条件概率、事件的独立性
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文档简介
§2.3 条件概率
§2.3 条件概率
学习目标
（1）通过对具体情境的分析，了解条件概率的定义；
（2）掌握一些简单的条件概率的计算．
学习重点，难点：条件概率的定义及一些简单的条件概率的计算．
学习过程
一．问题情境
1．情境：抛掷一枚质地均匀的硬币两次．
（1）两次都是正面向上的概率是多少？
（2）在已知有一次出现正面向上的条件下，两次都是正面向上的概率是多少？
（3）在第一次出现正面向上的条件下，第二次出现正面向上的概率是多少？
2．问题：上述几个问题有什么区别？它们之间有什么关系？
二．建构数学
1． 若有两个事件和，在已知事件发生的条件下考虑事件发生的概率，则称此概率为已发生的条件下的条件概率，记作．
注：在“”之后的部分表示条件，区分与．
比如，若记事件“两次中有一次正面向上”为，事件“两次都是正面向上”为，则就表示“已知两次试验中有一次正面向上的条件下，两次都是正面向上的概率”．
思考：若事件与互斥，则等于多少？
在上面的问题中，，我们发现
注：事件表示事件和事件同时发生．
2． 与的区别：
是在事件发生的条件下，事件发生的概率，表示事件和事件 同时发生的概率，无附加条件．
3．一般的，若，则在事件已发生的条件下发生的条件概率是，
反过来可以用条件概率表示事件发生的概率，即有乘法公式 ：若，则,
同样有若，则.
4． 条件概率的性质：任何事件的条件概率都在和之间，即．
必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0．
三．数学运用
例1．抛掷一枚质地均匀的骰子所得的基本事件组成集合，令事件，，求， ，， ．
例2正方形被平均分成个部分，向大正方形区域随机地投掷一个点（每次都能投中），设投中最左侧个小正方形区域的事件记为，投中最上面个小正方形或正中间的个小正方形区域的事件记为，求，．
例3．在一个盒子中有大小一样的个球，其中个红球，个白球．求第个人摸出个红球，紧接着第个人摸出个白球的概率．
例4． 设件产品中有件一等品， 件二等品，规定一、二等品为合格品．从中任取 件，求 (1) 取得一等品的概率；(2) 已知取得的是合格品，求它是一等品的概率．
四．学生练习：
1．P55 1，2
2．甲乙两市位于长江下游，根据一百多年的记录知道，一年中雨天的比例，甲为20%，乙为18%，两市同时下雨的天数占12%. 求：
① 乙市下雨时甲市也下雨的概率；② 甲市下雨时乙市也下雨的概率.
3．从一批含有10件合格品、3件不合格品的产品中随机地逐个抽取，抽出后的产品不放回，设X表示直到取得合格品时的抽取次数，试求：
（1）直到第2次才合格品的概率P（X=2）；（2）直到第3次才取到合格品的概率P（X=3）.
4．抛掷两颗质量均匀的骰子各1次，（1）向上的点数之和为7时，其中有一个的点数是2的概率是多少？（2）向上的点数不相同时，其中有一个的点数为4的概率是多少？
五、小结
第4课时 条件概率(作业)
班级 姓名 学号
1、把一枚均匀硬币抛掷两次，事件A={第一次出现正面}，事件B={第二次出现反面}，则P(A|B)= .
2、设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中随机抽取2次，每次取一个，取后不放回，则第二次取得红球的概率为 .
3、某班学生考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%，已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是 .
4、从1，2，…，15中甲、乙依次任取一数(不放回)，已知甲取到的数是5的倍数，则甲数大于乙数的概率是 .
5、掷3颗骰子，已知所得点数都不一样，则含有6点的概率是 .
6、已知事件A与B互斥，且P(A)=0.3，P(B)=0.6，则= .
7、已知某种产品的合格率是95%，合格品中的一级品率是20%，则这种产品的一级品率为 .
8、电路中，电压超过额定值的概率为P1，在电压超过定值的情况下，电气设备被烧坏的概率为P2，求由于电压超过额定值而使电气设备烧坏的概率为 .
9、某种动物活到20岁的概率是0.8，活到25岁的概率是0.4，问：现龄20岁这种动物活到25岁的概率是 .
10、抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为4或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”。问事件A发生时事件B发生的概率是多少？
11、根据多年的气象记录，甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为15%和20%，两地同时下雨的比例为10%，问：
(1)甲地为雨天时，乙地也为雨天的概率是多少？
(2)乙地为雨天时，甲地也为雨天的概率是多少？
12、某单位有18个人，其中O型血有9人，A型血有3人，B型血有4人，AB型血有2人，现从中选出2人，问：在第一人是A型血的条件下，第二人是O型血的概率是多少？
13、袋子中装有标号为1，2，3，4，5，6，7的7个大小颜色完全相同的小球，从中不放回地摸两次球，已知第一次摸出奇数号球，求第二次摸出偶数号球的概率.
§2.3 事件的独立性
学习目标
（1）理解两个事件相互独立的概念；
（2）能进行一些与事件独立有关的概率的计算．
学习重点，难点：理解事件的独立性，会求一些简单问题的概率．
学习过程
一．问题情境
1．情境：抛掷一枚质地均匀的硬币两次．
在第一次出现正面向上的条件下，第二次出现正面向上的概率是多少？
2．问题：第一次出现正面向上的条件，对第二次出现正面向上的概率是否产生影响．
二．建构数学
1．两个事件的独立性
一般地，若事件，满足，则称事件，独立．
当，独立时，若，因为，所以 ，反过来，
即，也独立．这说明与独立是相互的，此时事件和同时发生的概率等于事件发生的概率与事件发生的概率之积，即．（*）
若我们认为任何事件与必然事件相独立，任何事件与不可能事件相独立，那么两个事件，相互独立的充要条件是．今后我们将遵循此约定．
事实上，若，则，同时就有，此时不论是什么事件，都有（*）式成立，亦即任何事件都与独立．同理任何事件也与必然事件独立.
2．2 个事件的独立性可以推广到个事件的独立性，且若事件相互独立，则这个事件同时发生的概率．
3．对 立与互斥
回顾：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件；如果两个互斥事件有一个发 时另一个必不发生，这样的两个互斥事件叫对立事件.
区别：互斥事件和相互独立事件是两个不同概念：两个事件互斥是指这两个事件不可能同时发生；两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．
事实上，当，时，若互斥，则，从而，但，因而等式不成立，即互斥未必独立．若独立，则，从而不互斥（否则，，导致矛盾）．
例如从一副扑克牌（５２张）中任抽一张，设“抽得老Ｋ”“抽的红牌”，“抽到Ｊ”，判断下列事件是否相互独立？是否互斥，是否对立？
①与； ②与
三．数学运用
例1．求证：若事件与相互独立，则事件与也相互独立．
例2．如图，用三类不同的元件连接成系统．当元件都正常工作时，系统正常工作．已知元件正常工作的概率依次为，，，求系统正常工作的概率．
例3．加工某一零件共需两道工序，若第一、二道工序的不合格品率分别为3﹪，5﹪ ，假定各道工序是互不影响的，问：加工出来的零件是不合格品的概率是多少？
分析：解决问题的过程可用流程图表示：（图）
四．学生练习：P59 1，2，3
4．某零件可以用两种工艺加工。第1种工艺有三道工序，各道工序出现不合格品的概率 分别为0.3，0.1，0.1；第2种工艺有两道工序，各道工序出现不合格品的概率分别 为0.2，0.3，问用哪一种工艺得到合格品的概率较大些？(设各道工序可看作独立工作)
五．回顾小结：
第5课时 事件的独立性(作业)
班级 姓名 学号
1.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种
子能发芽的概率是 。
2.两人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别为，则密码被译出的概率
为 。
3.若两事件A和B相互独立，且满足，则P(B)= 。
4.甲、乙、丙三台机器是否需要维修相互之间没有影响。在一小时内甲、乙、丙三台机
床需要维修的概率分别是0.1，0.2，0.3，则一小时内没有机床需要维修的概率是 。
5.打靶时，每射击10次，甲平均可中靶8次，乙平均可中靶7次，若两人同时射击一个
目标，则他们都中靶的概率是 。
6.某条道路的A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内平均开放绿灯的时间分
别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条路上行驶时，三处都不停车的概率是 。
7.如果一种报警器的可靠性为80%，那么安装两只这样的报警器能将可靠性提高到 .
