北京版九年级数学上册19.4 二次函数应用举例（一）二次函数图象与方程、不等式 教学设计（表格式）

教学基本信息
课题 二次函数图象与方程、不等式 授课教师
指导思想与理论依据
指导思想： 本节课以形成学生的知识技能、完善学生的数学思维、发展学生严谨的科学态度为出发点，以落实《新课程标准》对函数、方程以及不等式的要求为终极目标。教学活动中通过有效的学习活动，培养学生的数学核心素养，突出生生互动、师生互动.
理论依据： 《新课程标准》指出，数学教学应从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流等，获得数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，促使学生主动地、富有个性地学习，不断提高发现问题和提出问题的能力、分析问题和解决问题的能力. 《数学课程标准》强调：学生所学习的数学应当是“与学生的现实相联系的、学生感兴趣的、富有数学内涵的，特别地，有利于促进学生的一般发展与个性发展”，本节内容也是学生所能够掌握的，将以由图到式，再由式到图为主线开展课堂教学，由浅到深，有利于学生主动地从事观察、实验、猜测、验证与推理，使学生在动手实践、自主探索中建立知识结构，可以进一步落实中国学生核心素养中的学会学习方面的核心素养.
教学背景分析
教学内容： 函数、方程和不等式是是“数与代数”领域中重要的内容，其内容的复杂性、综合性和思想性都很强，在第三学段占有重要地位．本节课是学生在学习了二次函数的概念、图象以及性质的基础上，继续探索二次函数与一元二次方程及不等式的关系，学习内容符合学生的认知规律，为后面要学习的二次函数的应用等相关知识做好铺垫，起着承上启下的作用．函数图象和方程、不等式的相互转化，体现了数形结合思想在数学中的应用，函数的思想方法将贯穿学生整个学习过程.
学生情况： 知识方面：学生在八年级已经探究了一次函数与一元一次方程、不等式的关系，这为本节课学生的学习提供了方法；同时，在本节课前，学生学习了一元二次方程、二次
函数的知识，这为本节课的学习提供了知识基础.技能方面：九年级的学生动手实践能力以及参与意识较强，但他们崇尚真知、敢于质疑、勇于探索的科学精神以及创新的意识还需要得到进一步地培养.
教学方式：学生经历自主探索、小组合作交流的过程，主动获取知识.
教学工具（手段）： 课前设计思维导图回顾二次函数的基础知识.刻度尺、教材等.
教学目标
1.认识二次函数图象与一元二次方程、 一元一次不等式之间的联系，会用函数观点解释方程和不等式及其解（解集）的意义； 2.学生经历探究二次函数与一元二次方程、一元一次不等式之间的联系的过程，体会数形结合、分类、类比、归纳等数学思想方法的运用，积累数学活动经验；经历用函数图象表示方程、不等式解（解集）的过程，进一步体会数形结合思想； 3.学生通过积极参与自主探究、小组合作等活动，增强学生间的合作意识，通过对二次函数、一元二次方程与不等式内在关系的探究，进一步认识事物部分与整体的辩证统一关系，养成用联系的观点看待数学问题的意识；在探究活动中，学生获得亲自参与研究的情感体验，从而增强学生学习数学的热情和勇于探索、锲而不舍的精神.
教学重点、难点
教学重点：二次函数图象与方程、不等式的关系. 教学难点: 探索二次函数图象与方程、不等式的关系.
教学阶段 教师活动 学生活动 设置意图
一、 创设情境 引入新课 展示学生课前设置的思维导图，整理由二次函数y=x2-1能联想到哪些知识？ 学生展示课前设置的思维导图，并交流. 通过展示学生用心设计的思维导图，激发学生的学习兴趣，回顾相关知识，为解决本节课的问题做好铺垫.
