12.3 第1课时 二次根式的加减
知识点 1 同类二次根式的概念
1.(2020连云港海州区期末)下列根式中,与是同类二次根式的是 ( )
A. B. C. D.
2.(2021扬州邗江区月考)若二次根式与最简二次根式5是同类二次根式,则a= .
知识点 2 二次根式的加减运算
3.(2020常州金坛区二模)计算-的结果是 ( )
A. B.2 C.3 D.2
4.(2020泰州高港区期中)下列计算正确的是 ( )
A.+= B.-=
C.3-=3 D.3+2=5
5.计算:+= .
6.(2021南京鼓楼区一模)计算-的结果是 .
7.两个最简二次根式a与c相加得6,则a+b+c= .
8.计算:
(1)+3-5; (2)-+;
(3)-5+6; (4)+4-+.
9.要焊接一个如图示的钢架,大约需要多少钢材 (精确到0.1 m)
10.有下列算式:
①+=;
②5-3=2;
③=+=7;
④2+=5,
其中正确的是 ( )
A.②和④ B.①和③ C.③和④ D.①和④
11.已知等腰三角形中的两边长分别为2和5,则此等腰三角形的周长为 ( )
A.4+5 B.2+10 C.4+10 D.4+5或2+10
12.已知a+2+=10,则a的值为 .
13.如图果最简二次根式与是同类二次根式,求a的值.
14.计算:(1)(-2)-+;
(2)-+3--;
(3)(5-)-6-(x≥0).
15.已知矩形的长为a,宽为b,且a=,b=.
(1)求矩形的周长;
(2)当S矩形=S正方形时,求正方形的周长.
16.若最简二次根式3x-10和是同类二次根式.
(1)求x,y的值;
(2)求的值.
答案
12.3 第1课时 二次根式的加减
1.B =2,与不是同类二次根式;=3,与是同类二次根式;=,与不是同类二次根式;=3,与不是同类二次根式.故选B.
2.2 =2.
∵二次根式与最简二次根式5是同类二次根式,∴a+1=3,解得a=2.
3.B -=3-=2.故选B.
4.B +无法合并,故A选项错误;-=,故B选项正确;3-=2,故C选项错误;3+2无法合并,故D选项错误.故选B.
5.3 +=+2=3. 6. 原式=-=-=.
7.11 由题意,得a与c是同类二次根式.
∵a与c相加得6, ∴a+c=6,b=5,
则a+b+c=11.
8.解:(1)原式=(1+3-5)=-. (2)原式=4-3+2=3.
(3)原式=4-+=3. (4)原式=3+2-4+=5-.
9.解:∵BD⊥AC,
∴∠BDA=∠BDC=90°.
在Rt△ABD中,BD=2 m,AD=4 m,
根据勾股定理,得AB===2(m),
在Rt△BDC中,BD=2 m,CD=1 m,
根据勾股定理,得BC===(m),
则钢架所需的长度为AB+AC+BC+BD=2+5++2=3+7≈13.7(m).
10.A 与不是同类二次根式,不能合并,故①错误;
5-3=2,故②正确;
== ,故③错误;
2+=2+3=5,故④正确.故选A.
11.2 a+2+=10,
则a·+2×+3=10,
∴++3=10,
即5=10,
∴=2,解得a=2.
12.B 因为2+2=4<5,所以腰长只能为5, 故此等腰三角形的周长为2+10.
13.解:∵最简二次根式与是同类二次根式,∴3a-8=17-2a,解得a=5.
14. 在运算过程中不仅要把各二次根式化简,还要注意运用去括号法则时各项符号的变化.
解:(1)原式=3-2--5
=3-+(-2-5)
= -7.
(2)原式=2-+-+
=4-.
(3)当x≥0时,
原式=10-5-3+
=10-5-3+
=.
15.解:(1)a==3,b==2.
∴矩形的周长为2(a+b)=2(3+2)=10.
(2)设正方形的边长为x,则有x2=ab=3×2=18,
∴x==3,∴正方形的周长为4x=12.
16.解:(1)由题意,得
解得
(2)当x=4,y=3时,==5.第2课时 二次根式的混合运算
知识点 二次根式的混合运算
1.(2020泰州)下列等式成立的是 ( )
A.3+4=7 B.×= C.÷=2 D.=3
2.化简-×(+2)的结果为 ( )
A.-2 B.-2 C.2 D.4-2
3.计算-×的结果是 ( )
A.0 B. C.3 D.
