第3课时 反比例函数的图像与性质
知识点 反比例函数的图像与性质
1.在平面直角坐标系中,反比例函数y=(k≠0)的图像在每个象限内,y随着x的增大而增大,那么它的图像的两个分支分别在 ( )
A.第一、三象限 B.第二、四象限
C.第一、二象限 D.第三、四象限
2.(2020山西)已知点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)都在反比例函数y=(k<0)的图像上,且x1
A.y2>y1>y3 B.y3>y2>y1 C.y1>y2>y3 D.y3>y1>y2
3.(2020潍坊)如图,函数y=kx+b(k≠0)与y=(m≠0)的图像相交于A(-2,3),B(1,-6)两点,则关于x的不等式kx+b>的解集为 ( )
A.x>-2 B.-21
C.x>1 D.x<-2或04.已知直线y=ax(a≠0)与双曲线y=(k≠0)的一个交点的坐标为(2,4),则它们另一个交点的坐标是 .
5.已知反比例函数y=(m为常数)的图像在每一个象限内,y都随x的增大而减小,则m的取值范围是 .
6.如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点, OABC的顶点A在反比例函数y=的图像上,顶点B在反比例函数y=的图像上,点C在x轴的正半轴上,则 OABC的面积是 .
7.已知y是x的反比例函数,且当x=2时,y=-3.
(1)y与x之间的函数表达式为 ;
(2)在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图像;
(3)点P(-2,3) (填“在”或“不在”)这个函数的图像上.
8.如图,一次函数y1=k1x+b(k1≠0)的图像分别与x轴,y轴相交于点A,B,与反比例函数y2=(k2≠0)的图像相交于点C(-4,-2),D(2,4).
(1)求一次函数和反比例函数的表达式;
(2)当x为何值时,y1>0
(3)当x为何值时,y19.若反比例函数y=(k≠0),当x>0时,y随x的增大而减小,则一次函数y=kx-k的图像经过的象限是 ( )
A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限
C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限
10.(2020如图皋期中)如图,在平面直角坐标系中,函数y=(x>0)与y=x-1的图像交于点P(a,b),则代数式-的值为 ( )
A.- B. C.- D.
11.在平面直角坐标系xOy中,点A(a,b)(a>0,b>0)在双曲线y=上,点A关于x轴的对称点B在双曲线y=上,则k1+k2的值为 .
12.如图,反比例函数y= 和y=- 的图像分别是双曲线l1和l2.设点P在双曲线l1上,PC⊥x轴,垂足为C,交l2于点A,PD⊥y轴,垂足为D,交l2于点B,则△PAB的面积为 .
13.如图,点A(m,6),B(n,1)在反比例函数的图像上,AD⊥x轴于点D,BC⊥x轴于点C,DC=5.
(1)求m,n的值并写出反比例函数的表达式.
(2)连接AB,在线段DC上是否存在一点E,使△ABE的面积等于5 若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.
14.已知反比例函数y=(m为常数)的图像在第一、三象限.
(1)求m的取值范围.
(2)如图,若该反比例函数的图像经过 ABOD的顶点D,点A,B的坐标分别为(0,3),(-2,0).
①求该反比例函数的表达式.
②设P是该反比例函数图像上的一点,若OD=OP,则点P的坐标为 ;若以D,O,P为顶点的三角形是等腰三角形,则满足条件的点P有 个.
答案
第3课时 反比例函数的图像与性质
1.B ∵反比例函数y=(k≠0)的图像在每个象限内y随着x的增大而增大,∴k<0,∴它的图像的两个分支分别在第二、四象限.故选B.
2.A ∵反比例函数y=(k<0)的图像分布在第二、四象限,且在每一个象限内,y随x的增大而增大,而x1∴y3<0y1>y3.
故选A.
3.D 观察图像可知,当x<-2或0.故选D.
4.(-2,-4) ∵反比例函数的图像与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称,∴另一个交点与点(2,4)关于原点对称,
∴该点的坐标为(-2,-4).