8.一射手对同一目标独立地射击4次，若至少命中一次的概率为，则该射手一次射
击的命中率为 。
9.甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，
求：
(1)两人都射中的概率； (2)两人中恰有一人射中的概率；
(3)两人中至少有一人射中的概率； (4)两人中至多有一人射中的概率。
10.已知电路中有4个开关，每个开关独立工作，且闭合的概率为，求灯亮的概率。
11.某条街道上有4个安置红绿灯的路口，各路口出现什么颜色的灯互相独立，红、绿两
种颜色的灯显示的时间之比为1：2，今有一汽车沿该条街道行驶，若以X表示该汽
车首次遇到红灯之前已通过路口的个数，求X的分布列，并求该车在这条街道上至
少遇到一次红灯的概率。
12.甲、乙、丙3人进行定点投篮比赛，已知甲、乙、丙的命中率分别为0.9，0.8，0.7，
现每人各投一次，求：(1)3人中至少有2人投进的概率；(2)3人中至多有2人投进
的概率。
§2.4 二项分布（1）
学习目标
（1）理解次独立重复试验的模型（重伯努利试验）及其意义。
（2）理解二项分布，并能解决一些简单的实际问题。
学习重点，难点
二项分布公式的发现与应用二项分布的分布列．
学习过程
一．问题情境
1．情景
射击次，每次射击可能击中目标，也可能不中目标，而且当射击条件不变时，可以认为每次击中目标的概率是不变的；
抛掷一颗质地均匀的筛子次，每一次抛掷可能出现“”，也可能不出现“”，而且每次掷出“”的概率都是；
种植粒棉花种子，每一粒种子可能出苗，也可能不出苗，其出苗率是。
2．问题
上述试验有什么共同特点？
二．建构数学
1．次独立重复试验
一般地，由次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即与，每次试验中。我们将这样的试验称为次独立重复试验，也称为伯努利试验。
思考：在次独立重复试验中，每次试验事件发生的概率均为，那么，在这 次试验中，事件恰好发生次的概率是多少？
我们先研究下面的问题：射击次，每次射中目标的概率都为。设随机变量是射中目标的次数，求随机变量的概率分布。
分析1 这是一个次独立重复试验，设“射中目标”为事件，则（记为），用下面的树形图来表示该试验的过程和结果。（图略）P60
由树形图可见，随机变量的概率分布如下表所示。
分析2 在时，根据试验的独立性，事件在某指定的次发生时，其余的 次则不发生，其概率为，而次试验中发生次的方式有种，故有
。因此，概率分布可以表示为下表
一般地，在次独立重复试验中，每次试验事件发生的概率均为，即。由于试验的独立性，次试验中，事件在某指定的次发生，而在其余次不发生的概率为。又由于在次试验中，事件恰好发生次的概率为。它恰好是的二项展开式中的第项。
若随机变量的分布列为其中则称服从参数为，的二项分布，记作。
三．数学运用
例1：求随机抛掷次均匀硬币，正好出现次正面的概率。
思考：“随机抛掷次均匀硬币正好出现次反面”的概率是多少？
例2：设某保险公司吸收人参加人身意外保险，该公司规定：每人每年付给公司元，若意外死亡，公司将赔偿元。如果已知每人每年意外死亡的概率为，问：该公司赔本及盈利额在元以上的概率分别有多大？
例3．一盒零件中有9个正品和3个次品，每次取一个零件，如果取出的次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品数的概率分布。
分析：由于题设中要求取出次品不再放回，故应仔细分析每一个所对应的事件的准确含义，据此正确地计算概率。
四．学生练习：P63 1，2，3
五．回顾小结：
第6课时 二项分布(一)(作业)
班级 姓名 学号
1.掷3颗均匀的骰子，则恰出现两个6点的概率是 。
２.某产品的废品率为0.05，从中取出10个产品，则次品个数不超过1个的概率是 。
３.设随机产量X—B(2，p)，Y—B(3，p)，若P(X≥1)=，则P(Y=2)= 。
4.甲投篮的命中率为0.8，乙投篮命中率为0.7，每人各投3次，每人都恰好投中2次的
概率是 。
5.掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率为，若将此硬币掷4次，则正面朝上3次的概
率是 。
6.接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80。现有5人接种该疫苗，至少有3人出现
发热反应的概率为(精确到0.001) 。
7.一射击运动员射击，击中10环的概率为0.7，击中9环的概率 0.3，则该运动员射击3
次所得环数之和不少于29环的概率为 。
8.甲、乙两人进行五局三胜制的象棋比赛，若甲每盘的胜率为，乙每盘的胜率为(和
棋不算)，求(1)比赛以甲比乙为3比0胜出的概率；(2)比赛以甲比乙为3比2胜出的
概率。
9.某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名
下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培
训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独
立的，且各人的选择相互之间没有影响。
(1)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；
(2)任选3名下岗人员，记X为3人中参加过培训的人数，求X的分布列。
10、一制药厂组织两组技术人员分别独立地试制不同类型的新药，设每组试制成功的概率都是0.40，当第一组成功时，该组研制的新药的年销售额为600万元，若失败则没有收入，以X表示这两种新药的年销售总额，求X的概率分布.
11、批量较大的一批产品中有30%的一级品，进行重复抽样检查，共取5个样品，求：
(1)取出的5个样品中恰有2个一级品的概率；
(2)取出的5个样品中至少有2个一级品的概率.
12、某城市小汽车的普级率为20%，即平均每10个家庭中有2个家庭小汽车，若从这个城市中任意选出9个家庭，试求有3个以上(包括3个)的家庭有小汽车的概率.
