排列组合
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文档简介
第3课时 排 列（一）
学习目标：
1、理解排列的意义，并能用树形图正确写出一些简单排列问题的所有排列。
2、了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想，并能运用排列数公式进行计算。
3、能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题。
学习难点：排列定义。
学习重点：排列数公式。
学习过程：
一、问题情境
（1）高二（1）班准备从甲，乙，丙三名学生中选出两人分别担任班长和副班长，有多少种不同的选法？
（2）从1，2，3三个数字中选出两个数字组成两位数，这样的两位数共有多少个？
上面三个问题有什么共同特征？可以用怎样的数学模型来刻画？
二、学生活动
我们把上面问题中被取的对象叫做元素。于是问题（1）所提出的就是从3个不同的元素a、b、c中任取2个，然后按一定的顺序排成一列，求一共有多少种不同的排列方法。
第一问用树形图表示
班长 甲 乙 丙
副班长 乙 丙 甲 丙 甲 乙
即共有6种不同的结果：甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙
事实上，这6种选法分别是从甲、乙、丙三个学生中选出两个学生，并按一定的顺序排成一列（班长排在第1位，副班长排在第2位）而得到的。
类似地，问题（2）中的每个两位数都是从三个不同的数字中取两个数字，按一定的顺序排成了一列。
三、数学建模
1、 一般地，从n个不同的元素中取出m（）个元素，并按一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
下列问题是排列问题吗？
（1）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可能？
（2）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做除法，其结果有多少种不同的可能？
（3）从1到10十个自然数中任取两个组成点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？
（4）平面上有5个点，任意三点不共线，这五点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？
（5）10个学生排队照相，则不同的站法有多少种？
排列的定义中包含两个基本内容：一个是“取出元素”；二是“按照一定顺序排列”，“一定顺序”就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志。根据排列的定义，两个排列相同，且仅当两个排列的元素完全相同，而且元素的排列顺序也相同。
2、排列数公式：从 n 个不同元素中取出 m (m≤n) 个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号 表示。
第一位 第二位
n n-1
第1位 第2位 第3位 第m位
……………………
N n-1 n-2 n-m+1
=n（n-1）（n-2）……（n-m+1）
= n（n-1）（n-2）……（n-m+1）……
四、例题讲解
例1、（1）写出从 a , b , c , d 四个元素中 任取三个元素的所有排列。
（2）写出从a，b，c，D这4个字母中，每次取出3个字母的所有排列
例2、将甲、乙……等5名同学排成一排
（1）求甲站在中间的排法； （2）求甲、乙两人站在中间的排法；
（3）求甲、乙人都不站在两端的排法； （4）求甲、乙两人不都站在两端的排法。
例3、计算：
（1） （2） （3） （4）
例4、应用公式解以下各题
例5、求证：（1） （2）
五、练习：书1、2、3 书 补充 解不等式
第3课时 排列(一)作业
班级 姓名 学号
1.(1)已知,那么m= ; (2)已知,那么n= .
2.若,则n= ； 若，则的值为
3.由1，2，3，4，5可以组成各位数字可重复的三位数共有 个，组成数字不可重复的三位数共有 个.
4.用排列表示为 .
5.(1)甲、乙、丙三人各写了一张贺卡、先集中在一起，再每人从中拿一张别人写的贺卡，写出所有的拿法： .
(2)a,b, c排成一行，其中a不排第一，b不排第二，c不排第三，写出满足条件的排列 .
6.12名选手参加校园歌手大奖赛，比赛设一等奖、二等奖、三等奖各一名，每人最多获得一种奖项，一共有 种不同的获奖情况.
7. 写出从a,b,c,这3个字母里任取出2个字母的所有排列.
8.计算：.(1). (2)
(3) (4)
9、(1)解不等式： (2) 若，求的解集。
10、用0,1,2,3,4,5这6个数
（1）能组成多少个无重复数字的三位数？
（2）能组成多少个无重复数字的三位偶数？
11、从-1,0,1,2,3这5个数字中，任选3个不同的数组成二次函数的系数，问（1）开口向上的抛物线有多少条？
（2）开口向上且不过原点的抛物线有多少条？
（3）与轴的正半轴、负半轴各有一个交点的跑物线有多少条？
12、从包含甲的若干名同学中选出4名分别参加数学、物理 、化学、英语竞赛，每名同学只能参加一种竞赛，且任2名同学不能参加同一种竞赛，若甲不参加物理和化学竞赛，则共有72种不同的参赛方法，问一共有多少名同学？
第四课时 排列（二）
学习目标：能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题
学习重点：排列数公式的应用
学习难点：有条件的排列问题的处理方法。
学习过程：
一、复习：
一般地说，从 n 个不同元素中，任取 m (m≤n) 个元素（本章只研究被取出的元素各不相同的情况），按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。
排列数
从 n 个不同元素中取出 m (m≤n) 个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号 表示。
二、例题讲解
有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各一本，共有多少种不同的送法？
某足球联赛共有12支球队参加，每队都要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共要进行多少场比赛？
用0到9这10个数字能组成多少个没有重复数字的三位数？
变式题1、用0到9这10个数字能组成多少个没有重复数字的五位偶数？
2、用0到9这10个数字能组成多少个没有重复数字的能被5整除的五位数？
3、用0到9这10个数字能组成多少个没有重复数字的大于34621的五位数？
例4、4名学生和3名教师站成一排照相。
(1)中间三个位置排教师，有多少种排法？
(2)一边是教师，另一边是学生的排法有多少种？
(3)首尾不排教师，有多少种排法？
（4）学生甲、乙必须相邻，有多少种排法？
(5)任意2名教师不能相邻的排法有多少种？
三、练习
1、书1-3
2、用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数，其中
（1）能被25整除的有多少个？
（2）十位数字比个位数字大的有多少个？
3、从1、2、3、4、7、9这6个数中任选两个数分别作为一个对数的底数与真数。
（1）其中可以组成多少个不同的对数值？
（2）有多少个不同的大于1的对数值？
4、7个人排成一排（1）若C,D,E三人两两不相邻，有多少种不同的排法？
（2）若A,B两人连在一起，有多少种不同的排法？
（3）若A,B两人连在一起，且C,D,E三人两两不相邻，有多少种不同的排法？
5、从集合｛1,2,3，…,20｝中任选3个不同的数，使这3个数构成等差数列，这样的等差数列有多少个？
第4课时 排列(二)
班级 姓名 学号
1、有4种不同品质的梨树苗，每2种嫁接可以培育1种新品种，则可得到 种不同的新品种.
2、语、数、外三科老师都布置了作业，在同一时刻有4名学生都做作业，从所做作业的学科看，可能情形的种数是( )
A． B． C． D．
3、5人站成一排，其中甲、乙、丙3人必须站在一起的排列数为 .
4、4名学生和3名老师站成一排照相，则3名老师两两相邻的排法总数为 .
5、⑴由数字1，2，3，4，5 可以组成多少个没有重复数字的五位数？可以组成多少个没有重复数字的正整数？
⑵由数字1，2，3，4可以组成多少个没有重复数字的比1300大的正整数？
6、(1)一天有6节课，安排6门学科，一天的课程表有几种排法？
(2)上午有4节课，一个教师要上3个班级的课，每个班1节课，若不能连上3
节，这个教师的课有几种排法？
7、用一颗骰子连掷3次，以投掷出的数字顺序排成一个三位数.
求⑴可排成多少个不同的三位数？
⑵各位数字互不相同的三位数有多少个？
⑶恰好有2个相同数字的三位数有多少个？
8、学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序，除第一个节目和最后一个节目已确定外，4个音乐节目要求排在第二、五、七、十的位置，3个舞蹈节目要求排在第三、六、九的位置，2个曲艺节目要求排在第四、八的位置，共有多少种不同的排法？
9、 ⑴7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？
⑵7位同学站成两排(前3后4)，共有多少种不同的排法？
⑶7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？
⑷7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法有多少种？
⑸7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？
⑹7位同学站成一排，甲、乙必须相邻，共有多少种排法？
⑺7位同学站成一排，甲、乙不相邻，共有多少种排法？
10、按序给出a、b两类元素，a类是甲、乙、丙、丁、戌、已、庚、辛、壬、癸，b类是子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥，从a类里选奇数位的任一个排在首位，b类里选奇数位的任一个排在末位；又从a类里选偶数位的任一个排在首位，b类里选偶数位的任一个排在末位，问：这样两个元素的排列共有多少种？
第5课时 组 合(1)
学习目标：
1、理解组合的意义，能写出一些简单问题的所有组合。
2、明确组合与排列的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题。
3、了解组合数的意义，理解排列数与组合数之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算。
4、能运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力
学习重点与难点：
1、明确组合与排列的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题。
2、理解排列数与组合数之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算。
学习过程：
一、复习： 1、排列定义： 2、排列数公式：
二、问题情境
(1)高二（1）班从甲，乙，丙三名学生中选2名学生代表，有多少种不同的选法？
(2)从1、2、3三个数字中选两个数字，能构成多少个不同的集合？
这两个问题与上一节中相应的排列问题有何区别？有何联系？
三、新课讲解
1、组合的定义
一般地，从n个不同元素中取出m个不同元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的一个组合
2、组合数公式
从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示
学生活动：根据排列与组合的关系，如何去求组合数呢？
一般地，求从 个不同元素中取出 个元素的排列数，可以分为以下2步：
第1步，先求出从这个不同元素中取出个元素的组合数 ．
第2步，求每一个组合中个元素的全排列数
根据分步计数原理，得到 。
上面这个公式还可写成 ____________________该公式叫做组合数公式．
3、例题讲解
例1 判断下列问题是组合还是排列
（1）在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？（2）高中部11个班进行篮球单循环比赛，需要进行多少场比赛？
（3）从全班23人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？选出三人参加某项劳动，有多少种不同的选法？
（4）10个人互相通信一次，共写了多少封信？（5）10个人互通电话一次，共多少个电话？
问题：（1）1、2、3和3、1、2是相同的组合吗？（2）什么样的两个组合就叫相同的组合
例2写出从a、b、c、d四个元素中，每次取出2个元素的所有可能情况；
计算：
例4 求证：
4、练习：
1、下列问题是排列问题，还是组合问题？
(1)从9名学生中选出4名学生参加一个联欢会，共有多少种不同的选法？
(2)北京、上海、天津、广东这4支足球队举行单循环赛，共有多少场比赛？
(3)从2，3，5，7，11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数，共有多少个不同分数？
2、甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛，
(1)列出所有各场比赛的双方；
(2)列出所有冠亚军的可能情况。
3、6个朋友聚会，每两人握手1次，一共握手多少次？
4、(1)平面内有10个，以其中2个点为端点的线段共有多少条？
(2)平面内有10个点，以其中2个点为端点的有向线段共有多少条？
5、填空：
(1)从5人中选派3人去参加某个会议，不同的方法共有 种；
(2)从5件不同的礼物中选出3件分别送给3位同学，不同的方法共有 种；
(3)设集合A有m个元素，集合B有n个元素，从这两个集合中各取出1个元素，不同的方法共有 种。
6、在桥牌比赛中，发给4名参赛者每人13张牌，一名参赛者可能得到多少种不同的牌？(用排列数记号或组合数记号表示)
7、证明
第5课时 组合(一)
班级 姓名 学号
1、已知，则 。
2、计算= 。
3、设集合A有m个元素，集合B有n个元素，从这两个集合中各取出1个元素，不同的方法共有 种。
4、(1)平面内有10个点，以其中2个点为端点的线段共有 条.