5.m>2 ∵反比例函数y=(m为常数)的图像在每一个象限内,y都随x的增大而减小,∴m-2>0,
∴m>2.
6.4
7. (1)设y与x之间的函数表达式为y=(k≠0).
∵当x=2时,y=-3,
∴-3=,解得k=-6,
∴y与x之间的函数表达式为y=-.
(3)当x=-2时,y=-=3,
∴点P(-2,3)在这个函数的图像上.
解:(1)y=- (2)略 (3)在
8.解:(1)∵一次函数y1=k1x+b的图像经过点C(-4,-2),D(2,4),
∴
解得
∴一次函数的表达式为y1=x+2.
∵反比例函数y2=的图像经过点D(2,4),
∴4=,∴k2=8,
∴反比例函数的表达式为y2=.
(2)由y1>0,得x+2>0,
∴x>-2,
∴当x>-2时,y1>0.
(3)x<-4或09.C 根据反比例函数和一次函数图像的性质作答.
要判断一次函数y=kx-k的图像的位置,需要知道k的符号.由已知y=(k≠0),当x>0时,y随x的增大而减小,得k>0.对于一次函数y=kx-k,当k>0时,直线呈上升趋势,而-k<0时,直线交y轴于负半轴,所以它的图像经过第一、三、四象限.故选C.
[点评] 不论正比例函数还是反比例函数,我们既要能从图像判断其性质,也要能从已知的性质判断其图像的位置.另外,题目中的一次函数y=kx-k中的-k相当于一次函数一般式y=kx+b中的b.
10.C ∵函数y=(x>0)与y=x-1的图像交于点P(a,b),
∴b=,b=a-1,即ab=3,b-a=-1,
∴-==-.故选C.
11.0 ∵A,B两点关于x轴对称,A(a,b),
∴点B的坐标为(a,-b).
∵A(a,b),B(a,-b)两点分别在双曲线y=和y=上,
∴ab=k1,-ab=k2,
∴k1+k2=0.故答案为0.
12. ∵点P在双曲线y=上,
∴设点P的坐标是a,.
∵PA⊥x轴,
∴点A的横坐标是a.
∵点A在函数y=-的图像上,
∴点A的坐标是a,-.
∵PB⊥y轴,
∴点B的纵坐标是.
∵点B在函数y=-的图像上,
∴将点B的纵坐标代入,得=- ,
解得x=-2a,
∴点B的坐标是-2a,,
∴PA=--= ,PB=|a-(-2a)|=|3a|.
∵PA⊥x轴,PB⊥y轴,x轴⊥y轴,
∴PA⊥PB,
∴△PAB的面积是PA·PB= ××|3a|=.
13.解:(1)由题意,得解得
∴m,n的值分别为1,6.
设反比例函数的表达式为y=(k≠0).
将点A(1,6)代入y=,得k=xy=1×6=6,
∴反比例函数的表达式为y=.
(2)存在.
设点E的坐标为(x,0),则DE=x-1,CE=6-x.
∵AD⊥x轴,BC⊥x轴,
∴∠ADE=∠BCE=90°,
∴△ADE和△BCE均是直角三角形,
∴S△ABE=S梯形ABCD-S△ADE-S△BCE=(BC+AD)·DC-DE·AD-CE·BC
=×(1+6)×5-(x-1)×6-(6-x)×1=-x=5,解得x=5.
∴点E的坐标为(5,0).
14.解:(1)由题意知1-2m>0,解得m<.
(2)①∵四边形ABOD是平行四边形,
∴AD∥BO且AD=BO.
∵A(0,3),B(-2,0),
∴点D的坐标是(2,3),
∴=3,即1-2m=6,
∴该反比例函数的表达式为y=.
②(3,2)或(-2,-3)或(-3,-2) 4第2课时 反比例函数的性质
知识点 1 反比例函数的性质
1.若对于每一象限内的双曲线y=,y都随x的增大而增大,则m的取值范围是 ( )
A.m>0 B.m<0 C.m≥0 D.m≤0
2.(2020衡阳改编)关于反比例函数y=,下列说法错误的是 ( )
A.它的图像与直线y=-x无交点
B.函数图像分布在第一、三象限
C.当x>0时,y随x的增大而增大
D.当x<0时,y随x的增大而减小
3.(2020江苏苏北地区模拟)已知反比例函数y=的图像,在每一象限内,y随x的增大而增大,则n的取值范围是 .
