北京版九年级数学上册 21.4 圆周角 教学设计（表格式）

《21.4圆周角》
教学基本信息
课题 《21.4圆周角》（第一课时）
学科 数学 学段： 第三学段（7～9年级） 年级 初三
教材 书名：义务教育教科书 出版社：北京出版社 出版日期：2016年7月
指导思想与理论依据
新课程标准提出课程内容不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法.学生应该有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程.教师要引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能，体会和运用数学思想与方法，获得基本的数学活动经验.告诉我们，知识是学生自主建构的，不是老师教给的，通过自己的探究与实践构建自身知识体系符合学生的认知发展规律.
教学背景分析
教学内容：《21.4圆周角》是义务教育教科书数学九年级上册第二十一章《圆（上）》第四节课的内容，本节内容是在学生学习了圆、弦、弧、圆心角等概念和相关知识的基础上进行研究的，是前面所学知识的继续；圆周角与圆心角的关系在圆的有关说理、作图、计算中应用比较广泛，是后面研究圆与其它平面几何图形的桥梁和纽带，在教材中处于承上启下的重要位置；通过对圆周角和圆心角关系的探索，进一步掌握说理和进行简单的推理和计算，属于知识的梳理、综合阶段.从方法角度看，在圆周角与圆心角关系的证明过程中，渗透了由特殊到一般思想、分类讨论思想和转化思想，落实了推理能力和几何直观.学生情况：九年级学生经过前两个学段和本章前面知识的学习，已经具备了一定的知识技能，也有一定的空间想象能力和动手操作能力。但由于他们的年龄特征及数学知识的局限性，在运用“分类”和“转化”的数学思想进行推理验证方面还不是很成熟，因此本节课的难点是用“分类”与“转化”的思想证明圆周角定理．而要实现难点的突破，关键是要如何去“分类”和“转化”.教学方式：本节课以学生探究为主，配合多媒体辅助教学．教学中注重学生的个体差异，让不同层次的学生充分参与到数学思维活动中来，充分发挥学生的主体作用．引导学生采用动手实践，自主探究，合作交流的学习方法进行学习，使学生在观察、实践中充分体验探索的快乐，发现新知，发展能力．教学手段：在教学中教师启发学生思考问题，发现圆周角定理的三种情况，引导学生积极参与到知识的探究过程中去，体会成功的喜悦，在小组合作的过程中，体会小组合作的乐趣，在证明过程中教师启发学生观察三种情况之间的联系和区别，把第一种情况的证明方法迁移到其他两种情况中去，体会解决数学问题的一般到特殊的思想方法，培养学生分析问题解决问题的能力.
教学目标
1、理解圆周角的概念，并能在图中准确地识别圆周角；2、经历实验、观察、猜想、验证等探索过程，了解并证明圆周角定理，进一步理解分类讨论、由特殊到一般以及转化是学习数学的是重要思想方法；并能运用其进行简单的证明和计算；3、通过操作和交流展示等活动，进一步提高学生的数学素养，提高他们思考问题的理性思维.教学重难点在图中准确地识别圆周角，进行简单的证明和计算。
教学流程示意
教学过程
教学阶段 教师活动 学生活动 设置意图
前测回顾 前测：1.什么是圆心角？（顶点在圆心的角）2.当圆心角顶点发生变化时,我们得到几种情况 几何画板演示变化过程，得到三种情况思考：（1）三个图中的∠BAC的顶点A各在圆的什么位置？（2） 角的两边和圆是什么关系？图1：顶点在圆内，角的两边和圆相交；图2：顶点在圆上，角的两边和圆相交；图3：顶点在圆外，角的两边和圆相交； 这三种情况正是根据顶点A和圆的位置关系确定的，图2就是我们今天要研究的新的一种类型的角叫圆周角. 学困生回答 学生思考学困生回答学生回顾点和圆的位置关系 通过前测复习圆心角定义，学生根据圆心角顶点变化自己通过画图得出三种情况，体验知识的生成过程.学生通过观察图形，比较差异，形成圆周角概念.
