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【1.11.2】2021-2022学年初二数学下册同步系列（青岛版）
----初二数学下册第11章：图形的平移与旋转
重难点知识
★☆★ 图形的中心对称
把一个图形绕着某一点旋转180”，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心，这两个图形称为成中心对称的。
中心对称的性质：
成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分。
中心对称作图步骤：
①连结决定已知图形的形状、大小的各关键点与对称中心，并且延长至2倍，得到各点的对称点
②按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.
③利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换，实现由基本图案到各部分图案的有机组合；
④对图案进行修饰，完成图案.
平移、轴对称、旋转三种变换的关系：
图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的。
一次函数的性质与一元一次不等式、应用基础练习
1．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知点P（a+1，）关于原点的对称点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知图中所有的小正方形都全等，若在右图中再添加一个全等的小正方形得到新的图形，使新图形是中心对称图形，则正确的添加方案是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在第一象限，点、的坐标分别为、，，，直线交轴于点，若与关于点成中心对称，则点的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．若点关于原点对称的点是点，点关于轴对称的点是点，则点的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
6．一个正多边形绕它的中心旋转45°后，就与原正多边形第一次重合，那么这个正多边形（ ）
A．是轴对称图形，但不是中心对称图形
B．是中心对称图形，但不是轴对称图形
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形
D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
7．若点P（m，2）与点Q（3，n）关于原点对称，则m，n的值分别为（ ）
A．，2 B．3，
C．， D．3，2
8．已知点在直线上，则点关于原点的对称点的坐标是_________.
9．在等腰三角形ABC中，∠C=90°，BC=2cm．如果以AC的中点O为旋转中心，将这个三角形旋转180°，点B落在点B′处，那么点B′与点B的原来位置相距_____cm．
10．若点关于原点对称的点是，则的值为________．
11．在数学活动课上，王老师要求学生将图1所示的3×3正方形方格纸，剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图2的四幅图就视为同一种设计方案（阴影部分为要剪掉部分）
请在图中画出4种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两个方格涂黑（每个3×3的正方形方格画一种，例图除外）
12．△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示．
（1）作△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C1．
（2）将△A1B1C1向右平移4个单位，作出平移后的△A2B2C2．
（3）在x轴上求作一点P，使PA1+PC2的值最小，并写出点P的坐标（不写解答过程，直接写出结果）
13．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，3），B（2，5），C（4，2）（每个方格的边长均为1个单位长度）
（1）将△ABC平移，使点A移动到点A1，请画出△A1B1C1；
（2）作出△ABC关于O点成中心对称的△A2B2C2，并直接写出A2，B2，C2的坐标；
（3）△A1B1C1与△A2B2C2是否成中心对称？若是，请写出对称中心的坐标；若不是，请说明理由．
14．如图，三个顶点的坐标分别是.
（1）请画出向左平移个单位长度后得到的；
（2）请画出关于原点对称的；
（3）在轴上求点的坐标，使的值最小.
15．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．
（1）按要求作图：
①画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；
②画出将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A2B2C2．
（2）回答下列问题：
①△A1B1C1中顶点A1坐标为 ；
②若P(a，b)为△ABC边上一点，则按照（1）中①作图，点P对应的点P1的坐标为 ．
16．如图，在由边长为的小正方形组成的方格纸中，有两个全等的三角形，即△A1B1C1和△A2B2C2．
（1）请你指出在方格纸内如何运用平移、旋转变换，将△A1B1C1重合到△A2B2C2上；
（2）在方格纸中将△A1B1C1经过怎样的变换后可以与△A2B2C2成中心对称图形？画出变换后的三角形并标出对称中心．
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【1.11.2】2021-2022学年初二数学下册同步系列（青岛版）
----初二数学下册第11章：图形的平移与旋转
参考答案
1．D
【解析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合．因此，
A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项错误；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确．
故选D．
2．C
【解析】
试题分析：∵P（，）关于原点对称的点在第四象限，∴P点在第二象限，∴，，解得：，则a的取值范围在数轴上表示正确的是．故选C．
考点：1．在数轴上表示不等式的解集；2．解一元一次不等式组；3．关于原点对称的点的坐标．
3．B
【分析】
观察图形，利用中心对称图形的性质解答即可．
【详解】
选项A，新图形不是中心对称图形，故此选项错误；
选项B，新图形是中心对称图形，故此选项正确；
选项C，新图形不是中心对称图形，故此选项错误；
选项D，新图形不是中心对称图形，故此选项错误；
故选B．
【点睛】
本题考查了中心对称图形的概念，熟知中心对称图形的概念是解决问题的关键．
4．A
【解析】
分析：先求得直线AB解析式为y=x﹣1，即可得P（0，﹣1），再根据点A与点A'关于点P成中心对称，利用中点坐标公式，即可得到点A'的坐标.
详解：∵点B，C的坐标分别为（2，1），（6，1），∠BAC=90°，AB=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴A（4，3），
设直线AB解析式为y=kx+b，
则，解得，
∴直线AB解析式为y=x﹣1，
令x=0，则y=﹣1，
∴P（0，﹣1），
又∵点A与点A'关于点P成中心对称，
∴点P为AA'的中点，
设A'（m，n），则=0，=﹣1，
∴m=﹣4，n=﹣5，
∴A'（﹣4，﹣5），
故选A．
点睛：本题考查了中心对称和等腰直角三角形的运用，利用待定系数法得出直线AB的解析式是解题的关键.