4.已知点A(-2,y1),B(-1,y2)都在反比例函数y=-的图像上,则y1 y2.(填“>”或“<”)
5.(2020南京建邺区二模)在同一平面直角坐标系中,正比例函数y=k1x的图像与反比例函数y=的图像的一个交点的坐标是(-1,3),则它们另一个交点的坐标是 .
6.已知反比例函数y=.
(1)当y=-4时,求x的值;
(2)这个函数的图像在第几象限 在每一个象限内,y随x的增大怎样变化
(3)点A-,20,B-,1在该函数的图像上吗
知识点 2 用待定系数法确定反比例函数的表达式
7.(2020盐城期末)若点A(-2,6)在反比例函数y=的图像上,则k的值是 ( )
A.-12 B.-3 C.- D.12
8.(2020云南)已知一个反比例函数的图像经过点(3,1),若该反比例函数的图像也经过点(-1,m),则m= .
9.某反比例函数的图像如图所示,则此反比例函数的表达式为 .
10.如图,矩形ABCD的边AB与y轴平行,点A的坐标为(1,m),点C的坐标为(3,m+6),那么图像同时经过点B与点D的反比例函数的表达式为 .(不用写出自变量x的取值范围)
11.(2020宿迁沭阳县期末)如图是反比例函数y=的图像的一个分支.
(1)k的值是 ;
(2)当x在什么范围取值时,y是小于3的正数
(3)如图果自变量x的取值范围为2≤x≤3,求y的取值范围.
12.已知点A(1,-3)关于x轴的对称点A'在反比例函数y=的图像上,则实数k的值为( )
A.3 B. C.-3 D.-
13.如图,△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1,2),B(4,2),C(4,4),若反比例函数y=在第一象限内的图像与△ABC有交点,则实数k的取值范围是 ( )
A.2≤k≤16 B.2≤k≤8 C.1≤k≤4 D.8≤k≤16
14.设反比例函数y=,(x1,y1),(x2,y2)为其图像上的两点,当x1<0y2,则k的取值范围是 .
15.(2020苏州相城区期中)已知y-1与x+2成反比例函数关系,且当x=-1时,y=3.求:
(1)y与x之间的函数表达式;
(2)当x=0时,y的值.
16.如图,点A(3,5)关于原点O的对称点为C,分别过点A,C作y轴的平行线,与反比例函数y=(0(1)求k的值;
(2)直接写出图中阴影部分的面积.
17.已知反比例函数y=,其中1≤x≤2.
(1)若a<-2,函数y=的最小值是-3,求a的值;
(2)已知a>-2,函数y=的最大值与最小值之差是1,求a的值.
答案
第2课时 反比例函数的性质
1.B
2.C ∵反比例函数的表达式为y=,k=2>0,
∴它的图像分布在第一、三象限,与直线y=-x无交点,故A,B选项正确;∵k=2>0,∴当x>0时,y随x的增大而减小;当x<0时,y随x的增大而减小,故C选项错误,D选项正确.故选C.
3.n<-3 ∵反比例函数y=的图像,在每一象限内,y随x的增大而增大,
∴n+3<0,解得n<-3.
故答案为n<-3.
4.< 反比例函数y=-的图像在第二、四象限,而点A(-2,y1),B(-1,y2)都在第二象限,在第二象限内,y随x的增大而增大.∵-2<-1,
∴y15.(1,-3) 根据题意,知直线y=k1x经过原点与双曲线y=相交于两点.
又因为双曲线y=与直线y=k1x均关于原点对称,
所以这两点也关于原点对称.
若一个交点的坐标为(-1,3),则另一个交点的坐标为(1,-3).
故答案为(1,-3).
6.解:(1)当y=-4时,有-4=-,解得x=.
