11.3 第1课时 用反比例函数解决问题(1)
知识点 应用反比例函数模型解决实际问题
1.当矩形面积一定时,下列图像中能表示它的长y和宽x之间函数关系的是 ( )
2.某村耕地总面积为50公顷,且该村人均耕地面积y(单位:公顷/人)与总人口x(单位:人)的函数图像如图示,则下列说法正确的是( )
A.该村人均耕地面积随总人口的增多而增多
B.该村人均耕地面积y与总人口x成正比例
C.若该村人均耕地面积为2公顷/人,则总人口有100人
D.当该村总人口为50人时,人均耕地面积为1公顷/人
3.随着私家车的增加,交通越来越拥挤,通常情况下,某段公路上车辆的平均行驶速度y(千米/时)与公路上每百米车的数量x(辆)的关系如图示,当x≥8时,y与x成反比例函数关系,若车辆的平均行驶速度低于20千米/时,交通就会拥堵,为避免出现交通拥堵,公路上每百米车的数量x应该满足的范围是 ( )
A.x<32 B.x≤32 C.x>32 D.x≥32
4.某工厂需要做一批零件共300个,每名工人每小时做15个,则表示完成任务所需的时间y(时)与做零件的工人数x(人)之间的函数表达式为 .
5.山西拉面,又叫甩面、扯面、抻面,是西北城乡独具地方风味的面食名吃,为山西四大面食之一.将一定体积的面团做成拉面,面条的总长度y(cm)与粗细(横截面面积)x(cm2)之间的变化关系如图示(双曲线的一支).如图果将这个面团做成粗为0.16 cm2的拉面,那么做出来的面条的长度为 .
6.已知一艘轮船上装有100吨货物,轮船到达目的地后开始卸货.
(1)求卸货的平均速度v(吨/时)关于卸完这批货物所需的时间t(时)的函数表达式;
(2)若要求不超过5小时卸完船上的这批货物,则平均每小时至少要卸货多少吨
7.一蓄水池每小时的排水量V(m3/h)与排完水池中的水所用的时间t(h)之间成反比例函数关系,其图像如图示.
(1)求V与t之间的函数表达式;
(2)如图果要2 h排完水池中的水,那么每小时的排水量应该是多少
(3)如图果每小时的排水量不超过4000 m3,那么水池中的水至少要多少小时才能排完
8.一张正方形的纸片,剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形图案,如图示,设小矩形的长和宽分别为x,y,剪去部分的面积为20.若2≤x≤10,则y关于x的函数图像是 ( )
9.(2020如图皋期中)调查显示,某商场一款运动鞋的每天的销售量是售价的反比例函数(调查获得的部分数据如图下表).已知该运动鞋的进价为180元/双,要使该款运动鞋每天的销售利润达到2400元,则其售价应定为 元/双.
售价x(元/双) 200 240 250 400
销售量y(双) 30 25 24 15
10.某汽车销售商推出分期付款购车促销活动,交付首付款后,余额要在30个月内结清,不计算利息,王先生在活动期间购买了价格为12万元的汽车,交了首付款后平均每月付款y万元,x个月结清.y与x之间的函数关系如图示,根据图像回答下列问题:
(1)确定y与x之间的函数表达式,并求出首付款的数目;
(2)若王先生用20个月结清,则平均每月应付多少万元
(3)如图果打算每月付款不超过4000元,王先生至少要几个月才能结清余额
11.如图科技小组准备用材料围建一个面积为60 m2的矩形科技园ABCD,其中一边AB靠墙,墙长为12 m,设AD的长为x m,DC的长为y m.
(1)求y与x之间的函数表达式(不必写出x的取值范围);
(2)若围成矩形科技园ABCD的三边材料总长不超过26 m,材料AD和DC的长都是整米数,求出满足条件的所有围建方案.
答案
11.3 第1课时 用反比例函数
解决问题(1)
1.B 2.D
3.B 设反比例函数的表达式为y=(x≥8).将点(8,80)的坐标代入,得y=.
令y=20,则20=,
解得x=32,
所以为避免交通拥堵,公路上每百米车的数量x应该满足的范围是x≤32.
4.y=
5.800 cm 由图像,知面条的总长度y(cm)与粗细(横截面面积)x(cm2)成反比例函数关系.设y=(x>0).
∵双曲线y=过点P(0.04,3200).
∴k=xy=0.04×3200=128,
∴y=(x>0).
当x=0.16时,y==800(cm).
6.解:(1)根据题意,得v=(t>0).
(2)当t=5时,v==20.
∵0∴平均每小时至少要卸货20吨.
7.解:(1)设V与t之间的函数表达式为V=.
把(6,3000)代入V=,得
3000=,解得k=18000,
所以V与t之间的函数表达式为V=(t>0).