(2)平面内有10个点，以其中2个点为端点的有向线段共有 条.
5、已知，则m与n的值为 。
6、某人打算选购8种股票和4种债券，经纪人向他推荐了12种股票和7种债券，此人共有
种不同的选法.
7、设集合，，已知且中含有3个元素，符合条件的集合有 个。
8、马路上有编号为，2,3，,10的十只路灯，为节约用电又不影响照明，可以熄掉其中的三只路灯，但又不能同时熄掉相邻的两只或三只，则满足条件的熄灯方法有 种。
9、（1）求证： （2）已知，求
10、6本不同的书分给甲、乙、丙3位同学，每人各得2本，有多少种不同的分法？
11、计算的值。
12、某班级有50名学生，其中20名女生。现要从50名学生中选出5名参加学校举行召开的学代会，按照学校的要求，每班至少要有1名女生代表，有多少种不同的选法？（只列式）
13、有12名划船运动员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷其余5人既会划左舷也会划右舷。现在要从这12名运动员中选出6人平均分在左右弦参加划船比赛，有多少种不同的选法？
第6课时 组 合(2)
学习目标：
1、进一步掌握组合数公式，运用组合数公式进行计算。
2、能运用组合概念分析简单的实际实际问题，提高分析问题的能力。
学习重点与难点：运用组合概念分析简单的实际实际问题
学习过程：
一、复习：
1、组合的定义
2、组合数公式
二、例题讲解
例1 在歌手大奖赛的文化素质测试中，选手需从5个试题中任意选答3题，问：
(1)有几种不同的选题方法？
(2)若有一道题是必答题，有几种不同的选题方法？
由本例归纳猜想出组合数的两个重要性质：
例2 求值：(1)C107 (2)C33+C43+C53+C63
练习：
1、计算： (1)； (2)
2、若，则n= ，= .
例3 在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件。
(1)一共有多少种不同的抽法？
(2)抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有多少种？
(3)抽出的3件中至少有1件是不合格的抽法有多少种？
房间里有5个电灯，分别由5个开关控制，至少开一个灯用以照明，有多少种不同的方法？
在例4中若“抽出的3件中至多有一件事不合格品”应如何求解？
例5 (1)从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有 种。
(2)从1，2，3，4，……，10，11的共11个数中，取出5个数，使得这5个数的和为奇数，则一共有 不同的取法。
例6 9名翻译中，6人会英语，5人会日语，现要安排4名翻译英语，3名翻译日语，共有多少种不同的安排方法？
、
练习：
1、已知A，B，C，D四点，其中任意三点不在同一直线上，从中取出两点作直线，共能作出多少条直线？写出所有的直线。
2、学校开设了6门选修课，问：
(1)某学生从中选3门，共有多少种不同的选法？
(2)某学生从中于少选2门，共有多少种不同的选法？
(3)某学生从中至多选4门，共有多少种不同的选法？
3、一位教练的足球队共有 17 名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人．问：
(l)这位教练从这 17 名学员中可以形成多少种学员上场方案？
(2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？
4、已知两条异面直线a,b上分别有5个点和8个点，用这13个点可确定多少个不同的平面？
5、由10个元素组成的集合有多少个子集？
第6课时 组合(二)
班级 姓名 学号
1、圆上有10个点，问：
(1)以这些点为端点，一共可画 条弦。
(2)以这些点为顶点，一共可画 个三角形。
2、 (1)空间有8个点，其中任何4点不共面，过每3个点作一个平面，一共可以作 个平面。
(2)空间有10个点，其中任何4点不共面，以每4个点为顶点作一个四面体，一共可以作 个四面体？
3、从6位候选人中选出2人分别担任班长和团支部书记，有 种不同的选法。
4、从6位同学中选出2人去参加座谈会，有 种不同的选法。
5、(1)凸五边形有 条对角线；(2)凸n五边形有 条对角线。
6、的不同值有 个。
7、在一次考试中，要求在第1题的4个小题中选做3个小题，在第2题的3个小题中选做2个小题，在第3题的2个小题中选做1个小题，有多少种不同的选法？
8、在200件产品中，有3件不合格品，从中任取5件，问：
(1)“恰有2件不合格品”的取法有多少种？
(2)“没有不合格品”的取法有多少种？
(3)“至少有1件不合格品”的取法有多少种？
9、从5名男生和4名女生中选出4人参加辩论比赛，
(1)如果4人中男生和女生各2人，那么有多少种不同选法？
(2)如果男生中的甲与女生的乙必须在内，那么有多少种不同选法？
(3)如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种不同选法？
10、上10级台阶，每步可跨一级或两级，问能有多少种不同的上法？
11、从5名同学中选派4名同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，求有多少不同的选派方法。
12、用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，不同的涂色方法有多少种。
13、设正n边形内接于圆O，正n边形的n个顶点及圆心O点共计n+1个点，从这n+1个点来考虑:
（1）过任意两点作直线，能作多少条直线？
（2）以任意三点为顶点，能作多少个三角形？
第7课时 计数应用题（1）
学习目标：
1、能解决一些简单的计数问题.
2、对排列组合的应用题应掌握以下基本方法与技巧：(1)特殊元素(位置)优先安排；(2)合理分类和准确分步；(3)先选后排原则；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)固定顺序问题排除法处理；(7)正难则反.
学习重点、难点：找到恰当的分类分步方法
学习过程：
一、复习回顾
1、两个计数原理 2、排列、排列数 3、组合、组合数
二、例题讲解
例1. 高二(1)班有30名男生，20名女生，从50名学生中选3名男生、2名女生分别担任班长、副班长、学习委员、文娱委员、体育委员，共有多少种不同的选法？
思考：如果分两步解决上面问题：先从30名男生中选3名担任3种不同职务，再从20名女生中选2名女生担任2种不同的职务，那么结果为，这样做对吗？为什么？
例2. 2名女生、4名男生排成一排，问：
(1)2名女生相邻的不同排法共有多少种？
(2)2名女生不相邻的不同排法共有多少种？
(3)女生甲必须排在女生乙的左边(不一定相邻)的不同排法共有多少种？
(4)女生甲不站排头，女生乙不站排尾共有多少种排法？
例3 从0，1，2…，9这10个数学中选出5个不同的数字组成五位数， 其中大于13000的共有多少个？
思考：在例3中，大于13500的五位数有多少个？
例4.把1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排列，构成一个数列，问：
(1)43251是这个数的第几项？ (2)这个数列的第96项是多少？
三、练习：
1. 文娱晚会中，学生的节目有9个，教师的节目有2个，如果老师的节目不排在最后一个，那么有多少种排法？
2. 从1，3，5，7，9中 任取3个数字，从2，4，6，8，中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位数？
3. 有同一排的电影票6张，3个教师和3个学生按不述要求入座，有多少种坐法？
(1)师生相间；(2)3个学生要相邻坐在一起。
4. 将4位司机、4位售票员分配到4辆不同班次的公共汽车上，每一辆汽车分别有1位司机和1位售票员，共有多少种不同的分配方案？
5. 电视台有8个节目准备分两天播出，每天播出4个，其中某电视剧和某专题报道必须在第一天播出，某谈话节目必须在第二天播出，共有多少种不同的播出方案？
6、已知两条异面直线a,b上分别有5个点和8个点，用这13个点可确定多少个不同的平面？
7、从4台A型电视机和5台B型电视机中任选3台，要求A，B两种型号的电视机都要选，有多少种不同的选法？
8、3张卡片的正、反两面分别写有数字1，2；3，4；5，6，将这3张卡片排成一排，可构成多少个不同的三位数？
9、由10个元素组成的集合有多少个子集？
第7课时 计数应用题(1)
班级 姓名 学号
1、壹圆、贰圆、伍圆、拾圆面值的人民币各1张，一共可以组成 种币值。
2、掷下4枚编了号的硬币，至少有2枚正面向上的情况有 种。
3、某人射击8枪击中4枪，其中有3枪连续命中，若按“命中”及“未命中”报告结果，则不同的结果有 种。
4、4男5女排成一排，4男顺序一定，5女顺序也一定的排法种数为 种。
5、7个小孩站成两排，3个女孩站在前排，4个男孩站在后排，有 种站法。
6、7个人站成两排，前排站3人，后排站4人，有 种站法。
7、凸五边形的对角线有 条，凸n边形的对角线有 条。
8、7个人站成一排，问：
(1)甲必须站在正中间，有多少种排法？
(2)甲、乙两人必须站在两端，有多少种排法？
(3)甲必须站在乙的右边(不一定相邻)，有多少种排法？
9、某旅游团要从8个景点中选2个景点作为当天的旅游地，满足下列条件的选法各有多少种？
（1）甲乙两个景点至少选1个？（2）甲乙两个景点至多选1个？
（3）甲乙两个景点必须选2个且只能选1个？
10、某医院有内科医生12名、外科医生8名，现要派5名医生参加赈灾医疗队，问：
(1)某内科医生必须参加，某外科医生因故不能参加，有多少种选法？
(2)内科医生和外科医生中都要有人参加，有多少种选法？
11、4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，恰有一个空盒的放法共有多少种？
12、12件产品，其中5件一级品，4件二级品，3件三级品，从中取出4件，问：
(1)至少1件一级品的取法有多少种？
(2)至多2件一级品的取法有多少种？
(3)不都是一级品的取法有多少种？
(4)都不是一级品的取法有多少种？
13、如图所示，某地有南北街道5条、东西街道6条，一邮递员从该地东北角的邮局A出发，送信到西南角的B地，且途经C地，要求所走路程最短，共有多少种不同的走法？
第8课时 排列组合应用题(2)
教学目标：
1、能利用计数原理，排列、组合知识解识简单的实际应用题。
2、学会利用树状图、图表等直观地解决问题，培养数形结合能力。
教学重点与难点：运用排列组合知识以及两个基本原理分析简单的实际问题。
教学过程：
一、复习：
1、排列组合定义：
2、两个基本原理
二、例题
例1 6个女同志(其中有一个领唱)和2个男同志，分成两排表演。
(1)每排4人，问共有多少种不同的排法？
(2)领唱站在前排，男同志站在后排，每排4人，问有多少种不同的排法？
变式：有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数。
(1)有女生但人数必须少于男生；
(2)某女生一定要排任语文科代表；
(3)某男生必须包括在内，但不担任数学科代表；
(4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表；
例2 从1到9的九个数字中取三个偶数和四个奇数，试问：
(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？
(2)上述七位数中四个奇数排在一起的有多少个？
(3)在(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有多少个？
(4)在(1)中任意两个偶数都不相邻的七位数有多少个？
例3 6本不同的书，按下列分配方式，分别有多少种分配方法？
(1) 分成1本、2本、3本三组；
(2) 分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本；
(3) 分成每组都是2本的三组；
(4) 分给甲、乙、丙三人，每人2本.
