北京版九年级数学上册 20.2 30°，45°，60°角的三角函数值 教学设计（表格式）

课题 20.2 30°，45°，60°角的三角函数值 ——探究15°角的三角函数值
学科 数 学 学段 第三学段 年级 九年级
相关领域 图形与几何
媒体运用 几何画板及投影展示
教材 书名：义务教育教科书《数学》九年级上册 出版社：北京出版社 出版日期：2015年7月
指导思想与理论依据
建构主义认为学习者的知识不是通过教师讲授得到的，而是学习者在一定的情境下（自然及社会文化背景等等），借助其他人（包括教师和学习伙伴等）的帮助，充分利用学习资源（包括文字教材、多媒体课件、软件工具等等），通过意义建构而获得。 《数学课程标准》中指出，数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。教师应该激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探究和合作交流的过程中真正理解和掌握数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。 基于对《数学课程标准》和建构主义的理解，本节课我采取启发、探究相结合教学方式。围绕当前的学习主题（锐角三角函数），按“最近发展区”的要求，为学生搭设“脚手架”（在问题的情境中，让学生发现数学问题，并能将有关数学问题转化为锐角三角函数问题），学生以原有的知识经验（锐角三角函数的概念、30°、45°、60°的三角函数）为基础，通过对15°角的三个三角函数值进行探索，并从中归纳、概括，把已经学习过新知识（锐角三角函数）纳入到已有的认知结构中去。通过对题目探究、归纳不断地把学生的几何直观能力、推理能力从第一个水平（理解锐角三角函数的基本概念进行简单的猜想.）提高到第二、第三个水平（从已有的事实出发，进行合情推理和演绎推理，能进行结果的推断和表达.）上。学生在探究15°角的三角函数值的过程中，体验研究数学问题的一般方法：由具体到抽象、特殊到一般、归纳概括得到解决问题的一般方法。
教学背景分析
1、学习内容分析： 锐角三角函数属于三角学，是继勾股定理之后，研究解直角三角形有关问题的又一重要工具。在生活中有着广泛的应用，在解决计算距离、高度、角度等问题时，大多归结为直角三角形的边角关系问题。同时在解决四边形、圆、几何变换等计算问题上的应用也很广泛； 本节教学内容是北京市义务教育教科书《数学》九年级上册，第二十三章《解直角三角形》的《锐角三角函数》，隶属于《义务教育数学课程标准（2011年版）》中的“图形与几何”领域.教材安排了四个课时来学习锐角三角函数的定义及30°、45°、60°的三角函数值，本课为继前两个内容已经学习后的一节巩固提升课：探究如何计算15°角的三角函数值。 从知识技能上看，本节课是对前面已经学的两个内容进行的巩固和提升，需要扎实的掌握三角函数的概念，充分利用特殊的直角三角形，准确的画出图形来解决问题，在探究解题的过程中学生从不同角度、不同层次、不同情形、不同背景中解决问题，培养学生思维的广阔性，启迪学生的思维、开拓解题思路，养成用全面、联系的观点从本质看问题的习惯。 综上所述，本节课不论从知识技能还是思想方法上，既是以前学习的深入，又为后续学习奠定基础，对培养学生的探索精神、动手能力、应用意识和抽象建模能力都有很好的作用。 2、学生情况分析： 从知识来看，学生对锐角三角函数的概念、30°、45°、60°的三角函数值已经掌握；从能力上来看，学生具有一定的画图能力，逻辑推理和证明的能力，有积极参与探究的欲望。 但是学生对于怎样把特殊的直角三角形与一般的角度15°之间建立起联系的意识不是很充分，缺乏对知识的整体把握和认知。 基于以上学生情况，本节课首先对已学知识进行巩固和复习，在讨论中让学生充分思考15°角可以怎样得到；再通过画图解题的过程，感受由特殊到一般的解题策略，同时实现对知识的整体把握和认知。 3、教学方式与教学手段： 从学生已有的知识和经验出发，启发学生从不同角度探索解决问题，以小组合作的形式进行交流讨论。同时，在教学中针对不同层次的学生进行分层指导，让每一个学生都得到不同程度的发展。
教学目标
1.知识与技能 (1)巩固锐角三角函数的概念及30°、45°、60°的三角函数值； (2)能运特殊的直角三角形中的三角函数关系解决有关问题； 2.过程与方法 (1)在开放性问题的解决过程中，感受解题方法的多样性；在不同图形中提高识图能力，感受“变化中的不变”，发展合情及演绎推理能力； (2)经历自主探索画图构造特殊直角三角形的过程，在合作交流、题后反思中体验解题的不同策略方法，锻炼发现问题和提出问题的能力，体会转化的数学思想方法，积累数学活动经验。 (3)通过问题的解决中，发展思维，体会由特殊到一般的思想方法，提高分析问解决问题的能力。 3.情感态度价值观 通过分析和解决问题，养成用全面、联系的观点分析问题，养成透过现象看本质的习惯。 教学重点、难点 ： 重点：应用锐角三函数概念及30°、45°、60°的三角函数值解决问题，提升思维。 难点：如何构造特殊的直角三角形解决问题。
板书设计
方案1. 方案2. 方案3. 方案4.
