第2课时 矩形的判定
知识点 1 矩形的判定
1.下列说法中,正确的是 ( )
A.有一个角是直角的四边形是矩形
B.两条对角线相等的四边形是矩形
C.两条对角线互相垂直的四边形是矩形
D.有三个角是直角的四边形是矩形
2.四边形ABCD的对角线互相平分,要使它变为矩形,需要添加的条件是 ( )
A.AB=CD B.AC=BD C.AB=BC D.AD=BC
3.已知在Rt△ABC中,∠ABC=90°,小明按如图下步骤作图:①以点A为圆心,BC长为半径作弧,以点C为圆心,AB长为半径作弧,两弧相交于点D;②连接DA,DC,则四边形ABCD为 .
4.工人师傅在做门窗或矩形零件时,不仅要测量两组对边的长度是否相等,常常还要测量它们的两条对角线是否相等,以确保图形是矩形.这样做依据的道理是
. 5.(2020聊城)如图,在 ABCD中,E为BC的中点,连接AE并延长交DC的延长线于点F,连接BF,AC.若AD=AF,求证:四边形ABFC是矩形.
6.(2020镇江模拟)如图,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的中线,AN为△ABC的外角∠CAM的平分线,CE∥AD交AN于点E.求证:四边形ADCE是矩形.
知识点 2 两条平行线之间的距离
7.平行线之间的距离是指两条平行线中 ( )
A.从一条直线上一点到另一条直线的垂线段
B.从一条直线上一点到另一条直线的垂线段的长度
C.从一条直线上一点到另一条直线的垂线的长度
D.从一条直线上一点到另一条直线上的一点间线段的长度
8.如图,直线l1∥l2,△ABC的面积为10,则△DBC的面积 ( )
A.大于10 B.小于10 C.等于10 D.不确定
9.(2020南京期中)下列条件中,不能判定 ABCD为矩形的是 ( )
A.∠A=∠C B.∠A=∠B C.AC=BD D.AB⊥BC
10.在四边形ABCD中,有以下四个条件:①AB∥CD;②AD=BC;③AC=BD;④∠ADC=∠ABC.从中选取三个条件,可以判定四边形ABCD为矩形.则可以选择的条件序号是 .
11.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,D是AB上一动点,过点D作DE⊥AC于点E,DF⊥BC于点F,连接EF,则线段EF长的最小值是 .
12.(2020连云港灌南县一模)如图,在 ABCD中,DE平分∠ADB交AB于点E,BF平分∠CBD交CD于点F.
(1)求证:△ADE≌△CBF;
(2)当AD与BD满足什么数量关系时,四边形DEBF是矩形 请说明理由.
13.如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,已知O是AC的中点,
AE=CF,DF∥BE.
(1)求证:△BOE≌△DOF;
(2)若OD=AC,则四边形ABCD是什么特殊四边形 请证明你的结论.
14.如图,在矩形ABCD中,AB=3 cm,BC=4 cm,E,F是对角线AC上的两个动点,分别从点A,C同时出发相向而行,速度均为1 cm/s,运动时间为t s,且0≤t≤5.
(1)AE= cm,EF= cm;
(2)若G,H分别是AB,DC的中点,求证:四边形EGFH是平行四边形(点E,F相遇时除外);
(3)在(2)的条件下,t= 时,四边形EGFH是矩形.
答案
第2课时 矩形的判定
1.D
2.B ∵四边形ABCD的对角线互相平分,
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵AC=BD,∴四边形ABCD是矩形.
3.矩形 ∵AD=BC,AB=DC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵∠ABC=90°,
∴平行四边形ABCD是矩形.
4.两组对边分别相等的四边形是平行四边形,对角线相等的平行四边形是矩形
5.证明:在 ABCD中,AB∥DF,
∴∠ABE=∠FCE.
∵E为BC的中点,∴BE=CE.
又∵∠AEB=∠FEC,
∴△ABE≌△FCE(ASA),
∴AE=FE.
又∵BE=CE,
∴四边形ABFC是平行四边形.
在 ABCD中,AD=BC.
又∵AD=AF,∴BC=AF,
∴ ABFC是矩形.
6.证明:∵在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD,
∴∠ADC=90°.
∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线,
∴∠MAN=∠CAN.
∵∠BAD+∠CAD+∠MAN+∠CAN=180°,
∴∠DAE=∠CAD+∠CAN=90°.
∵CE∥AD,∴∠AEC+∠DAE=180°,
∴∠AEC=90°,∴四边形ADCE为矩形.
7.B
8.C ∵l1∥l2,∴l1,l2之间的距离是固定的,∴△ABC和△DBC的BC边上的高相等,∴△ABC和△DBC的面积相等,∴△DBC的面积等于10.故选C.