例4 有4个不同的球，四个不同的盒子，把球全部放入盒内。
(1)共有多少种放法？
(2)恰有一个盒不放球，有多少种放法？
(3)恰有一个盒内有2个球，有多少种放法？
(4)恰有两个盒不放球，有多少种放法？
例5、将12本不同的书，按下列要求，各有多少种不同的方法？
（1）分成三组，每组至少1本；
（2）放入3个不同的箱子中，可以有箱子中没有书。
三、课堂练习
1、某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，又工程丁必须在工程丙完成后立即进行，那么安排这6项工程的不同排法种数是 。
2、用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有 个。
3、安排甲、乙、丙三人星期一至星期六值班，每人值班两天，甲不值星期一，乙必须值星期六，则不同的排法有 种。
4、12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，其他的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是 。
5、某校高二年级共有六个班，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名同学，则不同的安排方案种数为 .
6、分别求方程的正整数解的个数和非负整数解的个数。
第8课时 计数应用题(2)
班级 姓名 学号
1、6个人排队，其中甲、乙、丙3两两不相邻的排法 种。
2、5人站成一排，甲、乙两人之间恰有1人的不同站法的种数为 。
3、登山运动员10人，平均分为两组，其中熟悉道路的有4人，每组都需要2人，那么不同的分组方法种数是 。
4、在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的共有 个。
5、某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有 种。
6、有编号为1，2，3的3个盒子和10个相同的小球，现把这10个小球全部装入3个盒子中，使得每个盒子所装的球数不小于盒子的编号数，这种装法共有 种。
7、今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有 种不同的方法。
8、从单词“equation”中选取5个不同的字母排成一排，含有“qu”(其中“qu”相连且顺序不变)的不同排列共有 个。
9、4男3女共7名同学按下列要求并排站成一排，分别有多少种不同的站法？
(1)男生不站正中间，女生不站在两端；
(2)3名女生排在一起，且女生不站在两端；
(3)女生甲、乙间恰好有2名男生；
(4)3名女生不相邻，且男生甲不排在排头或排尾；
10、在书柜的一层上原有6本书，如果保持原有书的相对顺序不变，再插进3本书，那么共有多少种不同的插法？
11、某天要上政治、语文、数学、物理、体育、生物六门课，但规定第1节不能上体育，第2节不能上物理，第6节不能上数学，则这天的课程表有多少种不同的排法？
12、如图所示，一个圆被两条直径分成四块，现在用5种不同颜料给这四块涂色，要求共边两块的颜色不同，每块只涂一色，共有多少种涂色方法？
13、按下列条件在12人中选出5人，有多少种不同的选法？（）
(1) 甲、乙、丙三人必须当选； (2) 甲、乙、丙三人不能当选；
(3) 甲必须当选，乙、丙不能当选； (4) 甲、乙、丙三人只能有1人当选；
(5) 甲、乙、丙三人至多2人当选； (6) 甲、乙、丙三人至少1人当选；
第九课时 二项式定理
学习目的：
1掌握二项式定理及二项式展开式的通项公式.
2.会利用二项展开式及通项公式解决有关问题.
学习重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用
学习难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用
授课类型：新授课
学习过程：
一、复习引入：
⑴；
⑵
⑶的各项都是次式，
即展开式应有下面形式的各项：，，，，，
分析展开式各项的系数。∴．
二、讲解新课：
二项式定理：
⑴的展开式的各项都是次式，展开式的各项：，，…，，…，，
⑵展开式各项的系数：
每个都不取的情况有种，即种，的系数是；
恰有个取的情况有种，的系数是，……，
恰有个取的情况有种，的系数是，……，
有都取的情况有种，的系数是，
∴，
这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫的二项展开式，
⑶它有项，各项的系数叫二项式系数，
⑷叫二项展开式的通项，用表示，即通项．
⑸二项式定理中，设，则
三、例题讲解：
例1．展开下列各式：(1)； (2)．
例2．求的展开式中第4项的二项系数和系数。
例3．(1)求的二项展开式中的常数项
（2）求的展开式的中间两项
四、课堂练习：教材第32页1—6
五、小结 ：
六、课后作业：
第九 课时 二项式定理(作业)
班级 姓名 学号
1.展开式的第4项是 ；第4项的二项式系数是 ；第
4项的系数是 .
在的展开式中，的系数是 .
的展开式中第项的系数是 .
若的展开式中的第四项是40，则x= .
用二项式定理展开下列各式：
； (2).
化简：
； (2).
(1)求展开式中的第4项；
(2)求展开式中的第8项；
(3)求展开式的正中间一项；
(4)求展开式中系数最大的项.
(1)求展形式中含的项；
(2)求展开式中的常数项.
展开式中的第4项是常数项，求n的值.
第十课： 二项式系数的性质及应用
学习目的：
1理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用；
2.初步了解用赋值法是解决二项式系数问题；
3.能用函数的观点分析处理二项式系数的性质，提高分析问题和解决问题的能力
学习重点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用
学习难点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用
学习过程：
一、复习引入：
1．二项式定理及其特例：
(1)
（2）.
2．二项展开式的通项公式：
3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性
二、讲解新课：
1二项式系数表（杨辉三角）
展开式的二项式系数，当依次取…时，二项式系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和
二项式系数的特点：
每一行中的二项式系数是“对称”的，即第1项与最后一项的二项式系数相等，第2项与倒数第2项的二项式系数相等，……
图中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和。
表中每行的二项式系数从两端向中间逐渐增大。
第一行为1=2o，第2行的两数之和为2，第3行的三数之和为22，……第7行的各数之和为26。
一般地，(a+b)n展开式的二项式系数有如下性质 ：
；
；
当；
.
二项式定理中，令a=b=1，就有
，这表明(a+b)n的展开式的各项的二项系数和等于2n。
三、例题讲解
例1．在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和
例2 用二项式定理证明：9910－1能被1000整除.
例3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x3的系数
例4.已知，求：
； （2）；（3） .
四课堂练习：教材第35页1—5
五小结 ：
第十课时 二项式系数的性质及应用(作业)
班级 姓名 学号
1.展开式中，与第3项系数相等的项是第 项.
2.展开式中，各项的二项式系数之和为 ；各项的系数之和为 .
3.展开式中，二项式系数最大的项是第 项；系数最大的项是第
项.
4.设，则 ；
.
5.如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的第6项是 .
6.已知展开式中只有第6项的二项式系数最大；
求展开式中的常数项； (2)求展开式中偶数项系数之和.
7.已知，求的值.
8设，
且，求的值.
9.设，求下列各式的值.
(1)； (2)；
(3).
第十一课： 二项式定理的应用
学习目的：
1掌握二项式定理和二项式系数的性质，
2.能灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题
学习重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题
学习难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题
教 具：多媒体、实物投影仪
学习过程：
一、复习引入：
1．二项式定理及其特例：
（1），
（2）.
2．二项展开式的通项公式：
3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性
4二项式系数表（杨辉三角）
展开式的二项式系数，当依次取…时，二项式系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和
5．二项式系数的性质：
展开式的二项式系数是，，，…，．可以看成以为自变量的函数，定义域是，例当时，其图象是个孤立的点（如图）
（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵）．
直线是图象的对称轴．
（2）增减性与最大值：当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项，取得最大值．
（3）各二项式系数和：
∵，
令，则
二、讲解范例：
例1． 设，
当时，求的值
例2．求证：．
例3．已知：的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大．
（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项
例4．已知，
求证：当为偶数时，能被16整除
三课堂练习：
1．展开式中的系数为 ，各项系数之和为 ．
2．多项式（）的展开式中，的系数为
3．若二项式（）的展开式中含有常数项，则的最小值为
四、小结 ：
第十一课时 二项式定理的应用(作业)
班级 姓名 学号
1.的精确到0.01近似值是 .
2.今天是星期一，过天后的那一天是星期 .
3.的展开式中x的系数为13，则的系数为 .
4.被7除的余数是 .
5.= .
6.展开式的所有项的系数和等于1024，则展开式中二项式系数最大的项是 .
7.(1)求的近似值(精确到0.001)；
(2)求除以9的余数；
8.已知的展开式中有连续三项的系数之比为3：8：14，求展开式中的第6项.
9.若的展开式中某项的系数不小于它的前一项系数，同时也不小它的后一项系数，试求出该项.
