沪科版八年级数学下册教案：第16章二次根式16.2二次根式的运算(第2课时）
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| 名称 | 沪科版八年级数学下册教案：第16章二次根式16.2二次根式的运算(第2课时） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 176.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-06-12 09:29:39 | ||
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文档简介
第16章 二次根式
16.2 二次根式的运算
第2课时 二次根式的除法与商的算术平方根
教学目标 1.理解二次根式的除法法则；理解商的算术平方根的性质. 2.会运用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质进行简单运算. 3.理解最简二次根式的概念，会运用分母有理化将二次根式化简. 4.了解比较两个不含字母的二次根式的大小. 教学重难点 重点：理解二次根式的除法法则与商的算术平方根的性质，理解最简二次根式. 难点：会运用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质进行简单运算. 教学过程 复习巩固 1.二次根式的乘法法则 =（a≥0,b≥0）. 两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根. 2.积的算术平方根 积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积. 用式子表示为·（a≥0，b≥0）. 3.二次根式的性质 （1）的性质： a≥0，即二次根式的被开方数非负；≥0，即二次根式的值非负. （2）的性质： =∣a∣= 导入新课 活动1 阅读教材P7的内容，完成下面的练习. 计算：（1） ；＝ . （2） ；＝ . 通过上面的计算，你有什么发现？ 【解】（1），＝； （2），. 发现： ；. 【教师活动】提问：你能用字母表示你所发现的规律吗？ 【学生活动】计算每个式子的结果，进行比较试着用字母表示规律. 探究新知 探究点一 二次根式的除法 问题1 在前面发现的规律＝中，a，b的取值范围有没有限制呢？ 学生思考并回答：a≥，. 【教师活动】通过上面的探究我们得到两个二次根式相除的运算法则： ＝(a≥0,b>0). 即：两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商的算术平方根. 探究点二 商的算术平方根 【教师活动】我们知道，把二次根式的乘法法则反过来就得到积的算术平方根的性质. 类似地，把二次根式的除法法则反过来，就得到 二次根式的商的算术平方根的性质: 商的算术平方根，等于两个算术平方根的商. 探究三 最简二次根式 计算：（1）；（2）. 【解】（1）； （2）4. 【教师活动】(引发学生思考)要利用二次根式的除法运算法则进行计算. 【学生活动】先根据老师的提示进行计算，把最后的结果要化成最简的形式分析计算结果，总结规律. 【教师活动】根据上面（1）的计算，发现我们把分子、分母同乘以一个相同的二次根式，这样分母中的根号就去掉了，这种方法就是分母有理化. 二次根式的除法运算,通常采用分子、分母同乘以一个式子化去分母中的根号的方法来进行,把分母中的根号化去,就是分母有理化. 对于二次根式运算的结果,我们通常还需把它化成最简. 满足下列两个条件的二次根式就是最简二次根式. (1)被开方数的因数是整数,因式是整式; (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 化简时注意： （1）有时需将被开方数分解因式； （2）当一个式子的分母中含有二次根式时，一般应把分母有理化. 例题讲解 【例1】 计算： （1）；（2）；（3）；（4）. 【解】（1）=. （2）＝ （3）=. （4）= 【教师活动】(引导学生思考) 类似(4)中被开方数中含有带分数，应先将带分数化成假分数，再运用二次根式除法法则进行运算；巡视学生做题情况，及时纠正错误. 【学生活动】在老师的指导下，利用二次根式的除法法则进行计算. 跟踪训练 1.计算： (1)； (2)÷；(3). 【探索思路】(引导学生思考)利用二次根式的除法运算法则进行计算，需要注意什么？ 解：(1) ＝＝＝2 . (2)÷＝＝＝＝2. (4)＝＝＝2. 【题后总结】(学生总结，老师点评)利用二次根式的除法运算法则进行计算时，注意被开方数必须是非负数. 【例2】 化简： (1)； (2)； (3)(x>0). 【解】（1）＝＝. （2）方法1：＝＝＝. 方法2：＝＝＝. （3）方法1：＝＝. 