§2.4 二项分布（2）
学习目标
（1）进一步理解次独立重复试验的模型及二项分布的特点；
（2）会解决互斥事件、独立重复试验综合应用的问题。
学习重点，难点
互斥事件、独立重复试验综合应用问题．
学习过程
一．复习回顾
1．次独立重复试验。
（1）独立重复试验满足的条件 第一：每次试验是在同样条件下进行的；第二：各次试验中的事件是互相独立的；第三：每次试验都只有两种结果。
（2）次独立重复试验中事件恰好发生次的概率
。
2．二项分布
二．数学运用
例1： 某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且各次射击的结果互不影响。（1）求射手在次射击中，至少有两次连续击中目标的概率；（2）求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率；（3）设随机变量表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求的分布列。
例2：一名学生骑自行车上学，从他到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是。（1）设为这名学生在途中遇到的红灯次数，求的分布列；（2）设为这名学生在首次停车前经过的路口数，求的分布列；（3）求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率。
例3：某安全生产监督部门对家小型煤矿进行安全检查（安检）。若安检不合格，则必须进行整改。若整改后经复查仍不合格，则强行关闭。设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，每家煤矿整改前安检合格的概率是，整改后安检合格的概率是，计算：（1）恰好有三家煤矿必须整改的概率；（2）至少关闭一家煤矿的概率。（精确到）
例4：粒种子分种在甲、乙、丙个坑内，每坑粒，每粒种子发芽的概率为，若一个坑内至少有粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种。（1）求甲坑不需要补种的概率；（2）求个坑中需要补种的坑数的分布列；（3）求有坑需要补种的概率。（精确到）
三．学生练习
1某射手每次射击击中目标的概率是0.8 。求这名射手在10次射击中，
（1）恰有8次击中目标的概率;
（2）至少有2次击中目标的概率;
（3）射中目标的次数X的分布列.
（4）要保证击中目标概率大于0.99，至少应射击多少次？（结果保留两个有效数字）
2.假定人在一年365天中的任一天出生的概率相同。
问题（1）：某班有50个同学，至少有两个同学今天过生日 的概率是多少？
问题（2）：某班有50个同学，至少有两个同学生日相同的概率是多少？
四．回顾小结：
第7课时 二项分布(二)(作业)
班级 姓名 学号
1、某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是 .
2、在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是 .
3、某产品使用寿命超过5000小时的为一级品，现已知某一大批产品中的一级品率为0.2，从中任抽5件，其中恰有两件一级品的概率是 .
4、某气象站天气预报正确率达0.92，则三次预报中恰有两次正确的概率为 .(精确到0.001)
5、某产品10个，其中3件次品，现依次从中随机抽取3件(不放回)，则3件中恰有3件次品的概率为 。
6、一次测量中出现正误差和负误差的概率都是，在5次测量中恰好2次出现正误差的概率是 。
7、一制药厂分别独立地组织两组技术人员试制不同类型的新药，若第1，2组成功的概率分别是0.4,0.3，而当第1组成功时，每年的销售额可达40000元，第2组成功时，每年的销售额可达60000元，若失败则没有销售额，以X记这两种新药的销售总额，求X的分布列。
8、某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取3件产品进行检验。设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品。(1)用X表示抽检的6件产品中二等品的件数，求X的分布列；(2)若抽检的6件产品中有3件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率。
9、甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和，假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响。
(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；
(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；
(3)假设某人连续2次末击中目标，则中止其射击，问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？
10、有6件产品，其中含有3件次品，现逐个抽取检验(不放回)，求：
(1)前4次恰好查出2件次品的概率；
(2)设查出全部次品时检查产品的个数为X，求X的分布列。
11、A，B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验，每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效。若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组。设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为。(1)求一个试验组为甲类组的概率；(2)观察3个试验组，用X表示这3个试验组中甲类组的个数，求X的分布列。
§2.5.1 离散型随机变量的均值和方差（1）
学习目标
（1）通过实例，理解取有限值的离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义；
（2）能计算简单离散型随机变量均值（数学期望），并能解决一些实际问题．
学习重点：离散型随机变量的期望的概念。
学习难点：根据离散型随机变量的分布列求出期望。
学习过程
一．问题情境
1．情景：
前面所讨论的随机变量的取值都是离散的，我们把这样的随机变量称为离散型随机变量．这样刻画离散型随机变量取值的平均水平和稳定程度呢？
甲、乙两个工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产件产品所出的不合格品数分别用表示，的概率分布如下．
2．问题：
如何比较甲、乙两个工人的技术？
二．学生活动
1． 直接比较两个人生产件产品时所出的废品数．从分布列来看，甲出件废品的概率比乙大，似乎甲的技术比乙好；但甲出件废品的概率也比乙大，似乎甲的技术又不如乙好．这样比较，很难得出合理的结论．
2． 学生联想到“平均数”，，如何计算甲和乙出的废品的“平均数”？
三．建构数学
1．定义
在《数学3（必修）》“统计”一章中，我们曾用公式计算样本的平均值，其中为取值为的频率值．
类似地，若离散型随机变量的分布列或概率分布如下：
…
…
其中，，则称为随机变量的均值或的数学期望，记为或．
2．性质
（1）；（2）．（为常数）
四．数学运用
例1．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分的期望
例2．高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏，在一个小口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．某学生一次从中摸出5个球，其中红球的个数为，求的数学期望．
例3．从批量较大的成品中随机取出件产品进行质量检查，若这批产品的不合格品率为，随机变量表示这件产品中不合格品数，求随机变量的数学期望．
例4．设篮球队与进行比赛，每场比赛均有一队胜，若有一队胜场则比赛宣告结束，假定在每场比赛中获胜的概率都是，试求需要比赛场数的期望．
五．学生练习：P67 1，2，3，4
1、随机抛掷一枚骰子，求所得骰子点数的期望
2、有一批数量很大的产品，其次品率是15%，对这批产品进行抽查，每次抽取1 件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品为止，但抽查次数不超过10次求抽查次数的期望（结果保留三个有效数字）
3、一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分 学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望
六．回顾小结：
第8课时 离散型随机变量的均值(1)(作业)
班级 姓名 学号
1.已知X的分布列为，则Ｅ(X)等于 。
X －１ 0 1
P 0.5 0.3 c
2.某产品的废品率为0.05。从中取出10个产品，其中的废品个数X的均值是 。
3.抛掷一颗骰子，设所得点数为X，则E(X)= 。
4.一个袋子中装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则其中含有红
球个数X的数学期望为 。
5.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分。已知某运动员罚球的命中
率是0.7，则他罚球6次的总得分的均值是 。
6.一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以
数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是 。
7.一个盒子中有10个正品，2个次品。现逐个抽取，取到次品则抛弃，直到取到正品为
止。则被抛弃的次品数X的均值E(X)= 。
8.对某个数学题，甲解出的概率为，乙解出的概率为，两人独立解题。记X为解出
该题的人数，则E(X)= 。
9.从4名男生和2名女生中选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的
人数。
(1)求X的分布列；
(2)求X的数学期望；
(3)求“所选3人中女生人数X≤1”的概率。
10.设随机变量X的概率分布如下表所示，且E(X)=2.5，求a和b.
X 1 2 3 4
P a b
11.每人在一轮投篮练习中最多可投篮4次，现规定一旦命中即停止该轮练习，否则一直
试投到4次为止。已知一选手的投篮命中率为0.7，求一轮练习中该选手的实际投篮
次数X的分布列，并求X的均值E(X)(保留3位有效数字)
12..袋中有2个白球，3个黑球，从中任意摸一球，猜它是白球还是黑球，猜对得1分，
猜错不得分，你从平均得分最大的角度，你猜什么颜色有利？
某运动员射击一次所得环数X的分布如下：
X 7 8 9 10
P 0.2 0.3 0.3 0.2
现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为X1。
(1)求该运动员两次都命中7环的概率；
(2)求X1的分布列；
(3)求X1的数学期望E(X1)。
§2.5.2 离散型随机变量的均值和方差（2）
学习目标
（1）进一步理解均值与方差都是随机变量的数字特征，通过它们可以刻划总体水平；
（2）会求均值与方差，并能解决有关应用题．
学习重点，难点：会求均值与方差，并能解决有关应用题．
学习过程
一．问题情境
复习回顾：
1．离散型随机变量的均值、方差、标准差的概念和意义，以及计算公式．
2．练习
设随机变量，且，则 ， ；
二．数学运用
例1．有同寝室的四位同学分别写一张贺年卡，先集中起来，然后每人去拿一张，记自己拿自己写的贺年卡的人数为．（1）求随机变量的概率分布；（2）求的数学期望和方差．
例2一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望．
例3．某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是，且客人是否游览哪个景点互不影响，设表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值．
（Ⅰ）求的分布列及数学期望；
（Ⅱ）记“函数在区间上单调递增”为事件，求事件的概率.