9.A 在 ABCD中,若∠A=∠C,则四边形ABCD仍是平行四边形,∴选项A不能判定 ABCD为矩形.
在 ABCD中,AD∥BC,
∴∠A+∠B=180°.
∵∠A=∠B,∴∠A=∠B=90°,则 ABCD是矩形,∴选项B能判定 ABCD为矩形.
在 ABCD中,若AC=BD,则 ABCD是矩形,∴选项C能判定 ABCD为矩形.
在 ABCD中,若AB⊥BC,则∠ABC=90°,
∴ ABCD是矩形,选项D能判定 ABCD为矩形.
故选A.
10.①③④ 当具备①③④这三个条件,能得到四边形ABCD是矩形.理由如图下:
如图图,∵AB∥CD,
∴∠BAC=∠DCA.
∵∠ABC=∠ADC,AC=CA,
∴△ABC≌△CDA,
∴∠ACB=∠DAC,
∴AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵AC=BD,
∴平行四边形ABCD是矩形.
故答案为①③④.
11.4.8 如图图,连接CD.
∵∠ACB=90°,AC=6,BC=8,
∴AB===10.
∵DE⊥AC,DF⊥BC,∠ACB=90°,
∴四边形CFDE是矩形,
∴EF=CD.
由垂线段最短可得当CD⊥AB时,线段CD长的值最小,即线段EF长的值最小,
此时,S△ABC=BC·AC=AB·CD,
即×8×6=×10×CD,
解得CD=4.8,∴EF=4.8.
12.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,∠A=∠C,
∴∠ADB=∠CBD.
∵DE平分∠ADB,BF平分∠CBD,
∴∠ADE=∠CBF.
在△ADE和△CBF中,
∴△ADE≌△CBF.
(2)当AD=BD时,四边形DEBF是矩形.
理由:∵△ADE≌△CBF,
∴DE=BF,AE=CF.
又∵在 ABCD中,AB=CD,
∴BE=DF,
∴四边形DEBF是平行四边形.
∵AD=BD,DE平分∠ADB,
∴DE⊥AB,
∴平行四边形DEBF是矩形.
13.解:(1)证明:∵DF∥BE,
∴∠FDO=∠EBO,∠DFO=∠BEO.
∵O是AC的中点,∴OA=OC.
又∵AE=CF,
∴OA-AE=OC-CF,即OE=OF.
在△BOE和△DOF中,
∴△BOE≌△DOF(AAS).
(2)若OD=AC,则四边形ABCD是矩形.
证明:∵△BOE≌△DOF,∴OB=OD.
由(1)知OA=OC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵OD=AC,OA=OC,
∴OA=OB=OC=OD,即BD=AC,
∴四边形ABCD是矩形.
14.(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=90°,
∴AC===5 cm.
由题意得AE=CF=t cm,
∴在点E,F相遇前:EF=AC-AE-CF=(5-2t)cm;
在点E,F相遇后:EF=AE+CF-AC=(2t-5)cm.
故答案为t,|5-2t|.
(3)如图图所示,连接GH,由(2)可知四边形EGFH是平行四边形.
∵G,H分别是矩形ABCD的边AB,DC的中点,
∴GH=BC=4,
∴当EF=GH=4时,四边形EGFH是矩形.分两种情况:
①AE=CF=t,EF=5-2t=4,
解得t=0.5.
②AE=CF=t,EF=2t-5=4,解得t=4.5.
即当t为0.5或4.5时,四边形EGFH是矩形.
解:(1)t |5-2t|
(2)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD,AB∥CD,AD∥BC,∠B=90°,
∴AC===5,∠GAF=∠HCE.
∵G,H分别是AB,DC的中点,
∴AG=BG,CH=DH,
∴AG=CH.
∵AE=CF,
∴AF=CE.
在△AFG和△CEH中,
∴△AFG≌△CEH(SAS),
∴GF=HE.同理可得GE=HF,
∴四边形EGFH是平行四边形.
(3)0.5或4.59.4 第1课时 矩形及其性质
知识点 1 矩形的定义
1.在 ABCD中,当∠A= 度时,四边形ABCD是矩形.
2.木工做一个矩形桌面,量得桌面两组对边的长分别为150 cm,80 cm,一条对角线的长为170 cm,则这个桌面 .(填“合格”或“不合格”)
知识点 2 矩形的性质
3.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是 ( )
A.对边相等 B.对角相等
C.对角线相等 D.对角线互相平分
4.如图四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形.若∠BAG=20°,则∠DAE的度数为
( )
A.10° B.20° C.30° D.45°
5.如图在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AE⊥BD,垂足为E,AE=8,BD=20,则OE的长为 ( )
A.4 B.4 C.6 D.8
6.如图在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AE平分∠BAD交BC于点E,∠CAE=15°,则∠AOE的度数为 ( )
A.120° B.135° C.145° D.150°
7.矩形的一条对角线的长为10 cm,一边长为6 cm,它的面积是 cm2.
