9.3 第1课时 平行四边形及其性质
知识点 1 平行四边形的概念
1.如图示,在△ABC中,D,E,F分别是AB,BC,AC上的点,且DE∥AC,EF∥AB,DF∥BC,则图中平行四边形共有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
知识点 2 平行四边形边的性质
2.如图在 ABCD中,已知AC=4 cm,若△ACD的周长为14 cm,则 ABCD的周长为
( )
A.14 cm B.28 cm C.10 cm D.20 cm
3.如图已知四边形ABCD是平行四边形,则有AB= ,AD∥ .
4.在 ABCD中,(1)若它的周长是44 cm,AB比BC短2 cm,则AB=CD= cm,BC=
cm;
(2)若它的周长是30 cm,AB∶BC=2∶3,则AD= cm,CD= cm.
5.如图在 ABCD中,DE平分∠ADC交BC于点E,AD=6,BE=2,则CD的长是 .
6.如图E是 ABCD的边AD的中点,连接CE并延长交BA的延长线于点F,若CD=6,求BF的长.
知识点 3 平行四边形角的性质
7.(2020扬州广陵区期中)下列特征中,平行四边形不一定具有的是 ( )
A.邻角互补 B.对角互补 C.对角相等 D.内角和为360°
8.(2021东台月考)在 ABCD中,已知∠A-∠B=20°,则∠C的度数为 ( )
A.60° B.80° C.100° D.120°
9.如图在 ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,若∠EAF=56°,则∠BAD= °.
10.(2021南京江宁区月考)如图四边形ABCD是平行四边形,E,F分别是BC,AD上的点,连接AE,CF,∠1=∠2.求证:AE=CF.
知识点 4 平行四边形对角线的性质
11.如图在 ABCD中,全等三角形共有 ( )
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
12.如图在 ABCD中,AC,BD相交于点O,若AD=6,AC+BD=16,则△BOC的周长为 .
13.如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AC⊥AB,AB=,且AC∶BD=2∶3,那么AC的长为 ( )
A. B.3 C.4 D.6
14.如图,在 ABCD中,∠D=100°,∠DAB的平分线AE交DC于点E,连接BE.若AE=AB,则∠EBC的度数为 .
15.如图,EF过 ABCD的对角线的交点O,交AD于点E,交BC于点F.若 ABCD的周长为18,OE=1.5,求四边形EFCD的周长.
16.如图,分别以 ABCD(∠CDA≠90°)的三边AB,CD,DA为斜边作等腰直角三角形,得到△ABE,△CDG,△ADF.
(1)如图图①,当三个等腰直角三角形都在该平行四边形的外部时,连接GF,EF.请判断GF与EF的位置关系和数量关系(只写结论,不需证明).
(2)如图图②,当三个等腰直角三角形都在该平行四边形的内部时,连接GF,EF,(1)中的结论还成立吗 若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
答案
9.3 第1课时 平行四边形及其性质
1.C
2.D ∵△ACD的周长为14 cm,即AD+CD+AC=14 cm,且AC=4 cm,
∴AD+CD=10 cm.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,BC=AD,
则 ABCD的周长为2(AD+CD)=2×10=20(cm).故选D.
3.CD BC
4.(1)10 12 (2)9 6
平行四边形的对边相等.
5.4 ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,AD∥BC,
∴∠ADE=∠CED.
∵DE平分∠ADC,
∴∠ADE=∠CDE,
∴∠CED=∠CDE,
∴CE=CD.
又∵BC=AD=6,BE=2,
∴CE=CD=4.
6.解:∵E是 ABCD的边AD的中点,
∴AE=DE.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD=6,AB∥CD,
∴∠F=∠DCE.
在△AEF和△DEC中,
∴△AEF≌△DEC,
∴AF=CD=6,
∴BF=AB+AF=6+6=12.
7.B
8.C ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,∠A=∠C,
∴∠A+∠B=180°.
又∵∠A-∠B=20°,
∴∠A=100°,∴∠C=∠A=100°.故选C.
9.124 ∵AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,
∴∠AEC=∠AFC=90°.
∵∠EAF=56°,
∴∠C=360°-90°-90°-56°=124°.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠BAD=∠C=124°.
10.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠B=∠D,AB=CD.
在△ABE和△CDF中,
∴△ABE≌△CDF,
∴AE=CF.
11.C 平行四边形的性质:对边平行且相等,对角线互相平分.这样不难得出:AD=BC,AB=CD,AO=CO,DO=BO,再利用“对顶角相等”就很容易找到全等的三角形:△ACD≌△CAB(SSS),△ABD≌△CDB(SSS),△AOD≌△COB(SAS),△AOB≌△COD(SAS).
12.14
13.C ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD.
