选择性必修第二册4.1数列的概念 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第二册 4.1数列的概念 同步练习
一、单选题
1．已知数列满足：，则（ ）
A． B． C．1 D．2
2．已知数列的前项和，且，，则数列的最小项为（ ）
A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项
3．已知数列的通项公式为，则数列为（ ）
A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．无法确定数列的增减性
4．设无穷等比数列{an}的前n项和为Sn若－a1＜a2＜a1，则（ ）
A．{Sn}为递减数列 B．{Sn}为递增数列
C．数列{Sn}有最大项 D．数列{Sn}有最小项
5．已知数列的前项和满足，记数列的前项和为，．则使得成立的的最大值为（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
6．设数列满足，，记，则使成立的最小正整数是（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
7．数列0，，，，…的一个通项公式为（ ）
A．an＝ (n∈N*) B．an＝ (n∈N*)
C．an＝ (n∈N*) D．an＝ (n∈N*)
8．共有10项的数列的通项，则该数列中最大项 最小项的情况是
A．最大项为 最小项为 B．最大项为 最小项为
C．最大项为 最小项为 D．最大项为 最小项为
9．已知数列的前项和为，且，若，则数列的最大项为（ ）
A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项
10．已知数列的通项为，则满足的n的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
11．中国古代数学名著《周髀算经》记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”.现有20位老人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中最年长者的年龄大于90且不大于100，其余19人的年龄依次相差一岁，则这20位老人的年龄极差为（ ）
A．28 B．29 C．30 D．32
12．设，若数列是无穷数列，且满足对任意实数不等式恒成立，则下列选项正确的是（ ）
A．存在数列为单调递增的等差数列 B．存在数列为单调递增的等比数列
C．恒成立 D．
二、填空题
13．已知数列的前项的和，则___________.
14．已知数列满足，，则__________.
15．已知数列的通项公式为，前n项和为，则当取得最小值时n的值为_______．
16．已知等比数列的前n项和为，，，且，则满足不等式成立的最小正整数n为________.
17．已知数列的前项和，那么它的通项公式是___________.
三、解答题
18．已知数列中，，且当，时满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，若对任意的，数列是单调递减数列，求实数的取值范围.
19．已知数列满足，，设．
（1）求；
（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由；
（3）求的通项公式．
20．数列中，，.
（1）求，的值；
（2）已知数列的通项公式是，，中的一个，设数列的前项和为，的前项和为，若，求的取值范围．
21．已知数列的前项和为，，数列满足，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设数列的前项和为，若不等式恒成立，求实数的取值范围．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
将代入递推式求出，再将代入递推式求出，以此类推求出
【详解】
将代入递推式得：，将代入递推式得：，将代入递推式得：，开始循环，所以
故选：D
2．A
由与的关系化简即可求出及，可得，分析单调性即可求解.
【详解】
∵,
∴,则,即,
∴.
易知,
∵,
当时, ,
∴当时, ,
当时,,
又,
∴当时, 有最小值.
故选：A
本题主要考查了数列与的关系，数列的单调性，属于中档题.
3．B
根据题意，化简，得到，即可求解.
【详解】
由题意，数列的通项公式为，
可得（且），
所以，即数列为递减数列.
故选：B.
4．D
根据已知求得的范围，然后根据的正负分类讨论确定的单调性．
【详解】
因为，所以，，即，
若，，，是递增数列，排除AC，
若，则，，易知，，是摆动数列，排除B，
当时，是递增数列，是最小项．
当时，，，
所以，所以中是最小项．D正确．
故选：D．
关键点点睛：本题考查数列的单调性，解题关键是通过与的关系进行判断，难点是摆动数列的最小项问题，需要利用进行证明．
5．C
根据求通项公式，注意讨论、并判断是否可合并，再应用裂项法求，最后根据不等式求的最大值即可.
【详解】
当时，；当时，；而也符合，
∴，.又，
∴，要使，
即，得且，则的最大值为19.
故选：C.
6．D
由条件分析数列的单调性，由此确定满足的最小正整数.
【详解】
∵，
∴，又，
∴ 数列为递增数列，∴
∵
∴，
∴
∴，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴
当时，，
又
∴当时，，
当时，
∴ 使成立的最小正整数是2023.
故选：D.
本题主要考察累加法求数列的通项，一般的，若，则，即.
7．C
根据所给的四项可知分子是从0开始的偶数，分母比分大1，从而可求得通项
【详解】
解：由0，，，，…可知各项的分子是从0开始的偶数，分母比分大1，
所以它的一个通项公式可以为，
故选：C
8．D
把化为，再根据单调性可得该数列的最大项和最小项.
【详解】
，
因为，故
当时，
当时，，
故即且对任意的恒成立.
当时，，
故即且对任意的恒成立.
所以数列中的最小项为，最大项为.
故选：D.
本题考查数列的最大项和最小项，注意根据数列的单调性来讨论，本题属于中档题.
9．D
由先求出，从而得出，由讨论出其单调性，从而得出答案.