(2)把t=2代入V=,得V=9000.
答:每小时的排水量应该是9000 m3.
(3)把V=4000代入V=,得t=4.5.
根据反比例函数的性质,在每个象限内,V随t的增大而减小,因此水池中的水至少要4.5 h才能排完.
8.A
9.300 由表中数据得xy=6000,
∴y=,
∴销售量y与售价x之间的函数表达式为y=.
由题意,得(x-180)y=2400,
把y=代入,得(x-180)·=2400,解得x=300.
经检验,x=300是原方程的根且符合题意.
即要使该款运动鞋每天的销售利润达到2400元,则其售价应定为300元/双.
10.解:(1)由题意可知y与x成反比例,设y与x之间的函数表达式为y=.
把(5,1.8)代入y=,得
1.8=,解得k=9,
∴y与x之间的函数表达式为y=.
故12-9=3(万元),
故首付款为3万元.
(2)当x=20时,y==0.45,
故每月应付0.45万元.
(3)当y=0.4时,0.4=,解得x=22.5,
故王先生至少23个月才能结清余款.
11.解:(1)根据题意,得xy=60,即y=,
∴y与x之间的函数表达式为y=.
(2)∵y=,且x,y都为整数,
∴x可取1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60.
又由题意知2x+y≤26,0∴符合条件的有x=5时,y=12;x=6时,y=10;x=10时,y=6.
即满足条件的所有围建方案有AD=5 m,DC=12 m或AD=6 m,DC=10 m或AD=10 m,DC=6 m.第2课时 用反比例函数解决问题(2)
知识点 应用反比例函数解决跨学科问题
1.公元前3世纪,古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡,后来人们把它归纳为“杠杆原理”,即阻力×阻力臂=动力×动力臂.小伟欲用撬棍撬动一块石头,已知阻力和阻力臂分别是1500 N和0.4 m,则动力F(单位:N)关于动力臂L(单位:m)的函数表达式正确的是 ( )
A.F= B.F= C.F= D.F=
2.某气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内的气压p(单位:kPa)是气球体积V(单位:m3)的反比例函数,其图像如图.当气球内的气压大于120 kPa时,气球将爆炸,为了安全起见,气球的体积应 ( )
A.不小于 m3 B.小于 m3 C.不小于 m3 D.小于 m3
3.已知在对物体做功一定的情况下,作用在该物体上的力F(牛)与此物体在力的方向上移动的距离s(米)成反比例函数关系,其图像如图,则当力达到20牛时,此物体在力的方向上移动的距离是 米.
4.码头工人往一艘轮船上装载一批货物,每天装载30吨,8天装载完毕.
(1)轮船到达目的地后开始卸货,求卸货速度v(吨/天)与卸货天数t(天)之间的函数表达式;
(2)由于遇到紧急情况,要求船上的货物5天之内卸载完毕,那么每天至少要卸货多少吨
5.(2020南京秦淮区期末)在压力不变的情况下,某物体所受到的压强p(Pa)与它的受力面积S(m2)之间成反比例函数关系,其图像如图所示.
(1)求p与S之间的函数表达式;
(2)当S=0.4 m2时,求该物体所受到的压强p.
6.(2020常州期末)1888年,海因里希·鲁道夫·赫兹证实了电磁波的存在,这成了后来大部分无线科技的基础.电磁波波长λ(单位:米)与频率f(单位:赫兹)满足函数关系λ·f=3×108,下列说法正确的是 ( )
A.电磁波波长是频率的正比例函数
B.电磁波波长20000米时,对应的频率1500赫兹
C.电磁波波长小于30000米时,频率小于10000赫兹
D.电磁波波长大于50000米时,频率小于6000赫兹
7.实验数据显示,一般成人喝半斤低度白酒后,1.5小时内其血液中酒精含量y(毫克/百毫升)与时间x(时)成正比例关系,1.5小时后(包括1.5小时)y与x成反比例关系,其图像如图所示.根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)写出一般成人喝半斤低度白酒后,y与x之间的函数表达式及相应的自变量的取值范围;
(2)按国家规定,车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”,不能驾车上路.参照上述数学模型,假设某驾驶员晚上21:00在家喝完半斤低度白酒,第二天早上7:00能否驾车去上班 请说明理由.
8.春季是传染病多发的季节,积极预防传染病是学校高度重视的一项工作,为此,学校对教室喷洒药物进行消毒.在对某教室进行消毒的过程中,先经过5 min的集中药物喷洒,再封闭教室10 min,然后打开门窗进行通风,在封闭教室10 min的过程中,每经过1 min室内每立方米空气中含药量降低0.2 mg,室内每立方米空气中含药量y(mg/m3)与药物在空气中的持续时间x(min)之间的函数关系如图(在打开门窗通风前分别满足两个一次函数关系,在通风后又成反比例).
