沪科版八年级数学下册教案：第16章二次根式16.1二次根式

第16章 二次根式
16.1　二次根式
教学目标 1.经历二次根式概念的形成过程,了解二次根式是开平方运算引出的结果,理解二次根式中被开方数a的实际意义，即a是非负数,以及的非负性. 2.经历二次根式性质的观察、归纳、对比等探索过程，理解二次根式的性质1、性质2,了解其区别与联系,并能运用性质1,2解决一些问题. 3.在二次根式概念、性质的形成和探索中,鼓励学生积极探究,乐于合作与交流,发展学数学用数学意识、分类讨论的意识，了解由特殊到一般再到具体的处理数学问题的思想. 教学重难点 重点：经历二次根式的概念、性质的探索和形成过程. 难点：正确理解=∣a∣= 教学过程 导入新课 问题1 什么叫做平方根 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根. 问题2 什么叫做算术平方根 如果=a（x≥0），那么x称为a的算术平方根，用（a≥0）表示. 问题3 什么数有算术平方根 我们知道,负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0. 思考：用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？ (1)若一个正方形的面积为3,则其边长为_____m；一个面积为S 的正方形，其边长为_____m． (2)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 m2，则它的宽为____m． (3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t (单位：s)与开始落下的高度h (单位：m)满足关系h =5t2，如果用含有h的式子表示 t，那么t为_____． 答案：（1） 　（2）　（3） 探究新知 探究一 二次根式的定义 一般地，形如（a≥0）的式子叫做二次根式,其中a是被开方数. 判断一个数（或式）是不是二次根式必须同时满足：①根指数为2;②被开方数为非负数. 【学生活动】观察“思考”中得出的问题答案，分析它们的结构形式，总结它们的特征. 【教师活动】根据学生提供的结论，得出二次根式的定义. 探究二 二次根式的性质 问题1 二次根式的被开方数a的取值范围是什么？它本身的值又是什么？ 当a＞0,表示a的算术平方根的平方，因此=a； 当a=0,表示0的算术平方根的平方，因此=0； 这就是说，当a≥0时，=a. 类似地，计算 = 5 ，=，= 0 . 【学生活动】根据所探究的内容先填空，再在小组内交流，总结 在a 的值一定时，的值与a的关系. 【师生总结】①的被开方数a的取值范围是a≥0; ②=a(a≥0). 问题2 二次根式的被开方数a的取值范围是什么？它本身的值又是什么？ 当a＞0,表示的算术平方根，因此=a； 当a=0,表示0的算术平方根，因此=0； 当a＜0,表示的算术平方根，因此=-a. 这就是说，当a≥0时，=a; 当a＜0时，=-a. 类似地，计算 = ，= 0.5 ，= 0 , = ，= 0.5 . 【学生活动】根据所探究的内容先填空，再在小组内交流，总结 的值与a的取值关系. 【师生总结】=∣a∣= 例题讲解 【例1】 说一说下列各式哪些是二次根式. (1)(2)6； (3)； (4)（m≤0）； (5)； （6） ; (7). 【解】（1）（4）(6)是二次根式. （2）没有开方运算； （3）被开方数是负数； （5）xy可能是负数； （6）根指数不是2. 【学生活动】指出每一个式子的特点，初步判断，不是二次根式的说出理由. 【师生总结】判定一个式子是不是二次根式有两个条件：一是不是含有二次根号；二被开方数是不是非负数. 跟踪练习 1.下列各式是否为二次根式？说明理由． （1）； （2）； （3）； （4）（a＜0）． 解：（1）是二次根式； （2），被开方数小于零，不是二次根式； （3），是三次根式； （4）（a＜0）是二次根式． 【例2】 x为何值时,下列式子在实数范围内有意义 (1); (2). 【解】(1)要使有意义,必须x+3≥0. 解这个不等式,得x≥-3. 即当x≥-3时,在实数范围内有意义. (2)因为x为任何实数时都有≥0, 所以当x为一切实数时,在实数范围内都有意义. 【学生活动】根据二次根式的定义，确定被开方数为非负数列不等式求解，写出解题过程，小组内交流. 【师生总结】二次根式有意义的条件是：被开方式是非负数. 跟踪训练 2.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ （1）; (2); (3) ; (4). 【解】（1）∵ a-1≥0，∴ a≥1； （2）∵ 2a+3≥0，∴ a≥ ； （3）∵ -a≥0，∴ a≤0； （4）∵ 5-a＞0，∴ a＜5. 【例3】 计算： (1) ； (2). 【解】(1)==5或=∣-5|=5； (2)=|1-∣=-(1--1. 【例4】 先化简再求值:,其中x=4. 【解】==∣x-π∣， 当x=4时，∣x-π∣=∣4-π∣=4-π. ∴ 当x=4时，=4-π. 【教师活动】教师分析先化简再求值的题目，一般情况下，根号下是完全平方式时，根据=∣a∣求出结果再代入求值. 【学生活动】先分析，在老师的指导下自主完成，小组内交流，对出现的错误及时纠正. 跟踪训练 3.先化简，再求值． 已知a＝，求2-+（a+1）（a-1）的值． 解：2-+（a+1）（a-1） ＝2-+-1 ＝2-|a-2|+a2-1， 当a＝时，原式＝2-（2-）+-1＝2-2++2-1＝+1． 课堂练习 1.在，，，中，二次根式有 . 2.当分别取什么实数时，下列各式有意义？ （1）； （2） ； （3）. 3.计算： （1） ； （2）； （3） ； （4）. 4.化简. （1）当时， （2） 当时， （3）当时. 5.(1)已知a为实数，求代数式++的值. (2) 已知a为实数，求代数式++的值. 参考答案 1.， 2. 解：（1）∵ 12-3a≥0，∴ a≤4； （2）∵ a+2＞0，∴ a＞－2； （3）∵+1≥0，∴ a取任意实数. 3.解：（1）10 （2）0.25 （3） （4）-6 4.解：+=+. （1）当时,x-1＜0, x-2＜0,∴ 原式=1-x+2-x=3-2x; （2） 当时，x-1＞0, x-2＜0, ∴ 原式=x-1+2-x=1; （3）当时, x-1＞0, x-2＞0, ∴ 原式=x-1+x-2=2x-3. 5.解：(1)由题意，得a+2≥0, -4-2a≥0, ∴ a=-2. ∴ ++==2. (2) 由题意，得-≥0,∵ ≥0,∴ =0,∴ a=0. ∴ ++=+=2+3=5. 课堂小结 1.判断一个数式是不是二次根式必须同时满足：①根指数都为2;②被开方数为非负数. 2.二次根式的性质：
a (a≥0) ； =∣a∣= 3.利用二次根式的性质进行化简. 布置作业 教材第4页练习 板书设计 16.1　二次根式 1.二次根式的定义及其判断依据. 2.二次根式的性质： a (a≥0) ； =∣a∣=