青岛版九年级数学上册1.2（3）利用两边及夹角判定相似 课件(共24张PPT)

(共24张PPT)
1.2 怎样判定三角形相似
第3课时 利用两边及其夹角
判定三角形相似
学习目标
1、了解相似三角形的判定方法二的推导过程。
2、 熟练应用判定方法二去判定三角形相似。
重点:应用判定方法二证明三角形的相似。
难点:能在复杂的图形中，找出证明两个三角形相似的条件;
1.什么是相似三角形？
如果一个三角形的各个角与另一个三角形的各个角对应相等，各边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形.
2.我们已经学了哪些相似三角形的判定方法
1、定义法: 2、判定定理1
复习导入
3.相似三角形的性质
1、对应角相等 2、对应边成比例
还有其它
判定方法吗？
探究一：如果两个三角形有两条边成比例，它们一定相似吗？
有两条边成比例，
但不相似.
B
C
A
2
3
B′
C′
A′
4
6
只有两条边成比例的两个三角形，不一定相似.
新课探究
探究二：把探究一中的条件增加：如果成比例的这两边的夹角相等，那么它们一定相似吗？
画△ABC与△A′B′C′，使∠A=∠A′， =k.设法比较∠B与∠B′(或∠C与∠C′)的大小.
当k=时
B
C
A
B′
C′
A′
4
6
2
3
∠B=∠B′
当k= 时
B
C
A
B′
C′
A′
3
4.5
2
3
∠B=∠B′
又因为∠A=∠A′ ，所以△ABC∽△A′B′C′.
由此，你能得到什么结论？
两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似.
已知:如图△ABC和△A`B`C`中,∠A=∠A` , .
求证:△ABC∽△A`B`C`
B′
C′
A′
B
C
A
已知:如图△ABC和△A`B`C`中,∠A∠A` ,A`B`:AB=A`C`:AC.
求证:△ABC∽△A`B`C`
证明：在AB(或它的延长线)上截取AD=A′B′，过点D作DE∥BC，交AC于点E.于是
∠ADE=∠B且= (基本事实9的推论). ①
∵ =， ②
AD=A′B′，比较①②两式左边和右边，
∴ = . ∴ AE=A′C′.
∵∠A′=∠A，∴ △ADE≌△A′B′C′ (SAS).
B
C
A
B′
C′
A′
D
E
∴ ∠ADE=∠B′.
∴ ∠B=∠B′.
△A′B′C′∽△ABC (相似三角形的判定定理1).
B
C
A
B′
C′
A′
D
E
相似三角形的判定定理2
两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似.
于是，便得到
定理：两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似.
你能用符号语言表示这个定理吗？
A′
B ′
C ′
C
A
B
定理：两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似.
你能用符号语言表示这个定理吗？
在△ABC与△A′B′C′中，
∵ ，∠A=∠A′，
∴ △ABC∽△A′B′C′ .
夹角
A′
B ′
C ′
C
A
B
【例1】如图，AD=3，AE=4，BE=5，CD=9 ，△ADE与△ABC相似吗？说明理由
【例1】如图，AD=3，AE=4，BE=5，CD=9 ，△ADE与△ABC相似吗？说明理由
解：△ADE∽△ABC
∵ =,
∴
又∵∠EAD=∠CAB,
∴△ADE∽△ABC.
【跟踪练习1】如图所示，D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，
AE=1.5，AC=2，BC=3，且 = ，求DE的长.
B
C
A
D
E
【跟踪练习1】如图所示，D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，
AE=1.5，AC=2，BC=3，且 = ，求DE的长.
B
C
A
D
E
解： ∵ AE=1.5，AC=2，
∴ =.
∵ =,
又∵∠EAD=∠CAB
∴△ADE∽△ABC.
∴ = =.
∴ = .
∵BC=3，
∴DE= BC= .
【例2】在△ABC中，∠C=90°,D,E分别为AB,AC上的点，且 AD·AB= AE·AC,求证AB⊥ED
证明：∵AD·AB=AE·AC
∴∠ADE=∠C=90°
∴AB⊥ED
【跟踪练习2】已知：如图BE与CD相交于点O，AD·AB=AE·AC。
求证：△BOD∽△COE
A
B
C
D
E
O
证明：∵AD·AB=AE·AC
∴∠B=∠C
∵∠BOD=∠COE
∴△BOD∽△COE
1、如图，ABCD,CDEF,EFGH是三个相连的正方形，连接
AC,AF,AG.你能证明△ACF∽△GCA吗？试一试。
B
A
C
D
F
E
G
H
解：设各正方形的边长为a,
∴AB=BC=CF=a,BF=CG=2a,
由勾股定理，得
三、合作交流
目前，我们知道了哪些判定两个三角形相似的方法？
方法一：根据相似三角形的定义进行判定.
方法二：根据定理“两角分别相等的两个三角形相似”进行判定.
方法三：根据定理“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”进行判定.
方法总结
1.如图，AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上且AE⊥DE,若AB=1.5，BE=3 ，CE=3.5,求CD的长
达标检测
2.如图，AB=6，AC=4，AD=3，AE=2 ，DE=2.5,求BC的长
3.如图，在 △ABC 中，CD是AB边上的高，且 . 求证：∠ACB=90°．
A
B
C
D
CD2=AD·BD
证明：∵ CD是边AB上的高,
∴ ∠ADC= ∠CDB=90°.
∵ CD2=AD·BD
∴ = ,
∴ △ ADC∽△CDB.
∴ ∠ACD= ∠B.
∴ ∠ACB= ∠ACD+ ∠BCD= ∠B+ ∠BCD= 90°.
3.如图，在 △ABC 中，CD是AB边上的高，且 . 求证：∠ACB=90°．
A
B
C
D
CD2=AD·BD
4. △ABC为锐角三角形，BD、CE分别为AC、AB边上的高 .
求证：△ ADE∽ △ ABC.
证明：∵ BD⊥AC，CE⊥AB，
∴ ∠AEC=∠ADB= 90°
∴ ∠ABD+∠A=90°, ∠ACE+∠A= 90°.
∴ ∠ABD= ∠ACE.
又∵ ∠A= ∠A，
∴ △ ABD ∽△ ACE.
∴
∵ ∠A= ∠A，
∴ △ ADE ∽ △ ABC.