沪科版八年级数学下册教案：第17章一元二次方程17.2一元二次方程的解法（第4课时）
文档属性
| 名称 | 沪科版八年级数学下册教案：第17章一元二次方程17.2一元二次方程的解法（第4课时） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 143.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-06-12 09:30:49 | ||
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文档简介
第17章 一元二次方程
17.2 一元二次方程的解法
第4课时 因式分解法
教学目标 1.掌握用因式分解法解一元二次方程. 2.能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法. 3.通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法—因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题. 教学重难点 重点：会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程. 难点：会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程. 教学过程 导入新课 1.什么是因式分解？ 2.因式分解有哪些方法？ 3.说出方程的解. 【师生活动】学生独立思考，并进行口答.教师点拨总结. 【解】1.把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式分解. 2.提公因式法、公式法（完全平方公式、平方差公式）、十字相乘法. 3. 探究新知 因式分解法解一元二次方程. 小亮是这样解的： 把方程两边同除以，得 所以. 怎么少了一个根？小亮的解法对吗？为什么？不对的话怎样解？ 【师生活动】学生先独立思考，尝试解决，小组内进行交流，学生存在困难时，教师可提出问题. 【教师追问1】等式的基本性质2怎么规定的？ 【师生活动】学生根据教师提出的问题进一步思考，并回答，小亮把方程两边同除以，而有可能等于零，所以小亮的解法不对. 【教师追问2】能不能用我们学过的方法解这个一元二次方程？ 【师生活动】学生独立完成，并在练习本书写解答过程，学生代表口答，教师进行评价，师生共同归纳总结. 【归纳总结】不能随意在方程的两边同时除以含未知数的整式，因为含未知数的整式有可能为0. 【教师追问3】除了用公式法、配方法，有没有更为简单的方法？ 【教师追问4】我们学习因式分解的方法有哪几种？ 【师生活动】学生根据教师引导，先尝试解决，小组合作探究,不难看出等号的左边可通过提公因式法进行因式分解，即,所以，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，通过解一元一次方程得到一元二次方程的根.这种解方程的方法叫因式分解法.教师板书. 【归纳总结】通过因式分解，将一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法. 【教师追问5】根据例题总结归纳利用因式分解法解方程的步骤. 【师生活动】学生小组内相互交流总结，请一位学生发言，教师进一步概括归纳，方便记忆，把步骤口诀化. 【归纳总结】 因式分解法的基本步骤: 1.移项：将方程的右边化为0(右化零). 2.化积：将方程的左边因式分解为两个一次式的乘积(左分解). 3.转化：方程转化为两个一元一次方程(两因式). 4.求解：解两个一元一次方程，写出方程两个解(各求解). 新知应用 【例1】 用因式分解法解下列方程： 【解】 化为一般式为x2－2x+1＝0. 因式分解，得(x－1)(x－1)＝0.从而x-1＝0，所以x1＝x2＝1. 因式分解，得( 2x +11)( 2x-11)＝0. 有 2x + 11＝0或2x-11＝0， 把方程的左边进行因式分解，得（x- 2）（5- x）＝0， 从而x-2＝0，或5-x＝0，所以 【师生活动】学生先独立思考，请三位同学进行板演，学生之间相互评价，教师点拨，根据例题结合因式分解的方法，总结归纳常见的用因式分解法解一元二次方程几种表现形式.同时让学生意识到并不是所有的方程都能用因式分解法，只是对于具备某些特点的方程适用，如下： 【归纳总结】几种常见的用因式分解法求解的方程： （1）形如的一元二次方程，将左边运用提公因式法因式分解为，则或，即. （2）形如的一元二次方程，将左边用平方差公式因式分解为,则或，即. （3）形如 的一元二次方程，将左边用完全平方公式因式分解为①，②，则①，即. ②,即. （4）形如 的一元二次方程，将其左边因式分解， 则方程化为，所以或，即. 【例2】 用适当的方法解下列方程： （2）（3）； . 【师生活动】学生独立思考，尝试在练习本上写出解答过程.教师巡视指导，学生如果有困难，教师通过问题进行引导. 【教师追问1】我们一共学了几种解一元二次方程的方法？ 【教师追问2】如何选择合适简单的方法解方程？ 