8.如图O是矩形ABCD的对角线AC的中点,M是AD的中点,OM=3.若AB=6,AD=8,则四边形ABOM的周长为 .
9.如图在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过顶点C作BD的平行线,交AD的延长线于点E,△ACE是什么特殊形状的三角形 请说明你的理由.
10.如图在矩形ABCD中,BF=CE,求证:AE=DF.
11.如图在矩形ABCD中,AD=10,AB=6,E为BC上一点,ED平分∠AEC,则CE的长为
( )
A.1 B.2 C.3 D.4
12.如图在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,过对角线交点O作EF⊥AC,交AD于点E,交BC于点F,则DE的长是 ( )
A.1 B. C.2 D.
13.(2020泰州海陵区期末)如图在Rt△ABC中,AC=6,BC=8,∠C=90°,在边AB,BC,AC上分别取点D,E,F使四边形DECF为矩形,则对角线EF的长能取到的所有整数值是 .
14.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且DE∥AC,CE∥BD,OE交CD于点F.求证:AD=2EF.
15.(2021徐州期中)如图,将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α(0°<α<90°)得矩形AEFG.当点E落在BD上时,连接DF.
求证:DF=CD.
方法指引:
矩形的两条对角线相交所成的四个角中有一个角为60°,根据矩形的性质可得:由两条对角线所夹锐角为60°的三角形为等边三角形,利用等边三角形的性质和勾股定理可以解决此类问题.
例:矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AB=4 cm,∠AOB=60°,则这个矩形的对角线长是
( )
A.2 cm B.4 cm C.6 cm D.8 cm
变式1:如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠ABO=60°,若矩形的对角线长为2,则线段AD的长是 ( )
A.1 B. C.2 D.4
变式2:如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AE⊥BD,垂足为E,∠AOB=60°,AC=12,则BE的长为 .
答案
9.4 第1课时 矩形及其性质
1.90 2.合格
3.C 矩形的对角线相等,而平行四边形的对角线不一定相等.
4.B ∵四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形,∴∠EAG=∠DAB=90°,
∴∠EAG-∠DAG=∠DAB-∠DAG,
∴∠DAE=∠BAG=20°.
5.C ∵四边形ABCD是矩形,
∴AO=CO=AC=BD=10,
∴OE===6.
故选C.
6.B ∵AE平分∠BAD,
∴∠BAE=∠DAE=45°,
∴∠AEB=45°,
∴△ABE是等腰直角三角形,
∴AB=BE.
∵∠CAE=15°,
∴∠ACE=∠AEB-∠CAE=45°-15°=30°,
∴∠BAO=90°-30°=60°.
∵在矩形ABCD中,OA=OB,
∴△ABO是等边三角形,
∴OB=AB,∠ABO=∠AOB=60°,
∴OB=BE.
∵∠OBE=∠ABC-∠ABO=90°-60°=30°,
∴∠BOE=×(180°-30°)=75°,
∴∠AOE=∠AOB+∠BOE=60°+75°=135°.
故选B.
7.48 ∵矩形的一条对角线的长为10 cm,一边长为6 cm,∴与其相邻的另一边长为=8(cm),∴它的面积为8×6=48(cm2).
8.18 ∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC=8,AB=CD=6,∠ABC=90°,
∴AC===10.
∵O是AC的中点,
∴OB=AC=5.
∵M是AD的中点,∴AM=MD=4.
又∵OM=3,
∴四边形ABOM的周长为AB+OB+OM+AM=6+5+3+4=18.
故答案为18.
9.解:△ACE是等腰三角形.
理由:∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC.
又∵CE∥BD,
∴四边形BCED是平行四边形,∴CE=BD.
又∵在矩形ABCD中,AC=BD,
∴AC=CE,
∴△ACE是等腰三角形.
10.证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=DC,∠B=∠C=90°.
∵BF=CE,
∴BF+FE=FE+CE,即BE=CF.
在△ABE和△DCF中,
∴△ABE≌△DCF,
∴AE=DF.
11.B ∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,BC=AD∴∠DEC=∠ADE.∵ED平分∠AEC,∴∠DEC=∠AED,∴∠ADE=∠AED,
∴AE=AD=10.在Rt△ABE中,BE===8,∴CE=BC-BE=AD-BE=10-8=2.
12.B 连接CE,如图图所示.∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ADC=90°,CD=AB=6,AD=BC=8,OA=OC.∵EF⊥AC,∴AE=CE.设DE=x(x>0),
则CE=AE=8-x.在Rt△CDE中,由勾股定理得x2+62=(8-x)2,解得x=,即DE=.故选C.