∵AC∶BD=2∶3,∴OA∶OB=2∶3.
设OA=2m,OB=3m(m>0).
∵AC⊥AB,∴∠BAO=90°,
∴OB2=AB2+OA2,∴9m2=5+4m2,
∴m=±1.
∵m>0,∴m=1,
∴AC=2OA=4.
14.30° ∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠ABC=∠D=100°,AB∥CD,∴∠BAD=180°-∠D=80°.∵AE平分∠DAB,∴∠BAE=80°÷2=40°.∵AE=AB,∴∠ABE=(180°-40°)÷2=70°,∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=30°.故答案为30°.
15.解:∵四边形ABCD是平行四边形,周长为18,
∴AB=CD,BC=AD,OA=OC,AD∥BC,
∴CD+AD=9,∠OAE=∠OCF.
在△AEO和△CFO中,
∴△AEO≌△CFO(ASA),
∴OE=OF=1.5,AE=CF,
则四边形EFCD的周长=ED+CD+CF+EF=(DE+CF)+CD+EF=AD+CD+EF=9+3=12.
16.解:(1)GF⊥EF,GF=EF.
(2)(1)中的结论仍成立.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,
∴∠DAB+∠ADC=180°.
∵△ABE,△CDG,△ADF都是等腰直角三角形,
∴DG=CG=AE=BE,DF=AF,∠CDG=∠ADF=∠BAE=45°,
∴∠BAE+∠DAF+∠EAF+∠ADF+∠FDC=180°,
∴∠EAF+∠FDC=45°.
∵∠CDF+∠GDF=45°,
∴∠EAF=∠GDF,
∴△EAF≌△GDF(SAS),
∴EF=GF,∠EFA=∠GFD,
∴∠GFD+∠GFA=∠EFA+∠GFA,
∴∠GFE=∠DFA=90°,∴GF⊥EF.第2课时 平行四边形的判定(1)
知识点 1 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
1.在四边形ABCD中,AD=BC,若四边形ABCD是平行四边形,则还应满足 ( )
A.AB∥CD B.BC∥AD C.AB⊥CD D.BC⊥AD
2.在四边形ABCD中,已知AD∥BC,要使四边形ABCD成为平行四边形,还需要条件 ( )
A.AB=DC B.∠A+∠B=180° C.AB=AD D.AD=BC
3.在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=4,当CD= 时,这个四边形是平行四边形.
4.如图,在四边形ABCD中,AD=BC,点E在BC的延长线上,且∠D=∠DCE.
求证:四边形ABCD是平行四边形.
5.如图,在四边形ABCD中,E,F是对角线AC上的两点,BE⊥AC,DF⊥AC,且BE=DF,AF=CE.
求证:四边形ABCD是平行四边形.
知识点 2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
6.如图,已知AB=CD,则下列条件中能判定四边形ABCD是平行四边形的是 ( )
A.AD∥BC B.∠B=∠D C.AD=BC D.∠A=∠C
7.如图,D是直线l外一点,在l上取两点A,B,连接AD,分别以点B,D为圆心,AD,AB的长为半径画弧,两弧交于点C,连接CD,BC,则四边形ABCD是平行四边形,理由是
.
8.一个四边形的边长依次为a,b,c,d,且a2+b2+c2+d2-2ac-2bd=0,则这个四边形的形状是 .
9.如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D,∠1=∠2.求证:四边形ABCD是平行四边形.
10.如图,在 ABCD中,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA上的点,且AE=CG,AH=CF.
求证:四边形EFGH是平行四边形.
11.小津不慎将一块平行四边形的玻璃打碎成如图所示的四块,为了能从商店配到一块与原来相同的玻璃,他带了其中两块碎玻璃去商店,其编号应该是 ( )
A.①② B.②④ C.③④ D.①③
12.如图,分别以钝角三角形ABC的三边为边在△ABC的同侧作三个等边三角形:△ABE,△BCD,△ACF,连接DE,DF.
求证:四边形DEAF是平行四边形.
13.如图,在 ABCD中,O是BD的中点,E,F分别是BC,AD的中点,M,N分别是OB,OD的中点.求证:四边形MENF是平行四边形.
14.(2020南京高淳区二模)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,且AD+AB=BC+CD.求证:四边形ABCD是平行四边形.
小明同学在证明该题时,他根据题目中条件“AD+AB=BC+CD”想到延长DA至点E,使AE=AB,则DE=AD+AE=AD+AB;延长BC至点F,使CF=CD,则BF=BC+CF=BC+CD,连接EB,DF.
请在小明想法的启示下完成并写出该问题的证明过程.
答案
第2课时 平行四边形的判定(1)
1.B 根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可知还应满足BC∥AD.
故选B.