(1)a= ;
(2)求y与x之间的函数表达式;
(3)当室内空气中的含药量不低于5 mg/m3且持续时间不低于20 min时,才能有效杀灭某种传染病毒,则此次消毒是否有效 请说明理由.
9.(2020连云港海州区期末)饮水机中原有水的温度为20 ℃,通电开机后,饮水机自动开始加热,此过程中水温y(℃)与开机时间x(分)满足一次函数关系,当加热到100 ℃时自动停止加热,随后水温开始下降,此过程中水温y(℃)与开机时间x(分)成反比例关系,当水温降至20 ℃时,饮水机又自动开始加热……重复上述程序(如图所示),根据图中提供的信息,解答问题:
(1)当0≤x<8时,求水温y(℃)与开机时间x(分)之间的函数表达式;
(2)求图中t的值;
(3)若在通电开机后即外出散步,请你预测散步42分钟回到家时,饮水机内水的温度约为多少
答案
第2课时 用反比例函数解决问题(2)
1.C ∵阻力×阻力臂=动力×动力臂,阻力和阻力臂分别是1500 N和0.4 m,
∴动力F(单位:N)关于动力臂L(单位:m)的函数表达式为1500×0.4=FL,则F=.
故选C.
2.C
3.36 ∵作用在该物体上的力F(牛)与此物体在力的方向上移动的距离s(米)成反比例函数关系,
∴可设其函数表达式为F=(k≠0).
∵点(10,72)是反比例函数图像上的点,
∴k=720,
∴此函数的表达式为F=.
把F=20代入函数表达式,得s=36,
∴此物体在力的方向上移动的距离是36米.
故答案为36.
4.解:(1)轮船上的货物总量为30×8=240(吨),
故卸货速度v(吨/天)与卸货天数t(天)之间的函数表达式为v=.
(2)把t=5代入v=,得v==48,
∵k=240>0,
∴在第一象限内,v随t的增大而减小,
故船上的货物5天之内卸载完毕,每天至少要卸货48吨.
5.解:(1)设p与S之间的函数表达式为p=(S>0,k≠0).
∵反比例函数p=的图像过点(0.1,1000),
∴1000=,解得k=100,
∴p与S之间的函数表达式是p=(S>0).
(2)当S=0.4时,
则p==250,
故当S=0.4 m2时,该物体所受到的压强p是250 Pa.
6.D ∵电磁波波长λ与频率f满足函数关系λ·f=3×108,
∴电磁波波长是频率的反比例函数,故选项A错误;
当λ=20000米时,f==15000(赫兹),故选项B错误;
∵f=,3×108>0,
∴在每一个象限内,f随着λ的增大而减小,
∴电磁波波长小于30000米时,频率大于10000赫兹,故选项C错误;
电磁波波长大于50000米时,频率小于6000赫兹,故选项D正确,
故选D.
7.解:(1)当0≤x<1.5时,设y与x之间的函数表达式为y=kx,则150=1.5k,
解得k=100,故y=100x(0≤x<1.5);
当x≥1.5时,设y与x之间的函数表达式为y=,则150=,解得a=225,故y=(x≥1.5).
综上所述,y与x之间的函数表达式为
y=
(2)第二天早上7:00不能驾车去上班.
理由:∵晚上21:00到第二天早上7:00,有10小时,
∴当x=10时,y==22.5>20,
∴第二天早上7:00不能驾车去上班.
8.解:(1)8
(2)当0≤x<5时,y=x=2x;
当5≤x<15时,y=10-0.2(x-5)=-0.2x+11;
当x≥15时,y==.
∴y与x之间的函数表达式为
y=
(3)此次消毒有效.理由如图下:
当0≤x<5时,令y=5,得2x=5,解得x=2.5;
当x≥15时,令y=5,得=5,解得x=24.
∵24-2.5=21.5(min)>20 min,
∴此次消毒有效.
9.解:(1)当0≤x<8时,设水温y(℃)与开机时间x(分)之间的函数表达式为y=kx+b(k≠0).
将(0,20),(8,100)代入y=kx+b中,得
解得
∴当0≤x<8时,水温y(℃)与开机时间x(分)之间的函数表达式为y=10x+20.
(2)当8≤x≤t时,设水温y(℃)与开机时间x(分)之间的函数表达式为y=(m≠0).
将(8,100)代入y=中,得
100=,解得m=800,
∴当8≤x≤t时,水温y(℃)与开机时间x(分)之间的函数表达式为y=.
当y=20时,即=20,解得x=40,
∴图中t的值为40.
(3)∵42-40=2<8,
∴当x=2时,y=2×10+20=40,
故散步42分钟回到家时,饮水机内水的温度约为40 ℃.
