生；B错误，概率不等同于频率；C错误，概率是预
测，不必然出现；D正确，随机事件发生的概率是多次试验的稳定值，与试验次数无关.
(2)对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如下：
抽取台数 50 100 200 300 500 1 000
优等品数 40 92 192 285 478 954
①根据表中数据分别计算 6次试验中抽到优等品的频率；
②该厂生产的电视机为优等品的概率约是多少？
解 ①抽到优等品的频率分别为 0.8,0.92,0.96,0.95,0.956,0.954.
②由表中数据可估计优等品的概率约为 0.95.
反思感悟 (1)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率.
(2)频率本身是随机的，在试验前不能确定.
(3)概率是一个确定的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，与试验次数无关.
跟踪训练 1 一个地区从某年起 4年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下表所示：
时间范围 1年内 2年内 3年内 4年内
新生婴儿数 n 5 544 9 607 13 520 17 190
男婴数 m 2 883 4 970 6 994 8 892
(1)计算男婴出生的频率(保留 4位小数)；
(2)这一地区男婴出生的概率约是多少？
解 (1) m计算 即得男婴出生的频率依次约是 0.520 0，0.517 3，0.517 3,0.517 3.
n
(2)随着新生婴儿数的增多，男婴出生的频率接近 0.517 3，因此，这一地区男婴出生的概率
约为 0.517 3.
二、概率思想的实际应用
例 2 设有外形完全相同的两个箱子，甲箱中有 99个白球，1个黑球，乙箱中有 1个白球，
99个黑球.先随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球.推断这球是从哪
一个箱子中取出的？
99
解 甲箱中有 99个白球，1个黑球，故随机地取出一球，得到白球的可能性是 .乙箱中有
100
1 1个白球，99个黑球，从中任取一球，得到白球的可能性是 .由此可见，这一白球从甲箱
100
中抽出的概率比从乙箱中抽出的概率大得多.既然在一次抽样中抽到白球，当然可以认为是
从概率大的箱子中取出的.所以我们作出统计推断：该白球是从甲箱中取出的.
反思感悟 在一次试验中，概率大的事件比概率小的事件出现的可能性更大.
跟踪训练 2 为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕
出一定数量的天鹅，如 200只，给每只天鹅作上记号且不影响其存活，然后放回保护区，经
过适当的时间，让它们和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天鹅，
如 150只.查看其中有记号的天鹅，设有 20只，试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅
的数量.
解 设保护区中天鹅的数量为 n，假设每只天鹅被捕到的可能性是相等的，从保护区中任捕
一只，
200
设事件 A＝{捕到带有记号的天鹅}，则 P(A)＝ .
n
从保护区中捕出 150只天鹅，
其中有 20只带有记号，
P(A) 20由概率的定义可知 ≈ .
150
200 20
由 ≈ ，解得 n≈1 500，
n 150
所以该自然保护区中天鹅的数量约为 1 500只.
三、用随机模拟估计概率
例 3 一个袋中有 7个大小、形状相同的小球，6个白球，1 个红球，现任取 1个球，若为
红球就停止，若为白球就放回，搅拌均匀后再接着取，试设计一个模拟试验计算恰好第三次
摸到红球的概率.
解 用 1,2,3,4,5,6表示白球，7表示红球，利用计算器或计算机产生 1到 7之间(包括 1和 7)
取整数值的随机数，因为要求恰好第三次摸到红球的概率，所以每三个随机数作为一组，如
下，产生 20组随机数：
666 743 671 464 571
561 156 567 732 375
716 116 614 445 117
573 552 274 114 662
就相当于做了 20次试验，在这些数组中，前两个数字不是 7，第三个数字恰好是 7 就表示
第一次、第二次摸到的是白球，第三次摸到的是红球，它们分别是 567和 117，共两组，因
2
此恰好第三次摸到红球的概率约为 ＝0.1.
20
反思感悟 用随机数模拟法求事件概率的方法
在使用整数随机数进行模拟试验时，首先要确定随机数的范围和用哪个代表试验结果.
(1)试验的基本结果是等可能时，基本事件的总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表
一个基本事件.
(2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数.
跟踪训练 3 某篮球爱好者做投篮练习，假设其每次投篮命中的概率是 60%，若该篮球爱好
者连续投篮 4次，求至少投中 3次的概率，用随机模拟的方法估计上述概率.
解 利用计算机或计算器产生 0 到 9 之间取整数值的随机数，用 1,2,3,4,5,6 表示投中，用
7,8,9,0表示未投中，这样可以体现投中的概率是 60%，因为投篮 4 次，所以每 4 个随机数
作为 1组，例如 5727,7895,0123，…，4560,4581,4698，共 100组这样的随机数，若所有数
组中没有 7,8,9,0或只有 7,8,9,0中的一个数的数组的个数为 n，则至少投中 3 次的概率近似
n
值为 .
