选择性必修第二册4.2等差数列 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第二册 4.2 等差数列 同步练习
一、单选题
1．设等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．28 B．32 C．16 D．24
2．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到:冬至 小寒 大寒 立春 雨水 惊蛰 春分 清明 谷雨 立夏 小满 芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列.若冬至 大寒 雨水的日影子长的和是尺，芒种的日影子长为尺，则冬至的日影子长为（ ）
A．尺 B．尺 C．尺 D．尺
3．已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和的等差中项是（ ）
A．8 B．6 C． D．3
4．已知均为等差数列，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知数列的各项均为正数，且，则数列的前n项和（ ）
A． B．
C． D．
6．已知首项为，公差为d的等差数列的前n项和为，且满足，则d的取值范围是（ ）
A．或 B．
C． D．
7．在等差数列中，，，则（ ）
A．165 B．160 C．155 D．145
8．已知等差数列，，，是的前n项和，，则的前50项和为（ ）
A．1940 B．1950 C．1960 D．1970
9．在数列中，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
10．在等差数列中，已知，则（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
11．已知等差数列的前n项和为，若，，则取最大值时n的值为（ ）
A．8 B．5 C．6 D．7
12．在数列中，，，若，则（ ）
A．671 B．672 C．673 D．674
13．已知{an}是公差为d（d＞0）的等差数列，若存在实数x1，x2，x3， ，x9满足方程组，则d的最小值为（　　）
A． B． C． D．
14．已知是公差为的等差数列，前项和是，若，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
15．已知是数列的前n项和，若，数列的首项，则（ ）
A． B． C．2021 D．
二、填空题
16．已知数列中，，，则______．
17．已知数列{an}对任意m，n∈N*都满足am+n=am+an，且a1=1，若命题“ n∈N*，λan≤+12”为真，则实数λ的最大值为____.
18．设数列的前n项和为，若，且是等差数列．则的值为__________．
三、解答题
19．已知是等差数列的前n项和．
（1）证明是等差数列；
（2）设为数列的前n项和，若，，求．
20．已知等差数列{an}满足：a4＝7，a10＝19，其前n项和为Sn．
（1）求数列{an}的通项公式an及Sn；
（2）若bn＝，求数列{bn}的前n项和为Tn．
21．已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和.
22．已知数列满足，．
（1）求，；
（2）求数列的通项公式．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
由等差数列前n项和的性质，可得，，，成等差数列，结合题干数据，可得解
【详解】
由等差数列前n项和的性质，
可得，，，成等差数列，
∴，解得.
∴ 2，6，10，成等差数列，
可得，解得.
故选：B
2．D
根据题意转化为等差数列，求首项.
【详解】
设冬至的日影长为，雨水的日影长为，根据等差数列的性质可知，芒种的日影长为，
，解得：，，
所以冬至的日影长为尺.
故选：D
3．D
利用等差中项的定义即求.
【详解】
∵，，
∴，
∴，
∴和的等差中项是．
故选：D.
4．C
根据两个等差数列相加后仍为等差数列，然后由等差数列的通项公式求解．
【详解】
数列是以为首项，为公差的等差数列
故选：C．
5．B
根据题意求出的通项公式，得到，，利用求和公式得解.
【详解】
，①
∴当时，，
当时，，②
①﹣②得，，经检验，当时也适用，
，即．
，，又，
是首项为4，公差为4的等差数列，它的前n项和为.
故选B．
6．A
根据等差数列的前n项和公式将展开，利用判别式即可求得答案.
【详解】
由，得，
整理得，
所以，
解得或，
故选:A．
7．D
利用等差数列通项公式列出方程，求出，，再由等差数列前项和公式能求出结果．
【详解】
解：在等差数列中，
，，
，
解得，，
．
故选：．
8．B
求出等差数列的公差以及等差数列的通项公式，由等差数列的求和公式计算
即可求解.
【详解】
设等差数列的公差为，则，
所以，
因为，
所以
，
故选：B.
9．B
由递推公式取倒数得到是等差数列，先求，再求.
【详解】
∵，∴，即
∴是以公差的等差数列.
∴，∴
故选:B
求数列通项公式的方法：
（1）公式法；（2）累加（乘）法；（3）由递推公式求通项公式；（4）由求.
10．D
根据等差中项可求得结果.
【详解】
由得，所以，
所以.
故选：D
11．D
由，，可得，再结合等差中项分析得，进而得出，由此得解.
【详解】
设等差数列的公差为，
∵，∴，∴.
∵，，∴，
∴当取最大值时.