13.5,6,7 连接CD.
∵AC=6,BC=8,∠C=90°,
∴AB===10.
∵四边形DECF为矩形,
∴CD=EF.
当CD⊥AB时,CD有最小值,
此时S△ABC=AC·BC=AB·CD,
∴CD==4.8,
∴4.8≤CD<8,∴4.8≤EF<8,
∴EF的长能取到的所有整数值为5或6或7.
故答案为5,6,7.
14.证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AC与BD相等且互相平分,
∴OA=OC=OD.
∵DE∥AC,CE∥BD,
∴四边形OCED是平行四边形,
∴DE=OC,OF=EF,
∴DE=OA.
又∵DE∥AC,
∴四边形AOED是平行四边形,
∴AD=OE,
∴AD=2EF.
15.证明:如图图,∵四边形ABCD为矩形,
∴AD=BC,AB=CD,∠BAD=∠ABC=90°.
∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转α(0°<α<90°)得矩形AEFG,
∴AB=AE,BC=EF,∠AEF=∠ABC=90°,
∴EF=AD,CD=AE,∠BAD=∠AEF=90°.
∵AB=AE,∴∠1=∠2.
∵∠1+∠4=90°,∠2+∠3=90°,
∴∠3=∠4.
在△AED和△FDE中,
∴△AED≌△FDE,
∴AE=DF,∴DF=CD.
“串”题训练
例:D 如图图所示.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AO=CO,BO=DO,AC=BD,∴AO=BO.
又∵∠AOB=60°,
∴△AOB是等边三角形,
∴AO=AB=4 cm,
∴AC=2AO=8 cm.
故选D.
变式1:B ∵四边形ABCD是矩形,
∴AO=AC,BO=BD,AC=BD=2,
∴AO=BO=1.
又∵∠ABO=60°,
∴△AOB是等边三角形,
∴AB=AO=1,
∴在Rt△ABD中,AD===.故选B.
变式2:3 ∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD=12,AO=AC,BO=BD,
∴OA=OB=6.
又∵∠AOB=60°,
∴△ABO是等边三角形.
∵AE⊥BD,
∴BE=OB=3.第4课时 菱形的判定
知识点 菱形的判定
1.(教材练习T2变式)用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形,作图痕迹如图所示,则得到的四边形ABCD是菱形,这样作图的依据是 ( )
A.一组邻边相等的四边形是菱形
B.四边相等的四边形是菱形
C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D.每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
2.(2020南通)下列条件中,能判定 ABCD是菱形的是 ( )
A.AC=BD B.AB⊥BC C.AD=BD D.AC⊥BD
3.如图,在 ABCD中,AB=3,BC=4,平移边CD到EF,当BF= 时,四边形ABFE为菱形.
4.如图,AC=8,分别以A,C为圆心,5为半径作弧,两条弧分别相交于点B和D.连接AB,BC,CD,DA,连接BD交AC于点O.
(1)判断四边形ABCD的形状,并说明理由;
(2)求BD的长.
5.(2020江阴一模)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD为AB边上的中线,过点C作CE∥AB,过点B作BE∥CD,CE,BE相交于点E.求证:四边形BECD为菱形.
6.如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O作MN⊥BD,分别交AD,BC于点M,N.
(1)求证:OM=ON;
(2)求证:四边形BNDM是菱形.
7.在四边形ABCD中,对角线AC和BD交于点O,下列条件能判定这个四边形是菱形的是
( )
A.AD∥BC,∠A=∠C B.AC=BD,AB∥CD,AB=CD
C.AB∥CD,AC=BD,AC⊥BD D.AO=CO,BO=DO,AB=BC
8.某班同学在“为抗疫英雄祈福”的主题班会课上制作象征“平安归来”的黄丝带,如图所示,丝带重叠部分形成的图形是 ( )
A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.等腰梯形
9.如图,在 ABCD中,F是对角线AC上的一点,过点D作DE∥AC,且DE=CF,连接AE,BF,EF.
(1)求证:△ADE≌△BCF;
(2)若∠BAF+∠AED=180°,求证:四边形ABFE为菱形.
10.(2020淮安淮阴区二模)如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD的中点,过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F,连接CF.
(1)求证:△AEF≌△DEB;
(2)若∠BAC=90°,求证:四边形ADCF是菱形.
11.如图,将一张矩形纸片ABCD进行折叠,具体操作如图下:
第一步:先对折,使AD与BC重合,得到折痕MN,展开;
第二步:再折叠一次,使点A落在MN上的点A'处,并使折痕经过点B,得到折痕BE,同时得到线段BA',EA',展开,如图图①;
第三步:再沿EA'所在的直线折叠,点B落在AD上的点B'处,得到折痕EF,同时得到线段B'F,展开,如图图②.