例4．有一庄家为吸引顾客玩掷骰子游戏，以便自己轻松获利，以海报形式贴出游戏规则：顾客免费掷两枚骰子，把掷出的点数相加，如果得2或12，顾客中将30元；如果得3或11，顾客中将20元；如果得4或10，顾客中将10元；如果得5或9，顾客应付庄家10元；如果得6或8，顾客应付庄家20元；如果得7，顾客应付庄家30元．试用数学知识解释其中的道理．
三．学生练习：
1. 小王从家乘车到学校，途中有个交通岗，假设在各个交通岗遇红灯的事件是相互独立的，并且概率都是，则小王上学途中遇红灯的期望是 ；方差是 ．
2袋子和中装有若干个均匀的红球和白球，从中摸出一个红球的概率是，从中摸出一个红球的概率为．
（1）从中有放回地摸球，每次摸出一个，有次摸到红球即停止．
①求恰好到第次停止的概率；
②记次之内（含次）摸到红球的次数为，求随机变量的分布列及均值．
（2）若、两个袋子中的球数之比为，将、中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是，求的值．
3．厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品.
（1）若厂家库房中的每件产品合格的概率为，从中任意取出件进行检验.求至少有 件是合格品的概率；
（2）若厂家发给商家件产品，其中有件不合格，按合同规定该商家从中任取件，都进行检验，只有件都合格时才接收这批产品，否则拒收.求该商家可能检验出不合格产品数的分布列及期望，并求该商家拒收这批产品的概率.
四．回顾小结：
第9课时 离散型随机变量的均值(2)(作业)
班级 姓名 学号
1、设15000件产品中有1000件次品，从中抽取150件进行检查，则查得次品数的数学期望为 .
2、船队若出海后天气好，可获利5000元；若出海后天气坏，将损失2000元；若不出海要损失1000元，根据预测，天气好的概率为0.6，天气坏的概率为0.4，则出海效益的期望是 .
3、一整数等可能地在1，2，…，10中取值，以X记除尽这一整数的正整数个数，那么E(x)等于 .
4、两封信随机投入A、B、C三个空邮箱，则A邮箱的信件数的数学期望E= .
5、一接待中心有A、B、C、D四部热线电话，已知某一时刻电话A、B占线的概率均为0.5，电话C、D占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响，假设该 时刻有部电话占线，试求随机变量的概率分布和它的期望.
6、一袋中有3个白球，3个红球和5个黑球，从袋中随机取3个球，假定取得一个白球得1分，取得一个红球扣1分，取得一个黑球既不得分也不扣分，求所得分数的概率分布及期望值.
7、从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数.
(1)求X的分布列；
(2)求X的数学期望；
(3)求“所选3人中女生人数X≤1”的概率.
8、用天平称某种物品的重量，物品的重量为1g，2g，…10g的概率是相同的，现有三组砝码：
甲：1，2，2，5，10(g)；
乙：1，2，3，4，10(g)；
丙：1，1，2，5，10(g).
用上述三组砝码称重时，哪一种最好？(即哪一组平均用砝码的个数最少)
9.现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2万元，1.18万元，1.17万元的概率分别是。已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中价格下降的概率都是p(0甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润。
(1)求X1，X2的概率分布和数学期望E(X1)，E(X2)；
(2)当E(X1)§2.5.2 离散型随机变量的方差和标准差
学习目标
（1）理解随机变量的方差和标准差的含义；
（2）会求随机变量的方差和标准差，并能解决一些实际问题．
学习重点：离散型随机变量的方差、标准差
学习难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题
学习过程
一．问题情境
甲、乙两个工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产件产品所出的不合格品数分别用表示，的概率分布如下．
二．学生活动
如何比较甲、乙两个工人的技术？
我们知道，当样本平均值相差不大时，可以利用样本方差考察样本数据与样本平均值的偏离程度．能否用一个类似于样本方差的量来刻画随机变量的波动程度呢？
三．建构数学
1． 一般地，若离散型随机变量的概率分布如表所示：
…
…
则描述了相对于均值的偏离程度，故
，（其中
）刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度，我们将其称为离散型随机变量的方差，记为或．
2．方差公式也可用公式计算．
3．随机变量的方差也称为的概率分布的方差，的方差的算术平方根称为的标准差，即．
思考：随机变量的方差和样本方差有何区别和联系？
4.方差的性质：（1）；（2）；
（3）若ξ～B(n，p)，则np(1-p)
5.其它：
⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；
⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；
⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛
四．数学运用
例1．若随机变量的分布如表所示：求方差和标准差．
0 1
例2．求第节例1中超几何分布的方差和标准差．
例3．已知离散型随机变量的概率分布为
1 2 3 4 5 6 7
P
离散型随机变量的概率分布为
3．7 3．8 3．9 4 4．1 4．2 4．3
P
求这两个随机变量期望、均方差与标准差
五．学生练习：P70 1，2
1、设～B(n、p)且E=12 D=4，求n、p
2、有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为ξ，求Eξ，ξ
六．回顾小结：
第10课时 离散型随机变量的方差与标准差(作业)
班级 姓名 学号
1、若随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P 0.3 0.5 0.2
则E(X)= ,V(X)= 。
2、某运动员投篮命中率p=0.6，则该运动员一次投篮命中次数X的方差是 。
3、设随机变量X服从二项分布，即X—B(n，p)且E(X)=3，，则n= ，V(X)= 。
4、设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p= 时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为 。
5、抛掷一颗骰子，设所得点数为X，则V(X)= 。
6、某射手击中目标的概率p，则他射击一次击中目标的次数X的期望是 ，标准差是 。
7、甲、乙两射手在一次射击中的得分分别记为X和Y，X和Y的分布列为
X 8 9 10
P a 0.1 0.6
Y 8 9 10
P 0.3 b 0.3
(1)求a，b的值；
(2)甲、乙两射手在一次射击中的得分低于10的概率谁更大；
(3)计算X，Y的均值与方差，并以此分析甲、乙的技术状况。
8、甲、乙、丙3人独立地破译一个密码，每人译出此密码的概率均为0.25，假定随机变量X表示译出此密码的人数，求E(X)、V(X)。
9、某人每次射击命中目标的概率为0.8，现连续射击3次，求击中目标的次数X的数学期望和方差。
10、一个袋中装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，记其中含有红球个数为X，求V(X)。
11、一本书有500页，共有100个错字，随机分布在任意一页上，求一页上错字个数X的均值、方差、标准差。
12、有三张形状、大小、质地完全一致的卡片，在各张卡片上分别写上0，1，2，现从中任意抽取一张，将其上数字记作x，然后放回，再抽取一张，其上数字记作y，令X=x·y，求：
(1)X的分布列； (2)随机变量X的数字期望与方差。
13、假定某射手每次射击命中目标的概率为，现有3发子弹，该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完，设耗用子弹数为X，求：
(1)X的概率分布；(2)均值E(X)；(3)标准差
高二数学
学 案
高二数学
学 案
图2-3-2
图2-3-4
高二数学
学 案
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PAGE
2
§2.3 条件概率
学习目标
（1）通过对具体情境的分析，了解条件概率的定义；
（2）掌握一些简单的条件概率的计算．
学习重点，难点：条件概率的定义及一些简单的条件概率的计算．
学习过程
一．问题情境
1．情境：抛掷一枚质地均匀的硬币两次．
（1）两次都是正面向上的概率是多少？
（2）在已知有一次出现正面向上的条件下，两次都是正面向上的概率是多少？
（3）在第一次出现正面向上的条件下，第二次出现正面向上的概率是多少？
2．问题：上述几个问题有什么区别？它们之间有什么关系？
二．建构数学
1． 若有两个事件和，在已知事件发生的条件下考虑事件发生的概率，则称此概率为已发生的条件下的条件概率，记作．
注：在“”之后的部分表示条件，区分与．
比如，若记事件“两次中有一次正面向上”为，事件“两次都是正面向上”为，则就表示“已知两次试验中有一次正面向上的条件下，两次都是正面向上的概率”．
思考：若事件与互斥，则等于多少？
在上面的问题中，，我们发现
注：事件表示事件和事件同时发生．
2． 与的区别：
是在事件发生的条件下，事件发生的概率，表示事件和事件 同时发生的概率，无附加条件．
3．一般的，若，则在事件已发生的条件下发生的条件概率是，
反过来可以用条件概率表示事件发生的概率，即有乘法公式 ：若，则,
同样有若，则.