100
1. 1“某彩票的中奖概率为 ”意味着( )
1 000
A.买 1 000张彩票就一定能中奖
B.买 1 000张彩票中一次奖
C.买 1 000张彩票一次奖也不中
D. 1购买彩票中奖的可能性是
1 000
答案 D
2.用随机模拟方法估计概率时，其准确程度取决于( )
A.产生的随机数的大小
B.产生的随机数的个数
C.随机数对应的结果
D.产生随机数的方法
答案 B
解析 随机数容量越大，所估计的概率越接近实际数.
3. 1某医院治疗一种疾病的治愈率为 ，那么，前 4 个病人都没有治愈，第 5 个病人被治愈的
5
概率是( )
A.1 B.1 C.4 D.0
5 5
答案 B
1
解析 每一个病人治愈与否都是随机事件，故第 5个人被治愈的概率仍为 .
5
4.天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为 40%，用随机模拟的方法估计这三
天中恰有两天下雨的概率.可利用计算机产生 0到 9之间的取整数值的随机数，如果我们用
1,2,3,4表示下雨，用 5,6,7,8,9,0表示不下雨，顺次产生的随机数如下：
907 966 191 925 271
932 812 458 569 683
631 257 393 027 556
488 730 113 137 989
则这三天中恰有两天下雨的概率约为( )
A.13 B. 7 C. 9 D.11
20 20 20 20
答案 B
解析 由题意知，模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了 20组随机数，在 20
组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：191,271,932,812,631,393,137，共 7组随机数，∴
7
所求概率为 .
20
5.在一次掷硬币试验中，掷 100次，其中有 48次正面朝上，设反面朝上为事件 A，则事件 A
出现的频率为________.
答案 0.52
100－48
解析 ＝0.52.
100
1.知识清单：
(1)概率与频率的关系.
(2)用频率估计概率.
(3)用随机模拟估计概率.
2.常见误区：频率与概率的关系易混淆.
1.气象台预测“本市明天降雨的概率是 90%”，对预测的正确理解是( )
A.本市明天将有 90%的地区降雨
B.本市明天将有 90%的时间降雨
C.明天出行不带雨具肯定会淋雨
D.明天出行不带雨具可能会淋雨
答案 D
解析 降雨概率为 90%是指明天降雨这个随机事件发生的可能性为 90%，明天也可能不下
雨，故选 D.
2.经过市场抽检，质检部门得知市场上食用油合格率为 80%，经调查，某市市场上的食用油
大约有 80个品牌，则不合格的食用油品牌大约有( )
A.64个 B.6个 C.16个 D.8个
答案 C
解析 80×(1－80%)＝16.
3.给出下列 3种说法：
①设有一大批产品，已知其次品率为 0.1，则从中任取 100件，必有 10件是次品；
②做 7 3次抛硬币的试验，结果 3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是 ；
7
③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.
其中正确说法的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 A
解析 由频率与概率之间的联系与区别知，①②③均不正确.
4.某种心脏手术，成功率为 0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率；
先利用计算器或计算机产生0～9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，故我们用0,1,2,3
表示手术不成功，4,5,6,7,8,9表示手术成功；再以每 3个随机数为一组，作为 3例手术的结
果，经随机模拟产生如下 10组随机数：
812,832,569,683,271,989,730,537,925,907
由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为( )
A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5
答案 A
解析 由 10 2组随机数知，3个随机数都在 4～9中的有 569,989两组，故所求的概率为 P＝
10
＝0.2.
5.从一批电视机中随机抽出 10台进行检验，其中有 1台次品，则关于这批电视机，下列说
法正确的是( )
A.次品率小于 10% B.次品率大于 10%
C.次品率等于 10% D.次品率接近 10%
答案 D
1
解析 抽出的样本中次品的频率为 ，即 10%，所以样本中次品率大约为 10%，所以总体
10
中次品率大约为 10%.
6.已知随机事件 A 发生的频率是 0.02，事件 A 出现了 10次，那么共进行了________次试验.
答案 500
10
解析 设进行了 n 次试验，则有 ＝0.02，得 n＝500，故进行了 500次试验.
n
7.从一堆苹果中任取了 20个，并得到它们的质量(单位：克)数据分布表如下：
分组 [90,100) [100,110) [110,120) [120,130) [130,140) [140,150]
频数 1 2 3 10 3 1
则这堆苹果中，质量不小于 120克的苹果数约占苹果总数的________%.
答案 70
解析 计算出样本中质量不小于 120 克的苹果的频率，来估计这堆苹果中质量不小于 120
10＋3＋1
克的苹果所占的比例，由题意知 ＝0.7＝70%.
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8.在用随机数(整数)模拟“有 4个男生和 5个女生，从中抽选 4个，并选出 2个男生 2个女
生”的概率时，可让计算机产生 1～9的随机整数，并且 1～4代表男生，用 5～9代表女生.
因为是选出 4个，所以每 4 个随机数作为一组.若得到的一组随机数为“4678”，则它代表
的含义是________________.
答案 选出的 4人中，只有 1个男生
解析 用 1～4代表男生，用 5～9代表女生，4678表示 1个男生 3个女生.
