10.5 第1课时 分式方程及其解法
知识点 1 分式方程的有关概念
1.下列关于x的方程中,是分式方程的是 ( )
A.-3= B.= C.2x2+3x=0 D.=
2.(2021盐城滨海县月考)若关于x的方程=3的解为x=2,则a= .
知识点 2 分式方程的初步解法
3.把分式方程=转化为一元一次方程时,方程两边需同乘 ( )
A.x B.2x C.x+4 D.x(x+4)
4.解分式方程+=3时,去分母化为一元一次方程,正确的是 ( )
A.x+2=3 B.x-2=3 C.x-2=3(2x-1) D.x+2=3(2x-1)
5.(2020淮安)方程+1=0的解为 .
6.若代数式的值是2,则a= .
7.解方程:
(1)(2021扬州邗江区月考)-=0;
(2)=+1.
8.(2020成都)已知x=2是分式方程+=1的解,那么实数k的值为 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
9.对于非零的两个实数a,b,规定a b=-.若2 (2x-1)=1,则x的值为 ( )
A. B. C. D.-
10.当x为何值时,分式的值比分式的值大3
11.关于x的方程x+=a+的解为x1=a,x2=;x+=a+的解为x1=a,x2=;x+=a+的解为x1=a,x2=.根据上述规律求关于x的方程x+=a+的解.
答案
10.5 第1课时 分式方程及其解法
1.D
2. 把x=2代入方程,得=3,解得a=.经检验,a=符合题意,是方程的解,所以a=.
3.D
4.C 方程两边同乘(2x-1),得x-2=3(2x-1).故选C.
5.x=-2 去分母,得3+x-1=0.
解得x=-2.
经检验,x=-2是分式方程的解,
所以,原方程的解为x=-2.
6.1 根据题意,得=2.
去分母,得a+1=4a-2.
移项、合并同类项,得3a=3.
解得a=1.
经检验,a=1是分式方程的解.
7.解:(1)方程两边同乘x(x-1),得x-2(x-1)=0.
解得x=2.
经检验,当x=2时,x(x-1)≠0,
所以,x=2是原方程的解.
(2)方程两边同乘3(x+1),得3x=2x+3(x+1).
解得x=-.
经检验,x=-是原方程的解,
∴原方程的解为x=-.
8.B 把x=2代入分式方程,得-1=1,解得k=4.故选B.
9.A 因为a b=-,所以2 (2x-1)=-,故-=1,所以=,解得x=.经检验,x=是原分式方程的解.故选A.
10.解:根据题意,得-=3.
方程两边同乘(2-x),
得3-x+1=3(2-x),解得x=1.
检验:当x=1时,2-x=1≠0,
所以x=1是所列分式方程的解,
即当x=1时,分式的值比分式的值大3.
11.解:已知方程可变形为(x-1)+=(a-1)+,根据题中方程的解可得x-1=a-1或x-1=,解得x1=a,x2=.
经检验,x1=a,x2=都为分式方程的解.第3课时 应用分式方程解决实际问题
知识点 列分式方程解决实际问题
1.(2021宿迁泗阳县月考)随着市场对新冠疫苗需求越来越大,为满足市场需求,某大型疫苗生产企业更新技术后,加快了生产速度,现在平均每天比更新技术前多生产10万份疫苗,现在生产500万份疫苗所需的时间与更新技术前生产400万份疫苗所需时间相同.设更新技术前每天生产x万份疫苗,依据题意得( )
A.= B.= C.= D.=
2.世界文化遗产“三孔”景区已经完成5G基站布设,“孔夫子家”自此有了5G网络.5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的10倍,在峰值速率下传输500兆数据,5G网络比4G网络快45秒,求这两种网络的峰值速率.设4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据,依题意,可列方程为
( )
A.-=45 B.-=45 C.-=45 D.-=45
3.(教材练习T1变式)一个分数的分母比它的分子大4,如图果将这个分数的分子和分母都加上1,所得的分数为,那么原分数是 ( )
A. B. C. D.
4.(2020泰兴月考)实验初中八(1)班同学参加社会实践活动,几名同学打算租一辆车前往,该车的租金为180元,出发时,又增加了两名同学,结果每名同学比原来少分摊了3元车费.设参加社会实践活动的学生原有x人,则可列方程为 .
