两个计数原理
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第一课时 两个计数原理(一)
学习目标：
知识目标：①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；
②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题；
能力目标：培养学生的归纳概括能力；
情感目标： 引导学生形成 “自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式.
学习重难点：
分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用理解
一、问题情景：
问题1. 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火车有4 班, 汽车有2班，轮船有3班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法
分析: 从甲地到乙地有3类方法,
第一类方法, 乘火车，有4种方法;
第二类方法, 乘汽车，有2种方法;
第三类方法, 乘轮船, 有3种方法;
所以 从甲地到乙地共有 4 + 2 + 3 = 9 种方法。
问题2. 如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条。从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法
分析: 从A村经 B村去C村有2步,
第一步, 由A村去B村有3种方法,
第二步, 由B村去C村有3种方法,
所以 从A村经 B村去C村共有 3 ×2 = 6 种不同的方法。
二、新授
分类计数原理 完成一件事，有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法。那么完成这件事共有 N=m1+m2+…+mn 种不同的方法。
分步计数原理 完成一件事，需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有 N=m1×m2×…×mn 种不同的方法。
三、例题讲解：
例1、某班级有男生28人,女生20人,从该班选出学生代表参加校学代会。
(1)若学校分配给该班1名代表，则有多少种不同选法？
(2)若学校分配给该班2名代表，且男、女生各1名，则有多少种不同选法？
例2、(1)在图1-1-3（1）的电路中，只合上一只开关以接通电路，有多少种不同的方法？
(2)在图1-1-3（2）的电路中，合上两只开关以接通电路，有多少种不同的方法？
例3、为了确保电子信箱的安全，在注册时，通常要设置电子信箱密码，在某网站设置的信箱中，
(1)密码为4位，每位均为0到9这10个数字中的一个数字，这样的密码共有多少个？
(2)密码为4位，每位是0到9这10个数字中的一个，或是从A到Z这26个英文字母中的1个，这样的密码共有多少个？
(3)密码为4-6位，每位均为0到10个数字中的一个，这样的密码共有多少个？
例4、有5种不同的书（每种不少于3本），从中选购3本送给3名同学，每人1本，共有多少种送法？
四、练习:
6、书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书．
（1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？
（2）若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？
（3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法？
第一课时 两个计数原理（一）作业
班级 姓名 学号
1、为了准备晚饭，小张找出了3种冷冻蔬菜、5种罐装蔬菜和4种不同的新鲜蔬菜，如果晚饭时小张只吃1种蔬菜，那么共有多少种不同的选择？
2、在数学选修课程目录中，一个学生选修系列3种发现了4门有趣的课程，在选修系列4中发现了6门有趣的课程，如果这个学生决定在选修系列3和选修系列4中各选1门有趣的课程作为新学期的选修课，那么他有多少种不同的选择？
3、如图，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条路；从甲地到丙地有2条路，从丙地到丁地有4条路，问：从甲地到丁地共有多少种不同的走法？
4、如图，一条电路从A处到B处接通时，可以有多少条不同的线路(每条线路仅含一条通路)？
5、(1)连续抛掷一颗骰子2次，用树形图画出掷出的点数的所有可能情况；
(2)第一次抛壹元币，第二次抛伍角币，第三次抛壹角币，试用树形图画出3次抛掷后3枚硬币向上的一面是正面或是反面的所有可能情况。
6、从1，2，3，4这4个数字中，每次取出2个数字组成一个两位数.
(1)如果两位数中的数字不允许重复使用，那么能得到多少个不同的两位数？
(2)如果两位数中的数字允许重复使用，那么能得到多少个不同的两位数？
7、用1，5，9，13中任意一个数作分子，4，8，12，16中任意一个数作分母，可组成多少个不同的分数？可组成多少个不同的真分数？
8、(1)乘积(a+b+c+d)(m+n)(x+y+z)展开后共有多少项？
(2)展开后共有多少项？
9、如图，从A处沿街道走到B处，使路程最短的不同走法有多少种？
10、如图，从A处沿街道走到B处，使路程最短的不同走法有多少种？
11、以正方形的4个顶点中某一顶点为起点、另一个顶点为终点作向量，可以作出多少个不同的向量？
第二课时 两个计数原理(2)
学习目标：掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题.
学习重难点：分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用理解.
学习过程：
一、复习：1、分类计数原理、分步计数原理概念
2、分类计数原理、分步计数原理的不同点
练习；电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？
二、例题讲解：
例1、一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？
例2、75600有多少个正约数 有多少个奇约数
例3、(1)某商场有4个大门，若从某个门进去，购买商品后再从某个门出去，不同的走法的种数是 .
