苏科版数学八年级下册9.4 第5课时 正方形的性质与判定 同步课件(共20张PPT)

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第九章 中心对称图形——平行四边形
9.4 第5课时 正方形的性质与判定
你是如何判定是矩形、菱形的？
平行四边形
矩形
菱形
四边形
三个角是直角
四条边相等
定义
四个判定定理
定 义
对角线相等
定 义
对角线垂直
知识回顾
观察旋转
正方形的定义
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
邻边相等
矩形
正方形
菱 形
一个角是直角
正方形
∟
正方形的判定
定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形.
A
B
C
D
几何语言：
∵四边形ABCD是矩形，且AB= BC，∴四边形ABCD是正方形
定理2：有一个角是直角的菱形是正方形.
A
B
C
D
几何语言：
∵四边形ABCD是矩形，且∠A= 90°，∴四边形ABCD是正方形.
平行四边形
平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系图
菱形
矩形
正
方
形
正方形既具有矩形的性质，又具有菱形的性质.
正方形的性质
边----
角----
对角线----
对边平行，４边相等
４个角都是直角
相等、垂直且互相平分，
每一条对角线平分一组对角
A
B
C
D
O
既是中心对称图形，
又是轴对称图形．
对称性----
例 如图，点A′，B′，C′，D′分别是正方形ABCD
四条边上的点，并且AA′=BB′=CC′=DD′.
求证：四边形A′B′C′D′是正方形．
分析：
由已知可证
△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM，
得四边形EFMN是菱形，
再证有一个角是直角即可.
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
∵AE=BF=CM=DN，
∴AN=BE=CF=DM.
∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM（SAS）,
∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF,
∴四边形EFMN是菱形，
∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF）
=180°－（∠AEN+∠ANE）
=180°－90°=90°.
∴四边形EFMN是正方形 .
例2 求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
已知: 如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相
交于点O.
求证: △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO是全等的等腰直角三角形.
A
D
C
B
O
A
D
C
B
O
证明: ∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.
∴ △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO都
是等腰直角三角形,并且
△ABO≌ △BCO ≌ △CDO ≌ △DAO.
1、根据图形所具有的性质,在下表相应的空格中打 ”√”
平行四边形 矩形 菱形 正方形
对边平行且相等
四边都相等
四个角都是直角
对角线互相平分
对角线互相垂直
对角线相等
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
2、正方形具有而矩形不一定具有的性质是 ( )
A．四个角相等
B．对角线互相垂直平分
C．对角互补
D．对角线相等
B
3、平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是(　　)
A．对角线相等
B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直
D．对角线互相垂直平分
B
4. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且BE＝CF.
求证：(1)△ABE≌△BCF；
(2)AE⊥BF.
证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠C＝90°.
在△ABE和△BCF中，AB=BC,∠ABE＝∠C, BE=CF
∴△ABE≌△BCF.
(2)如图，设AE与BF交于点O.
∵△ABE≌△BCF，
∴∠BAE＝∠CBF.
∵∠ABE＝90°，
∴∠BAE＋∠AEB＝90°，
∴∠CBF＋∠AEB＝90°，
∴∠BOE＝90°，即AE⊥BF.
课堂小结
正方形的性质
四条边都相等
两组对边分别平行
两条对角线互相平分
边
对角线
角
两组对角分别相等，邻角分别互补
四个角都是直角
两条对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角
对角线相等
正方形
5种识别方法
三个角是直角
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角
或对角线相等
一个角是直角且一组邻边相等
四边形
平行四边形
矩形
菱形
正方形
正方形的判定
四条边都相等