5．A
【分析】
在直角坐标系中，关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数，关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，即可得出答案．
【详解】
解：∵在直角坐标系中，关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数，
∴点关于原点对称的点坐标为，
∵关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，
∴点关于轴对称的点的坐标为．
故选：A．
【点睛】
本题考查的知识点是确定点的坐标，掌握点关于原点、x轴、y轴对称的点的坐标变化规律是解此题的关键．
6．C
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】
∵一个正多边形绕着它的中心旋转45°后，能与原正多边形重合，360°÷45°=8，∴这个正多边形是正八边形．正八边形既是轴对称图形，又是中心对称图形．
故选C．
7．C
【分析】
根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．
【详解】
点P（m，2）与点Q（3，n）关于原点对称，得
m=-3，n=-2，
故选C．
【点睛】
本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．
8．(-2，-3)
【分析】
首先把点代入中，计算出的值，再根据关于原点对称的点的坐标特点可以直接得到答案．
【详解】
解：点在直线上，
，
，
，
点关于原点的对称点的坐标是，
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，以及一次函数图象上点的坐标特征，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．
9．2 ．
【解析】
分析：由中心对称的性质得OA＝OC，OB＝OB′，用勾股定理求出OB即可.
详解：根据中心对称的性质得，OB＝OB′，OC＝1，又BC＝2，
由勾股定理得BO＝，所以BB′＝2OB＝.
故答案为.
点睛：中心对称的性质有：①关于中心对称的两个图形是全等形；②关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分；③关于中心对称的两个图形，对应线段平行(或在同一直线上)且相等.
10．
【分析】
先根据关于原点对称的点的坐标特点：横纵坐标互为相反数求出a、b，然后把a、b的值代入所求式子计算即可．
【详解】
解：∵点关于原点对称的点是，
∴，
解得，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了关于原点对称的点的坐标特点和负整数指数幂的运算法则，属于基础题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．
11．见解析.
【解析】
【分析】
根据轴对称图形和旋转对称图形的概念作图即可得．
【详解】
解：根据剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形；即如图所示：
【点睛】
本题主要考查利用旋转设计图案，解题的关键是掌握轴对称图形和旋转对称图形的概念．
12．（1）见解析（2）见解析（3）（，0）
【解析】
解；作图如图所示，可得P点坐标为：（，0）．
（1）延长AC到A1，使得AC=A1C1，延长BC到B1，使得BC=B1C1，即可得出图象．
（2）根据△A1B1C1将各顶点向右平移4个单位，得出△A2B2C2．
（3）作出A1关于x轴的对称点A′，连接A′C2，交x轴于点P，再利用相似三角形的性质求出P点坐标即可．
13．（1）见解析；（2）见解析，点A2，B2，C2的坐标分别为（﹣1，﹣3），（﹣2，﹣5），（﹣4，﹣2）；（3）是，对称中心的坐标的坐标为（﹣2，﹣1）．
【分析】
（1）利用点A和坐标的关系确定平移的方向与距离，关于利用此平移规律写出B1、C1的坐标，然后描点即可；
(2)利用关于点对称的点的坐标特征写出A2，B2，C2的坐标，然后描点即可；
(3）连接A1 A2，B1 B2，C1 C2，它们都经过点P，从而可判断△A1B1C1与△A2B2C2关于点P中心对称，再写出P点坐标即可．
【详解】
解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；点A2，B2，C2的坐标分别为（﹣1，﹣3），（﹣2，﹣5），（﹣4，﹣2）；
（3）△A1B1C1与△A2B2C2关于点P中心对称，如图，
对称中心的坐标的坐标为（﹣2，﹣1）．
【点睛】
本题考查作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
14．（1）见解析；（2）见解析；（3）点坐标为：.
【解析】
【分析】
（1）分别作出三顶点向左平移5个单位长度后得到的对应点，再顺次连接即可得；
（2）分别作出三顶点关于原点O成中心对称的对应点，再顺次连接即可得；
（3）作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B，与x轴的交点即为所求．
【详解】
解：（1）如图所示：，即为所求；
（2）如图所示：，即为所求；
（3）如图所示：作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B，此时的值最小，点坐标为：.
【点睛】
本题考查了利用平移变换和旋转变换作图、轴对称-最短路线问题；熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
15．（1）①作图见解析；②作图见解析；（2）①(2，﹣4)；②(﹣a，﹣b)．
【分析】
（1）①首先找出对应点的位置，再顺次连接即可；
②首先找出对应点的位置，再顺次连接即可；
（2）①根据图形可直接写出坐标；
②根据关于原点对称点的坐标特点可得答案．
【详解】
解：（1）如图所示：
①△A1B1C1即为所作图形；
②△A2B2C2即为所作图形；
（2）①根据图形可得A1坐标为(2，﹣4)；
②点P1的坐标为(﹣a，﹣b)．
故答案为：(2，﹣4)；(﹣a，﹣b)．
【点睛】
此题主要考查了作图，旋转变换，关键是正确找出对应点的位置．
16．（1）见解析；（2）见解析.
【详解】
（1）将向上平移个单位，
再向右平移个单位，然后绕点顺时针旋转．
（2）将绕点A1逆时针旋转得，
则与关于点中心对称．
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