§2.1随机变量及其概率分布（1）
学习目标
（1）在对具体问题的分析中，了解随机变量、离散型随机变量的意义，理解取有限值的离散型随机变量及其概率分布的概念；
（2）会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布，认识概率分布对于刻画随机现象的重要性；
（3）感受社会生活中大量随机现象都存在着数量规律，培养辨证唯物主义世界观．
学习重点，难点
（1）理解取有限值的随机变量及其分布列的概念；
（2）初步掌握求解简单随机变量的概率分布．
学习过程
一．问题情境
在一块地里种下10棵树苗，成活的树苗棵数是 0，1，…，10中的某个数；
抛掷一颗骰子，向上的点数是1，2，3，4，5，6中的某一个数；
新生婴儿的性别，抽查的结果可能是男，也可能是女．如果将男婴用0表示，女婴用1表示，那么抽查的结果是0和1中的某个数；上述现象有哪些共同特点？
二．学生活动
上述现象中的，，，实际上是把每个随机试验的基本事件都对应一个确定的实数，即在试验结果（样本点）与实数之间建立了一个映射．
例如，上面的植树问题中成活的树苗棵数：，表示成活0棵；，表示成活1棵；……
三．建构数学
1．随机变量：
一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．通常用大写拉丁字母，，（或小写希腊字母，，）等表示，而用小写拉丁字母，，（加上适当下标）等表示随机变量取的可能值．
例1．（1）掷一枚质地均匀的硬币一次，用表示掷得正面的次数，则随机变量的可能取值有哪些？
（2）一实验箱中装有标号为1，2，3，3，4的五只白鼠，从中任取一只，记取到的白鼠的标号为，则随机变量的可能取值有哪些？
2．随机变量的概率分布：
一般地，假定随机变量有个不同的取值，它们分别是，，…，，且，，① 则称①为随机变量的概率分布列，简称为的分布列．也可以将①用表2-1-3的形式来表示．
…
…
我们将表2-1-3称为随机变量的概率分布表．它和①都叫做随机变量的概率分布．
3．随机变量分布列的性质：
（1）； （2）．
4．求随机变量的分布列的步骤：
（1）确定的可能取值；（2）求出相应的概率；（3）列成表格的形式。
四．数学运用
1．例题：
例2．从装有6只白球和4只红球的口袋中任取一只球，用表示“取到的白球个数”，即 求随机变量的概率分布．
０ １
例3 若随机变量的分布列为：试求出常数．
变式：设随机变量的分布列为，求实数的值。
例4 某班有学生45人，其中型血的有10人，型血的有12人，型血的有8人， 型血的有15人，现抽1人，其血型为随机变量，求的分布列。
五．练习：课本第48页 练习第1，2题
六．回顾小结：
1．随机变量的概念及0-1分布，随机变量性质的应用；
2．求随机变量的分布列的步骤．
第1课时 随机变量及其概率分布(1)(作业)
班级 姓名 学号
1、10件产品中有3件次品，从10件产品中任取2件，取到次品的件数为随机变量，用X表示，那么X的取值为 。
2、袋中有2个黑球，6个红球，从中任取2个，可以作为随机变量的是 。
①取到的球的个数 ②取到红球的个数
③取到黑球的个数 ④至少取到一个红球的概率
3、设随机变量X的概率分布列为P=(X=k)=ak，(k=1，2，3)，则常数a等于 。
Z 0 1
P 3－8C 9C2－C
4、若离散型随机变量X的分布列见表，则常数c= 。
5、设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X描述1次试验的成功次数，则P(X=1)等于 。
6、设随机变量X的分布列为，则a= 。
7、写出下列随机变量的可能的取值，并说明随机变量所表示的随机试验的结果。
(1)从甲地到乙地有汽车、火车和飞机3种直达交通工具，旅费分别为100元、80元和400元，某人从甲地去乙地旅游，他的旅游费为X；
(2)盒内装着标有1~4号的大小相同的4个小球，随机抽取2个，所得的号码这和为Y。
8、在0—1分布中，设P(X=0)=p，09、袋内有5个白球，6个红球，从中摸出两球，记，求X的分布列。
10、已知随机变量X只能取三个值x1，x2，x3，其概率值依次成等差数列，求公差d的取值范围。
11、数字1，2，3，4任意排成一列，如果数字k恰好出现在第k个位置上，则称有一个巧合，求巧合数X的分布列.
12、将3个小球随机地放入4个盒子中，盒子中球的最大个数记为X，求：
(1)X的分布列；(2)盒子中球的最大个数不是1的概率。
13、甲袋中有6个白球，4个黑球；乙袋中有3个白球，5个黑球，从两袋中各随机取出1球，求取出的两个球中白球个数X的分布列。
14、袋中有5只乒乓球，编号为1至5，从袋中任取3只，若以X表示取到的球中的最大号码，试写出X的分布列，并以图形表示。
§2.1 随机变量及其概率分布（2）
学习目标
（1）正确理解随机变量及其概率分布列的意义；
（2）掌握某些较复杂的概率分布列．
学习重点，难点
求解随机变量的概率分布
学习过程
一．问题情境
1．复习回顾：（1）随机变量及其概率分布的概念；（2）求概率分布的一般步骤．
2．练习：
（1）写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
①一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5．现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数为；
②盒中有6支白粉笔和8支红粉笔，从中任意取3支，其中所含白粉笔的支数；
③从4张已编号（1号～4号）的卡片中任意取出2张，被取出的卡片编号数之和．
（2）袋内有5个白球，6个红球，从中摸出两球，记．求的分布列．
二．数学运用
1．例题：
例1 同时掷两颗质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数．求两颗骰子中出现的最大点数的概率分布，并求大于2小于5的概率．
思考：在例3中，求两颗骰子出现最小点数的概率分布．
分析 类似与例1，通过列表可知：，，，，，．
例2 从装有6个白球、4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出一个黑球赢2元，而每取出一个白球输1元，取出黄球无输赢，以表示赢得的钱数，随机变量可以取哪些值呢？求的分布列．
例3 袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止时所需要的取球次数．（1）求袋中原有白球的个数；（2）求随机变量的概率分布；（3）求甲取到白球的概率．
2．练习：课本第48页 练习第3题
五．回顾小结：
1．随机变量及其分布列的意义；
2．随机变量概率分布的求解．
第2课时 随机变量及其概率分布(2)(作业)
班级 姓名 学号
1、在10件产品中有8件正品，每次取1件，取后放回，共取3次，设取到正品数为x，则x可能的取值有 .
2、设随机变量等可能取值1，2，3，…，k，如果P(<4)=0.5，那么k= .
3、若P等于 .
4、先后抛掷一个骰子两次，记随机变量为两次掷出的点数之和，则的取值集合是
.
5、随机变量的概率分布规律为P(=n)=
的值为 .
6、已知随机变量X的分布列为P(X=i)=(i=1,2,3)，则P(X=2)= .
7、一个人有n把钥匙，其中只有一把可以打开房门，他随意地进行试开，若试开过的钥匙放在一边，试开次数X为随机变量，则P(X=k)= .
8、设随机变量X的分布表为
X －2 －1 0 1 2
P 0.16 a2 0.3
求：(1)a的值；(2).
9、设随机变量X只能取5，6，7，…，16这12个值，且取每个值的机会是均等的，试求：(1)P(X>8)； (2)P；(3)。
10、A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1，A2，A3，B队队员是B1，B2，B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：
对阵队员 A队队员胜的概率 A队队员负的概率
A1对B1
A2对B2
A3对B3
现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A队、B队最后所得总分分别为、，求、的概念分布列.
11、某射手有5发子弹，射击一次命中概率为0.8，如果命中就停止，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数的分布列.
12、设随机变量的概率分布如表所示：
0 1 2
P
求：(1)P(<1)，P(≤1)，P(<2)，P(≤2). (2)P(x)=P(≤x)，x∈R.
(3)作出y=P(x)=P(≤x)，x∈R的图象.
第3课时 超几何分布
学习目标
1．通过实例，理解超几何分布及其特点；
2．通过对实例的分析，掌握超几何分布列及其导出过程，并能简单的应用．
学习重点，难点:理解超几何分布的概念，超几何分布列的应用．
学习过程
一．问题情境
1．情境：
在产品质量管理中，常常通过抽样来分析合格品和不合格品的分布，进而分析产品 质量．假定一批产品共件，其中有件不合格品，随机取出的件产品中，不合格品数的概率分布如何？
2．问题：用怎样的数学模型刻画上述问题？
二．学生活动
以，，为例，研究抽取件产品中不合格品数的概率分布．
三．建构数学
从件产品中随机抽取件有种等可能基本事件．表示的随机事件是“取到件不合格品和件合格品”，依据分步计数原理有种基本事件，根据古典概型， ．
类似地，可以求得取其他值时对应的随机事件的概率，从而得到不合格品数的概率分布如下表所示：
对一般情形，一批产品共件，其中有件不合格品，随机取出的件产品中，不合格品数的分布如下表所示：
…
…
其中．
一般地，若一个随机变量的分布列为，
其中，，，，…，，，则称服从超几何分布，记为，并将记为．
说明：（1）超几何分布的模型是不放回抽样； （2）超几何分布中的参数是，，．
四．数学运用
例1．高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有个红球，个白球，这些球除颜色外完全相同．现一次从中摸出个球，
（1）若摸到个红球个白球的就中一等奖，求中一等奖的概率．
（2）若至少摸到个红球就中奖，求中奖的概率．
例2．生产方提供箱的一批产品，其中有箱不合格产品．采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取箱产品进行检测，若至多有箱不合格产品，便接收该批产品．问：该批产品被接收的概率是多少？
例3．张彩票中只有张中奖票，今从中任取张，为了使这张彩票里至少有一张中奖的概率大于，至少为多少？
2．练习：课本第51页练习第1，2题．
五．回顾小结：
1．超几何分布的特点；
2．超几何分布列的简单应用．
六．课外作业：课本第52页习题2.2第4题．
第3课时 超几何分布(作业)
班级 姓名 学号
1、100张奖券中，有4张中奖，从中任取2张，则2张都中奖的概率为 。
2、袋中有5个黑球和3个白球，从中任取2个球，则其中至少有1个黑球的概率是
3、一个袋子里装有4个白球，5个黑球和6个黄球，从中任取4个球，则含有3个黑球的概率为 。
4、袋中装有大小相同的分别写有1，2，3，4，5的五个球，从中任取三个球，则其中有写有1的小球的概率是 。
5、若在二项式(x+1)10的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率为 。
6、在一次口试中，要从10道题中随机抽出3道题进行回答，答对其中两道或两道以上的题可获得及格，某考生会回答10道题中的6道题，那么他(她)获得及格的概率是 。
7、从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取3台，其中两种品牌的彩电齐全的概率是 。
8、设15件同类型的零件中有2件是不合格品，从其中任取3件，以X表示取出的3件中的不合格产品的件数，试求X的概率分布.
9、某彩票的开奖是从1，2，3，…，22中任意选出5个基本号码，凡购买的彩票上的5个号码中有3个或3个以上基本号码就中奖，根据含有基本号码个数的多少，中奖的等级如下表：
含有基本号码数 3 4 5
中奖等级 三等级 二等级 一等级
求至少中二等奖的概率.
10、一批产品，分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验质量，其级别为随机变量X，求X的分布列及P(X>1)
11、某医院内科有5名主任医师和15名主治医师，现从其中随机挑选4人组织一个医疗小组，设X是所选4人中主任医师人数；
(1)写出X的分布列；(2)求4人中至少有1名主任医师的概率(精确到0.001)
12、甲袋中有6个白球，4个黑球，乙袋中有3个白球，5个黑球，从甲、乙两袋中各随机取出2个球，求取出的4个球中白球个数X的分布列。
13、1000只灯泡中含有n(2n992)只不合格品，从中一次任取10只，问：恰含有2只不合格品的概率f(n)是多少？当n为何值时，f(n)取得最大值？
高二数学
选修2—3
学 案
！
！
高二数学
选修2—3
学 案
!