二、 合作交流 探究新知 什么是图象法. 2.体会图象法的妙处，总结如何用图象法解方程、不等式. 3.体会多角度转换方案，感受图象法. 画出二次函数y=x2-1的图象 活动一：探究二次函数图象与x轴的交点与一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0的解及相应不等式的解集之间的关系. 依据图象回答问题： （1）求图象与x轴的交点坐标. （2）当自变量x取何值时，函数值y=0？这里x的取值与方程x2-1=0的解有什么关系？ （3）二次函数y=x2-1的图象与一元二次方程x2-1=0有什么关系？ （4）你能依据图象写出当y＞0，y＜0时，求自变量x的取值范围吗？ （5）你能依据图象写出不等式x2-1＞0，x2-1＜0的解集吗？ 归纳：二次函数的图象与一元二次方程及一元二次不等式有什么关系？ 活动二：探究探究二次函数图象与平行于x轴的直线与相应的一元二次方程的解及不等式的解集之间的关系. （1）你能依据图象判断方程x2-1=2， x2-1=-1，x2-1=-100的根的情况吗？ 归纳：如何利用图象求出一元二次方程ax2+bx+c=k（k为常数）的解？ （2）你能依据图象求出x2-1＞3，x2-1＜3的解集吗？ 归纳：如何利用图象求出ax2+bx+c=k（k为常数）的解集？ 活动三：利用图像法求方程、不等式的解（解集）. （1）利用图象法求方程x2-3=2x的解. 方案1：设y1= x2-3，y2=2x，画出图象，观察两图象交点坐标，写出结果. 方案3：设y1= x2，y2=2x+3，画出图象，观察两函数图象的交点坐标，写出结果. 总结：利用图象法求方程的解的方法. （2）依据图象写出x2-3＞2x，x2-3＜2x的解集. 总结：利用图象法求不等式的解集的方法. 学生依据题意画出函数图象并依据图象回答问题. 小组合作交流完成探究活动一. 集体交流展示. 师生共同归纳. 学生经历独立思考后相互交流 学生经历独立思考后相互交流，总结方法. 学生经过合作学习，产生解决问题的方法. 学生探究解决问题的方案. 方案2：设y1= x2-2x- 3，画出图象，观察抛物线与x轴的交点坐标，写出结果. 方案4：设y1= x2-2x，y2=3，画出图象，观察抛物线与直线y2=3的交点坐标，写出结果. 或其它方案. 观察，不同的转化方案，得到的方程的解是否相同？ 通过探究二次函数与一元二次方程、不等式之间的联系的过程，体会数形结合的思想；通过积极参与自主探究、小组合作等活动，增强学生间的合作意识. 通过设计问题串的形式，促使学生整体感知学过的知识之间的内在联系，为探求新知识做好铺垫. 学生经历探究抛物线与x轴、平行于x轴的直线、任意一条直线、以至于任意两个函数图象的交点坐标与方程、不等式的关系，体会从特殊到一般的研究问题的方法，培养学生的探究精神，落实中国学生核心素养中的学会学习方面. 通过探究不同转化方案，培养学生的实践创新的核心素养. 学生通过归纳再次感悟函数图象与方程、不等式的关系.
三、 拓展提升应用新知 观察图象，写出方程 ax2+bx+c= （a、b、c、m 为常数且a≠0）的解. 学生完成题目 并感悟函数图象与方程、不等式间的关系. 本环节目的在于学生在前面充分探究的基础上，能够将知识迁移，培养学生的应用意识.
四、 课堂小结 反思提升 本节课，我们主要探究了二次函数图象与方程、不等式的关系，在今后的学习中我们要养成用联系的观点看待数学问题的意识. 学生谈谈在本节课有哪些收.（从知识方面、学习方法等方面进行总结） 师生共同总结在本节课的收获与体会，真正做到教学相长.
五、 课堂检测 课堂检测： 观察图象回答： 1.抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两交点坐标是 ；ax2+bx+c=0 的解是 . 2. 写出ax2+bx+c＞0的解集是 .
本节教学设计特点 本节课，通过设计问题串的形式，促使学生整体感知学过的知识之间的内在联系，通过探究二次函数与一元二次方程、一元一次不等式之间的联系的过程，体会数形结合的思想；学生经历探究抛物线与x轴、平行于x轴的直线、任意一条直线、以至于任意两个函数图象的交点坐标与方程、不等式的关系，体会从特殊到一般的研究问题的方法，培养学生的探究精神，落实中国学生核心素养中的学会学习方面. 通过探究不同转化方案，培养学生的实践创新的核心素养.学生积极参与自主探究、小组合作等活动，增强学生间的合作意识，同时能够获得成功的体验.