9.在一个不透明的袋中有大小相同的 4 个小球，其中有 2个白球，1个红球，1个蓝球，每
次从袋中摸出一球，然后放回搅匀再摸，在摸球试验中得到下列表格中部分数据：
摸球次数 10 50 80 100 150 200 250 300
出现红球的频数 2 20 27 36 50
出现红球的频率 30% 26% 24%
(1)请将表中数据补充完整；
(2)如果按照此方法再摸球 300次，所得频率与表格中摸球 300次对应的频率一定一样吗？
为什么？
(3)试估计红球出现的概率.
解 (1)频数分别是 15,65,72；频率分别是 20%,25%,27%,24%,25%.
(2)可能不一样，因为频率会随每次试验的变化而变化.
(3)频率集中在 25%附近，所以可估计概率为 0.25.
10.如图，A 地到火车站共有两条路径 L1和 L2，现随机抽取 100位从 A 地到火车站的人进行
调查，调查结果如下表：
所用时间/分 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60
选择 L1的人数 6 12 18 12 12
选择 L2的人数 0 4 16 16 4
(1)试估计 40分钟内不能赶到火车站的概率；
(2)分别求通过路径 L1和 L2所用时间落在上表中各时间段内的频率.
解 (1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，
所以用频率估计相应的概率为 0.44.
(2)选择 L1的有 60人，选择 L2的有 40人，故由调查结果得频率为
所用时间/分 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60
选择 L1的人数 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2
选择 L2的人数 0 0.1 0.4 0.4 0.1
11.某水产试验厂实行某种鱼的人工孵化，10 000个鱼卵能孵出 8 513尾鱼苗，根据概率的统
计定义，这种鱼卵的孵化概率( )
A.约为 0.851 3
B.必为 0.851 3
C.再孵一次仍为 0.851 3
D.不确定
答案 A
8 513
解析 这种鱼卵的孵化频率为 ＝0.851 3，
10 000
它近似的为孵化的概率.
12.某市交警部门在调查一起车祸过程中，所有的目击证人都指证肇事车是一辆普通桑塔纳
出租车，但由于天黑，均未看清该车的车牌号码及颜色，而该市有两家出租车公司，其中甲
公司有 100辆桑塔纳出租车，3 000辆帕萨特出租车，乙公司有 3 000辆桑塔纳出租车，100
辆帕萨特出租车，交警部门应先调查哪个公司的车辆较合理( )
A.甲公司 B.乙公司
C.甲或乙公司均可 D.以上都对
答案 B
100 1
解析 由于甲公司桑塔纳的比例为 ＝ ，
100＋3 000 31
3 000 30
乙公司桑塔纳的比例为 ＝ ，
3 000＋100 31
可知肇事车在乙公司的可能性大些.
13.先后抛掷两枚均匀的五角、一元的硬币，观察落地后硬币的正反面情况，则下列哪个事
件的概率最大( )
A.至少一枚硬币正面向上
B.只有一枚硬币正面向上
C.两枚硬币都是正面向上
D.两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上
答案 A
解析 抛掷两枚硬币，其结果有“正正”，“正反”，“反正”，“反反”四种情况.至少
有一枚硬币正面向上包括三种情况，其概率最大.
14.通过模拟试验产生了 20组随机数：
6830 3013 7055 7430 7740 4422 7884
2604 3346 0952 6807 9706 5774 5725
6576 5929 9768 6071 9138 6754
如果恰好有三个数在 1,2,3,4,5,6中，表示恰好有三次击中目标，则四次射击中恰好有三次击
中目标的概率约为________.
答案 0.25
解析 表示三次击中目标分别是 3013,2604,5725,6576,6754，共 5组数，而随机数总共 20组，
5
所以所求的概率近似为 ＝0.25.
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15.(多选)甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的是( )
A.抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜
B.同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于 7则甲胜，否则乙胜
C.从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜
D.甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜
答案 ACD
1
解析 对于 A，C，D，甲胜，乙胜的概率都是 ，游戏是公平的；对于 B，点数之和大于 7
2
和点数之和小于 7的概率相等，但点数等于 7时乙胜，所以甲胜的概率小，游戏不公平.
16.如图所示，有两个可以自由转动的均匀转盘 A，B.转盘 A 被平均分成 3 等份，分别标上
1,2,3三个数字；转盘 B 被平均分成 4等份，分别标上 3,4,5,6四个数字.有人为甲、乙两人设
计了一个游戏规则：自由转动转盘 A 与 B，转盘停止后，指针各指向一个数字，将指针所指
的两个数字相加，如果和是 6，那么甲获胜，否则乙获胜.你认为这样的游戏规则公平吗？如
果公平，请说明理由；如果不公平，怎样修改规则才能使游戏对双方公平？
解 列表如下：
B
3 4 5 6
A
1 4 5 6 7
2 5 6 7 8
3 6 7 8 9
由表可知，等可能的结果有 12种，和为 6的结果只有 3种.
因为 P( 3 1和为 6)＝ ＝ ，所以甲、乙获胜的概率不相等.
12 4
所以这样的游戏规则不公平.如果将规则改为“和是 6或 7，则甲胜，否则乙胜”，那么此时游
戏规则是公平的.