故选：D.
12．D
分析得到数列是以1为首项，3为公差的等差数列，利用等差数列通项即得解.
【详解】
∵，，
∴
∴数列是以1为首项，3为公差的等差数列，
∴，解得.
故选：D.
13．C
把方程组中的都用和表示，求得的表达式，根据方程组从整体分析可知：当，，时，取最小值．
【详解】
解：把方程组中的都用和表示得：
，
把代入得：
，根据分母结构特点及可知：当，，时，
取最小值为．
故选：C．
关键点点睛：本题解题的关键是根据方程组从整体分析得：当，，时，取最小值．
14．D
利用等差数列的通项公式求和公式可判断出数列的单调性，并结合等差数列的求和公式可得出结论.
【详解】
，，，，.
，.
故选：D.
本题考查利用等差数列的前项和判断数列的单调性以及不等式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
15．A
通过对二项展开式赋值求解出的值，然后通过所给的条件变形得到为等差数列，从而求解出的通项公式，即可求解出的值.
【详解】
令，得.
又因为，所以.
由，得，所以，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以，
所以，所以.
故选：A.
本题考查二项展开式与数列的综合运用，对学生的分析与计算能力要求较高，难度较难.解答问题时注意的运用.
16．
由已知递推关系变形凑出一个等差数列的形式，然后利用等差数列通项公式求解．
【详解】
∵，∴，
∴数列是等差数列，公差为，又，
∴，∴．
故答案为：．
本题考查由数列的递推公式求通项公式，考查等差数列的通项公式．解题关键是构造一个新数列是等差数列．
17．7
先求出的通项公式，然后参变分离转化为求最值
【详解】
令m=1，则an+1=an+a1，an+1－an=a1=1，所以数列{an}为等差数列，首项为1，公差为1，所以an=n，
所以λan ≤+12 λn≤n2+12 λ≤n+，
又函数在上单调递减，在上单调递增，
当或时，
所以
故答案为：7
18．52
根据给定条件求出，再求出数列的通项即可计算作答.
【详解】
依题意，因是等差数列，则其公差，
于是得，，
当时，，而满足上式，
因此，，
所以.
故答案为：52
19．（1）证明见解析；（2）
（1）写出，求出，化简，最终得出结论；
（2）求出，，求出公差，进一步求出，根据求和公式得出.
【详解】
（1）∵
∴
∴
∴是等差数列；
（2），
公差
又∵
∴
∴
∴.
20．（1）,；（2）．
（1）利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．
（2）利用“裂项求和”方法即可得出．
【详解】
（1）设等差数列的首项为，公差为，则，
解得，，
∴.
（2），
∴数列的前项和为
.
21．（1）；（2）.
(1)方法一：由题意结合递推关系式确定数列的特征，然后求和其通项公式即可；
(2)方法二：分组求和，结合等差数列前项和公式即可求得数列的前20项和.
【详解】
解：（1）[方法一]【最优解】：
显然为偶数，则，
所以，即，且，
所以是以2为首项，3为公差的等差数列，
于是．
[方法二]：奇偶分类讨论
由题意知，所以．
由（为奇数）及（为偶数）可知，
数列从第一项起，
若为奇数，则其后一项减去该项的差为1，
若为偶数，则其后一项减去该项的差为2．
所以，则．
[方法三]：累加法
由题意知数列满足．
所以，
，
则．
所以，数列的通项公式．
（2）[方法一]：奇偶分类讨论
．
[方法二]：分组求和
由题意知数列满足，
所以．
所以数列的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；
同理，由知数列的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列．
从而数列的前20项和为：
．
【整体点评】
(1)方法一：由题意讨论的性质为最一般的思路和最优的解法；
方法二：利用递推关系式分类讨论奇偶两种情况，然后利用递推关系式确定数列的性质；
方法三：写出数列的通项公式，然后累加求数列的通项公式，是一种更加灵活的思路.
(2)方法一：由通项公式分奇偶的情况求解前项和是一种常规的方法；
方法二：分组求和是常见的数列求和的一种方法，结合等差数列前项和公式和分组的方法进行求和是一种不错的选择.
22．（1）；；（2）．
（1）根据递推关系式，将代入求出，将代入求出.
（2）将两边同时除以，构造数列为等差数列，利用等差数列的通项公式即可求解.
【详解】
（1）因为数列满足，
所以将代入得．
又，所以．
将代入得，所以．
（2）将两边同时除以
可得，
化简得．
设，则．
又，所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列．
所以，
从而．
答案第1页，共2页
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