【详解】
当时，；
由，当时，，
两式相减，可得，
解得，当时，也符合该式，故．
所以
由，解得；又，所以，所以，当时，，故，因此最大项为，
故选：D．
10．C
根据题意列出不等式，然后分类讨论求解
【详解】
因为数列的通项为，满足，
所以，即，
当时，，解得，
当时，解得，因为，所以，
当时，则，解得，
综上，满足的n的值为5，
故选：C
11．B
可设年纪最大年龄为，年纪最小年龄为,根据其余19人的年龄依次相差一岁，得到，然后由最年长者的年龄大于90且不大于100求解.
【详解】
由题意可设年纪最大年龄为，年纪最小年龄为，
则有，
所以 ，
因为，
解得，，
所以，，
所以极差为29，
故选：B.
12．D
求出，根据数列的性质可判断A、B，举例可判断C，利用数学归纳法判断D.
【详解】
因为，，
当时，，解得。
当时，因为，所以，解得。
因为无穷数列，对任意实数不等式恒成立，
所以。
对选项A，若为单调递增的等差数列，设，
则，故A错误；
对选项B，若为单调递增的等比数列，设，
则，故B错误；
对选项C，因为，设，取，则，，显然不成立；故C错误；
对于选项D：当时，由，显然恒成立，
假设当时，成立，则当时，故恒成立，故D正确.
故选：D
本题主要考查了数列的性质以及数学归纳法证明数列问题，综合性比较强，属于难题.
13．
利用当时，，验证首项，即可求通项.
【详解】
当时，
当时，不符合上式，
故
故答案为：
14．
结合累加法及裂项相消法可得，根据已知条件即可求出通项公式.
【详解】
解：因为，所以，
则当时， ，将个式子相加可得
，因为，则，
当时，符合题意，所以.
故答案为: .
本题考查了数列通项公式的求解，考查了累加法，考查了裂项相消法，属于中档题.
15．5
解不等式得到项的正负，即可得答案；
【详解】
当或，
当取得最小值时，即取得最小值，
n的值为.
故答案为：5.
16．
由，，且，得，求出公比，进而求出通项公式和前n项和，然后解不等式，即可得结论
【详解】
设数列的公比为q，由，，
得，所以或，
又因为，所以，
从而，
所以.
令，
又因为，所以.
故答案为:6
本题考查等比数列通项公式和前n项和基本量的计算，考查解指数不等式，属于中档题.
17．
利用公式求解即可
【详解】
解：当时，，
当时，，
且当时，，
据此可得，数列的通项公式为：.
故答案为：.
18．（1）；（2）.
（1）已知式变形为，得数列当时为常数列，从而可得数列通项公式；
（2）求出，利用恒成立，转化为求函数的最大值，从而得的范围．
【详解】
（1）由已知得，
∴数列当时为常数列，且各项为
∴时，又∵
∴.
（2）由（1）知，，
若对意的，数列是单调递减数列，
则对任意的恒成立，
即，
又，
因为函数在区间上单调递减，在上单调递增，
所以由对勾函数的性质可知，
当或时，取得最小值6，即取得最大值，
故实数的取值范围为.
本题考查由递推关系求数列的通项公式，考查数列的单调性，求通项公式的解题关键是构造出新数列，新数列是等差数列或等比数列或常数数列，从而易得通项公式，单调性问题利用单调性的定义转化为不等式恒成立，从而可转化为求函数的最值．
19．（1），，；（2）是首项为，公比为的等比数列．理由见解析；（3）.
（1）根据题中条件所给的数列的递推公式，将其化为，分别令和，代入上式求得和，再利用，从而求得，，；
（2）利用条件可以得到，从而 可以得出，这样就可以得到数列是首项为，公比为的等比数列；
（3）借助等比数列的通项公式求得，从而求得.
【详解】
（1）由条件可得．
将代入得，，而，所以，．
将代入得，，所以，．
从而，，；
（2）是首项为，公比为的等比数列．
由条件可得，即，又，
所以是首项为，公比为的等比数列；
（3）由（2）可得，所以．
该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有根据数列的递推公式确定数列的项，根据不同数列的项之间的关系，确定新数列的项，利用递推关系整理得到相邻两项之间的关系确定数列是等比数列，根据等比数列通项公式求得数列的通项公式，借助于的通项公式求得数列的通项公式，从而求得最后的结果.
20．（1），（2），且是正整数
（1）根据已知条件，分别令和，求得的值.（2）根据判断出数列的通项公式为，利用裂项求和法求得的值，利用累加法求得的值，根据列不等式，解不等式求得的取值范围.
【详解】
（1）∵，
∴
∴
（2）由数列的通项公式是，，中的一个，和得数列的通项公式是
由可得
∴
∴
∵，
∴
即
由，得，解得或
∵是正整数，
∴所求的取值范围为，且是正整数
本小题主要考查递推数列求通项公式，考查裂项求和法，考查累加法，属于中档题.
21．(1)；
(2)﹒
(1)
∵
∴当时，，
当时，由，
得，即，
数列是公差为2的等差数列，
由条件得，即数列是公比为2的等比数列，
；
(2)
∵，
则，
，
，
，
恒成立，
则恒成立，
令，则，
，
，
，
故实数的取值范围是﹒
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