教学过程
教学 阶段 教师活动及教学内容 学生活动 设置意图
复 习 巩 固 夯 实 基 础 课前小测讲评： 1. 在Rt△ ABC中，∠ C=90°，BC=3，AB=4，则cosB的值是 ； 2. 已知：△ ABC中，∠ C=90°，,，则的长是 . 3. 在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则tanB的值为__________． 4. 在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则= . 5. 计算： ◆评析点拨 (1)对学生的发生的错误给予及时的点拨。 (2)从知识和解题方法上给予学生帮助，解决问题。 ★独立完成 课前独立完成5道小题的测试 ★展示解题 分享解题的过程。 ★交流总结 请遇到问题的同学展示自己的问题，共同解答。 ★回顾反思 结合题目思考我们解决问题用到的主要知识和解题方法。 ▲巩固已经学习的知识内容。并且在正式进入本节课的教学内容之前，先以小测验的方式让学生对已经学习过的知识进行查漏补缺，为本节课的内容做好铺垫工作，避免解题时忽略重点内容。 ▲通过对解题的知识总结和方法总结，再现锐角三角函数的基本概念，基本方法。突出直角三角形在解题中的必要性。帮助学生完善知识结构，便于学生查漏补缺。
问 题 “促” 学 拓 展 思 维 问 题 “促” 学 拓 展 思 维 问题：前面我们已经学习过了特殊的三角函数（30°、45°、60°）值，那当我们遇到的角度不是特殊值时，我们能不能求出他们的三角函数值呢？ 探究：求15°的三角函数值？ ◆引导思考 你有什么解决问题的想法？ ◆引导思考 (1)根据锐角三角函数定义，应该怎样计算15°的三角函数值？ ◆引导思考 (1)我们学习过的特殊角与15°有没有联系？ (2)怎样建立15°与30°、45°、60°的联系？ ◆引导解题 1. 只依靠15°定义是否可以直接求？ 2. 怎样画出15°的角？ ◆构思方案 （1）从数量关系上思考 ①15° ②15° ③15° （2）借助数量关系画出图形 ①15° 图1-1 图2-1 ②15° 图3-1 ③15° 图4-1 ◆解决问题 困难预设： 【困难1】有了特殊角，怎样利用特殊角？ 【困难2】怎样构造特殊的直角三角形？ 【困难3】如何设立未知数？ ①15° 图1-1 图1-2 图1-3 （图1-2与图1-3怎样选择？） ④利用图1-2，求解. ⑤设DE=1.利用特殊直角三角形及角平分线的性质， 分别表示：BD=2；BE=BC= DC=；AC=；AB=？ 问题：AB的表示遇到困难。但在理论上是可以求解的。 较易得到tan15°= ； 而sin15°，cos15°暂时不能表示. ◆评析追问 (1)对学生的解答给以积极的评价。 (2)提问： ①通过什么操作能充分利用特殊角？ ②在设未知数时应该注意什么？可不可以设BD=1？ ◆引导总结 ①解决三角函数问题时，直角三角形必不可少（因为定义）。 ②“形变质不变”，即在一般中构造特殊，借助特殊解决问题。 ★独立思考 先独立思考，记录自己的想法。 ★合作交流 根据老师的第三次引导问题，小组之间进行交流讨论，确定解决问题的方案。 一些小组可以找到30°、45°、60°与15°的关系，并画出图形。 ★展示方案 小组展示本组的解题方案以及解题时遇到的问题。 共同探讨找到解决方法。 ★困难1 要把特殊角也放到直角三角形中，让所求的边与特殊角建立联系，需要构造新的直角三角形。 ★困难2 构造新的特殊直角三角形后，要与所求线段充分建立联系，而图2中边与边之间的关系没法建立. ★困难3 设立未知数的原则是计算方便. ★回顾反思 借助教师提出的问题再次回顾方案1的解决方法。 ▲在正式讲解问题前，先留给学生足够的思考空间，充分的交流讨论。一定的交流后，再通过逐层提问,激发学生思考,从三角函数的概念入手，画出图形，观察图形，培养学生画图、识图能力的同时，让学生体会借助特殊解决一般问题过程，发展学生认知观念，渗透事物间相互联系的辩证观点。 ▲在解决问题时，首先要提出困难，再通过解决困难逐步达成目标，体会解题的过程以及解题时用到的方法，巩固基础知识和基本解题的技能。 ▲一种方法解决完问题后可以继续追问，总结，加深对知识的理解和方法理解.