！！
高二数学选修2-3学案
高二数学
2-3学案
高二数学
选修2—3
学 案
高二数学
选修2—3
学 案
高二数学
学 案
高二数学
学 案
高二数学
学 案
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学习目标：
1、理解排列的意义，并能用树形图正确写出一些简单排列问题的所有排列。
2、了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想，并能运用排列数公式进行计算。
3、能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题。
学习难点：排列定义。
学习重点：排列数公式。
学习过程：
一、问题情境
（1）高二（1）班准备从甲，乙，丙三名学生中选出两人分别担任班长和副班长，有多少种不同的选法？
（2）从1，2，3三个数字中选出两个数字组成两位数，这样的两位数共有多少个？
上面三个问题有什么共同特征？可以用怎样的数学模型来刻画？
二、学生活动
我们把上面问题中被取的对象叫做元素。于是问题（1）所提出的就是从3个不同的元素a、b、c中任取2个，然后按一定的顺序排成一列，求一共有多少种不同的排列方法。
第一问用树形图表示
班长 甲 乙 丙
副班长 乙 丙 甲 丙 甲 乙
即共有6种不同的结果：甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙
事实上，这6种选法分别是从甲、乙、丙三个学生中选出两个学生，并按一定的顺序排成一列（班长排在第1位，副班长排在第2位）而得到的。
类似地，问题（2）中的每个两位数都是从三个不同的数字中取两个数字，按一定的顺序排成了一列。
三、数学建模
1、 一般地，从n个不同的元素中取出m（）个元素，并按一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
下列问题是排列问题吗？
（1）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可能？
（2）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做除法，其结果有多少种不同的可能？
（3）从1到10十个自然数中任取两个组成点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？
（4）平面上有5个点，任意三点不共线，这五点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？
（5）10个学生排队照相，则不同的站法有多少种？
排列的定义中包含两个基本内容：一个是“取出元素”；二是“按照一定顺序排列”，“一定顺序”就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志。根据排列的定义，两个排列相同，且仅当两个排列的元素完全相同，而且元素的排列顺序也相同。
2、排列数公式：从 n 个不同元素中取出 m (m≤n) 个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号 表示。
第一位 第二位
n n-1
第1位 第2位 第3位 第m位
……………………
N n-1 n-2 n-m+1
=n（n-1）（n-2）……（n-m+1）
= n（n-1）（n-2）……（n-m+1）……
四、例题讲解
例1、（1）写出从 a , b , c , d 四个元素中 任取三个元素的所有排列。
（2）写出从a，b，c，D这4个字母中，每次取出3个字母的所有排列
例2、将甲、乙……等5名同学排成一排
（1）求甲站在中间的排法； （2）求甲、乙两人站在中间的排法；
（3）求甲、乙人都不站在两端的排法； （4）求甲、乙两人不都站在两端的排法。
例3、计算：
（1） （2） （3） （4）
例4、应用公式解以下各题
例5、求证：（1） （2）
五、练习：书1、2、3 书 补充 解不等式
第3课时 排列(一)作业
班级 姓名 学号
1.(1)已知,那么m= ; (2)已知,那么n= .
2.若,则n= ； 若，则的值为
3.由1，2，3，4，5可以组成各位数字可重复的三位数共有 个，组成数字不可重复的三位数共有 个.
4.用排列表示为 .
5.(1)甲、乙、丙三人各写了一张贺卡、先集中在一起，再每人从中拿一张别人写的贺卡，写出所有的拿法： .
(2)a,b, c排成一行，其中a不排第一，b不排第二，c不排第三，写出满足条件的排列 .
6.12名选手参加校园歌手大奖赛，比赛设一等奖、二等奖、三等奖各一名，每人最多获得一种奖项，一共有 种不同的获奖情况.
7. 写出从a,b,c,这3个字母里任取出2个字母的所有排列.
8.计算：.(1). (2)
(3) (4)
9、(1)解不等式： (2) 若，求的解集。
10、用0,1,2,3,4,5这6个数
（1）能组成多少个无重复数字的三位数？
（2）能组成多少个无重复数字的三位偶数？
11、从-1,0,1,2,3这5个数字中，任选3个不同的数组成二次函数的系数，问（1）开口向上的抛物线有多少条？
（2）开口向上且不过原点的抛物线有多少条？
（3）与轴的正半轴、负半轴各有一个交点的跑物线有多少条？
12、从包含甲的若干名同学中选出4名分别参加数学、物理 、化学、英语竞赛，每名同学只能参加一种竞赛，且任2名同学不能参加同一种竞赛，若甲不参加物理和化学竞赛，则共有72种不同的参赛方法，问一共有多少名同学？
第四课时 排列（二）
学习目标：能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题
学习重点：排列数公式的应用
学习难点：有条件的排列问题的处理方法。
学习过程：
一、复习：
一般地说，从 n 个不同元素中，任取 m (m≤n) 个元素（本章只研究被取出的元素各不相同的情况），按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。
排列数
从 n 个不同元素中取出 m (m≤n) 个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号 表示。
二、例题讲解
有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各一本，共有多少种不同的送法？
某足球联赛共有12支球队参加，每队都要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共要进行多少场比赛？
用0到9这10个数字能组成多少个没有重复数字的三位数？
变式题1、用0到9这10个数字能组成多少个没有重复数字的五位偶数？
2、用0到9这10个数字能组成多少个没有重复数字的能被5整除的五位数？
3、用0到9这10个数字能组成多少个没有重复数字的大于34621的五位数？
例4、4名学生和3名教师站成一排照相。
(1)中间三个位置排教师，有多少种排法？
(2)一边是教师，另一边是学生的排法有多少种？
(3)首尾不排教师，有多少种排法？
（4）学生甲、乙必须相邻，有多少种排法？
(5)任意2名教师不能相邻的排法有多少种？
三、练习
1、书1-3
2、用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数，其中
（1）能被25整除的有多少个？
（2）十位数字比个位数字大的有多少个？
3、从1、2、3、4、7、9这6个数中任选两个数分别作为一个对数的底数与真数。
（1）其中可以组成多少个不同的对数值？
（2）有多少个不同的大于1的对数值？
4、7个人排成一排（1）若C,D,E三人两两不相邻，有多少种不同的排法？
（2）若A,B两人连在一起，有多少种不同的排法？
（3）若A,B两人连在一起，且C,D,E三人两两不相邻，有多少种不同的排法？
5、从集合｛1,2,3，…,20｝中任选3个不同的数，使这3个数构成等差数列，这样的等差数列有多少个？
第4课时 排列(二)
班级 姓名 学号
1、有4种不同品质的梨树苗，每2种嫁接可以培育1种新品种，则可得到 种不同的新品种.
2、语、数、外三科老师都布置了作业，在同一时刻有4名学生都做作业，从所做作业的学科看，可能情形的种数是( )
A． B． C． D．
3、5人站成一排，其中甲、乙、丙3人必须站在一起的排列数为 .
4、4名学生和3名老师站成一排照相，则3名老师两两相邻的排法总数为 .
5、⑴由数字1，2，3，4，5 可以组成多少个没有重复数字的五位数？可以组成多少个没有重复数字的正整数？
⑵由数字1，2，3，4可以组成多少个没有重复数字的比1300大的正整数？
6、(1)一天有6节课，安排6门学科，一天的课程表有几种排法？
(2)上午有4节课，一个教师要上3个班级的课，每个班1节课，若不能连上3
节，这个教师的课有几种排法？
7、用一颗骰子连掷3次，以投掷出的数字顺序排成一个三位数.
求⑴可排成多少个不同的三位数？
⑵各位数字互不相同的三位数有多少个？
⑶恰好有2个相同数字的三位数有多少个？
8、学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序，除第一个节目和最后一个节目已确定外，4个音乐节目要求排在第二、五、七、十的位置，3个舞蹈节目要求排在第三、六、九的位置，2个曲艺节目要求排在第四、八的位置，共有多少种不同的排法？
9、 ⑴7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？
⑵7位同学站成两排(前3后4)，共有多少种不同的排法？
⑶7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？
⑷7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法有多少种？
⑸7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？
⑹7位同学站成一排，甲、乙必须相邻，共有多少种排法？
⑺7位同学站成一排，甲、乙不相邻，共有多少种排法？
10、按序给出a、b两类元素，a类是甲、乙、丙、丁、戌、已、庚、辛、壬、癸，b类是子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥，从a类里选奇数位的任一个排在首位，b类里选奇数位的任一个排在末位；又从a类里选偶数位的任一个排在首位，b类里选偶数位的任一个排在末位，问：这样两个元素的排列共有多少种？
第5课时 组 合(1)
学习目标：
1、理解组合的意义，能写出一些简单问题的所有组合。
2、明确组合与排列的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题。
3、了解组合数的意义，理解排列数与组合数之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算。
4、能运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力
学习重点与难点：
1、明确组合与排列的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题。
2、理解排列数与组合数之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算。
学习过程：
一、复习： 1、排列定义： 2、排列数公式：
二、问题情境
(1)高二（1）班从甲，乙，丙三名学生中选2名学生代表，有多少种不同的选法？
(2)从1、2、3三个数字中选两个数字，能构成多少个不同的集合？
这两个问题与上一节中相应的排列问题有何区别？有何联系？
三、新课讲解
1、组合的定义
一般地，从n个不同元素中取出m个不同元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的一个组合
2、组合数公式
从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示
学生活动：根据排列与组合的关系，如何去求组合数呢？
一般地，求从 个不同元素中取出 个元素的排列数，可以分为以下2步：
第1步，先求出从这个不同元素中取出个元素的组合数 ．
第2步，求每一个组合中个元素的全排列数
根据分步计数原理，得到 。
上面这个公式还可写成 ____________________该公式叫做组合数公式．
3、例题讲解
例1 判断下列问题是组合还是排列
（1）在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？（2）高中部11个班进行篮球单循环比赛，需要进行多少场比赛？
（3）从全班23人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？选出三人参加某项劳动，有多少种不同的选法？
（4）10个人互相通信一次，共写了多少封信？（5）10个人互通电话一次，共多少个电话？
问题：（1）1、2、3和3、1、2是相同的组合吗？（2）什么样的两个组合就叫相同的组合
例2写出从a、b、c、d四个元素中，每次取出2个元素的所有可能情况；
计算：
例4 求证：
4、练习：
1、下列问题是排列问题，还是组合问题？
(1)从9名学生中选出4名学生参加一个联欢会，共有多少种不同的选法？
(2)北京、上海、天津、广东这4支足球队举行单循环赛，共有多少场比赛？
(3)从2，3，5，7，11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数，共有多少个不同分数？
2、甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛，
(1)列出所有各场比赛的双方；
(2)列出所有冠亚军的可能情况。
3、6个朋友聚会，每两人握手1次，一共握手多少次？
4、(1)平面内有10个，以其中2个点为端点的线段共有多少条？
(2)平面内有10个点，以其中2个点为端点的有向线段共有多少条？
5、填空：
(1)从5人中选派3人去参加某个会议，不同的方法共有 种；
(2)从5件不同的礼物中选出3件分别送给3位同学，不同的方法共有 种；
(3)设集合A有m个元素，集合B有n个元素，从这两个集合中各取出1个元素，不同的方法共有 种。
6、在桥牌比赛中，发给4名参赛者每人13张牌，一名参赛者可能得到多少种不同的牌？(用排列数记号或组合数记号表示)
7、证明
第5课时 组合(一)
班级 姓名 学号
1、已知，则 。
2、计算= 。
3、设集合A有m个元素，集合B有n个元素，从这两个集合中各取出1个元素，不同的方法共有 种。
4、(1)平面内有10个点，以其中2个点为端点的线段共有 条.