(2)这个函数的图像在第二、四象限,在每一个象限内,y随x的增大而增大.
(3)点A在该函数的图像上,点B不在该函数的图像上.
7.A ∵点A(-2,6)在反比例函数y=的图像上,∴6=,解得k=-12.
故选A.
8.-3 设反比例函数的表达式为y=,依据反比例函数的图像经过点(3,1)和(-1,m),即可得到k=3×1=-m,进而得出m=-3.
9.y=- 设反比例函数的表达式为y=(k为常数,k≠0).
∵反比例函数的图像过点(-3,2),
∴2=,解得k=-6,
∴反比例函数的表达式为y=-.
10.y= ∵矩形ABCD的边AB与y轴平行,A(1,m),C(3,m+6),∴B(1,m+6),D(3,m).∵点B,D在反比例函数的图像上,∴1×(m+6)=3m,解得m=3,∴B(1,9),故反比例函数的表达式为y=.
11.解:(1)∵点(2,6)在反比例函数y=的图像上,
∴k=2×6=12.
故答案为12.
(2)∵y是小于3的正数,
∴0<<3,
∴x>4.
(3)当x=2时,y=6;当x=3时,y=4.
∵k=12>0,
∴在第一象限,y随x的增大而减小,
∴当2≤x≤3时,y的取值范围是4≤y≤6.
12.A 点A(1,-3)关于x轴的对称点A'的坐标为(1,3).把点A'(1,3)代入y=,得k=1×3=3.故选A.
13.A 由题意,得△ABC是直角三角形,∴当反比例函数y=的图像经过点A时k最小,经过点C时k最大,∴k最小=1×2=2,k最大=4×4=16,∴2≤k≤16.故选A.
14.k<-1 因为当x1<0y2,所以双曲线在第二、四象限,则k+1<0,解得k<-1.故答案为k<-1.
15.解:(1)∵y-1与x+2成反比例函数关系,∴可设y-1=.
把x=-1,y=3代入,得
3-1=,解得k=2,
则y-1=,即y=+1,
故y与x之间的函数表达式为y=+1.
(2)把x=0代入y=+1,得y=+1=2,即y=2.
16.解:(1)设直线AE的函数表达式为y=mx+b.
∵A(3,5),E(-2,0),
∴解得
∴直线AE的函数表达式为y=x+2.
∵点A(3,5)关于原点O的对称点为C,
∴点C的坐标为(-3,-5).
∵CD∥y轴,
∴设点D的坐标为(-3,a),
∴a=-3+2=-1,
∴点D的坐标为(-3,-1).
∵反比例函数y=(0(2)S阴影=12.
17.解:(1)∵a<-2,∴在每一象限内,y随x的增大而增大.又∵当1≤x≤2时,函数y=的最小值是-3,∴当x=1时,y=-3,则a=-3.
(2)①当-2∴-a=1,
∴a=-2(不合题意,舍去).
②当a>0时,在1≤x≤2范围内y随x的增大而减小,
∴a-=1,∴a=2.
综上所述,a的值为2.11.2 第1课时 反比例函数的图像
知识点 1 用描点法画反比例函数的图像
1.请用描点法在平面直角坐标系内画出函数y=-的图像.
(1)列表:
x … -3 -2 -1 1 2 3 …
y … …
(2)在描点并连线.
知识点 2 反比例函数图像的特征
2.已知反比例函数y=,当x<0时,它的图像在 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.反比例函数y=的图像大致是 ( )
4.对于反比例函数y=-的图像对称性的叙述,错误的是 ( )
A.关于原点对称 B.关于直线y=x对称
C.关于直线y=-x对称 D.关于x轴对称
5.反比例函数y=的图像的一个分支如图示,则另一个分支在第 象限.
6.反比例函数y=(x>0)的图像如图示,则m的取值范围为 .
