苏科版数学八年级下册9.4 第2课时 矩形的判定 同步课件(共18张PPT)

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第九章 中心对称图形——平行四边形
9.4 第2课时 矩形的判定
1.矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
2.矩形的性质：
对称性：
边：
角：
对角线：
对边平行且相等
四个角都是直角
对角线互相平分且相等
既是轴对称图形，又是中心对称图形
知识回顾
在探究平行四边形的判定过程中，我们从平行四边形的性质逆向探究，得出了一些平行四边形的判定方法，这里我们也可以从矩形的性质出发，探究矩形的判定方法。
例如：平行四边形的对角线互相平分
逆 向
对角线互相平分的四边形是平行四边形
的四边形是矩形
四个角都是直角
性质：矩形的四个角都是直角
逆 向
A
B
D
C
三
如图，在四边形ABCD中，∠A= ∠B= ∠C= ∠D=90°.
说明四边形ABCD是矩形
已知：如图所示，在四边形ABCD中，
∠A=∠B=∠C=90°．
求证：四边形ABCD是矩形．
A
B
C
D
证明：∵∠A=∠B=∠C=90°，
∠A+∠B=180°，
∠B+∠C=180°，
∴AD∥BC， AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠A=90°.
∴ ABCD是矩形.
矩形的判定方法：
有三个角是直角的四边形是矩形。
几何语言：
∵ ∠A= ∠B= ∠C= 90°
∴四边形ABCD是矩形
A
B
D
C
归纳总结
的平行四边形是矩形
对角线相等
性质：矩形的对角线相等
逆 向
如图，在平行四边形ABCD中，AC=BD。
说明四边形ABCD是矩形
A
B
D
C
O
已知：如图,在□ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB.求证：□ABCD是矩形.
A
B
C
D
证明：∵AB = DC,BC = CB,AC = DB,
∴ △ABC≌△DCB ,
∴∠ABC = ∠DCB.
∵AB∥CD,
∴∠ABC + ∠DCB = 180°,
∴ ∠ABC = 90°,
∴ □ ABCD是矩形（矩形的定义）.
矩形的判定方法：
对角线相等的平行四边形是矩形。
几何语言：
∵ AC=BD
∴平行四边形ABCD是矩形
A
B
D
C
O
归纳总结
想一想
如图，直线l1 ∥ l2 、 A、C是直线l1上的任意两点，AB ⊥ l2 ，CD ⊥ l2 ， 垂足分别为B、D 、线段 AB、CD相等吗？为什么？
∟
∟
∟
∟
A
B
C
D
∵AB ⊥ l2 ，CD ⊥ l2 ，
∴AB//CD.
又∵ l1 // l2 ，
∴四边形ABDC是矩形 ，
∴ AB=CD
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做两条平行线之间的距离．
两条平行线之间的距离处处相等．
平行线间的距离与性质：
例1 已知：如图,在△ABC中，∠ACB= 90o，D是 AB 的中点，DE、 DF 分别是△BDC、△ADC的角平分线．
求证：四边形DECF是矩形 ．
证明： ∵ ∠ ACB=90o，D是 AB的中点，
∵ DC= DA,DF 平分∠ ADC,
即 ∠ DFC= 90o
同理 ∠ DEC= 90o
∴四边形 DECF是矩形
（三个角是豆角的四边形是矩形）
A
B
C
D
E
F
例2 如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长OA到N，使ON＝OB，再延长OC至M，使CM＝AN.
求证：四边形NDMB为矩形．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形
∴AO＝OC，OD＝OB
∵AN＝CM，ON＝OB
∴ON＝OM＝OD＝OB
∴四边形NDMB为平行四边形，MN＝BD
∴平行四边形NDMB为矩形
要判定一个四边形是矩形，通常先判定它是平行四边形，再根据平行四边形构成矩形的条件，判定有一个角是直角或者对角线相等。
１．判断:
(1)有一个角是直角的四边形是矩形.( )
(2)对角线相等的四边形是矩形. ( )
(3)对角线相等且互相平分的四边形是矩形. ( )
(4)四个角都相等的四边形是矩形. ( )
2.已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，CD为中线，延长CD到点E，使得DE=CD.连接AE，BE，
证明：四边形ACBE为矩形.
E
D
C
B
A
∴ △ADE≌△BDC（SAS）.
∴ ∠DEA=∠DCB，AE=CB.
∴ 四边形ACBE是平行四边形.
∴四边形ACBE是矩形.
证明：∵ CD是中线, ∴AD=BD.
又 ∵DE=DC，∠ADE=∠BDC，
∴ AE // CB .
又∵∠C=90°，
3. 如图1-2-21,在 ABCD中,DE⊥AB,BF⊥CD,垂足分别为E,F. 求证:四边形BFDE为矩形.
证明:∵DE⊥AB,BF⊥CD,
∴∠DEB=∠BFD=90°.
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴CD∥AB,∴∠CDE+∠DEB=180°.
∵∠DEB=90°,∴∠CDE=90°,
即∠CDE=∠DEB=∠BFD=90°,
∴四边形BFDE为矩形.
课堂小结
矩形的判定方法：
平行四边形
四边形
矩形
对角线
互相平分
有三个角是直角
有一个角是直角
对角线相等