(2)平面内有10个点，以其中2个点为端点的有向线段共有 条.
5、已知，则m与n的值为 。
6、某人打算选购8种股票和4种债券，经纪人向他推荐了12种股票和7种债券，此人共有
种不同的选法.
7、设集合，，已知且中含有3个元素，符合条件的集合有 个。
8、马路上有编号为，2,3，,10的十只路灯，为节约用电又不影响照明，可以熄掉其中的三只路灯，但又不能同时熄掉相邻的两只或三只，则满足条件的熄灯方法有 种。
9、（1）求证： （2）已知，求
10、6本不同的书分给甲、乙、丙3位同学，每人各得2本，有多少种不同的分法？
11、计算的值。
12、某班级有50名学生，其中20名女生。现要从50名学生中选出5名参加学校举行召开的学代会，按照学校的要求，每班至少要有1名女生代表，有多少种不同的选法？（只列式）
13、有12名划船运动员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷其余5人既会划左舷也会划右舷。现在要从这12名运动员中选出6人平均分在左右弦参加划船比赛，有多少种不同的选法？
第6课时 组 合(2)
学习目标：
1、进一步掌握组合数公式，运用组合数公式进行计算。
2、能运用组合概念分析简单的实际实际问题，提高分析问题的能力。
学习重点与难点：运用组合概念分析简单的实际实际问题
学习过程：
一、复习：
1、组合的定义
2、组合数公式
二、例题讲解
例1 在歌手大奖赛的文化素质测试中，选手需从5个试题中任意选答3题，问：
(1)有几种不同的选题方法？
(2)若有一道题是必答题，有几种不同的选题方法？
由本例归纳猜想出组合数的两个重要性质：
例2 求值：(1)C107 (2)C33+C43+C53+C63
练习：
1、计算： (1)； (2)
2、若，则n= ，= .
例3 在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件。
(1)一共有多少种不同的抽法？
(2)抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有多少种？
(3)抽出的3件中至少有1件是不合格的抽法有多少种？
房间里有5个电灯，分别由5个开关控制，至少开一个灯用以照明，有多少种不同的方法？
在例4中若“抽出的3件中至多有一件事不合格品”应如何求解？
例5 (1)从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有 种。
(2)从1，2，3，4，……，10，11的共11个数中，取出5个数，使得这5个数的和为奇数，则一共有 不同的取法。
例6 9名翻译中，6人会英语，5人会日语，现要安排4名翻译英语，3名翻译日语，共有多少种不同的安排方法？
、
练习：
1、已知A，B，C，D四点，其中任意三点不在同一直线上，从中取出两点作直线，共能作出多少条直线？写出所有的直线。
2、学校开设了6门选修课，问：
(1)某学生从中选3门，共有多少种不同的选法？
(2)某学生从中于少选2门，共有多少种不同的选法？
(3)某学生从中至多选4门，共有多少种不同的选法？
3、一位教练的足球队共有 17 名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人．问：
(l)这位教练从这 17 名学员中可以形成多少种学员上场方案？
(2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？
4、已知两条异面直线a,b上分别有5个点和8个点，用这13个点可确定多少个不同的平面？
5、由10个元素组成的集合有多少个子集？
第6课时 组合(二)
班级 姓名 学号
1、圆上有10个点，问：
(1)以这些点为端点，一共可画 条弦。
(2)以这些点为顶点，一共可画 个三角形。
2、 (1)空间有8个点，其中任何4点不共面，过每3个点作一个平面，一共可以作 个平面。
(2)空间有10个点，其中任何4点不共面，以每4个点为顶点作一个四面体，一共可以作 个四面体？
3、从6位候选人中选出2人分别担任班长和团支部书记，有 种不同的选法。
4、从6位同学中选出2人去参加座谈会，有 种不同的选法。
5、(1)凸五边形有 条对角线；(2)凸n五边形有 条对角线。
6、的不同值有 个。
7、在一次考试中，要求在第1题的4个小题中选做3个小题，在第2题的3个小题中选做2个小题，在第3题的2个小题中选做1个小题，有多少种不同的选法？
8、在200件产品中，有3件不合格品，从中任取5件，问：
(1)“恰有2件不合格品”的取法有多少种？
(2)“没有不合格品”的取法有多少种？
(3)“至少有1件不合格品”的取法有多少种？
9、从5名男生和4名女生中选出4人参加辩论比赛，
(1)如果4人中男生和女生各2人，那么有多少种不同选法？
(2)如果男生中的甲与女生的乙必须在内，那么有多少种不同选法？
(3)如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种不同选法？
10、上10级台阶，每步可跨一级或两级，问能有多少种不同的上法？
11、从5名同学中选派4名同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，求有多少不同的选派方法。
12、用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，不同的涂色方法有多少种。
13、设正n边形内接于圆O，正n边形的n个顶点及圆心O点共计n+1个点，从这n+1个点来考虑:
（1）过任意两点作直线，能作多少条直线？
（2）以任意三点为顶点，能作多少个三角形？
第7课时 计数应用题（1）
学习目标：
1、能解决一些简单的计数问题.
2、对排列组合的应用题应掌握以下基本方法与技巧：(1)特殊元素(位置)优先安排；(2)合理分类和准确分步；(3)先选后排原则；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)固定顺序问题排除法处理；(7)正难则反.
学习重点、难点：找到恰当的分类分步方法
学习过程：
一、复习回顾
1、两个计数原理 2、排列、排列数 3、组合、组合数
二、例题讲解
例1. 高二(1)班有30名男生，20名女生，从50名学生中选3名男生、2名女生分别担任班长、副班长、学习委员、文娱委员、体育委员，共有多少种不同的选法？
思考：如果分两步解决上面问题：先从30名男生中选3名担任3种不同职务，再从20名女生中选2名女生担任2种不同的职务，那么结果为，这样做对吗？为什么？
例2. 2名女生、4名男生排成一排，问：
(1)2名女生相邻的不同排法共有多少种？
(2)2名女生不相邻的不同排法共有多少种？
(3)女生甲必须排在女生乙的左边(不一定相邻)的不同排法共有多少种？
(4)女生甲不站排头，女生乙不站排尾共有多少种排法？
例3 从0，1，2…，9这10个数学中选出5个不同的数字组成五位数， 其中大于13000的共有多少个？
思考：在例3中，大于13500的五位数有多少个？
例4.把1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排列，构成一个数列，问：
(1)43251是这个数的第几项？ (2)这个数列的第96项是多少？
三、练习：
1. 文娱晚会中，学生的节目有9个，教师的节目有2个，如果老师的节目不排在最后一个，那么有多少种排法？
2. 从1，3，5，7，9中 任取3个数字，从2，4，6，8，中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位数？
3. 有同一排的电影票6张，3个教师和3个学生按不述要求入座，有多少种坐法？
(1)师生相间；(2)3个学生要相邻坐在一起。
4. 将4位司机、4位售票员分配到4辆不同班次的公共汽车上，每一辆汽车分别有1位司机和1位售票员，共有多少种不同的分配方案？
5. 电视台有8个节目准备分两天播出，每天播出4个，其中某电视剧和某专题报道必须在第一天播出，某谈话节目必须在第二天播出，共有多少种不同的播出方案？
6、已知两条异面直线a,b上分别有5个点和8个点，用这13个点可确定多少个不同的平面？
7、从4台A型电视机和5台B型电视机中任选3台，要求A，B两种型号的电视机都要选，有多少种不同的选法？
8、3张卡片的正、反两面分别写有数字1，2；3，4；5，6，将这3张卡片排成一排，可构成多少个不同的三位数？
9、由10个元素组成的集合有多少个子集？
第7课时 计数应用题(1)
班级 姓名 学号
1、壹圆、贰圆、伍圆、拾圆面值的人民币各1张，一共可以组成 种币值。
2、掷下4枚编了号的硬币，至少有2枚正面向上的情况有 种。
3、某人射击8枪击中4枪，其中有3枪连续命中，若按“命中”及“未命中”报告结果，则不同的结果有 种。
4、4男5女排成一排，4男顺序一定，5女顺序也一定的排法种数为 种。
5、7个小孩站成两排，3个女孩站在前排，4个男孩站在后排，有 种站法。
6、7个人站成两排，前排站3人，后排站4人，有 种站法。
7、凸五边形的对角线有 条，凸n边形的对角线有 条。
8、7个人站成一排，问：
(1)甲必须站在正中间，有多少种排法？
(2)甲、乙两人必须站在两端，有多少种排法？
(3)甲必须站在乙的右边(不一定相邻)，有多少种排法？
9、某旅游团要从8个景点中选2个景点作为当天的旅游地，满足下列条件的选法各有多少种？
（1）甲乙两个景点至少选1个？（2）甲乙两个景点至多选1个？
（3）甲乙两个景点必须选2个且只能选1个？
10、某医院有内科医生12名、外科医生8名，现要派5名医生参加赈灾医疗队，问：
(1)某内科医生必须参加，某外科医生因故不能参加，有多少种选法？
(2)内科医生和外科医生中都要有人参加，有多少种选法？
11、4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，恰有一个空盒的放法共有多少种？
12、12件产品，其中5件一级品，4件二级品，3件三级品，从中取出4件，问：
(1)至少1件一级品的取法有多少种？
(2)至多2件一级品的取法有多少种？
(3)不都是一级品的取法有多少种？
(4)都不是一级品的取法有多少种？
13、如图所示，某地有南北街道5条、东西街道6条，一邮递员从该地东北角的邮局A出发，送信到西南角的B地，且途经C地，要求所走路程最短，共有多少种不同的走法？
第8课时 排列组合应用题(2)
教学目标：
1、能利用计数原理，排列、组合知识解识简单的实际应用题。
2、学会利用树状图、图表等直观地解决问题，培养数形结合能力。
教学重点与难点：运用排列组合知识以及两个基本原理分析简单的实际问题。
教学过程：
一、复习：
1、排列组合定义：
2、两个基本原理
二、例题
例1 6个女同志(其中有一个领唱)和2个男同志，分成两排表演。
(1)每排4人，问共有多少种不同的排法？
(2)领唱站在前排，男同志站在后排，每排4人，问有多少种不同的排法？
变式：有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数。
(1)有女生但人数必须少于男生；
(2)某女生一定要排任语文科代表；
(3)某男生必须包括在内，但不担任数学科代表；
(4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表；
例2 从1到9的九个数字中取三个偶数和四个奇数，试问：
(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？
(2)上述七位数中四个奇数排在一起的有多少个？
(3)在(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有多少个？
(4)在(1)中任意两个偶数都不相邻的七位数有多少个？
例3 6本不同的书，按下列分配方式，分别有多少种分配方法？
(1) 分成1本、2本、3本三组；
(2) 分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本；
(3) 分成每组都是2本的三组；
(4) 分给甲、乙、丙三人，每人2本.