4． 条件概率的性质：任何事件的条件概率都在和之间，即．
必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0．
三．数学运用
例1．抛掷一枚质地均匀的骰子所得的基本事件组成集合，令事件，，求， ，， ．
例2正方形被平均分成个部分，向大正方形区域随机地投掷一个点（每次都能投中），设投中最左侧个小正方形区域的事件记为，投中最上面个小正方形或正中间的个小正方形区域的事件记为，求，．
例3．在一个盒子中有大小一样的个球，其中个红球，个白球．求第个人摸出个红球，紧接着第个人摸出个白球的概率．
例4． 设件产品中有件一等品， 件二等品，规定一、二等品为合格品．从中任取 件，求 (1) 取得一等品的概率；(2) 已知取得的是合格品，求它是一等品的概率．
四．学生练习：
1．P55 1，2
2．甲乙两市位于长江下游，根据一百多年的记录知道，一年中雨天的比例，甲为20%，乙为18%，两市同时下雨的天数占12%. 求：
① 乙市下雨时甲市也下雨的概率；② 甲市下雨时乙市也下雨的概率.
3．从一批含有10件合格品、3件不合格品的产品中随机地逐个抽取，抽出后的产品不放回，设X表示直到取得合格品时的抽取次数，试求：
（1）直到第2次才合格品的概率P（X=2）；（2）直到第3次才取到合格品的概率P（X=3）.
4．抛掷两颗质量均匀的骰子各1次，（1）向上的点数之和为7时，其中有一个的点数是2的概率是多少？（2）向上的点数不相同时，其中有一个的点数为4的概率是多少？
五、小结
第4课时 条件概率(作业)
班级 姓名 学号
1、把一枚均匀硬币抛掷两次，事件A={第一次出现正面}，事件B={第二次出现反面}，则P(A|B)= .
2、设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中随机抽取2次，每次取一个，取后不放回，则第二次取得红球的概率为 .
3、某班学生考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%，已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是 .
4、从1，2，…，15中甲、乙依次任取一数(不放回)，已知甲取到的数是5的倍数，则甲数大于乙数的概率是 .
5、掷3颗骰子，已知所得点数都不一样，则含有6点的概率是 .
6、已知事件A与B互斥，且P(A)=0.3，P(B)=0.6，则= .
7、已知某种产品的合格率是95%，合格品中的一级品率是20%，则这种产品的一级品率为 .
8、电路中，电压超过额定值的概率为P1，在电压超过定值的情况下，电气设备被烧坏的概率为P2，求由于电压超过额定值而使电气设备烧坏的概率为 .
9、某种动物活到20岁的概率是0.8，活到25岁的概率是0.4，问：现龄20岁这种动物活到25岁的概率是 .
10、抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为4或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”。问事件A发生时事件B发生的概率是多少？
11、根据多年的气象记录，甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为15%和20%，两地同时下雨的比例为10%，问：
(1)甲地为雨天时，乙地也为雨天的概率是多少？
(2)乙地为雨天时，甲地也为雨天的概率是多少？
12、某单位有18个人，其中O型血有9人，A型血有3人，B型血有4人，AB型血有2人，现从中选出2人，问：在第一人是A型血的条件下，第二人是O型血的概率是多少？
13、袋子中装有标号为1，2，3，4，5，6，7的7个大小颜色完全相同的小球，从中不放回地摸两次球，已知第一次摸出奇数号球，求第二次摸出偶数号球的概率.
§2.3 事件的独立性
学习目标
（1）理解两个事件相互独立的概念；
（2）能进行一些与事件独立有关的概率的计算．
学习重点，难点：理解事件的独立性，会求一些简单问题的概率．
学习过程
一．问题情境
1．情境：抛掷一枚质地均匀的硬币两次．
在第一次出现正面向上的条件下，第二次出现正面向上的概率是多少？
2．问题：第一次出现正面向上的条件，对第二次出现正面向上的概率是否产生影响．
二．建构数学
1．两个事件的独立性
一般地，若事件，满足，则称事件，独立．
当，独立时，若，因为，所以 ，反过来，
即，也独立．这说明与独立是相互的，此时事件和同时发生的概率等于事件发生的概率与事件发生的概率之积，即．（*）
若我们认为任何事件与必然事件相独立，任何事件与不可能事件相独立，那么两个事件，相互独立的充要条件是．今后我们将遵循此约定．
事实上，若，则，同时就有，此时不论是什么事件，都有（*）式成立，亦即任何事件都与独立．同理任何事件也与必然事件独立.
2．2 个事件的独立性可以推广到个事件的独立性，且若事件相互独立，则这个事件同时发生的概率．
3．对 立与互斥
回顾：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件；如果两个互斥事件有一个发 时另一个必不发生，这样的两个互斥事件叫对立事件.
区别：互斥事件和相互独立事件是两个不同概念：两个事件互斥是指这两个事件不可能同时发生；两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．
事实上，当，时，若互斥，则，从而，但，因而等式不成立，即互斥未必独立．若独立，则，从而不互斥（否则，，导致矛盾）．
例如从一副扑克牌（５２张）中任抽一张，设“抽得老Ｋ”“抽的红牌”，“抽到Ｊ”，判断下列事件是否相互独立？是否互斥，是否对立？
①与； ②与
三．数学运用
例1．求证：若事件与相互独立，则事件与也相互独立．
例2．如图，用三类不同的元件连接成系统．当元件都正常工作时，系统正常工作．已知元件正常工作的概率依次为，，，求系统正常工作的概率．
例3．加工某一零件共需两道工序，若第一、二道工序的不合格品率分别为3﹪，5﹪ ，假定各道工序是互不影响的，问：加工出来的零件是不合格品的概率是多少？
分析：解决问题的过程可用流程图表示：（图）
四．学生练习：P59 1，2，3
4．某零件可以用两种工艺加工。第1种工艺有三道工序，各道工序出现不合格品的概率 分别为0.3，0.1，0.1；第2种工艺有两道工序，各道工序出现不合格品的概率分别 为0.2，0.3，问用哪一种工艺得到合格品的概率较大些？(设各道工序可看作独立工作)
五．回顾小结：
第5课时 事件的独立性(作业)
班级 姓名 学号
1.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种
子能发芽的概率是 。
2.两人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别为，则密码被译出的概率
为 。
3.若两事件A和B相互独立，且满足，则P(B)= 。
4.甲、乙、丙三台机器是否需要维修相互之间没有影响。在一小时内甲、乙、丙三台机
床需要维修的概率分别是0.1，0.2，0.3，则一小时内没有机床需要维修的概率是 。
5.打靶时，每射击10次，甲平均可中靶8次，乙平均可中靶7次，若两人同时射击一个
目标，则他们都中靶的概率是 。
6.某条道路的A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内平均开放绿灯的时间分
别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条路上行驶时，三处都不停车的概率是 。
7.如果一种报警器的可靠性为80%，那么安装两只这样的报警器能将可靠性提高到 .
