第十章 10.3　频率与概率（Word版学案）

10.3　频率与概率
学习目标　1.理解概率的意义以及频率与概率的区别与联系.2.能初步利用概率知识解释现实生活中的概率问题.3.了解随机模拟的含义，会利用随机模拟估计概率.
知识点一　频率的稳定性
在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A).
思考　一枚质地均匀的硬币，抛掷10次，100次，1 000次，正面向上的频率与0.5相比，有什么变化？
答案　随着抛掷的次数增加，正面向上的次数与总次数之比会逐渐接近0.5.
知识点二　随机模拟
用频率估计概率，需做大量的重复试验，我们可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验，这样就可以快速地进行大量重复试验了.我们称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法.
1.设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品.(　×　)
2.做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是.(　×　)
3.某事件发生的概率随着试验次数的变化而变化.(　×　)
4.小概率事件就是不可能发生的事件.(　×　)
一、频率与概率的关系
例1　(1)下列说法一定正确的是(　　)
A.一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况
B.一个骰子掷一次得到2的概率是，则掷6次一定会出现一次2
C.若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元
D.随机事件发生的概率与试验次数无关
答案　D
解析　A错误，概率小不代表一定不发生；B错误，概率不等同于频率；C错误，概率是预测，不必然出现；D正确，随机事件发生的概率是多次试验的稳定值，与试验次数无关.
(2)对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如下：
抽取台数 50 100 200 300 500 1 000
优等品数 40 92 192 285 478 954
①根据表中数据分别计算6次试验中抽到优等品的频率；
②该厂生产的电视机为优等品的概率约是多少？
解　①抽到优等品的频率分别为0.8,0.92,0.96,0.95,0.956,0.954.
②由表中数据可估计优等品的概率约为0.95.
反思感悟　(1)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率.
(2)频率本身是随机的，在试验前不能确定.
(3)概率是一个确定的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，与试验次数无关.
跟踪训练1　一个地区从某年起4年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下表所示：
时间范围 1年内 2年内 3年内 4年内
新生婴儿数n 5 544 9 607 13 520 17 190
男婴数m 2 883 4 970 6 994 8 892
(1)计算男婴出生的频率(保留4位小数)；
(2)这一地区男婴出生的概率约是多少？
解　(1)计算即得男婴出生的频率依次约是0.520 0，0.517 3，0.517 3,0.517 3.
(2)随着新生婴儿数的增多，男婴出生的频率接近0.517 3，因此，这一地区男婴出生的概率约为0.517 3.
二、概率思想的实际应用
例2　设有外形完全相同的两个箱子，甲箱中有99个白球，1个黑球，乙箱中有1个白球，99个黑球.先随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球.推断这球是从哪一个箱子中取出的？
解　甲箱中有99个白球，1个黑球，故随机地取出一球，得到白球的可能性是.乙箱中有1个白球，99个黑球，从中任取一球，得到白球的可能性是.由此可见，这一白球从甲箱中抽出的概率比从乙箱中抽出的概率大得多.既然在一次抽样中抽到白球，当然可以认为是从概率大的箱子中取出的.所以我们作出统计推断：该白球是从甲箱中取出的.
反思感悟　在一次试验中，概率大的事件比概率小的事件出现的可能性更大.
跟踪训练2　为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，如200只，给每只天鹅作上记号且不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让它们和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天鹅，如150只.查看其中有记号的天鹅，设有20只，试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量.
解　设保护区中天鹅的数量为n，假设每只天鹅被捕到的可能性是相等的，从保护区中任捕一只，
设事件A＝{捕到带有记号的天鹅}，则P(A)＝.
从保护区中捕出150只天鹅，
其中有20只带有记号，
由概率的定义可知P(A)≈.
由≈，解得n≈1 500，
所以该自然保护区中天鹅的数量约为1 500只.
三、用随机模拟估计概率
例3　一个袋中有7个大小、形状相同的小球，6个白球，1个红球，现任取1个球，若为红球就停止，若为白球就放回，搅拌均匀后再接着取，试设计一个模拟试验计算恰好第三次摸到红球的概率.
解　用1,2,3,4,5,6表示白球，7表示红球，利用计算器或计算机产生1到7之间(包括1和7)取整数值的随机数，因为要求恰好第三次摸到红球的概率，所以每三个随机数作为一组，如下，产生20组随机数：
666　743　671　464　571
561　156　567　732　375
716　116　614　445　117
573　552　274　114　662
就相当于做了20次试验，在这些数组中，前两个数字不是7，第三个数字恰好是7就表示第一次、第二次摸到的是白球，第三次摸到的是红球，它们分别是567和117，共两组，因此恰好第三次摸到红球的概率约为＝0.1.
反思感悟　用随机数模拟法求事件概率的方法
在使用整数随机数进行模拟试验时，首先要确定随机数的范围和用哪个代表试验结果.