求证:(1)∠ABE=30°;
(2)四边形BFB'E是菱形.
答案
第4课时 菱形的判定
1.B 由作图痕迹可知,AD=BC=CD=AB,根据“四边相等的四边形是菱形”可得四边形ABCD是菱形.
2.D 根据菱形的定义和判定定理判断.定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形;判定定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.只有D选项能够判定四边形ABCD是菱形.故选D.
3.3
4.解:(1)四边形ABCD为菱形.
理由:由作法,得AB=AD=CB=CD=5,
∴四边形ABCD为菱形.
(2)∵四边形ABCD为菱形,
∴OA=OC=4,OB=OD,AC⊥BD.
在Rt△AOB中,OB===3,
∴BD=2OB=6.
5.证明:∵CE∥AB,BE∥CD,
∴四边形BECD是平行四边形.
∵∠ACB=90°,CD为AB边上的中线,
∴CD=AB,BD=AB,∴BD=CD,
∴平行四边形BECD是菱形.
6.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,OD=OB,
∴∠ADO=∠CBO.
∵MN⊥BD,∴∠MOD=∠NOB=90°.
在△MOD和△NOB中,
∴△MOD≌△NOB,
∴OM=ON.
(2)∵OM=ON,OD=OB,
∴四边形BNDM是平行四边形.
∵MN⊥BD,
∴ BNDM是菱形.
7.D 如图图.
∵AD∥BC,
∴∠BAD+∠ABC=180°.
∵∠BAD=∠BCD,
∴∠BCD+∠ABC=180°,
∴AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
即选项A不能判定这个四边形ABCD是菱形.
∵AB∥CD,AB=CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵AC=BD,
∴四边形ABCD是矩形,
即选项B不能判定这个四边形ABCD是菱形.
选项C不能判定这个四边形ABCD是菱形.
∵AO=CO,BO=DO,
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵AB=BC,
∴四边形ABCD是菱形.
故选D.
8.B
9.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC,
∴∠DAC=∠FCB.
∵DE∥AC,∴∠DAC=∠EDA,
∴∠EDA=∠FCB.
在△ADE与△BCF中,
∴△ADE≌△BCF.
(2)∵DE∥AC,且DE=CF,
∴四边形EFCD是平行四边形,
∴DC=EF,且DC∥EF.
又∵在 ABCD中,AB=CD,AB∥CD,
∴AB=EF,AB∥EF,
∴四边形ABFE是平行四边形.
∵△ADE≌△BCF,
∴∠AED=∠BFC.
∵∠BAF+∠AED=180°,
∴∠BAF+∠BFC=180°.
又∵∠BFA+∠BFC=180°,
∴∠BAF=∠BFA,∴BA=BF,
∴四边形ABFE为菱形.
10.证明:(1)∵E是AD的中点,
∴AE=DE.
∵AF∥BC,
∴∠AFE=∠DBE.
又∵∠AEF=∠DEB,
∴△AEF≌△DEB.
(2)∵△AEF≌△DEB,
∴AF=DB.
∵AD是BC边上的中线,
∴DC=DB,∴AF=DC.
又∵AF∥DC,
∴四边形ADCF是平行四边形.
∵∠BAC=90°,AD是BC边上的中线,
∴AD=DC,∴ ADCF是菱形.
11.证明:(1)∵第二步折叠使点A落在MN上的点A'处,并使折痕经过点B,得到折痕BE,
∴∠AEB=∠A'EB.
∵第三步折叠使点B落在AD上的点B'处,得到折痕EF,同时得到线段B'F,
∴∠A'EB=∠FEB'.
∵∠AEB+∠A'EB+∠FEB'=180°,
∴∠AEB=∠A'EB=∠FEB'=60°,
∴∠ABE=30°.
(2)∵沿EA'所在的直线折叠,点B落在AD上的点B'处,∴BE=B'E,BF=B'F.
∵AD∥BC,∴∠BFE=∠FEB'=60°,
∴△BEF是等边三角形,∴BE=BF,
∴BE=B'E=B'F=BF,
∴四边形BFB'E是菱形.第3课时 菱形及其性质
知识点 菱形的定义与性质
1.菱形不具备的性质是 ( )
A.四条边都相等 B.对角线一定相等
C.是轴对称图形 D.是中心对称图形
2.如图,在菱形ABCD中,∠D=150°,则∠1的度数为 ( )
A.30° B.25° C.20° D.15°
3.(2020昆山期中)在菱形ABCD中,AC=12,BD=16,则该菱形的面积是 ( )
A.10 B.40 C.96 D.192
4.菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示,点C的坐标是(8,0),点A的纵坐标是2,则点B的坐标是 ( )
A.(4,2) B.(4,-2) C.(2,-6) D.(2,6)
5.菱形ABCD的周长为52 cm,它的一条对角线长10 cm,则另一条对角线的长是 cm.