【师生活动】学生根据教师的提示，进一步思考，小组内进行交流，学生代表发言，通过分析不难发现，直接开平方法是具备或 形式的才能用，因式分解法需要具备上述几种情况才能用，配方法和公式法对于任何一个一元二次方程都适用，具体用哪种方法简便需根据方程的特点选择. 【解】（1） 分析：出现了（x-1）2，并且一次项为0，考虑用直接开平方法. 整理，得（x-1）2＝ 9.开平方，得x-1＝±3， 即x-1＝3 或x-1＝-3，∴ x1＝4，x2＝-2. （2） 分析：出现了x2 +4x，接近完全平方式的结构特点，考虑用配方法. 原方程变形为x2+4x＝1. 配方，得x2+4x+ 22＝1+22，即（x+2）2＝5. 可得x+2＝±，∴ x1＝-2+，x2＝-2- . （3） 分析：移项易发现符合平方差公式，考虑用因式分解法. 整理，得［3（x+1）］2-（2x-5）2 ＝ 0. 因式分解，得［3（x+1）+（2x-5）］［3（x+1）-（2x-5）］＝ 0. 可得3（x+1）+（2x-5）＝0或3（x+1）-（2x-5）＝ 0， 即5x-2 ＝ 0 或x+8 ＝0，∴ x1 ＝ ，x2 ＝-8. （4） 分析：方程的结构没有明显特殊性，考虑公式法. ∵ a ＝ 9，b ＝ -12，c ＝-1， ∴ Δ ＝ b 2-4 a c ＝（-12）2-4×9×（-1）＝144+36＝180>0， ∴ 即 【归纳总结】 解法选择基本思路 1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（）， 应选用直接开平方法； 2.若常数项为0（），应选用因式分解法； 3.若一次项系数和常数项都不为0 (），先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法； 4.当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单. 课堂练习 1.下列一元二次方程最适合用因式分解法来解的是( ) A. B. C. D. 2.一元二次方程的根是( ) A.1 B.3 C.1和3 D.1和2 3.已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程的根，则该三角形的周长可以是( ) A.5 B.7 C.5或7 D.10 4.用因式分解法解下列方程： (1)；(2)；(3). 5.已知三角形的两边长分别为3和7，第三边长是方程的一个根，求这个三角形的周长. 参考答案 1.B 2.C 3.B 4.解：(1) ， (2)， ， ， ， ， （3）， ， ， 5.解：解方程， 得，∴ x＝10不合题意，舍去.∴ x＝7. ∴ 这个三角形的周长为3＋7＋7＝17. 课堂小结 布置作业 完成教材30页练习 板书设计 第4课时 因式分解法 1. 通过因式分解，将一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法. 2.步骤：右化零→左分解→两因式→各求解. 3.几种常见的用因式分解法求解的方程.
17.2 一元二次方程的解法
第4课时 因式分解法
教学目标 1.掌握用因式分解法解一元二次方程. 2.能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法. 3.通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法—因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题. 教学重难点 重点：会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程. 难点：会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程. 教学过程 导入新课 1.什么是因式分解？ 2.因式分解有哪些方法？ 3.说出方程的解. 【师生活动】学生独立思考，并进行口答.教师点拨总结. 【解】1.把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式分解. 2.提公因式法、公式法（完全平方公式、平方差公式）、十字相乘法. 3. 探究新知 因式分解法解一元二次方程. 小亮是这样解的： 把方程两边同除以，得 所以. 怎么少了一个根？小亮的解法对吗？为什么？不对的话怎样解？ 【师生活动】学生先独立思考，尝试解决，小组内进行交流，学生存在困难时，教师可提出问题. 【教师追问1】等式的基本性质2怎么规定的？ 【师生活动】学生根据教师提出的问题进一步思考，并回答，小亮把方程两边同除以，而有可能等于零，所以小亮的解法不对. 【教师追问2】能不能用我们学过的方法解这个一元二次方程？ 【师生活动】学生独立完成，并在练习本书写解答过程，学生代表口答，教师进行评价，师生共同归纳总结. 【归纳总结】不能随意在方程的两边同时除以含未知数的整式，因为含未知数的整式有可能为0. 【教师追问3】除了用公式法、配方法，有没有更为简单的方法？ 【教师追问4】我们学习因式分解的方法有哪几种？ 【师生活动】学生根据教师引导，先尝试解决，小组合作探究,不难看出等号的左边可通过提公因式法进行因式分解，即,所以，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，通过解一元一次方程得到一元二次方程的根.