5.(2020南京高淳区期末)“绿水青山就是金山银山”.某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务,为了赶在雨季前竣工,实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%,结果提前30天完成了这一任务.设原计划工作时每天绿化的面积为x万平方米,根据题意列方程为 .
6.一艘客轮在静水中的最大航速为35 km/h,它以最大航速沿长江顺流航行135 km所用时间与以最大航速逆流航行90 km所用的时间相等,则长江的水流速度为 .
7.(2020泰州高港区期中)某一工程,在工程招标时,接到甲、乙两个工程队的投标书.施工一天,需付甲工程队工程款1.2万元,乙工程队工程款0.5万元.工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算:
①甲队单独完成这项工程刚好如图期完成;
②乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天;
③若甲、乙两队合做3天,余下的工程由乙队单独做也正好如图期完成.
在不耽误工期的前提下,你觉得上述哪一种施工方案最节省工程款
8.为了迎接市中学生田径运动会,计划由某校八年级(1)班的3个小组制作240面彩旗,后来由于任务紧急,新加入一个小组来共同完成制作彩旗的任务.这样就可以提前5天完成任务.如图果这3个小组的人数相等(每人每天制作2面彩旗),那么每个小组有多少名同学
9.(2020南京玄武区期中)某商场进货部预测一款衬衫能畅销市场,就用80000元购进一批此款衬衫,面市后果然供不应求,商场又用176000元购进第二批这种衬衫,所购数量是第一批购进量的2倍,但进价比第一批进价贵了4元/件,商场按58元/件销售,销路很好,最后剩下的150件按八折销售,很快销售完,商场这笔生意共盈利多少元
10.王师傅乘大巴车从甲地到相距80千米的乙地办事,办好事后乘出租车返回甲地,出租车的平均速度比大巴车快20千米/时,回来时乘出租车所花时间比去时乘大巴车节省了.求大巴车的平均速度.
11.某校为了进一步开展“阳光体育”活动,计划用2000元购买乒乓球拍,用2800元购买羽毛球拍.已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍贵14元.该校购买的乒乓球拍与羽毛球拍的数量能相同吗
(1)根据题意,甲、乙两名同学都先假设该校购买的乒乓球拍与羽毛球拍的数量能相同,并分别列出如图下方程:
甲:=;乙:-=14.根据两名同学所列的方程,请你分别指出未知数x,y表示的意义:
甲:x表示 ;
乙:y表示 .
(2)该校购买的乒乓球拍与羽毛球拍的数量能相同吗 请说明理由(写出完整的解答过程).
答案
第3课时 应用分式方程解决实际问题
1.B
2.A 因为4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据,所以5G网络的峰值速率为每秒传输10x兆数据,4G网络传输500兆数据用的时间是秒,5G网络传输500兆数据用的时间是秒,因为5G网络比4G网络快45秒,所以-=45.
3.A 设原分数的分子为x,则分母为x+4.由题意,得=,解得x=3.
经检验,x=3是原方程的解.
所以原分数为.
4.-=3
5.-=30
6.7 km/h 设长江的水流速度为x km/h,
根据题意,得=,
解得x=7.
经检验,x=7是原分式方程的解.
故答案为7 km/h.
7.解:设规定工期为x天.
根据题意,得+=1,解得x=6.
经检验,x=6是原方程的根.
显然方案②不符合要求,
方案①需支付工程款1.2×6=7.2(万元);
方案③需支付工程款1.2×3+0.5×6=6.6(万元).
∵7.2>6.6,∴在不耽误工期的前提下,第③种施工方案最节省工程款.
8.解:设每个小组有x名同学.根据题意,得
-=5,解得x=2.
经检验,x=2是原分式方程的解且符合题意.
答:每个小组有2名同学.
9.解:设第一批衬衫的进价为x元/件,则第二批衬衫的进价为(x+4)元/件.
根据题意,得2×=,
解得x=40.
经检验,x=40是原方程的解且符合题意,
∴第一次购进衬衫=2000(件),
第二次购进衬衫2000×2=4000(件).
总利润为(2000+4000-150)×58+150×58×0.8-80000-176000=90260(元).
答:商场这笔生意共盈利90260元.
10.解:设大巴车的平均速度为x千米/时.由题意,得
1-=,解得x=80.
经检验,x=80是原分式方程的解且符合题意.
答:大巴车的平均速度为80千米/时.