6.如图,菱形ABCD的边AB的垂直平分线交AB于点E,交AC于点F,连接DF.当∠BAD=100°时,∠CDF= °.
7.(2021南京江宁区月考)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,H为BC的中点,AC=6,BD=8,则线段OH的长为 .
8.(2020福建)如图,点E,F分别在菱形ABCD的边BC,CD上,且BE=DF.
求证:∠BAE=∠DAF.
9.如图,已知菱形ABCD的对角线相交于点O,延长AB至点E,使BE=AB,连接CE,若∠E=58°,求∠BAO的度数.
10.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AC=4,BD=16,将△ABO沿点A到点C的方向平移,得到△A'B'O'.当点A'与点C重合时,点A与点B'之间的距离为 ( )
A.6 B.8 C.10 D.12
11.如图,菱形ABCD的边长为4,过点A,C作对角线AC的垂线,分别交CB和AD的延长线于点E,F.若AE=3,则四边形AECF的周长为 ( )
A.22 B.18 C.14 D.11
12.(2020泰州姜堰区期中)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点D作DE∥AC,且DE∶AC=1∶2,连接CE,OE,连接AE交OD于点F.
(1)求证:OE=CD;
(2)若菱形ABCD的边长为2,∠ABC=60°,求AE的长.
13.如图,在菱形ABCD中,P是AB上的一个动点(不与点A,B重合),连接DP交对角线AC于点E,连接EB.
(1)求证:∠APD=∠EBC;
(2)若∠DAB=60°,则点P运动到什么位置时,△ADP的面积等于菱形ABCD面积的 为什么
解题方法:
有一个内角是60°的菱形,它的一条较短对角线与60°角的两边构成一个等边三角形,利用等边三角形的性质和勾股定理是解答此类问题的常用方法.
例:如图,在菱形ABCD中,∠DAB=60°,两条对角线AC,BD相交于点O,若DB=2,求AC的长.
变式1:如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,若∠ABC=60°,OA=1,则菱形的周长等于 .
变式2:如图,已知菱形的边长为2 cm,∠ABC=60°,那么该菱形的面积为 .
答案
第3课时 菱形及其性质
1.B
2.D ∵四边形ABCD是菱形,∴AB∥CD,∠BAD=2∠1,∴∠BAD+∠D=180°.∵∠D=150°,∴∠BAD=180°-150°=30°,∴∠1=15°.故选D.
3.C ∵四边形ABCD是菱形,AC=12,BD=16,∴菱形ABCD的面积=AC·BD=×12×16=96.
故选C.
4.B 连接AB,交OC于点D,则AB⊥OC,OD=CD,AD=BD.∵点C的坐标是(8,0),点A的纵坐标是2,∴OC=8,BD=AD=2,∴OD=4,结合图形可得点B的坐标为(4,-2).
5.24 如图图.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=DA,AC⊥BD,OA=AC=5,OB=BD.
∵菱形ABCD的周长为52 cm,
∴AB=13 cm.
在Rt△AOB中,根据勾股定理,得OB===12(cm),
∴BD=2OB=24 cm.
故答案为24.
6.30 连接BF.
∵四边形ABCD是菱形,
∴CD=CB,∠DCF=∠BCF.
在△BCF和△DCF中,
∴△BCF≌△DCF(SAS),
∴∠CBF=∠CDF.
∵FE垂直平分AB,∠BAF=×100°=50°,
∴∠ABF=∠BAF=50°.
∵∠ABC=180°-100°=80°,
∴∠CBF=80°-50°=30°,
∴∠CDF=30°.
7.2.5 ∵四边形ABCD为菱形,
∴AC⊥BD,OB=OD=BD=4,OC=OA=AC=3.
在Rt△BOC中,BC===5.
∵H为BC的中点,
∴OH=BC=2.5.
8.证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴∠B=∠D,AB=AD.
在△ABE和△ADF中,
∴△ABE≌△ADF,∴∠BAE=∠DAF.
9.解:∵四边形ABCD为菱形,∴AB=BC.
∵BE=AB,∴BC=BE,∴∠BCE=∠E=58°,∴∠CBE=180°-58°×2=64°.
∵AB=BC,
∴∠BAO=∠BCA=∠CBE=×64°=32°.
10.C ∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,OA=OC=AC=2,OB=OD=BD=8.
∵△ABO沿点A到点C的方向平移,得到△A'B'O',点A'与点C重合,∴O'C=OA=2,O'B'=OB=8,∠CO'B'=90°,∴AO'=AC+O'C=6,∴AB'==10.