8.一射手对同一目标独立地射击4次，若至少命中一次的概率为，则该射手一次射
击的命中率为 。
9.甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，
求：
(1)两人都射中的概率； (2)两人中恰有一人射中的概率；
(3)两人中至少有一人射中的概率； (4)两人中至多有一人射中的概率。
10.已知电路中有4个开关，每个开关独立工作，且闭合的概率为，求灯亮的概率。
11.某条街道上有4个安置红绿灯的路口，各路口出现什么颜色的灯互相独立，红、绿两
种颜色的灯显示的时间之比为1：2，今有一汽车沿该条街道行驶，若以X表示该汽
车首次遇到红灯之前已通过路口的个数，求X的分布列，并求该车在这条街道上至
少遇到一次红灯的概率。
12.甲、乙、丙3人进行定点投篮比赛，已知甲、乙、丙的命中率分别为0.9，0.8，0.7，
现每人各投一次，求：(1)3人中至少有2人投进的概率；(2)3人中至多有2人投进
的概率。
§2.4 二项分布（1）
学习目标
（1）理解次独立重复试验的模型（重伯努利试验）及其意义。
（2）理解二项分布，并能解决一些简单的实际问题。
学习重点，难点
二项分布公式的发现与应用二项分布的分布列．
学习过程
一．问题情境
1．情景
射击次，每次射击可能击中目标，也可能不中目标，而且当射击条件不变时，可以认为每次击中目标的概率是不变的；
抛掷一颗质地均匀的筛子次，每一次抛掷可能出现“”，也可能不出现“”，而且每次掷出“”的概率都是；
种植粒棉花种子，每一粒种子可能出苗，也可能不出苗，其出苗率是。
2．问题
上述试验有什么共同特点？
二．建构数学
1．次独立重复试验
一般地，由次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即与，每次试验中。我们将这样的试验称为次独立重复试验，也称为伯努利试验。
思考：在次独立重复试验中，每次试验事件发生的概率均为，那么，在这 次试验中，事件恰好发生次的概率是多少？
我们先研究下面的问题：射击次，每次射中目标的概率都为。设随机变量是射中目标的次数，求随机变量的概率分布。
分析1 这是一个次独立重复试验，设“射中目标”为事件，则（记为），用下面的树形图来表示该试验的过程和结果。（图略）P60
由树形图可见，随机变量的概率分布如下表所示。
分析2 在时，根据试验的独立性，事件在某指定的次发生时，其余的 次则不发生，其概率为，而次试验中发生次的方式有种，故有
。因此，概率分布可以表示为下表
一般地，在次独立重复试验中，每次试验事件发生的概率均为，即。由于试验的独立性，次试验中，事件在某指定的次发生，而在其余次不发生的概率为。又由于在次试验中，事件恰好发生次的概率为。它恰好是的二项展开式中的第项。
若随机变量的分布列为其中则称服从参数为，的二项分布，记作。
三．数学运用
例1：求随机抛掷次均匀硬币，正好出现次正面的概率。
思考：“随机抛掷次均匀硬币正好出现次反面”的概率是多少？
例2：设某保险公司吸收人参加人身意外保险，该公司规定：每人每年付给公司元，若意外死亡，公司将赔偿元。如果已知每人每年意外死亡的概率为，问：该公司赔本及盈利额在元以上的概率分别有多大？
例3．一盒零件中有9个正品和3个次品，每次取一个零件，如果取出的次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品数的概率分布。
分析：由于题设中要求取出次品不再放回，故应仔细分析每一个所对应的事件的准确含义，据此正确地计算概率。
四．学生练习：P63 1，2，3
五．回顾小结：
第6课时 二项分布(一)(作业)
班级 姓名 学号
1.掷3颗均匀的骰子，则恰出现两个6点的概率是 。
２.某产品的废品率为0.05，从中取出10个产品，则次品个数不超过1个的概率是 。
３.设随机产量X—B(2，p)，Y—B(3，p)，若P(X≥1)=，则P(Y=2)= 。
4.甲投篮的命中率为0.8，乙投篮命中率为0.7，每人各投3次，每人都恰好投中2次的
概率是 。
5.掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率为，若将此硬币掷4次，则正面朝上3次的概
率是 。
6.接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80。现有5人接种该疫苗，至少有3人出现
发热反应的概率为(精确到0.001) 。
7.一射击运动员射击，击中10环的概率为0.7，击中9环的概率 0.3，则该运动员射击3
次所得环数之和不少于29环的概率为 。
8.甲、乙两人进行五局三胜制的象棋比赛，若甲每盘的胜率为，乙每盘的胜率为(和
棋不算)，求(1)比赛以甲比乙为3比0胜出的概率；(2)比赛以甲比乙为3比2胜出的
概率。
9.某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名
下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培
训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独
立的，且各人的选择相互之间没有影响。
(1)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；
(2)任选3名下岗人员，记X为3人中参加过培训的人数，求X的分布列。
10、一制药厂组织两组技术人员分别独立地试制不同类型的新药，设每组试制成功的概率都是0.40，当第一组成功时，该组研制的新药的年销售额为600万元，若失败则没有收入，以X表示这两种新药的年销售总额，求X的概率分布.
11、批量较大的一批产品中有30%的一级品，进行重复抽样检查，共取5个样品，求：
(1)取出的5个样品中恰有2个一级品的概率；
(2)取出的5个样品中至少有2个一级品的概率.
12、某城市小汽车的普级率为20%，即平均每10个家庭中有2个家庭小汽车，若从这个城市中任意选出9个家庭，试求有3个以上(包括3个)的家庭有小汽车的概率.