例4 有4个不同的球，四个不同的盒子，把球全部放入盒内。
(1)共有多少种放法？
(2)恰有一个盒不放球，有多少种放法？
(3)恰有一个盒内有2个球，有多少种放法？
(4)恰有两个盒不放球，有多少种放法？
例5、将12本不同的书，按下列要求，各有多少种不同的方法？
（1）分成三组，每组至少1本；
（2）放入3个不同的箱子中，可以有箱子中没有书。
三、课堂练习
1、某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，又工程丁必须在工程丙完成后立即进行，那么安排这6项工程的不同排法种数是 。
2、用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有 个。
3、安排甲、乙、丙三人星期一至星期六值班，每人值班两天，甲不值星期一，乙必须值星期六，则不同的排法有 种。
4、12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，其他的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是 。
5、某校高二年级共有六个班，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名同学，则不同的安排方案种数为 .
6、分别求方程的正整数解的个数和非负整数解的个数。
第8课时 计数应用题(2)
班级 姓名 学号
1、6个人排队，其中甲、乙、丙3两两不相邻的排法 种。
2、5人站成一排，甲、乙两人之间恰有1人的不同站法的种数为 。
3、登山运动员10人，平均分为两组，其中熟悉道路的有4人，每组都需要2人，那么不同的分组方法种数是 。
4、在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的共有 个。
5、某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有 种。
6、有编号为1，2，3的3个盒子和10个相同的小球，现把这10个小球全部装入3个盒子中，使得每个盒子所装的球数不小于盒子的编号数，这种装法共有 种。
7、今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有 种不同的方法。
8、从单词“equation”中选取5个不同的字母排成一排，含有“qu”(其中“qu”相连且顺序不变)的不同排列共有 个。
9、4男3女共7名同学按下列要求并排站成一排，分别有多少种不同的站法？
(1)男生不站正中间，女生不站在两端；
(2)3名女生排在一起，且女生不站在两端；
(3)女生甲、乙间恰好有2名男生；
(4)3名女生不相邻，且男生甲不排在排头或排尾；
10、在书柜的一层上原有6本书，如果保持原有书的相对顺序不变，再插进3本书，那么共有多少种不同的插法？
11、某天要上政治、语文、数学、物理、体育、生物六门课，但规定第1节不能上体育，第2节不能上物理，第6节不能上数学，则这天的课程表有多少种不同的排法？
12、如图所示，一个圆被两条直径分成四块，现在用5种不同颜料给这四块涂色，要求共边两块的颜色不同，每块只涂一色，共有多少种涂色方法？
13、按下列条件在12人中选出5人，有多少种不同的选法？（）
(1) 甲、乙、丙三人必须当选； (2) 甲、乙、丙三人不能当选；
(3) 甲必须当选，乙、丙不能当选； (4) 甲、乙、丙三人只能有1人当选；
(5) 甲、乙、丙三人至多2人当选； (6) 甲、乙、丙三人至少1人当选；
第九课时 二项式定理
学习目的：
1掌握二项式定理及二项式展开式的通项公式.
2.会利用二项展开式及通项公式解决有关问题.
学习重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用
学习难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用
授课类型：新授课
学习过程：
一、复习引入：
⑴；
⑵
⑶的各项都是次式，
即展开式应有下面形式的各项：，，，，，
分析展开式各项的系数。∴．
二、讲解新课：
二项式定理：
⑴的展开式的各项都是次式，展开式的各项：，，…，，…，，
⑵展开式各项的系数：
每个都不取的情况有种，即种，的系数是；
恰有个取的情况有种，的系数是，……，
恰有个取的情况有种，的系数是，……，
有都取的情况有种，的系数是，
∴，
这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫的二项展开式，
⑶它有项，各项的系数叫二项式系数，
⑷叫二项展开式的通项，用表示，即通项．
⑸二项式定理中，设，则
三、例题讲解：
例1．展开下列各式：(1)； (2)．
例2．求的展开式中第4项的二项系数和系数。
例3．(1)求的二项展开式中的常数项
（2）求的展开式的中间两项
四、课堂练习：教材第32页1—6
五、小结 ：
六、课后作业：
第九 课时 二项式定理(作业)
班级 姓名 学号
1.展开式的第4项是 ；第4项的二项式系数是 ；第
4项的系数是 .
在的展开式中，的系数是 .
的展开式中第项的系数是 .
若的展开式中的第四项是40，则x= .
用二项式定理展开下列各式：
； (2).
化简：
； (2).
(1)求展开式中的第4项；
(2)求展开式中的第8项；
(3)求展开式的正中间一项；
(4)求展开式中系数最大的项.
(1)求展形式中含的项；
(2)求展开式中的常数项.
展开式中的第4项是常数项，求n的值.
第十课： 二项式系数的性质及应用
学习目的：
1理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用；
2.初步了解用赋值法是解决二项式系数问题；
3.能用函数的观点分析处理二项式系数的性质，提高分析问题和解决问题的能力
学习重点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用
学习难点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用
学习过程：
一、复习引入：
1．二项式定理及其特例：
(1)
（2）.
2．二项展开式的通项公式：
3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性
二、讲解新课：
1二项式系数表（杨辉三角）
展开式的二项式系数，当依次取…时，二项式系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和
二项式系数的特点：
每一行中的二项式系数是“对称”的，即第1项与最后一项的二项式系数相等，第2项与倒数第2项的二项式系数相等，……
图中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和。
表中每行的二项式系数从两端向中间逐渐增大。
第一行为1=2o，第2行的两数之和为2，第3行的三数之和为22，……第7行的各数之和为26。
一般地，(a+b)n展开式的二项式系数有如下性质 ：
；
；
当；
.
二项式定理中，令a=b=1，就有
，这表明(a+b)n的展开式的各项的二项系数和等于2n。
三、例题讲解
例1．在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和
例2 用二项式定理证明：9910－1能被1000整除.
例3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x3的系数
例4.已知，求：
； （2）；（3） .
四课堂练习：教材第35页1—5
五小结 ：
第十课时 二项式系数的性质及应用(作业)
班级 姓名 学号
1.展开式中，与第3项系数相等的项是第 项.
2.展开式中，各项的二项式系数之和为 ；各项的系数之和为 .
3.展开式中，二项式系数最大的项是第 项；系数最大的项是第
项.
4.设，则 ；
.
5.如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的第6项是 .
6.已知展开式中只有第6项的二项式系数最大；
求展开式中的常数项； (2)求展开式中偶数项系数之和.
7.已知，求的值.
8设，
且，求的值.
9.设，求下列各式的值.
(1)； (2)；
(3).
第十一课： 二项式定理的应用
学习目的：
1掌握二项式定理和二项式系数的性质，
2.能灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题
学习重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题
学习难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题
教 具：多媒体、实物投影仪
学习过程：
一、复习引入：
1．二项式定理及其特例：
（1），
（2）.
2．二项展开式的通项公式：
3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性
4二项式系数表（杨辉三角）
展开式的二项式系数，当依次取…时，二项式系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和
5．二项式系数的性质：
展开式的二项式系数是，，，…，．可以看成以为自变量的函数，定义域是，例当时，其图象是个孤立的点（如图）
（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵）．
直线是图象的对称轴．
（2）增减性与最大值：当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项，取得最大值．
（3）各二项式系数和：
∵，
令，则
二、讲解范例：
例1． 设，
当时，求的值
例2．求证：．
例3．已知：的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大．
（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项
例4．已知，
求证：当为偶数时，能被16整除
三课堂练习：
1．展开式中的系数为 ，各项系数之和为 ．
2．多项式（）的展开式中，的系数为
3．若二项式（）的展开式中含有常数项，则的最小值为
四、小结 ：
第十一课时 二项式定理的应用(作业)
班级 姓名 学号
1.的精确到0.01近似值是 .
2.今天是星期一，过天后的那一天是星期 .
3.的展开式中x的系数为13，则的系数为 .
4.被7除的余数是 .
5.= .
6.展开式的所有项的系数和等于1024，则展开式中二项式系数最大的项是 .
7.(1)求的近似值(精确到0.001)；
(2)求除以9的余数；
8.已知的展开式中有连续三项的系数之比为3：8：14，求展开式中的第6项.
9.若的展开式中某项的系数不小于它的前一项系数，同时也不小它的后一项系数，试求出该项.