2.D
3.4 ∵当AB∥CD且AB=CD时,四边形ABCD是平行四边形,∴当CD=4时,这个四边形是平行四边形.
4.证明:∵点E在BC的延长线上,∠D=∠DCE,
∴AD∥BC.
又∵AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形.
5.证明:∵BE⊥AC,DF⊥AC,
∴∠BEC=∠DFA=90°.
在△BCE和△DAF中,
∴△BCE≌△DAF,
∴BC=AD,∠BCE=∠DAF,
∴BC∥AD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
6.C
7.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
根据尺规作图的过程可得AB=DC,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形.
故答案为两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
8.平行四边形 ∵a2+b2+c2+d2-2ac-2bd=0,∴(a-c)2+(b-d)2=0,∴a=c,b=d,∴这个四边形一定是平行四边形.
9.证明:在△ABC和△CDA中,
∴△ABC≌△CDA,
∴AB=CD,BC=DA,
∴四边形ABCD是平行四边形.
10.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A=∠C,∠B=∠D,AB=CD,AD=BC.
∵AE=CG,AH=CF,∴BE=DG,DH=BF.
在△AEH与△CGF中,
∴△AEH≌△CGF,
∴EH=GF.
同理可得△BEF≌△DGH,
∴EF=GH,
∴四边形EFGH是平行四边形.
11.D 只有①③两块角的两边互相平行,且中间部分相连,角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点,∴带①③两块碎玻璃,就可以确定平行四边形的大小.故选D.
12.证明:∵△ABE,△BCD都是等边三角形,
∴BE=AB,BD=BC,∠EBA=∠DBC=60°,
∴∠DBE=60°-∠DBA,∠ABC=60°-∠DBA,∴∠DBE=∠ABC.
在△DBE和△CBA中,
∴△DBE≌△CBA(SAS),∴DE=CA.
∵△ACF是等边三角形,
∴AC=AF,∴DE=AF.
同理可得△ABC≌△FDC,
∴AB=FD.
∵△ABE是等边三角形,
∴AB=AE,∴AE=FD.
又∵DE=AF,
∴四边形DEAF为平行四边形.
13.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC,
∴∠FDN=∠EBM.
∵E,F分别是BC,AD的中点,
∴DF=BE.
∵O是BD的中点,
∴OD=OB.
∵M,N分别是OB,OD的中点,
∴DN=BM.
在△DNF和△BME中,
∴△DNF≌△BME,
∴FN=EM,∠DNF=∠BME,
∴∠FNM=∠EMN,
∴FN∥EM,
∴四边形MENF是平行四边形.
14.证明:延长DA至点E,使AE=AB,
则DE=AD+AE=AD+AB.
延长BC至点F,使CF=CD,
则BF=BC+CF=BC+CD.
连接EB,DF.
∵AD+AB=BC+CD,
∴DE=BF.
又∵AD∥BC,
∴四边形DEBF为平行四边形,
∴EB=DF,∠E=∠F.
∵AB=AE,CD=CF,
∴∠ABE=∠E,∠CDF=∠F.
∴∠ABE=∠CDF.
在△ABE与△CDF中,
∴△ABE≌△CDF,
∴AB=CD.
∵AD+AB=BC+CD,
∴AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.第3课时 平行四边形的判定(2)
知识点 1 对角线互相平分的四边形是平行四边形
1.如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且AO=CO,则下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是 ( )
A.AB=DC B.AD=BC C.BO=DO D.DC=BC
2.若AC=10,BD=8,AC与BD相交于点O,则当AO= ,DO= 时,四边形ABCD是平行四边形.
3.小玲的爸爸在做平行四边形框架时,采用如图下方法:如图所示,将两根木条AC,BD的中点重叠并用钉子固定,则四边形ABCD就是平行四边形,这种做法的依据是 .
4.(2021连云港灌云县月考)如图,在 ABCD中,点E,F分别在边BC,AD上,AC与EF相交于点O,且AO=CO.求证:四边形AECF是平行四边形.
5.如图,已知G,H是△ABC的边AC的三等分点,GE∥BH交AB于点E,HF∥BG交BC于点F,延长EG,FH交于点D,连接AD,DC,设AC和BD交于点O.
求证:四边形ABCD是平行四边形.
知识点 2 反证法
6.用反证法证明“aA.a>b B.a≤b C.a≥b D.a≠b
7.小明在解答“在△ABC中,AB=AC,求证:∠B<90°”这道题时,写出了下面用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤:①所以∠B+∠C+∠A>180°,这与三角形内角和定理相矛盾;②所以∠B<90°;③假设∠B≥90°;④那么由AB=AC,得∠B=∠C≥90°,即∠B+∠C≥180°.