(2)某人要将4封信投入3个信箱中，不同的投寄方法有 种.
(3)有3群不同的鸽子放养在4个不同的树林，可有 种不同的放养方法.
例4、若直线ax+by=0中的a、b可以从0，1，2，3，4这五个数字中任选两个不同的数字，则该方程表示不同的直线共有多少条？
例5、如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？
变式(1)如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？
(2)若颜色是2种，4种，5种又会什么样的结果呢？
三、练习
1、有4个颜色不同的小球要放入三个不同的盒中，则共有多少种不同的放法？
2、分别从集合中取数作为二次函数的系数，则可以构成多少个不同的二次函数？
3、（1）如果，且，则以为坐标的点有多少个？
（2）如果，，则有序数对可以表示多少个不同的点？
第二课时 两个计数原理（二）作业
姓名 班级 学号
一、填空题.
1.在十字路口不包括往回走的来回车辆共有不同的走法 .
2.已知，则方程可表示不同的圆的个数是 .
3.从2张1元，3张0.5元，2张0.1元的纸币中，任取4张，面值和超过2元的取法总数为 .
4.将5件不同的礼物送给4名同学(全部送出)所有不同的送法数为 种.
5.设有5条线段长度分别是2，5，6，7，9从中任取3条作三角形三边共可构成三角形的个数是 .
6.从3件不同的礼物中选出2件送给2名同学，所有不同的送法数为 种.
7.某城市的电话在号码，由六位数改为七位数，若首位数字均不为0，则该城市可能增加电话门数是 .
8. 从6人中选出4分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 种.
9.5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有 种.
二、简答题.
10.用五种颜色给四个区域涂色，每个区域涂一种颜色.
①共有多少种不同的涂色方法；
②若要求相邻(有公共边)的区域不同色，那么有多少种不同的涂色方法？
11.取1，2，3，4，5五个数字中的不同两个数分别作为中的底数和指数所得到的幂的不同值有多少个？
12.（1）如果，那么在平面直角坐标系内，集合中有多少个不同的点？
（2）如果，那么直线共有多少条？
13.从0，1，2，3，4，5，6中任意取出三个不同的数字作为二次函数y=ax2+bx+c的系数，可有多少个不同的二次函数的表达式？其中二次函数对应的曲线关于y轴对称的有多少个？
高二数学学案
选修2—3
A村
B村
C村
北
南
中
北
南
高二数学学案
选修2—3
2
1
3
4
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学习目标：
知识目标：①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；
②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题；
能力目标：培养学生的归纳概括能力；
情感目标： 引导学生形成 “自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式.
学习重难点：
分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用理解
一、问题情景：
问题1. 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火车有4 班, 汽车有2班，轮船有3班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法
分析: 从甲地到乙地有3类方法,
第一类方法, 乘火车，有4种方法;
第二类方法, 乘汽车，有2种方法;
第三类方法, 乘轮船, 有3种方法;
所以 从甲地到乙地共有 4 + 2 + 3 = 9 种方法。
问题2. 如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条。从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法
分析: 从A村经 B村去C村有2步,
第一步, 由A村去B村有3种方法,
第二步, 由B村去C村有3种方法,
所以 从A村经 B村去C村共有 3 ×2 = 6 种不同的方法。
二、新授
分类计数原理 完成一件事，有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法。那么完成这件事共有 N=m1+m2+…+mn 种不同的方法。
分步计数原理 完成一件事，需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有 N=m1×m2×…×mn 种不同的方法。
三、例题讲解：
例1、某班级有男生28人,女生20人,从该班选出学生代表参加校学代会。
(1)若学校分配给该班1名代表，则有多少种不同选法？
(2)若学校分配给该班2名代表，且男、女生各1名，则有多少种不同选法？
例2、(1)在图1-1-3（1）的电路中，只合上一只开关以接通电路，有多少种不同的方法？
(2)在图1-1-3（2）的电路中，合上两只开关以接通电路，有多少种不同的方法？
例3、为了确保电子信箱的安全，在注册时，通常要设置电子信箱密码，在某网站设置的信箱中，
(1)密码为4位，每位均为0到9这10个数字中的一个数字，这样的密码共有多少个？
(2)密码为4位，每位是0到9这10个数字中的一个，或是从A到Z这26个英文字母中的1个，这样的密码共有多少个？
(3)密码为4-6位，每位均为0到10个数字中的一个，这样的密码共有多少个？
例4、有5种不同的书（每种不少于3本），从中选购3本送给3名同学，每人1本，共有多少种送法？
四、练习:
6、书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书．
（1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？
（2）若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？
（3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法？
第一课时 两个计数原理（一）作业
班级 姓名 学号
1、为了准备晚饭，小张找出了3种冷冻蔬菜、5种罐装蔬菜和4种不同的新鲜蔬菜，如果晚饭时小张只吃1种蔬菜，那么共有多少种不同的选择？
2、在数学选修课程目录中，一个学生选修系列3种发现了4门有趣的课程，在选修系列4中发现了6门有趣的课程，如果这个学生决定在选修系列3和选修系列4中各选1门有趣的课程作为新学期的选修课，那么他有多少种不同的选择？
3、如图，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条路；从甲地到丙地有2条路，从丙地到丁地有4条路，问：从甲地到丁地共有多少种不同的走法？
4、如图，一条电路从A处到B处接通时，可以有多少条不同的线路(每条线路仅含一条通路)？
5、(1)连续抛掷一颗骰子2次，用树形图画出掷出的点数的所有可能情况；
(2)第一次抛壹元币，第二次抛伍角币，第三次抛壹角币，试用树形图画出3次抛掷后3枚硬币向上的一面是正面或是反面的所有可能情况。
6、从1，2，3，4这4个数字中，每次取出2个数字组成一个两位数.