§2.1随机变量及其概率分布（1）
学习目标
（1）在对具体问题的分析中，了解随机变量、离散型随机变量的意义，理解取有限值的离散型随机变量及其概率分布的概念；
（2）会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布，认识概率分布对于刻画随机现象的重要性；
（3）感受社会生活中大量随机现象都存在着数量规律，培养辨证唯物主义世界观．
学习重点，难点
（1）理解取有限值的随机变量及其分布列的概念；
（2）初步掌握求解简单随机变量的概率分布．
学习过程
一．问题情境
在一块地里种下10棵树苗，成活的树苗棵数是 0，1，…，10中的某个数；
抛掷一颗骰子，向上的点数是1，2，3，4，5，6中的某一个数；
新生婴儿的性别，抽查的结果可能是男，也可能是女．如果将男婴用0表示，女婴用1表示，那么抽查的结果是0和1中的某个数；上述现象有哪些共同特点？
二．学生活动
上述现象中的，，，实际上是把每个随机试验的基本事件都对应一个确定的实数，即在试验结果（样本点）与实数之间建立了一个映射．
例如，上面的植树问题中成活的树苗棵数：，表示成活0棵；，表示成活1棵；……
三．建构数学
1．随机变量：
一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．通常用大写拉丁字母，，（或小写希腊字母，，）等表示，而用小写拉丁字母，，（加上适当下标）等表示随机变量取的可能值．
例1．（1）掷一枚质地均匀的硬币一次，用表示掷得正面的次数，则随机变量的可能取值有哪些？
（2）一实验箱中装有标号为1，2，3，3，4的五只白鼠，从中任取一只，记取到的白鼠的标号为，则随机变量的可能取值有哪些？
2．随机变量的概率分布：
一般地，假定随机变量有个不同的取值，它们分别是，，…，，且，，① 则称①为随机变量的概率分布列，简称为的分布列．也可以将①用表2-1-3的形式来表示．
…
…
我们将表2-1-3称为随机变量的概率分布表．它和①都叫做随机变量的概率分布．
3．随机变量分布列的性质：
（1）； （2）．
4．求随机变量的分布列的步骤：
（1）确定的可能取值；（2）求出相应的概率；（3）列成表格的形式。
四．数学运用
1．例题：
例2．从装有6只白球和4只红球的口袋中任取一只球，用表示“取到的白球个数”，即 求随机变量的概率分布．
０ １
例3 若随机变量的分布列为：试求出常数．
变式：设随机变量的分布列为，求实数的值。
例4 某班有学生45人，其中型血的有10人，型血的有12人，型血的有8人， 型血的有15人，现抽1人，其血型为随机变量，求的分布列。
五．练习：课本第48页 练习第1，2题
六．回顾小结：
1．随机变量的概念及0-1分布，随机变量性质的应用；
2．求随机变量的分布列的步骤．
第1课时 随机变量及其概率分布(1)(作业)
班级 姓名 学号
1、10件产品中有3件次品，从10件产品中任取2件，取到次品的件数为随机变量，用X表示，那么X的取值为 。
2、袋中有2个黑球，6个红球，从中任取2个，可以作为随机变量的是 。
①取到的球的个数 ②取到红球的个数
③取到黑球的个数 ④至少取到一个红球的概率
3、设随机变量X的概率分布列为P=(X=k)=ak，(k=1，2，3)，则常数a等于 。
Z 0 1
P 3－8C 9C2－C
4、若离散型随机变量X的分布列见表，则常数c= 。
5、设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X描述1次试验的成功次数，则P(X=1)等于 。
6、设随机变量X的分布列为，则a= 。
7、写出下列随机变量的可能的取值，并说明随机变量所表示的随机试验的结果。
(1)从甲地到乙地有汽车、火车和飞机3种直达交通工具，旅费分别为100元、80元和400元，某人从甲地去乙地旅游，他的旅游费为X；
(2)盒内装着标有1~4号的大小相同的4个小球，随机抽取2个，所得的号码这和为Y。
8、在0—1分布中，设P(X=0)=p，0
10、已知随机变量X只能取三个值x1，x2，x3，其概率值依次成等差数列，求公差d的取值范围。
11、数字1，2，3，4任意排成一列，如果数字k恰好出现在第k个位置上，则称有一个巧合，求巧合数X的分布列.
12、将3个小球随机地放入4个盒子中，盒子中球的最大个数记为X，求：
(1)X的分布列；(2)盒子中球的最大个数不是1的概率。
13、甲袋中有6个白球，4个黑球；乙袋中有3个白球，5个黑球，从两袋中各随机取出1球，求取出的两个球中白球个数X的分布列。
14、袋中有5只乒乓球，编号为1至5，从袋中任取3只，若以X表示取到的球中的最大号码，试写出X的分布列，并以图形表示。
§2.1 随机变量及其概率分布（2）
学习目标
（1）正确理解随机变量及其概率分布列的意义；
（2）掌握某些较复杂的概率分布列．
学习重点，难点
求解随机变量的概率分布
学习过程
一．问题情境
1．复习回顾：（1）随机变量及其概率分布的概念；（2）求概率分布的一般步骤．
2．练习：
（1）写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
①一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5．现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数为；
②盒中有6支白粉笔和8支红粉笔，从中任意取3支，其中所含白粉笔的支数；
③从4张已编号（1号～4号）的卡片中任意取出2张，被取出的卡片编号数之和．
（2）袋内有5个白球，6个红球，从中摸出两球，记．求的分布列．
二．数学运用
1．例题：
例1 同时掷两颗质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数．求两颗骰子中出现的最大点数的概率分布，并求大于2小于5的概率．
思考：在例3中，求两颗骰子出现最小点数的概率分布．
分析 类似与例1，通过列表可知：，，，，，．
例2 从装有6个白球、4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出一个黑球赢2元，而每取出一个白球输1元，取出黄球无输赢，以表示赢得的钱数，随机变量可以取哪些值呢？求的分布列．
例3 袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止时所需要的取球次数．（1）求袋中原有白球的个数；（2）求随机变量的概率分布；（3）求甲取到白球的概率．
2．练习：课本第48页 练习第3题
五．回顾小结：
1．随机变量及其分布列的意义；
2．随机变量概率分布的求解．
第2课时 随机变量及其概率分布(2)(作业)
班级 姓名 学号
1、在10件产品中有8件正品，每次取1件，取后放回，共取3次，设取到正品数为x，则x可能的取值有 .
2、设随机变量等可能取值1，2，3，…，k，如果P(<4)=0.5，那么k= .
3、若P等于 .
4、先后抛掷一个骰子两次，记随机变量为两次掷出的点数之和，则的取值集合是
.
5、随机变量的概率分布规律为P(=n)=
的值为 .
6、已知随机变量X的分布列为P(X=i)=(i=1,2,3)，则P(X=2)= .
7、一个人有n把钥匙，其中只有一把可以打开房门，他随意地进行试开，若试开过的钥匙放在一边，试开次数X为随机变量，则P(X=k)= .
8、设随机变量X的分布表为
X －2 －1 0 1 2
P 0.16 a2 0.3
求：(1)a的值；(2).
9、设随机变量X只能取5，6，7，…，16这12个值，且取每个值的机会是均等的，试求：(1)P(X>8)； (2)P；(3)。
10、A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1，A2，A3，B队队员是B1，B2，B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：
对阵队员 A队队员胜的概率 A队队员负的概率
A1对B1
A2对B2
A3对B3
现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A队、B队最后所得总分分别为、，求、的概念分布列.
11、某射手有5发子弹，射击一次命中概率为0.8，如果命中就停止，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数的分布列.
12、设随机变量的概率分布如表所示：
0 1 2
P
求：(1)P(<1)，P(≤1)，P(<2)，P(≤2). (2)P(x)=P(≤x)，x∈R.
(3)作出y=P(x)=P(≤x)，x∈R的图象.
第3课时 超几何分布
学习目标
1．通过实例，理解超几何分布及其特点；
2．通过对实例的分析，掌握超几何分布列及其导出过程，并能简单的应用．
学习重点，难点:理解超几何分布的概念，超几何分布列的应用．
学习过程
一．问题情境
1．情境：
在产品质量管理中，常常通过抽样来分析合格品和不合格品的分布，进而分析产品 质量．假定一批产品共件，其中有件不合格品，随机取出的件产品中，不合格品数的概率分布如何？
2．问题：用怎样的数学模型刻画上述问题？
二．学生活动
以，，为例，研究抽取件产品中不合格品数的概率分布．
三．建构数学
从件产品中随机抽取件有种等可能基本事件．表示的随机事件是“取到件不合格品和件合格品”，依据分步计数原理有种基本事件，根据古典概型， ．
类似地，可以求得取其他值时对应的随机事件的概率，从而得到不合格品数的概率分布如下表所示：
对一般情形，一批产品共件，其中有件不合格品，随机取出的件产品中，不合格品数的分布如下表所示：
…
…
其中．
一般地，若一个随机变量的分布列为，
其中，，，，…，，，则称服从超几何分布，记为，并将记为．
说明：（1）超几何分布的模型是不放回抽样； （2）超几何分布中的参数是，，．
四．数学运用
例1．高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有个红球，个白球，这些球除颜色外完全相同．现一次从中摸出个球，
（1）若摸到个红球个白球的就中一等奖，求中一等奖的概率．
（2）若至少摸到个红球就中奖，求中奖的概率．
例2．生产方提供箱的一批产品，其中有箱不合格产品．采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取箱产品进行检测，若至多有箱不合格产品，便接收该批产品．问：该批产品被接收的概率是多少？
例3．张彩票中只有张中奖票，今从中任取张，为了使这张彩票里至少有一张中奖的概率大于，至少为多少？
2．练习：课本第51页练习第1，2题．
五．回顾小结：
1．超几何分布的特点；
2．超几何分布列的简单应用．
六．课外作业：课本第52页习题2.2第4题．
第3课时 超几何分布(作业)
班级 姓名 学号
1、100张奖券中，有4张中奖，从中任取2张，则2张都中奖的概率为 。
2、袋中有5个黑球和3个白球，从中任取2个球，则其中至少有1个黑球的概率是
3、一个袋子里装有4个白球，5个黑球和6个黄球，从中任取4个球，则含有3个黑球的概率为 。
4、袋中装有大小相同的分别写有1，2，3，4，5的五个球，从中任取三个球，则其中有写有1的小球的概率是 。
5、若在二项式(x+1)10的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率为 。
6、在一次口试中，要从10道题中随机抽出3道题进行回答，答对其中两道或两道以上的题可获得及格，某考生会回答10道题中的6道题，那么他(她)获得及格的概率是 。
7、从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取3台，其中两种品牌的彩电齐全的概率是 。
8、设15件同类型的零件中有2件是不合格品，从其中任取3件，以X表示取出的3件中的不合格产品的件数，试求X的概率分布.
9、某彩票的开奖是从1，2，3，…，22中任意选出5个基本号码，凡购买的彩票上的5个号码中有3个或3个以上基本号码就中奖，根据含有基本号码个数的多少，中奖的等级如下表：
含有基本号码数 3 4 5
中奖等级 三等级 二等级 一等级
求至少中二等奖的概率.
10、一批产品，分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验质量，其级别为随机变量X，求X的分布列及P(X>1)
11、某医院内科有5名主任医师和15名主治医师，现从其中随机挑选4人组织一个医疗小组，设X是所选4人中主任医师人数；
(1)写出X的分布列；(2)求4人中至少有1名主任医师的概率(精确到0.001)
12、甲袋中有6个白球，4个黑球，乙袋中有3个白球，5个黑球，从甲、乙两袋中各随机取出2个球，求取出的4个球中白球个数X的分布列。
13、1000只灯泡中含有n(2n992)只不合格品，从中一次任取10只，问：恰含有2只不合格品的概率f(n)是多少？当n为何值时，f(n)取得最大值？
高二数学
选修2—3
学 案
！
！
高二数学
选修2—3
学 案
!
！！
高二数学选修2-3学案
高二数学
2-3学案
高二数学
选修2—3
学 案
高二数学
选修2—3
学 案
高二数学
学 案
高二数学
学 案
高二数学
学 案
高二数学
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