4.计算(1-)2的结果是 ( )
A.3 B.3-2 C.3+2 D.1+2
5.如图数轴上的点可近似表示(3+)÷的值的是 ( )
A.点A B.点B C.点C D.点D
6.在算式-□-的“□”中填上运算符号,使结果最大,这个运算符号是 ( )
A.加号 B.减号 C.乘号 D.除号
7.若x-y=-1,xy=,则代数式(x-1)(y+1)的值为 ( )
A.2+2 B.2-2 C.2 D.2
8.(2021南京一模)计算×(-)的结果是 .
9.计算:÷(-1)= .
10.某矩形相邻的两条边长分别是2+和2-,则该矩形的面积是 .
11.计算:
(1)×(+);
(2)×+3-;
(3)(+2)(-3);
(4)(5+)(5-);
(5)(2-)2;
(6)(+)2(m≥0,n≥0).
12.按示的程序计算,若开始输入的n值为,则最后输出的结果是 ( )
A.14 B.16 C.8+5 D.14+
13.(2020盐城建湖县期中)如图果a=,b=-2,那么a与b的关系是 ( )
A.a+b=0 B.a=b C.a= D.a14.计算:(-2)2021×(+2)2022= .
15.已知x=2+,则代数式(7-4)x2+(2-)x-的值为 .
16.(2020南京玄武区期中)计算:
(1)×+÷-; (2)(3+2)2-(2-3)(2+3).
17.(2020南京玄武区期中)数学阅读:古希腊数学家海伦曾提出一个利用三角形的三边长求面积的公式:若一个三角形的三边长分别为a,b,c,则这个三角形的面积S=,其中p=(a+b+c),这个公式称为“海伦公式”.
数学应用:如图在△ABC中,已知AB=9,AC=8,BC=7.
(1)请运用海伦公式求△ABC的面积;
(2)设AC边上的高为h1,BC边上的高h2,求h1+h2的值.
方法指引:
在二次根式的化简与计算中,常常出现确定一个实数的整数部分与小数部分问题.解决此类问题的一般方法是先判断已知实数的取值范围,再确定其整数部分,最后确定其小数部分.
例:已知3+的整数部分是a,小数部分是b,求a2-b2的值.
变式1:已知的整数部分是m,小数部分是n,则的值为 .
变式2:已知5-的整数部分是a,小数部分是b,求a2+(3+)b的值.
答案
第2课时 二次根式的混合运算
1.D A项不是同类二次根式,不能合并;B项的正确结果应该是;C项不正确,原式=×=3;D项正确,运用的是二次根式的性质.
2.A
3.B 原式=2-=2-=.
故选B.
4.B 原式=12-2×1×+()2=1-2+2=3-2.
5.C 原式=3+=3+,而2<<3,
∴5<3+<6,
∴点C表示的数可近似表示3+.故选C.
6.D -+-=-;---=0;-×-=;-÷-=1.故选D.
7.B (x-1)(y+1)=xy+x-y-1=+-1-1=2-2.故选B.
8.3 原式=-3=6-3=3.
9.4+2 原式==4+2.
10.10 该矩形的面积=(2+)×(2-)=(2)2-()2=12-2=10.
11.解:(1)×(+)=+=3+2.
(2)原式=2×(5+-4)
=2×2
=12.
(3)(+2)(-3)=6-3+2-6=-.
(4)(5+)(5-)=52-()2=25-7=18.
(5)(2-)2=12-4+2=14-4.
(6)当m≥0,n≥0时,原式=()2+2·+()2=m+2+n.
12.C 当n=时,n(n+1)=2+<15,当n=2+时,n(n+1)=8+5>15.
故选C.
13.A ∵a===-(-2),而b=-2,
∴a=-b,即a+b=0.故选A.
14.-2- 原式=[(-2)(+2)]2021×(+2)=-2-.
15.2- ∵x=2+,
∴(7-4)x2+(2-)x-
=(7-4)(2+)2+(2-)(2+)-
=(7-4)(7+4)+4-3-
=49-48+4-3-
=2-.
16.解:(1)原式=5+÷-
=5+-
=5+.
(2)原式=9+12+12-(12-18)
=9+12+12+6
=27+12.
17.解:(1)设AB=c=9,AC=b=8,BC=a=7,
则p=(a+b+c)=12,
∴S===12.
(2)∵S△ABC=AC·h1=BC·h2=12,
∴h1==3,h2=,
∴h1+h2=3+=.
“串”题训练
例:解:∵2<<3,
∴5<3+<6,
∴3+的整数部分是5,小数部分是3+-5=-2,即a=5,b=-2,
∴a2-b2=52-(-2)2=25-(9-4)=16+4.
变式1:-1 ∵1<<2,
∴m=1,n=-1,
∴===-1.
变式2:解:∵2<<3,
∴-3<-<-2,
∴2<5-<3,
∴5-的整数部分是2,小数部分是3-,
∴a2+(3+)b=22+(3+)(3-)=4+2=6.