方法2： ＝＝＝. 【教师活动】(引发学生思考)利用商的算术平方根的性质进行计算，分别用两种不同的方法计算. 【学生活动】小组内同学分两部分，分别用不同的方法，计算结束后交流做题结果，总结做题过程中注意的问题. 【师生总结】(学生总结，老师点评)商的平方根是二次根式除法法则的逆用，注意被开方数必须是非负数. 跟踪训练 2.化简: （1）；（2）；（3）. 解：（1）； （2）. （3）. 【例3】 比较2和3的大小. 【解】2===， 3===. ∵ 12＜18，∴ ∴ . 你还有其他的证明方法吗？ 方法1：=∴ . 方法2： < 1，∴ . 【教师活动】(引发学生思考)比较两个有理数的大小方法有哪些？我们是不是可以类比有理数的大小比较来比较二次根式的大小. 【学生活动】学生根据自己想到的方法对二次根式进行比较，小组内进行交流，小组间进行交流，总结二次根式的大小比较，进行总结. 【归纳】比较两个二次根式大小的方法：可转化为比较两个被开方数的大小，即将根号外的正数平方后移到根号内，计算出被开方数后，再比较被开方数的大小，被开方数大的，其算术平方根也大.也可以采用作差法、作商法、平方法等. 跟踪训练 3.比较大小： （1）2与3； （2）-2与-3. 解：（1）∵ 2==，3==， 且20＜27，∴ ＜，即2＜3. （2）∵ -2=-=， -3=-=， 且52＜54，∴ ＜， ∴ ＞，即＞. 课堂练习 1.化简的结果是（ ） A.9 B.3 C. D. 2.下列各式的计算中，结果为 的是（ ） A. B. C. D. 3.若使式子成立，则实数k取值范围是（ ） A.k≥1 B.k≥2 C.1＜k≤2 D.1≤k≤2 4.下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5.把下列根式化成最简二次根式： （1）；（2）；（3）. 6.化简： (1) ； (2)； (3)； (4). 7.计算：×÷. 参考答案 1.B 2.C 3.B 4.C 5.解：（1）＝；（2）＝3；（3）＝2. 6.解：(1)＝=4； (2)＝ ； (3)＝=+1； (4) ＝11-2. 7.解：×÷ ＝× ＝＝＝. 课堂小结 (学生总结，老师点评) 布置作业 教材第9页练习第1，2题. 板书设计 第2课时 二次根式的除法与商的算术平方根 一、二次根式的除法法则 ,a≥0,b＞0. 两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商的算术平方根. 二、商的算术平方根 商的算术平方根，等于两个算术平方根的商. 三、最简二次根式 （1）二次根式被开方数不含分母； （2）被开方数中所有因数（或因式）的幂的指数都小于2. 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.
16.2 二次根式的运算
第2课时 二次根式的除法与商的算术平方根
教学目标 1.理解二次根式的除法法则；理解商的算术平方根的性质. 2.会运用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质进行简单运算. 3.理解最简二次根式的概念，会运用分母有理化将二次根式化简. 4.了解比较两个不含字母的二次根式的大小. 教学重难点 重点：理解二次根式的除法法则与商的算术平方根的性质，理解最简二次根式. 难点：会运用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质进行简单运算. 教学过程 复习巩固 1.二次根式的乘法法则 =（a≥0,b≥0）. 两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根. 2.积的算术平方根 积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积. 用式子表示为·（a≥0，b≥0）. 3.二次根式的性质 （1）的性质： a≥0，即二次根式的被开方数非负；≥0，即二次根式的值非负. （2）的性质： =∣a∣= 导入新课 活动1 阅读教材P7的内容，完成下面的练习. 计算：（1） ；＝ . （2） ；＝ . 通过上面的计算，你有什么发现？ 【解】（1），＝； （2），. 发现： ；. 【教师活动】提问：你能用字母表示你所发现的规律吗？ 【学生活动】计算每个式子的结果，进行比较试着用字母表示规律. 探究新知 探究点一 二次根式的除法 问题1 在前面发现的规律＝中，a，b的取值范围有没有限制呢？ 学生思考并回答：a≥，. 【教师活动】通过上面的探究我们得到两个二次根式相除的运算法则： ＝(a≥0,b>0). 即：两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商的算术平方根. 探究点二 商的算术平方根 【教师活动】我们知道，把二次根式的乘法法则反过来就得到积的算术平方根的性质. 