这种解方程的方法叫因式分解法.教师板书. 【归纳总结】通过因式分解，将一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法. 【教师追问5】根据例题总结归纳利用因式分解法解方程的步骤. 【师生活动】学生小组内相互交流总结，请一位学生发言，教师进一步概括归纳，方便记忆，把步骤口诀化. 【归纳总结】 因式分解法的基本步骤: 1.移项：将方程的右边化为0(右化零). 2.化积：将方程的左边因式分解为两个一次式的乘积(左分解). 3.转化：方程转化为两个一元一次方程(两因式). 4.求解：解两个一元一次方程，写出方程两个解(各求解). 新知应用 【例1】 用因式分解法解下列方程： 【解】 化为一般式为x2－2x+1＝0. 因式分解，得(x－1)(x－1)＝0.从而x-1＝0，所以x1＝x2＝1. 因式分解，得( 2x +11)( 2x-11)＝0. 有 2x + 11＝0或2x-11＝0， 把方程的左边进行因式分解，得（x- 2）（5- x）＝0， 从而x-2＝0，或5-x＝0，所以 【师生活动】学生先独立思考，请三位同学进行板演，学生之间相互评价，教师点拨，根据例题结合因式分解的方法，总结归纳常见的用因式分解法解一元二次方程几种表现形式.同时让学生意识到并不是所有的方程都能用因式分解法，只是对于具备某些特点的方程适用，如下： 【归纳总结】几种常见的用因式分解法求解的方程： （1）形如的一元二次方程，将左边运用提公因式法因式分解为，则或，即. （2）形如的一元二次方程，将左边用平方差公式因式分解为,则或，即. （3）形如 的一元二次方程，将左边用完全平方公式因式分解为①，②，则①，即. ②,即. （4）形如 的一元二次方程，将其左边因式分解， 则方程化为，所以或，即. 【例2】 用适当的方法解下列方程： （2）（3）； . 【师生活动】学生独立思考，尝试在练习本上写出解答过程.教师巡视指导，学生如果有困难，教师通过问题进行引导. 【教师追问1】我们一共学了几种解一元二次方程的方法？ 【教师追问2】如何选择合适简单的方法解方程？ 【师生活动】学生根据教师的提示，进一步思考，小组内进行交流，学生代表发言，通过分析不难发现，直接开平方法是具备或 形式的才能用，因式分解法需要具备上述几种情况才能用，配方法和公式法对于任何一个一元二次方程都适用，具体用哪种方法简便需根据方程的特点选择. 【解】（1） 分析：出现了（x-1）2，并且一次项为0，考虑用直接开平方法. 整理，得（x-1）2＝ 9.开平方，得x-1＝±3， 即x-1＝3 或x-1＝-3，∴ x1＝4，x2＝-2. （2） 分析：出现了x2 +4x，接近完全平方式的结构特点，考虑用配方法. 原方程变形为x2+4x＝1. 配方，得x2+4x+ 22＝1+22，即（x+2）2＝5. 可得x+2＝±，∴ x1＝-2+，x2＝-2- . （3） 分析：移项易发现符合平方差公式，考虑用因式分解法. 整理，得［3（x+1）］2-（2x-5）2 ＝ 0. 因式分解，得［3（x+1）+（2x-5）］［3（x+1）-（2x-5）］＝ 0. 可得3（x+1）+（2x-5）＝0或3（x+1）-（2x-5）＝ 0， 即5x-2 ＝ 0 或x+8 ＝0，∴ x1 ＝ ，x2 ＝-8. （4） 分析：方程的结构没有明显特殊性，考虑公式法. ∵ a ＝ 9，b ＝ -12，c ＝-1， ∴ Δ ＝ b 2-4 a c ＝（-12）2-4×9×（-1）＝144+36＝180>0， ∴ 即 【归纳总结】 解法选择基本思路 1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（）， 应选用直接开平方法； 2.若常数项为0（），应选用因式分解法； 3.若一次项系数和常数项都不为0 (），先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法； 4.当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单. 课堂练习 1.下列一元二次方程最适合用因式分解法来解的是( ) A. B. C. D. 2.一元二次方程的根是( ) A.1 B.3 C.1和3 D.1和2 3.已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程的根，则该三角形的周长可以是( ) A.5 B.7 C.5或7 D.10 4.用因式分解法解下列方程： (1)；(2)；(3). 5.已知三角形的两边长分别为3和7，第三边长是方程的一个根，求这个三角形的周长. 参考答案 1.B 2.C 3.B 4.解：(1) ， (2)， ， ， ， ， （3）， ， ， 5.解：解方程， 得，∴ x＝10不合题意，舍去.∴ x＝7. ∴ 这个三角形的周长为3＋7＋7＝17. 课堂小结 布置作业 完成教材30页练习 板书设计 第4课时 因式分解法 1. 通过因式分解，将一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法. 2.步骤：右化零→左分解→两因式→各求解. 3.几种常见的用因式分解法求解的方程.