11.A 利用直角三角形和菱形的性质,可证∠E=∠BAE,∴AB=BE,∴BE=BC=4.同理可得AD=DF=4.又∵∠EAC=90°,∠FCA=90°,∴AE∥CF.∵AD∥BC,∴四边形AECF是平行四边形,∴CF=AE=3,∴ AECF的周长为2×(8+3)=22.
12.解:(1)证明:在菱形ABCD中,AC⊥BD,OC=AC.
∵DE∶AC=1∶2,∴DE=OC.
又∵DE∥AC,
∴四边形OCED是平行四边形.
∵AC⊥BD,∴∠DOC=90°,
∴平行四边形OCED是矩形.
∴OE=CD.
(2)在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AD=BC,
∴△ABC是等边三角形,
∴AD=AC=AB=2,
∴OA=AC=1.
∴在矩形OCED中,CE=OD===.
在Rt△ACE中,AE===.
13.解:(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴BC=DC,CA平分∠BCD,
即∠BCE=∠DCE.
又∵CE=CE,∴△BCE≌△DCE,
∴∠EBC=∠EDC.
∵AB∥DC,∴∠APD=∠EDC,
∴∠APD=∠EBC.
(2)当点P运动到AB边的中点时,△ADP的面积等于菱形ABCD面积的.
理由:如图图,连接DB.
∵在菱形ABCD中,∠DAB=60°,AD=AB,
∴△ABD是等边三角形.
又∵P是AB边的中点,∴DP⊥AB,
∴S△ADP=AP·DP,S菱形ABCD=AB·DP.
∵AP=AB,
∴S△ADP=×AB·DP=S菱形ABCD,
即△ADP的面积等于菱形ABCD面积的.
“串”题训练
例:解:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,OB=OD=DB=1.
∵∠DAB=60°,
∴△ABD是等边三角形,
∴AB=DB=2,
∴OA===.
∴AC=2OA=2.
变式1:8 ∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC,OA=OC=1,∴AC=2OA=2.
∵∠ABC=60°,∴△ABC是等边三角形,
∴BC=AC=2,∴菱形的周长等于8.
变式2:2 cm2 过点A作AM⊥BC于点M.
∵菱形ABCD的边长为2 cm,
∴AB=BC=2 cm.
∵∠ABC=60°,∴∠BAM=30°.
在Rt△ABM中,∠BAM=30°,AB=2 cm,
∴BM=1 cm,∴AM==(cm),
∴S菱形=BC·AM=2×=2(cm2).第5课时 正方形的性质与判定
知识点 1 正方形的性质
1.如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,则图中的等腰直角三角形有
( )
A.4个 B.6个 C.8个 D.10个
2.(2020泰州海陵区期末)矩形、菱形、正方形都具有的性质是 ( )
A.对角线相等 B.对角线互相垂直
C.对角线平分对角 D.对角线互相平分
3.(2020宜兴期中)如图,正方形ABCD的边长为4,则图中阴影部分的面积为 ( )
A.2 B.4 C.8 D.无法确定
4.(2020镇江)如图,P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点,∠1=∠2,则∠BPC的度数为 .
5.如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,OA=3,则此正方形的面积为 .
6.(2021仪征月考)如图,在正方形ABCD中,F为对角线AC上一点,连接BF,DF.求证:BF=DF.
知识点 2 正方形的判定
7.(教材练习T3变式)要使菱形ABCD成为正方形,需要添加的条件是 ( )
A.AB=CD B.AD=BC C.AB=BC D.AC=BD
8.下列说法不正确的是 ( )
A.对角线互相垂直的矩形是正方形
B.对角线相等的菱形是正方形
C.有一个角是直角的平行四边形是正方形
D.一组邻边相等的矩形是正方形
9.在 ABCD中,AC,BD为对角线,如图果AB=BC,AC=BD,那么 ABCD一定是 .
10.(2021徐州铜山区月考)如图,在矩形ABCD中,BE平分∠ABC,CE平分∠DCB,BF∥CE,CF∥BE.
求证:四边形BECF是正方形.
11.(2020常熟期末)如图,以正方形ABCD的对角线AC为一边作菱形AEFC,点F在DC的延长线上,连接AF交BC于点G,则∠FGC的度数为 ( )
A.75° B.67.5° C.60° D.45°
12.如图所示,直线l过正方形ABCD的顶点B,点A,C到直线l的距离分别为1和3,则正方形ABCD的边长是 ( )
A.2 B.3 C. D.4
13.如图,正方形ABCD的边长为8,点M在DC上,且DM=2,N是AC上的一个动点,则DN+MN的最小值为 .
14.如图,已知在Rt△ABC中,∠ABC=90°,先把△ABC绕点B按顺时针方向旋转90°后得到△DBE,再把△ABC沿射线AB平移得到△FEG,DE,FG相交于点H.