11.解:(1)乒乓球拍的单价 该校购买的羽毛球拍的数量或该校购买的乒乓球拍的数量
(2)不能相同.理由如图下:
由(1)中乙同学所列方程-=14,解得y=.因为y为该校购买的乒乓球拍的数量,所以y应为整数,所以该校购买的乒乓球拍与羽毛球拍的数量不能相同.第2课时 分式方程的增根
知识点 1 增根的概念
1.若分式方程=有增根,则增根为 ( )
A.x=-2 B.x=2 C.x=±2 D.x=0
2.若关于x的分式方程=有增根,则m的值为 ( )
A.3 B.2 C.±2 D.±3
3.(2020连云港赣榆区期末)当m= 时,关于x的分式方程=1有增根.
知识点 2 分式方程的一般解法
4.解分式方程+=,分以下四步,其中错误的一步是 ( )
A.最简公分母是(x-1)(x+1)
B.方程两边同乘(x-1)(x+1),得整式方程2(x-1)+3(x+1)=6
C.解这个整式方程,得x=1
D.原方程的解为x=1
5.当x= 时,代数式与代数式的值相等.
6.分式方程=-1的解为 .
7.解方程:
(1)+=;
(2)(2020兴化期中)+1=.
8.对于非零实数a,b,规定a□b=-.若x□(2x-1)=1x≠0且x≠,则x的值为 .
9.已知关于x的方程=2-.
(1)当m取何值时,方程的解为x=4;
(2)当m取何值时,方程有增根.
10.(2020南通崇川区月考)已知关于x的方程-=.
(1)若m=4,求方程的解;
(2)若该方程无解,试求m的值.
答案
第2课时 分式方程的增根
1.B ∵原分式方程有增根,
∴最简公分母x-2=0,解得x=2.
故选B.
2.C 去分母,得2x-2=m2.
由分式方程有增根,得x-3=0,即x=3.
把x=3代入整式方程2x-2=m2,得m2=4,
解得m=±2.
故选C.
3.2 方程两边同乘(x-1),得2x-m=x-1.
由分式方程有增根,得x-1=0,
∴x=1.
把x=1代入整式方程2x-m=x-1,得
2-m=1-1,解得m=2.
4.D
5.7 根据题意,得=.
去分母,得3x-9=2x-2,解得x=7.
经检验,x=7是分式方程的解,
即x=7时,代数式与代数式的值相等.
6.x=-2 去分母,得2(1-x)=x-2(x-2).
去括号,得2-2x=x-2x+4.
移项、合并同类项,得-x=2.
解得x=-2.
经检验,x=-2是分式方程的解.
7.解:(1)方程两边同乘3(3x-1),
得2(3x-1)+3x=1,解得x=.
检验:当x=时,3(3x-1)=0,即x=是原分式方程的增根,故原分式方程无解.
(2)方程两边同乘(x+1)(x-1),
得4+x2-1=(x-1)2,
解得x=-1.
检验:当x=-1时,(x+1)(x-1)=0,即x=-1是原分式方程的增根.
故原分式方程无解.
8.1 根据题意,得-=1.
去分母,得2x2-2x+1=2x2-x,
解得x=1.
经检验,x=1是分式方程的解,
故x的值为1.
故答案为1.
9.解:(1)去分母,得x=2x-6-m,
解得x=m+6.
∵方程的解为x=4,
∴m+6=4,解得m=-2.
即当m=-2时,方程的解为x=4.
(2)∵x=3是方程的增根,
∴把x=3代入x=m+6,得m=-3.
即当m=-3时,方程有增根.
10.解:(1)把m=4代入原方程,
得-=.
去分母,得2(x+2)-4x=x-1.
解得x=.
检验:当x=时,(x-1)(x+2)≠0,
所以原方程的解是x=.
(2)去分母,得2(x+2)-mx=x-1,①
整理,得(1-m)x=-5.
有三种情况:
第一情况:当x-1=0时,方程无解,即此时x=1.
把x=1代入①,得6-m=1-1,解得m=6;
第二种情况:当x+2=0时,方程无解,即此时x=-2.
把x=-2代入①,得2m=-2-1,
解得m=-;
第三种情况:∵(1-m)x=-5,
∴当1-m=0时,方程无解,即此时m=1.
综上,m的值为6或-或1.