请你写出这四个步骤正确的顺序 .(填序号)
8.(2020衡阳)如图,在四边形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是 ( )
A.AB∥DC,AD∥BC B.AB=DC,AD=BC
C.AB∥DC,AD=BC D.OA=OC,OB=OD
9.在平面直角坐标系中,已知O(0,0),A(1,-2),B(3,1),若以A,B,C,O为顶点的四边形是平行四边形,则点C的坐标为 .
10.(2020苏州高新区期末)如图,在四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,延长AD至点E,连接EO并延长交CB的延长线于点F,∠AEF=∠EFC,AD=BC.
(1)求证:O是线段AC的中点;
(2)连接AF,EC,求证:四边形AFCE是平行四边形.
11.如图,四边形ABCD是平行四边形,∠BAD的平分线AE交CD于点F,交BC的延长线于点E.
(1)求证:BE=CD;
(2)若BF恰好平分∠ABE,连接AC,DE,求证:四边形ACED是平行四边形.
12.(教材例3变式)如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F是对角线AC上的两点,AE=CF.
(1)求证:四边形BEDF是平行四边形;
(2)当BE⊥EF时,BE=8,BF=10,求BD的长.
13.如图①,在 ABCD中,O是对角线AC的中点,EF过点O分别与AD,BC交于点E,F,GH过点O分别与AB,CD交于点G,H,连接EG,GF,FH,HE.
(1)求证:四边形EGFH是平行四边形;
(2)如图图②,若EF∥AB,GH∥BC,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图②中与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形.
答案
第3课时 平行四边形的判定(2)
1.C 根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可判断.
2.5 4 AO=AC=5,DO=BD=4,此时,AO=OC,DO=OB,四边形ABCD是平行四边形.
3.对角线互相平分的四边形是平行四边形
4.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,∴∠OAF=∠OCE.
在△AOF和△COE中,
∴△AOF≌△COE,
∴FO=EO.
又∵AO=CO,
∴四边形AECF是平行四边形.
5.证明:由题意可得ED∥BH,FD∥BG,
∴四边形BHDG是平行四边形,
∴OB=OD,OG=OH.
又∵G,H是AC的三等分点,
∴AG=HC,
∴AG+OG=HC+OH,即OA=OC.
又∵OB=OD,∴四边形ABCD是平行四边形.
6.C 7.③④①②
8.C ∵AB∥DC,AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形,故选项A中的条件可以判定四边形ABCD是平行四边形;
∵AB=DC,AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形,故选项B中的条件可以判定四边形ABCD是平行四边形;
由AB∥DC,AD=BC无法判断四边形ABCD是平行四边形,故选项C中的条件不能判断四边形ABCD是平行四边形;
∵OA=OC,OB=OD,
∴四边形ABCD是平行四边形,故选项D中的条件可以判定四边形ABCD是平行四边形.
故选C.
9.(2,3)或(-2,-3)或(4,-1)
如图图,满足条件的点C的坐标为(2,3)或(-2,-3)或(4,-1).
10.证明:(1)∵∠AEF=∠EFC,
∴AD∥BC.
又∵AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∴AC,BD互相平分,
即O是线段AC的中点.
(2)由(1)知O是线段AC的中点,∴AO=CO.∵AD∥BC,∴∠EAC=∠FCA.
在△OAE和△OCF中,
∴△OAE≌△OCF,
∴OE=OF.
又∵OA=OC,∴四边形AFCE是平行四边形.
11.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AB=CD,
∴∠DAE=∠AEB.
∵AE平分∠BAD,
∴∠BAE=∠DAE,
∴∠BAE=∠AEB,
∴BE=AB,∴BE=CD.
(2)∵BE=AB,BF平分∠ABE,
∴AF=EF.
在△ADF和△ECF中,
∴△ADF≌△ECF,
∴DF=CF.
又∵AF=EF,
∴四边形ACED是平行四边形.
12.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD.
∵AE=CF,
∴OA-AE=OC-CF,即OE=OF.
又∵OB=OD,
∴四边形BEDF是平行四边形.
(2)∵BE⊥AC,∴∠BEF=90°.
在Rt△BEF中,∵BE=8,BF=10,∴EF===6,∴OE=OF=3.
在Rt△BEO中,∵BE=8,OE=3,∴OB===,
∴BD=OB+OD=2OB=2.
13.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,O是对角线AC的中点,
∴AD∥BC,OA=OC,∴∠EAO=∠FCO.
在△OAE和△OCF中,
∴△OAE≌△OCF,∴OE=OF.
同理可得OG=OH,
∴四边形EGFH是平行四边形.
(2)与四边形AGHD面积相等的平行四边形有 GBCH, ABFE, EFCD, EGFH.