类似地，把二次根式的除法法则反过来，就得到 二次根式的商的算术平方根的性质: 商的算术平方根，等于两个算术平方根的商. 探究三 最简二次根式 计算：（1）；（2）. 【解】（1）； （2）4. 【教师活动】(引发学生思考)要利用二次根式的除法运算法则进行计算. 【学生活动】先根据老师的提示进行计算，把最后的结果要化成最简的形式分析计算结果，总结规律. 【教师活动】根据上面（1）的计算，发现我们把分子、分母同乘以一个相同的二次根式，这样分母中的根号就去掉了，这种方法就是分母有理化. 二次根式的除法运算,通常采用分子、分母同乘以一个式子化去分母中的根号的方法来进行,把分母中的根号化去,就是分母有理化. 对于二次根式运算的结果,我们通常还需把它化成最简. 满足下列两个条件的二次根式就是最简二次根式. (1)被开方数的因数是整数,因式是整式; (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 化简时注意： （1）有时需将被开方数分解因式； （2）当一个式子的分母中含有二次根式时，一般应把分母有理化. 例题讲解 【例1】 计算： （1）；（2）；（3）；（4）. 【解】（1）=. （2）＝ （3）=. （4）= 【教师活动】(引导学生思考) 类似(4)中被开方数中含有带分数，应先将带分数化成假分数，再运用二次根式除法法则进行运算；巡视学生做题情况，及时纠正错误. 【学生活动】在老师的指导下，利用二次根式的除法法则进行计算. 跟踪训练 1.计算： (1)； (2)÷；(3). 【探索思路】(引导学生思考)利用二次根式的除法运算法则进行计算，需要注意什么？ 解：(1) ＝＝＝2 . (2)÷＝＝＝＝2. (4)＝＝＝2. 【题后总结】(学生总结，老师点评)利用二次根式的除法运算法则进行计算时，注意被开方数必须是非负数. 【例2】 化简： (1)； (2)； (3)(x>0). 【解】（1）＝＝. （2）方法1：＝＝＝. 方法2：＝＝＝. （3）方法1：＝＝. 方法2： ＝＝＝. 【教师活动】(引发学生思考)利用商的算术平方根的性质进行计算，分别用两种不同的方法计算. 【学生活动】小组内同学分两部分，分别用不同的方法，计算结束后交流做题结果，总结做题过程中注意的问题. 【师生总结】(学生总结，老师点评)商的平方根是二次根式除法法则的逆用，注意被开方数必须是非负数. 跟踪训练 2.化简: （1）；（2）；（3）. 解：（1）； （2）. （3）. 【例3】 比较2和3的大小. 【解】2===， 3===. ∵ 12＜18，∴ ∴ . 你还有其他的证明方法吗？ 方法1：=∴ . 方法2： < 1，∴ . 【教师活动】(引发学生思考)比较两个有理数的大小方法有哪些？我们是不是可以类比有理数的大小比较来比较二次根式的大小. 【学生活动】学生根据自己想到的方法对二次根式进行比较，小组内进行交流，小组间进行交流，总结二次根式的大小比较，进行总结. 【归纳】比较两个二次根式大小的方法：可转化为比较两个被开方数的大小，即将根号外的正数平方后移到根号内，计算出被开方数后，再比较被开方数的大小，被开方数大的，其算术平方根也大.也可以采用作差法、作商法、平方法等. 跟踪训练 3.比较大小： （1）2与3； （2）-2与-3. 解：（1）∵ 2==，3==， 且20＜27，∴ ＜，即2＜3. （2）∵ -2=-=， -3=-=， 且52＜54，∴ ＜， ∴ ＞，即＞. 课堂练习 1.化简的结果是（ ） A.9 B.3 C. D. 2.下列各式的计算中，结果为 的是（ ） A. B. C. D. 3.若使式子成立，则实数k取值范围是（ ） A.k≥1 B.k≥2 C.1＜k≤2 D.1≤k≤2 4.下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5.把下列根式化成最简二次根式： （1）；（2）；（3）. 6.化简： (1) ； (2)； (3)； (4). 7.计算：×÷. 参考答案 1.B 2.C 3.B 4.C 5.解：（1）＝；（2）＝3；（3）＝2. 6.解：(1)＝=4； (2)＝ ； (3)＝=+1； (4) ＝11-2. 7.解：×÷ ＝× ＝＝＝. 课堂小结 (学生总结，老师点评) 布置作业 教材第9页练习第1，2题. 板书设计 第2课时 二次根式的除法与商的算术平方根 一、二次根式的除法法则 ,a≥0,b＞0. 两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商的算术平方根. 二、商的算术平方根 商的算术平方根，等于两个算术平方根的商. 三、最简二次根式 （1）二次根式被开方数不含分母； （2）被开方数中所有因数（或因式）的幂的指数都小于2. 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.