问 题 “促” 学 拓 展 思 维 问 题 “促” 学 拓 展 思 维 对①15°再理解 求解： 设BC=1.利用特殊直角三角形及等腰三角形的性质， 分别表示：CD=；BD=DA=2 AC=；AB=？ 问题：AB的表示遇到困难。但在理论上是可以求解的。 较易得到tan15°= ； 而sin15°，cos15°暂时不能表示. ◆评析追问 (1)对学生的解答给以积极的评价。 (2)提问： ①通过什么操作能充分利用特殊角？ ②在设未知数时应该注意什么？可不可以设其它的边为单位1？ ◆引导总结 ①解决三角函数问题时，直角三角形必不可少。 ②“形变质不变”，即在一般中构造特殊，借助特殊解决问题。 ◆独立解决其它方案 ②15° 图3-1 图3-2 ③15° 图4-1 图4-2 ③利用图4-1，求解. ④设BC=1.利用特殊直角三角形的性质； 分别表示：CD=；BD=；AC=；AB=2 AD= ；DE=；AE= ； BE=BA-EA= 可求得：sin15°= ； cos15°= tan15°= ◆评析追问 (1)对学生的解答给以积极的评价。 (2)提问： ①怎样利用特殊角构造一般角？ ②在设未知数时应该注意什么？可不可以设DE为单位1？ ◆引导总结 ①解决三角函数问题时，直角三角形必不可少（因为定义）。 ②“形变质不变”，即在特殊中构造一般，借助特殊解决问题。 ★尝试解题 尝试提出自己的解决办法，与周围同学交流；完善解题. ★回顾反思 回顾整个题目，发现特殊与一般的关系。 ★尝试求解 依据新的图形继续求解. ★交流讨论 大家共同提出构造新的特殊直角三角形的方法. ★展示解题 与同学分享解题时的想法与困难. ★回顾反思 回顾整个题目，发现特殊与一般的关系。 ▲再讨论，从15°与30°的倍、分关系出发，体会这种解决方案的简洁性. ▲③与④完全从特殊出发，充分利用特殊的直角三角形解决15°的问题，从不同的15°的得到的方法可以找到不同的构造直角三角形的办法。 通过分析和解决问题，体会借助特殊直角三角形解决一般问题的重要作用。 ▲通过③与④给学生以新鲜感、唤起学生的好奇心和求知欲，同时通过对题目不同角度、不同层次、不同情形、不同背景的分析，于培养学生思维的广阔性，启迪学生的思维、拓宽解题思路，养成用全面、联系的观点从本质看问题的习惯 。 另外，通过分析和解决问题，体会添加辅助线构造特殊直角三角形中的重要作用。
解 题 应 用 思 维 提 升 ◆应用解题 已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°， D为BC中点，过点C作CD⊥AC于点E. 求：连接BE， tan∠EBD的值. ★独立思考后，小组交流解答过程。 ▲通过一道，边与角都是一般情况的题目，巩固锐角三角函数的定义，及本节课的解题思维，巩固构造直角三角形来解题。
课堂 小结 交流 反思 ◆提出问题 通过本节课的探究，你在知识、数学思想方法、解题方法或其他方面有什么收获？ ◆方法提升 1.分析问题的方法: 由未知挖掘需知靠拢已知（持果索因） 由已知提出可知靠拢未知（由因导果） 2.解决问题的方法: 转化及由特殊到一般的数学思想方法 ★反思交流 学生自由发言，谈自己的收获和感受。 ▲通过小结，深化对知识的理解，完善认识结构，领悟方法．
分层 作业 体验 收获 试卷《锐角三角函数练习》 继续思考其他的方案. 你能计算出22.5°的三角函数值吗？ ★完成作业 根据自身情况完成作业，并完成思考题。 ▲分层作业满足不同层次学生需求，巩固所学。
学习效果评价量规
评价方式 评价内容 评价等级
A B C
自评 1、课前检测的正确性
2、独立思考获得解决问题的思路情况
3、积极反思情况
4、主动参与小组讨论
5、能够不回避遇到的困难
组评 6、提出问题和解决问题的情况
7、实事求是的态度
8、参与小组讨论的情况
9、帮助同学的情况
本教学设计与以往或其他教学设计相比的特点
1. “一题多解”，培养学生的发散性思维 本节课通过探究15°的三角函数值，让学生主动在问题解决中复习巩固锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数的知识内容．这样的探究问题可以让每个学生勾起对已有知识的回忆，可以让每一个同学都能有入手解决问题的想法．通过构造不同的直角三角形，有效地激活了学生的思维，促使学生高效进入课堂学习． 2.“形变质不变”，启发学生抓住解决问题的本质 著名数学教育家波利亚曾形象地指出：“好问题同某种蘑菇有些相像，它们都成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找一找，很可能附近就有好几个．”本节课通过探究问题不同解决方案，从不同角度、不同层次、不同情形、不同背景，暴露解决问题的本质，揭示特殊到一般的内在联系，唤起学生的好奇心和求知欲，又能培养学生思维的广阔性、克服思维狭窄性、启迪学生的思维、开拓解题思路，还能使学生不迷恋于事物的表象，养成用全面、联系的观点从本质上看问题的习惯．