§2.4 二项分布（2）
学习目标
（1）进一步理解次独立重复试验的模型及二项分布的特点；
（2）会解决互斥事件、独立重复试验综合应用的问题。
学习重点，难点
互斥事件、独立重复试验综合应用问题．
学习过程
一．复习回顾
1．次独立重复试验。
（1）独立重复试验满足的条件 第一：每次试验是在同样条件下进行的；第二：各次试验中的事件是互相独立的；第三：每次试验都只有两种结果。
（2）次独立重复试验中事件恰好发生次的概率
。
2．二项分布
二．数学运用
例1： 某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且各次射击的结果互不影响。（1）求射手在次射击中，至少有两次连续击中目标的概率；（2）求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率；（3）设随机变量表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求的分布列。
例2：一名学生骑自行车上学，从他到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是。（1）设为这名学生在途中遇到的红灯次数，求的分布列；（2）设为这名学生在首次停车前经过的路口数，求的分布列；（3）求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率。
例3：某安全生产监督部门对家小型煤矿进行安全检查（安检）。若安检不合格，则必须进行整改。若整改后经复查仍不合格，则强行关闭。设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，每家煤矿整改前安检合格的概率是，整改后安检合格的概率是，计算：（1）恰好有三家煤矿必须整改的概率；（2）至少关闭一家煤矿的概率。（精确到）
例4：粒种子分种在甲、乙、丙个坑内，每坑粒，每粒种子发芽的概率为，若一个坑内至少有粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种。（1）求甲坑不需要补种的概率；（2）求个坑中需要补种的坑数的分布列；（3）求有坑需要补种的概率。（精确到）
三．学生练习
1某射手每次射击击中目标的概率是0.8 。求这名射手在10次射击中，
（1）恰有8次击中目标的概率;
（2）至少有2次击中目标的概率;
（3）射中目标的次数X的分布列.
（4）要保证击中目标概率大于0.99，至少应射击多少次？（结果保留两个有效数字）
2.假定人在一年365天中的任一天出生的概率相同。
问题（1）：某班有50个同学，至少有两个同学今天过生日 的概率是多少？
问题（2）：某班有50个同学，至少有两个同学生日相同的概率是多少？
四．回顾小结：
第7课时 二项分布(二)(作业)
班级 姓名 学号
1、某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是 .
2、在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是 .
3、某产品使用寿命超过5000小时的为一级品，现已知某一大批产品中的一级品率为0.2，从中任抽5件，其中恰有两件一级品的概率是 .
4、某气象站天气预报正确率达0.92，则三次预报中恰有两次正确的概率为 .(精确到0.001)
5、某产品10个，其中3件次品，现依次从中随机抽取3件(不放回)，则3件中恰有3件次品的概率为 。
6、一次测量中出现正误差和负误差的概率都是，在5次测量中恰好2次出现正误差的概率是 。
7、一制药厂分别独立地组织两组技术人员试制不同类型的新药，若第1，2组成功的概率分别是0.4,0.3，而当第1组成功时，每年的销售额可达40000元，第2组成功时，每年的销售额可达60000元，若失败则没有销售额，以X记这两种新药的销售总额，求X的分布列。
8、某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取3件产品进行检验。设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品。(1)用X表示抽检的6件产品中二等品的件数，求X的分布列；(2)若抽检的6件产品中有3件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率。
9、甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和，假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响。
(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；
(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；
(3)假设某人连续2次末击中目标，则中止其射击，问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？
10、有6件产品，其中含有3件次品，现逐个抽取检验(不放回)，求：
(1)前4次恰好查出2件次品的概率；
(2)设查出全部次品时检查产品的个数为X，求X的分布列。
11、A，B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验，每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效。若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组。设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为。(1)求一个试验组为甲类组的概率；(2)观察3个试验组，用X表示这3个试验组中甲类组的个数，求X的分布列。
§2.5.1 离散型随机变量的均值和方差（1）
学习目标
（1）通过实例，理解取有限值的离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义；
（2）能计算简单离散型随机变量均值（数学期望），并能解决一些实际问题．
学习重点：离散型随机变量的期望的概念。
学习难点：根据离散型随机变量的分布列求出期望。
学习过程
一．问题情境
1．情景：
前面所讨论的随机变量的取值都是离散的，我们把这样的随机变量称为离散型随机变量．这样刻画离散型随机变量取值的平均水平和稳定程度呢？
甲、乙两个工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产件产品所出的不合格品数分别用表示，的概率分布如下．
2．问题：
如何比较甲、乙两个工人的技术？
二．学生活动
1． 直接比较两个人生产件产品时所出的废品数．从分布列来看，甲出件废品的概率比乙大，似乎甲的技术比乙好；但甲出件废品的概率也比乙大，似乎甲的技术又不如乙好．这样比较，很难得出合理的结论．
2． 学生联想到“平均数”，，如何计算甲和乙出的废品的“平均数”？
三．建构数学
1．定义
在《数学3（必修）》“统计”一章中，我们曾用公式计算样本的平均值，其中为取值为的频率值．
类似地，若离散型随机变量的分布列或概率分布如下：
…
…
其中，，则称为随机变量的均值或的数学期望，记为或．
2．性质
（1）；（2）．（为常数）
四．数学运用
例1．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分的期望
例2．高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏，在一个小口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．某学生一次从中摸出5个球，其中红球的个数为，求的数学期望．
例3．从批量较大的成品中随机取出件产品进行质量检查，若这批产品的不合格品率为，随机变量表示这件产品中不合格品数，求随机变量的数学期望．
例4．设篮球队与进行比赛，每场比赛均有一队胜，若有一队胜场则比赛宣告结束，假定在每场比赛中获胜的概率都是，试求需要比赛场数的期望．
五．学生练习：P67 1，2，3，4
1、随机抛掷一枚骰子，求所得骰子点数的期望
2、有一批数量很大的产品，其次品率是15%，对这批产品进行抽查，每次抽取1 件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品为止，但抽查次数不超过10次求抽查次数的期望（结果保留三个有效数字）
3、一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分 学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望
六．回顾小结：
第8课时 离散型随机变量的均值(1)(作业)
班级 姓名 学号
1.已知X的分布列为，则Ｅ(X)等于 。
X －１ 0 1
P 0.5 0.3 c
2.某产品的废品率为0.05。从中取出10个产品，其中的废品个数X的均值是 。
3.抛掷一颗骰子，设所得点数为X，则E(X)= 。
4.一个袋子中装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则其中含有红
球个数X的数学期望为 。
5.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分。已知某运动员罚球的命中
率是0.7，则他罚球6次的总得分的均值是 。
6.一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以
数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是 。
7.一个盒子中有10个正品，2个次品。现逐个抽取，取到次品则抛弃，直到取到正品为
止。则被抛弃的次品数X的均值E(X)= 。
8.对某个数学题，甲解出的概率为，乙解出的概率为，两人独立解题。记X为解出
该题的人数，则E(X)= 。
9.从4名男生和2名女生中选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的
人数。
(1)求X的分布列；
(2)求X的数学期望；
(3)求“所选3人中女生人数X≤1”的概率。
10.设随机变量X的概率分布如下表所示，且E(X)=2.5，求a和b.
X 1 2 3 4
P a b
11.每人在一轮投篮练习中最多可投篮4次，现规定一旦命中即停止该轮练习，否则一直
试投到4次为止。已知一选手的投篮命中率为0.7，求一轮练习中该选手的实际投篮
次数X的分布列，并求X的均值E(X)(保留3位有效数字)
12..袋中有2个白球，3个黑球，从中任意摸一球，猜它是白球还是黑球，猜对得1分，
猜错不得分，你从平均得分最大的角度，你猜什么颜色有利？
某运动员射击一次所得环数X的分布如下：
X 7 8 9 10
P 0.2 0.3 0.3 0.2
现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为X1。
(1)求该运动员两次都命中7环的概率；
(2)求X1的分布列；
(3)求X1的数学期望E(X1)。
§2.5.2 离散型随机变量的均值和方差（2）
学习目标
（1）进一步理解均值与方差都是随机变量的数字特征，通过它们可以刻划总体水平；
（2）会求均值与方差，并能解决有关应用题．
学习重点，难点：会求均值与方差，并能解决有关应用题．
学习过程
一．问题情境
复习回顾：
1．离散型随机变量的均值、方差、标准差的概念和意义，以及计算公式．
2．练习
设随机变量，且，则 ， ；
二．数学运用
例1．有同寝室的四位同学分别写一张贺年卡，先集中起来，然后每人去拿一张，记自己拿自己写的贺年卡的人数为．（1）求随机变量的概率分布；（2）求的数学期望和方差．
例2一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望．
例3．某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是，且客人是否游览哪个景点互不影响，设表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值．
（Ⅰ）求的分布列及数学期望；
（Ⅱ）记“函数在区间上单调递增”为事件，求事件的概率.