(1)试验的基本结果是等可能时，基本事件的总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个基本事件.
(2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数.
跟踪训练3　某篮球爱好者做投篮练习，假设其每次投篮命中的概率是60%，若该篮球爱好者连续投篮4次，求至少投中3次的概率，用随机模拟的方法估计上述概率.
解　利用计算机或计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1,2,3,4,5,6表示投中，用7,8,9,0表示未投中，这样可以体现投中的概率是60%，因为投篮4次，所以每4个随机数作为1组，例如5727,7895,0123，…，4560,4581,4698，共100组这样的随机数，若所有数组中没有7,8,9,0或只有7,8,9,0中的一个数的数组的个数为n，则至少投中3次的概率近似值为.
1.“某彩票的中奖概率为”意味着(　　)
A.买1 000张彩票就一定能中奖
B.买1 000张彩票中一次奖
C.买1 000张彩票一次奖也不中
D.购买彩票中奖的可能性是
答案　D
2.用随机模拟方法估计概率时，其准确程度取决于(　　)
A.产生的随机数的大小
B.产生的随机数的个数
C.随机数对应的结果
D.产生随机数的方法
答案　B
解析　随机数容量越大，所估计的概率越接近实际数.
3.某医院治疗一种疾病的治愈率为，那么，前4个病人都没有治愈，第5个病人被治愈的概率是(　　)
A.1 B. C. D.0
答案　B
解析　每一个病人治愈与否都是随机事件，故第5个人被治愈的概率仍为.
4.天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率.可利用计算机产生0到9之间的取整数值的随机数，如果我们用1,2,3,4表示下雨，用5,6,7,8,9,0表示不下雨，顺次产生的随机数如下：
907　966　191　925　271
932　812　458　569　683
631　257　393　027　556
488　730　113　137　989
则这三天中恰有两天下雨的概率约为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　由题意知，模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：191,271,932,812,631,393,137，共7组随机数，∴所求概率为.
5.在一次掷硬币试验中，掷100次，其中有48次正面朝上，设反面朝上为事件A，则事件A出现的频率为________.
答案　0.52
解析　＝0.52.
1.知识清单：
(1)概率与频率的关系.
(2)用频率估计概率.
(3)用随机模拟估计概率.
2.常见误区：频率与概率的关系易混淆.
1.气象台预测“本市明天降雨的概率是90%”，对预测的正确理解是(　　)
A.本市明天将有90%的地区降雨
B.本市明天将有90%的时间降雨
C.明天出行不带雨具肯定会淋雨
D.明天出行不带雨具可能会淋雨
答案　D
解析　降雨概率为90%是指明天降雨这个随机事件发生的可能性为90%，明天也可能不下雨，故选D.
2.经过市场抽检，质检部门得知市场上食用油合格率为80%，经调查，某市市场上的食用油大约有80个品牌，则不合格的食用油品牌大约有(　　)
A.64个 B.6个 C.16个 D.8个
答案　C
解析　80×(1－80%)＝16.
3.给出下列3种说法：
①设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品；
②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是；
③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.
其中正确说法的个数是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
答案　A
解析　由频率与概率之间的联系与区别知，①②③均不正确.
4.某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率；先利用计算器或计算机产生0～9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，故我们用0,1,2,3表示手术不成功，4,5,6,7,8,9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果，经随机模拟产生如下10组随机数：
812,832,569,683,271,989,730,537,925,907
由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为(　　)
A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5
答案　A
解析　由10组随机数知，3个随机数都在4～9中的有569,989两组，故所求的概率为P＝＝0.2.
5.从一批电视机中随机抽出10台进行检验，其中有1台次品，则关于这批电视机，下列说法正确的是(　　)
A.次品率小于10% B.次品率大于10%
C.次品率等于10% D.次品率接近10%
答案　D
解析　抽出的样本中次品的频率为，即10%，所以样本中次品率大约为10%，所以总体中次品率大约为10%.
6.已知随机事件A发生的频率是0.02，事件A出现了10次，那么共进行了________次试验.
答案　500
解析　设进行了n次试验，则有＝0.02，得n＝500，故进行了500次试验.
7.从一堆苹果中任取了20个，并得到它们的质量(单位：克)数据分布表如下：
分组 [90,100) [100,110) [110,120) [120,130) [130,140) [140,150]
频数 1 2 3 10 3 1
则这堆苹果中，质量不小于120克的苹果数约占苹果总数的________%.
答案　70
解析　计算出样本中质量不小于120克的苹果的频率，来估计这堆苹果中质量不小于120克的苹果所占的比例，由题意知＝0.7＝70%.