7.(2021苏州期中)反比例函数y=的图像向下平移1个单位长度,与x轴交点的坐标是( )
A.(-3,0) B.(-2,0) C.(2,0) D.(3,0)
8.某学校要种植一块面积为200 m2的矩形草坪,要求相邻两边长均不小于10 m,则草坪的一边长y(单位:m)随与其相邻的另一边长x(单位:m)的变化而变化的图像是 ( )
9.如图函数y=(x>0),y=(x>0)的图像将第一象限分成了A,B,C三个部分.若点Q(a,2)在B部分,则a的取值范围是 ( )
A.210.(2021徐州)如图点A,D分别在函数y=和y=的图像上,点B,C在x轴上.若四边形ABCD为正方形,点D在第一象限,则点D的坐标是 .
11.函数y=的图像是 ( )
12.已知反比例函数y=的图像经过点(-3,2).
(1)求k的值;
(2)在如图示的网格中画出这个函数的图像.
方法指引:
在同一坐标系中的两个函数图像,参数中相同字母的取值是相同的,解题时一般有两种思路:(1)由表达式入手判断图像:①直接法,将字母参数取值分正、负讨论,在字母参数取值相同的情况下分别考察两个图像是否同时成立;②特值法,将字母用具体的简单数值表示出来,观察图像是否同时成立.(2)由图像判断两表达式中的字母参数取值是否一致.
例:(2020广西)在同一平面直角坐标系中,函数y=kx+k与y=(k≠0)的图像可能是 ( )
变式1:函数y=与y=-kx+2(k≠0)在同一平面直角坐标系中的大致图像是 ( )
变式2:如图,正比例函数y=kx与反比例函数y=的图像不可能是 ( )
答案
11.2 第1课时 反比例函数的图像
1.解:(1)表格内从左到右依次填1,,3,-3,-,-1.
(2)描点、连线如图图所示:
2.C ∵比例系数k=6>0,
∴其图像位于第一、三象限.
又∵x<0,
∴反比例函数的图像位于第三象限.
故选C.
3.D 4.D 5.四
6.m>-2 ∵反比例函数y=(x>0)的图像在第一象限,
∴m+2>0,解得m>-2.
7.D 反比例函数y=的图像向下平移1个单位长度后的函数表达式为y=-1,
∴令y=0,则-1=0,解得x=3,
∴所得图像与x轴的交点坐标是(3,0).
故选D.
8.C ∵草坪的面积为200 m2,∴x,y存在关系y=.∵相邻两边长均不小于10 m,∴x≥10,y≥10,则10≤x≤20.故选C.
9.B 把y=2分别代入y=(x>0),y=(x>0),得x=1和x=3.
∵点Q(a,2)在B部分,∴110.(2,3) 设点A的纵坐标为n,则点D的纵坐标为n.
∵点A,D分别在函数y=和y=的图像上,∴A(-,n),D(,n).
∵四边形ABCD为正方形,
∴+=n,即n2=9,
解得n=3(负数已舍去),
∴D(2,3),
故答案为(2,3).
11.B ∵函数y=中不论x为何值,y的值均大于0,∴选项A,C,D错误,B正确.
12.解:(1)把(-3,2)代入y=,得k=-3×2=-6.
(2)由(1)知,函数的表达式为y=-.根据列表、描点、连线三个步骤,可以画出图像.图略.
“串”题训练
例:D 当k>0时,函数y=kx+k的图像经过第一、二、三象限,函数y=的图像位于第一、三象限;
当k<0时,函数y=kx+k的图像经过第二、三、四象限;函数y=的图像位于第二、四象限.
对照各选项,可知选D.
变式1:B 在函数y=和y=-kx+2(k≠0)中,
当k>0时,函数y=的图像在第一、三象限,函数y=-kx+2的图像经过第一、二、四象限;
当k<0时,函数y=的图像在第二、四象限,函数y=-kx+2的图像经过第一、二、三象限.
对照各选项,可知选B.
变式2:D 若k>0时,k-1>-1,正比例函数的图像必定过第一、三象限,
当-1当k-1>0时,∴反比例函数y=的图像位于第一、三象限,故B项的图像有可能;
若k<0时,k-1<-1,正比例函数的图像必定过第二、四象限,
∴反比例函数y=的图像位于第二、四象限,故A项的图像有可能.
综上,故选D.