例4．有一庄家为吸引顾客玩掷骰子游戏，以便自己轻松获利，以海报形式贴出游戏规则：顾客免费掷两枚骰子，把掷出的点数相加，如果得2或12，顾客中将30元；如果得3或11，顾客中将20元；如果得4或10，顾客中将10元；如果得5或9，顾客应付庄家10元；如果得6或8，顾客应付庄家20元；如果得7，顾客应付庄家30元．试用数学知识解释其中的道理．
三．学生练习：
1. 小王从家乘车到学校，途中有个交通岗，假设在各个交通岗遇红灯的事件是相互独立的，并且概率都是，则小王上学途中遇红灯的期望是 ；方差是 ．
2袋子和中装有若干个均匀的红球和白球，从中摸出一个红球的概率是，从中摸出一个红球的概率为．
（1）从中有放回地摸球，每次摸出一个，有次摸到红球即停止．
①求恰好到第次停止的概率；
②记次之内（含次）摸到红球的次数为，求随机变量的分布列及均值．
（2）若、两个袋子中的球数之比为，将、中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是，求的值．
3．厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品.
（1）若厂家库房中的每件产品合格的概率为，从中任意取出件进行检验.求至少有 件是合格品的概率；
（2）若厂家发给商家件产品，其中有件不合格，按合同规定该商家从中任取件，都进行检验，只有件都合格时才接收这批产品，否则拒收.求该商家可能检验出不合格产品数的分布列及期望，并求该商家拒收这批产品的概率.
四．回顾小结：
第9课时 离散型随机变量的均值(2)(作业)
班级 姓名 学号
1、设15000件产品中有1000件次品，从中抽取150件进行检查，则查得次品数的数学期望为 .
2、船队若出海后天气好，可获利5000元；若出海后天气坏，将损失2000元；若不出海要损失1000元，根据预测，天气好的概率为0.6，天气坏的概率为0.4，则出海效益的期望是 .
3、一整数等可能地在1，2，…，10中取值，以X记除尽这一整数的正整数个数，那么E(x)等于 .
4、两封信随机投入A、B、C三个空邮箱，则A邮箱的信件数的数学期望E= .
5、一接待中心有A、B、C、D四部热线电话，已知某一时刻电话A、B占线的概率均为0.5，电话C、D占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响，假设该 时刻有部电话占线，试求随机变量的概率分布和它的期望.
6、一袋中有3个白球，3个红球和5个黑球，从袋中随机取3个球，假定取得一个白球得1分，取得一个红球扣1分，取得一个黑球既不得分也不扣分，求所得分数的概率分布及期望值.
7、从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数.
(1)求X的分布列；
(2)求X的数学期望；
(3)求“所选3人中女生人数X≤1”的概率.
8、用天平称某种物品的重量，物品的重量为1g，2g，…10g的概率是相同的，现有三组砝码：
甲：1，2，2，5，10(g)；
乙：1，2，3，4，10(g)；
丙：1，1，2，5，10(g).
用上述三组砝码称重时，哪一种最好？(即哪一组平均用砝码的个数最少)
9.现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2万元，1.18万元，1.17万元的概率分别是。已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中价格下降的概率都是p(0
(1)求X1，X2的概率分布和数学期望E(X1)，E(X2)；
(2)当E(X1)
学习目标
（1）理解随机变量的方差和标准差的含义；
（2）会求随机变量的方差和标准差，并能解决一些实际问题．
学习重点：离散型随机变量的方差、标准差
学习难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题
学习过程
一．问题情境
甲、乙两个工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产件产品所出的不合格品数分别用表示，的概率分布如下．
二．学生活动
如何比较甲、乙两个工人的技术？
我们知道，当样本平均值相差不大时，可以利用样本方差考察样本数据与样本平均值的偏离程度．能否用一个类似于样本方差的量来刻画随机变量的波动程度呢？
三．建构数学
1． 一般地，若离散型随机变量的概率分布如表所示：
…
…
则描述了相对于均值的偏离程度，故
，（其中
）刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度，我们将其称为离散型随机变量的方差，记为或．
2．方差公式也可用公式计算．
3．随机变量的方差也称为的概率分布的方差，的方差的算术平方根称为的标准差，即．
思考：随机变量的方差和样本方差有何区别和联系？
4.方差的性质：（1）；（2）；
（3）若ξ～B(n，p)，则np(1-p)
5.其它：
⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；
⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；
⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛
四．数学运用
例1．若随机变量的分布如表所示：求方差和标准差．
0 1
例2．求第节例1中超几何分布的方差和标准差．
例3．已知离散型随机变量的概率分布为
1 2 3 4 5 6 7
P
离散型随机变量的概率分布为
3．7 3．8 3．9 4 4．1 4．2 4．3
P
求这两个随机变量期望、均方差与标准差
五．学生练习：P70 1，2
1、设～B(n、p)且E=12 D=4，求n、p
2、有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为ξ，求Eξ，ξ
六．回顾小结：
第10课时 离散型随机变量的方差与标准差(作业)
班级 姓名 学号
1、若随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P 0.3 0.5 0.2
则E(X)= ,V(X)= 。
2、某运动员投篮命中率p=0.6，则该运动员一次投篮命中次数X的方差是 。
3、设随机变量X服从二项分布，即X—B(n，p)且E(X)=3，，则n= ，V(X)= 。
4、设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p= 时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为 。
5、抛掷一颗骰子，设所得点数为X，则V(X)= 。
6、某射手击中目标的概率p，则他射击一次击中目标的次数X的期望是 ，标准差是 。
7、甲、乙两射手在一次射击中的得分分别记为X和Y，X和Y的分布列为
X 8 9 10
P a 0.1 0.6
Y 8 9 10
P 0.3 b 0.3
(1)求a，b的值；
(2)甲、乙两射手在一次射击中的得分低于10的概率谁更大；
(3)计算X，Y的均值与方差，并以此分析甲、乙的技术状况。
8、甲、乙、丙3人独立地破译一个密码，每人译出此密码的概率均为0.25，假定随机变量X表示译出此密码的人数，求E(X)、V(X)。
9、某人每次射击命中目标的概率为0.8，现连续射击3次，求击中目标的次数X的数学期望和方差。
10、一个袋中装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，记其中含有红球个数为X，求V(X)。
11、一本书有500页，共有100个错字，随机分布在任意一页上，求一页上错字个数X的均值、方差、标准差。
12、有三张形状、大小、质地完全一致的卡片，在各张卡片上分别写上0，1，2，现从中任意抽取一张，将其上数字记作x，然后放回，再抽取一张，其上数字记作y，令X=x·y，求：
(1)X的分布列； (2)随机变量X的数字期望与方差。
13、假定某射手每次射击命中目标的概率为，现有3发子弹，该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完，设耗用子弹数为X，求：
(1)X的概率分布；(2)均值E(X)；(3)标准差
高二数学
学 案
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图2-3-2
图2-3-4
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学 案
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