(1)判断线段DE,FG的位置关系,并说明理由;
(2)连接CG,求证:四边形CBEG是正方形.
15.如图,正方形ABCD的顶点A在直线MN上,O是其对角线AC,BD的交点,过点O作OE⊥MN于点E,过点B作BF⊥MN于点F.
如图图①,当O,B两点均在直线MN的上方时,易证:AF+BF=2OE(不需证明).
当正方形ABCD绕点A按顺时针方向旋转至图②、图③的位置时,线段AF,BF,OE之间又有怎样的数量关系 请直接写出你的猜想,并选择一种情况给予证明.
答案
第5课时 正方形的性质与判定
1.C 由题意可知△ABC,△BCD,△ADC,△ABD,△AOB,△BOC,△COD,△AOD都是等腰直角三角形.
2.D ∵矩形、菱形、正方形都是平行四边形,∴它们都具有的性质是对角线互相平分.
故选D.
3.C S阴影==×4×4=8.故选C.
4.135° ∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ACB=45°,∴∠1+∠BCP=45°.
∵∠1=∠2,∴∠2+∠BCP=45°,
∴∠BPC=180°-∠2-∠BCP=135°.
5.18 ∵OA=3,∴AC=6,∴这个正方形的面积是×6×6=18.
6.证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴BC=CD,∠BCF=∠DCF=45°.
在△CBF和△CDF中,
∴△CBF≌△CDF,
∴BF=DF.
7.D 8.C
9.正方形 ∵四边形ABCD是平行四边形,AB=BC,∴ ABCD是菱形.
又∵AC=BD,∴菱形ABCD是正方形.
10.证明:∵BF∥CE,CF∥BE,
∴四边形BECF是平行四边形.
又∵在矩形ABCD中,BE平分∠ABC,CE平分∠DCB,
∴∠EBC=∠ECB=45°,
∴∠BEC=90°,BE=CE,
∴四边形BECF是正方形.
11.B ∵四边形ABCD是正方形,
∴∠CAB=∠ACB=45°,∠ABC=90°.
∵四边形AEFC是菱形,
∴∠CAF=∠EAF=∠CAB=22.5°,
∴∠FGC=∠ACB+∠CAF=67.5°.
故选B.
12.C 由正方形的性质可得△BEA≌△CFB,∴BE=CF=3,
∴AB===.
13.10 利用正方形的轴对称性求解.
14. (1)根据旋转和平移可得∠A=∠GFE,∠ACB=∠DEB.再根据∠A+∠ACB=90°,进而得到∠BED+∠GFE=90°,从而得到DE,FG的位置关系是垂直.
(2)根据旋转和平移找出对应线段和对应角,证明四边形CBEG是平行四边形,然后再证明四边形CBEG是矩形,最后根据邻边相等可得四边形CBEG是正方形.
解:(1)DE⊥FG.理由如图下:
由题意,得∠A=∠GFE,∠ACB=∠DEB.
∵∠ABC=90°,∴∠A+∠ACB=90°,
∴∠GFE+∠DEB=90°,
∴∠FHE=90°,即DE⊥FG.
(2)证明:由题意得BC=BE,CB∥GE,CB=GE,
∴四边形CBEG是平行四边形.
∵∠ABC=∠FEG=90°,
∴平行四边形CBEG是矩形.
∵BC=BE,
∴矩形CBEG是正方形.
15.解:图②的结论:AF-BF=2OE.
图③的结论:BF-AF=2OE.
对图②的证明:过点B作BG⊥OE交OE的延长线于点G,则四边形BGEF是矩形,
∴EF=BG,BF=GE.
∵四边形ABCD为正方形,
∴OA=OB,∠AOB=90°.
∵BG⊥OE,
∴∠OBG+∠BOE=90°.
又∵∠AOE+∠BOE=90°,
∴∠AOE=∠OBG.
在△AOE和△OBG中,
∴△AOE≌△OBG(AAS),
∴AE=OG,OE=BG.
∵AF-EF=AE,EF=BG=OE,AE=OG=OE+GE=OE+BF,
∴AF-OE=OE+BF,
∴AF-BF=2OE.
对图③的证明:过点B作BH⊥OE交EO的延长线于点H,则四边形EFBH是矩形,
∴EF=BH,BF=EH.
∵四边形ABCD为正方形,
∴OA=OB,∠AOB=90°.
∵BH⊥OE,
∴∠OBH+∠BOH=90°.
又∵∠BOH=∠EOD,且∠EOD+∠AOE=90°,
∴∠OBH=∠AOE.
在△AOE和△OBH中,
∴△AOE≌△OBH(AAS),
∴AE=OH,OE=BH.
∵EH-OE=OH=AE=AF+EF=AF+BH=AF+OE,
∴BF-OE=AF+OE,
∴BF-AF=2OE.