新课讲解 形成概念1.定义：顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.剖析定义：判断一个角是否是圆周角的条件角的顶点在圆上；角的两边都与圆相交.练习1：判断下列各图形中所画出的角是否为圆周角，并说明理由.小结：判断一个角是否为圆周角，必须满足顶点在圆周上角的两边都与圆相交.探究定理活动一：猜想定理1. 思考（1）一条弧所对的圆心角有几个？（2）它所对的圆周角呢？2.学生探究（1）组员：任意画出弧AC所对的圆心角和圆周角，分别测量这两个角的大小，你能得到它们在度数之间有怎样的关系？（2）小组：小组统计测量结果，猜想弧AC所对的圆心角和圆周角在度数之间有怎样的关系？（3）几何画板验证：拖动点B，利用“度量”功能，验证猜想.活动二：证明圆周角定理3.证明定理上面我们得到的猜想是否成立？我们还需利用学过的知识进行理论证明.教师引导学生结合图形写出已知、求证.已知： ⊙O中，AC所对的圆周角是∠ABC ，圆心角是∠AOC 求证： ∠ABC =∠AOC 这里存在一个问题，为什么要分类？本环节先由学生根据猜想把文字语言改为符号语言和图形语言，在画图时学生基本上都画出了圆心在圆周角的内部这一种情况，为了体现分类讨论思想，我提出一个问题：圆心角和圆周角的位置关系有几种？在这个猜想中，图形语言有几种呢？我请学生再次观察几何画板演示，发现学生画的图形不能代表所有图形情况，从而对图形进行分类，说明分类的必要性，最后对三种情况一一证明，体现分类的数学思想. 几何画板演示：得出三种情况圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部.第一种圆心在圆周角的一边上：第一种圆心在圆周角的一边上是特殊情况，是证明的基础，我引导学生比较前测和第一种情况之间的联系，先由学生独立思考，再由学生讲解，最后由学生书写过程，落实推理能力和几何直观.前测 在等腰△ABC中，∠B=35 ,求∠DAC的度数.第一种情况（板书）：已知： ⊙O中，AC所对的圆周角是∠ABC ，圆心角是∠AOC 求证： ∠ABC =∠AOC 证明：∵∠AOC是△ABO的外角，∴∠AOC=∠B+∠A.∵OA=OB，∴∠A=∠B.∴∠AOC=2∠B.第二种情况：圆心在圆周角内部在第二种情况圆心在圆周角内部的证明过程中，我启发引导学生比较第二种情况和第一种情况的区别和联系，引导学生通过添加以角的顶点为端点的直径这条辅助线把图形进行分割，进而转化成第一种情况，体现从特殊到一般和化归的数学思想，落实推理能力和几何直观.第三种情况 ：圆心在圆周角外部在第三种情况圆心在圆周角外部的证明过程中，我进一步放手，先由学生独立思考，再小组交流，然后由学生讲解方法，依然通过添加以角的顶点为端点的直径这条辅助线把图形进行扩充，把问题转化为第一种特殊情形来解决，体现从特殊到一般和转化的数学思想，再次渗透几何直观和推理能力.结论：圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.几何语言：∵∠ABC 和∠AOC是弧AC所对的圆心角和圆周角∴∠ABC =∠AOC 理解学困生回答理解：概念中两个条件缺一不可.学困生回答学生齐答学生思考齐答学生画图小组合作统计测量结果.学生写出符号语言和图形语言学生观察几何画板演示，总结得出三种图形.比较前测和第一种情况，独立思考学优生说证明方法一学生板书过程思考怎样才能够转化成第一种情况.学优生上台讲解过程.思考怎样才能够转化成第一种情况.学优生上台讲解过程. 加深概念的理解.通过一组练习题加深对圆周角概念的理解，培养学生的识图能力.再次小结强化概念.为下面学生作图做铺垫学生通过画图，测量，猜想经历知识的生成过程，通过小组合作培养团结协作精神.几何画板验证，体会研究几何问题的完整步骤.先由学生书写三种语言，通过提出一个问题：圆心角和圆周角的位置关系有几种？请学生思考，教师再通过几何画板演示引导学生发现图形存在三种情况，进而引出分类，体现分类的必要性.第一种是特殊情况，是证明的基础，重点分析讲解，为突破难点做准备.通过此题体会添加辅助线把第二种情况转化成第一种情况，体现从特殊到一般和化归的的数学思想方法，从而渗透几何直观和推理能.通过此题再次体会添加辅助线把第二种情况转化成第一种情况，体现从特殊到一般的数学思想方法.
课堂练习 课堂练习：1求圆中角X的度数.2. 如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C、D为半圆上的两点，∠COD=50°，∠CAD=______.3如图，∠A是圆O的圆周角， ∠A=40°，求∠OBC的度数. 学生练习 通过一组题目由易到难对圆周角定理进行应用，巩固圆周角定理.
课堂小结 通过本节课的学习，请你谈一谈对于圆周角你都学到了哪些知识.从知识和思想方法两方面进行小结. 自己对本节课所学知识进行梳理，总结本节课的重要内容. 学生自己梳理所学知识，教师在方法上予以补充，协助学生提升认识高度.
布置作业 A组：课本第126页1,2，册第111页2,3,4,5,6B组：课本第126页2,3，册第111-112页基础达标C组：课本第126页3,4，册第111-112页全部 学生课下完成 分层布置作业，不同层次的学生都可以通过作业达到巩固当天所学内容的作用.
本教学设计特点
本节课的重点和难点都是探究圆周角定理的三种情况，首先通过前测一个题目圆心角顶点发生变化得到三种情况引入圆周角，体现了学生探究知识的过程，再根据画出同一条弧所对的圆心角和圆周角，进而测量，再通过几何画板验证的方法得出猜想，最后再对三种情况进行证明，整个学习过程体现了研究几何问题一般方法，观察、实验、猜想、测量、验证、推理等活动过程，学生参与度高，充分体现了学生的主体地位.在圆周角定理的证明过程中体现了从特殊到一般,分类和化归的数学思想方法,落实了推理能力和几何直观的数学素养.
前测回顾，
引入新知
探究定理，
总结新知
学生练习，巩固知识
知识小结，
布置作业
形成概念，概念辨析
即 ∠ABC = ∠AOC.
A
O
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X
120°
B
A
O
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70°
x
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