8.在用随机数(整数)模拟“有4个男生和5个女生，从中抽选4个，并选出2个男生2个女生”的概率时，可让计算机产生1～9的随机整数，并且1～4代表男生，用5～9代表女生.因为是选出4个，所以每4个随机数作为一组.若得到的一组随机数为“4678”，则它代表的含义是________________.
答案　选出的4人中，只有1个男生
解析　用1～4代表男生，用5～9代表女生，4678表示1个男生3个女生.
9.在一个不透明的袋中有大小相同的4个小球，其中有2个白球，1个红球，1个蓝球，每次从袋中摸出一球，然后放回搅匀再摸，在摸球试验中得到下列表格中部分数据：
摸球次数 10 50 80 100 150 200 250 300
出现红球的频数 2 20 27 36 50
出现红球的频率 30% 26% 24%
(1)请将表中数据补充完整；
(2)如果按照此方法再摸球300次，所得频率与表格中摸球300次对应的频率一定一样吗？为什么？
(3)试估计红球出现的概率.
解　(1)频数分别是15,65,72；频率分别是20%,25%,27%,24%,25%.
(2)可能不一样，因为频率会随每次试验的变化而变化.
(3)频率集中在25%附近，所以可估计概率为0.25.
10.如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查，调查结果如下表：
所用时间/分 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60
选择L1的人数 6 12 18 12 12
选择L2的人数 0 4 16 16 4
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；
(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率.
解　(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，所以用频率估计相应的概率为0.44.
(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为
所用时间/分 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60
选择L1的人数 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2
选择L2的人数 0 0.1 0.4 0.4 0.1
11.某水产试验厂实行某种鱼的人工孵化，10 000个鱼卵能孵出8 513尾鱼苗，根据概率的统计定义，这种鱼卵的孵化概率(　　)
A.约为0.851 3
B.必为0.851 3
C.再孵一次仍为0.851 3
D.不确定
答案　A
解析　这种鱼卵的孵化频率为＝0.851 3，
它近似的为孵化的概率.
12.某市交警部门在调查一起车祸过程中，所有的目击证人都指证肇事车是一辆普通桑塔纳出租车，但由于天黑，均未看清该车的车牌号码及颜色，而该市有两家出租车公司，其中甲公司有100辆桑塔纳出租车，3 000辆帕萨特出租车，乙公司有3 000辆桑塔纳出租车，100辆帕萨特出租车，交警部门应先调查哪个公司的车辆较合理(　　)
A.甲公司 B.乙公司
C.甲或乙公司均可 D.以上都对
答案　B
解析　由于甲公司桑塔纳的比例为＝，
乙公司桑塔纳的比例为＝，
可知肇事车在乙公司的可能性大些.
13.先后抛掷两枚均匀的五角、一元的硬币，观察落地后硬币的正反面情况，则下列哪个事件的概率最大(　　)
A.至少一枚硬币正面向上
B.只有一枚硬币正面向上
C.两枚硬币都是正面向上
D.两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上
答案　A
解析　抛掷两枚硬币，其结果有“正正”，“正反”，“反正”，“反反”四种情况.至少有一枚硬币正面向上包括三种情况，其概率最大.
14.通过模拟试验产生了20组随机数：
6830　3013　7055　7430　7740　4422　7884
2604　3346　0952　6807　9706　5774　5725
6576　5929　9768　6071　9138　6754
如果恰好有三个数在1,2,3,4,5,6中，表示恰好有三次击中目标，则四次射击中恰好有三次击中目标的概率约为________.
答案　0.25
解析　表示三次击中目标分别是3013,2604,5725,6576,6754，共5组数，而随机数总共20组，所以所求的概率近似为＝0.25.
15.(多选)甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的是(　　)
A.抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜
B.同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜
C.从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜
D.甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜
答案　ACD
解析　对于A，C，D，甲胜，乙胜的概率都是，游戏是公平的；对于B，点数之和大于7和点数之和小于7的概率相等，但点数等于7时乙胜，所以甲胜的概率小，游戏不公平.
16.如图所示，有两个可以自由转动的均匀转盘A，B.转盘A被平均分成3等份，分别标上1,2,3三个数字；转盘B被平均分成4等份，分别标上3,4,5,6四个数字.有人为甲、乙两人设计了一个游戏规则：自由转动转盘A与B，转盘停止后，指针各指向一个数字，将指针所指的两个数字相加，如果和是6，那么甲获胜，否则乙获胜.你认为这样的游戏规则公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，怎样修改规则才能使游戏对双方公平？
解　列表如下：
B A 3 4 5 6
1 4 5 6 7
2 5 6 7 8
3 6 7 8 9
由表可知，等可能的结果有12种，和为6的结果只有3种.
因为P(和为6)＝＝，所以甲、乙获胜的概率不相等.
所以这样的游戏规则不公平.如果将规则改为“和是6或7，则甲胜，否则乙胜”，那么此时游戏规则是公平的.