(1)如果两位数中的数字不允许重复使用，那么能得到多少个不同的两位数？
(2)如果两位数中的数字允许重复使用，那么能得到多少个不同的两位数？
7、用1，5，9，13中任意一个数作分子，4，8，12，16中任意一个数作分母，可组成多少个不同的分数？可组成多少个不同的真分数？
8、(1)乘积(a+b+c+d)(m+n)(x+y+z)展开后共有多少项？
(2)展开后共有多少项？
9、如图，从A处沿街道走到B处，使路程最短的不同走法有多少种？
10、如图，从A处沿街道走到B处，使路程最短的不同走法有多少种？
11、以正方形的4个顶点中某一顶点为起点、另一个顶点为终点作向量，可以作出多少个不同的向量？
第二课时 两个计数原理(2)
学习目标：掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题.
学习重难点：分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用理解.
学习过程：
一、复习：1、分类计数原理、分步计数原理概念
2、分类计数原理、分步计数原理的不同点
练习；电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？
二、例题讲解：
例1、一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？
例2、75600有多少个正约数 有多少个奇约数
例3、(1)某商场有4个大门，若从某个门进去，购买商品后再从某个门出去，不同的走法的种数是 .
(2)某人要将4封信投入3个信箱中，不同的投寄方法有 种.
(3)有3群不同的鸽子放养在4个不同的树林，可有 种不同的放养方法.
例4、若直线ax+by=0中的a、b可以从0，1，2，3，4这五个数字中任选两个不同的数字，则该方程表示不同的直线共有多少条？
例5、如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？
变式(1)如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？
(2)若颜色是2种，4种，5种又会什么样的结果呢？
三、练习
1、有4个颜色不同的小球要放入三个不同的盒中，则共有多少种不同的放法？
2、分别从集合中取数作为二次函数的系数，则可以构成多少个不同的二次函数？
3、（1）如果，且，则以为坐标的点有多少个？
（2）如果，，则有序数对可以表示多少个不同的点？
第二课时 两个计数原理（二）作业
姓名 班级 学号
一、填空题.
1.在十字路口不包括往回走的来回车辆共有不同的走法 .
2.已知，则方程可表示不同的圆的个数是 .
3.从2张1元，3张0.5元，2张0.1元的纸币中，任取4张，面值和超过2元的取法总数为 .
4.将5件不同的礼物送给4名同学(全部送出)所有不同的送法数为 种.
5.设有5条线段长度分别是2，5，6，7，9从中任取3条作三角形三边共可构成三角形的个数是 .
6.从3件不同的礼物中选出2件送给2名同学，所有不同的送法数为 种.
7.某城市的电话在号码，由六位数改为七位数，若首位数字均不为0，则该城市可能增加电话门数是 .
8. 从6人中选出4分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 种.
9.5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有 种.
二、简答题.
10.用五种颜色给四个区域涂色，每个区域涂一种颜色.
①共有多少种不同的涂色方法；
②若要求相邻(有公共边)的区域不同色，那么有多少种不同的涂色方法？
11.取1，2，3，4，5五个数字中的不同两个数分别作为中的底数和指数所得到的幂的不同值有多少个？
12.（1）如果，那么在平面直角坐标系内，集合中有多少个不同的点？
（2）如果，那么直线共有多少条？
13.从0，1，2，3，4，5，6中任意取出三个不同的数字作为二次函数y=ax2+bx+c的系数，可有多少个不同的二次函数的表达式？其中二次函数对应的曲线关于y轴对称的有多少个？
高二数学学案
选修2—3
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高二数学学案
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