选择性必修第二册4.3等比数列 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第二册 4.3等比数列 同步练习
一、单选题
1．设等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．1023 B．511 C． D．
2．已知数列是公比为正数的等比数列，是其前项和，，，则（ ）
A．31 B．63 C．127 D．255
3．等比数列中，，，则数列的前6项和为（ ）
A．21 B． C． D．11
4．记为数列的前项和，若，，且，则的值为（ ）
A．5050 B．2600 C．2550 D．2450
5．等比数列中，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
6．记为等比数列的前n项和.若，，则（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
7．已知各项均为正数且单调递减的等比数列满足、、成等差数列.其前项和为，且，则（ ）
A． B． C． D．
8．等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．2 B．-2 C．1 D．-1
9．已知数列，，…，…是首项为1，公比为2的等比数列，则（ ）
A． B． C． D．
10．著名物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割的”.音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的.我国明代的数学家、音乐理论家朱载填创立了十二平均律是第一个利用数学使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如下表所示，其中表示这些半音的频率，它们满足.若某一半音与的频率之比为，则该半音为（ ）
频率
半音 C D E F G A B C（八度）
A． B．G C． D．A
11．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间段，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数的最小值为(参考数据：，)（ ）
A． B． C． D．
12．设等比数列的公比为，前项和为.若，，且，，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
13．已知正项等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值为（ ）
A．9 B． C． D．
14．已知数列的前n项和，若，恒成立，则实数的最大值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
15．已知数列的前n项和为，，对任意的都有，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．若数列满足，则称为“追梦数列”.已知数列为“追梦数列”，且，则数列的通项公式__________.
17．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，共收有246个与生产实践有关的应用题，书中有一道“两鼠穿墙题”，原文如下：“今有垣厚十八尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”，其大意为：“现在有厚18尺的墙，有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍：小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，问两只老鼠第几天相逢？”，请同学们运用所学数列知识，判断这两只老鼠在第______天相逢？（天数取整数）
18．已知等比数列的公比为q，前n项和为，若，则的最小值是______．
三、解答题
19．贺同学入读某大学金融专业，过完年刚好得到红包10000元，她决定以此作为启动资金投资股票，每月月底获得的收益是该月月初投入资金的20%，并从中拿出500元作为自己的生活费，余款作为资金全部投入下个月的炒股，如此继续.设第n个月月底的股票市值为.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)贺同学一年（共12个月）在股市约赚了多少元钱？（，）
20．已知正项等比数列的前项和为，且满足关于的不等式的解集为.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和.
21．“绿水青山就是金山银山”是时任浙江省委书记习近平同志于2005年8月15日在浙江湖州安吉考察时提出的科学论断，2017年10月18日，该理论写入中共19大报告，为响应总书记号召，我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方公里，其中是沙漠（其余为绿洲），从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的改造为绿洲，同时原有绿洲的 被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年起第n年绿洲面积为万平方公里．
（1）求第n年绿洲面积与上一年绿洲面积的关系；
（2）判断是否是等比数列，并说明理由；
（3）至少经过几年，绿洲面积可超过？
22．设数列满足，.
（1）求数列的通项公式;
（2）令，求数列的前项和.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
先根据已知求出，即得的值.
【详解】
设数列的公比为，由题意可得，所以，
由题得.
故.
故选：A.
本题主要考查等比数列的通项的基本量的计算，考查等比数列的求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
2．C
根据条件求出数列的首项和公比后再求和即可.
【详解】
由题意，设数列的公比为，则，
所以.
故选：C
3．A
根据等比数列的通项公式可求出等比数列的公比为，进而求出，再根据等比数列的前项和公式，即可求出结果.
【详解】
设等比数列的公比为，
因为，所以，即，
所以，故前6项和为.
故选：A.
4．B
讨论为奇数或偶数时，对应的数列通项，根据奇偶数项分组求和，即可求的值.
【详解】
当为奇数时，，数列是首项为1，公差为2的等差数列；
当为偶数时，，数列是首项为2，公差为0的等差数列，即常数列.
则.
故选：B.
5．B
设等比数列的公比为，计算出的值，由此可得出的值.
【详解】
设等比数列的公比为，则，即，可得，
因此，.
故选：B.
6．A
根据题目条件可得，，成等比数列，从而求出，进一步求出答案.
【详解】
∵为等比数列的前n项和，
∴，，成等比数列
∴，
∴，
∴.
故选：A.
7．C
先根据，，成等差数列以及单调递减，求出公比，再由即可求出，
再根据等比数列通项公式以及前项和公式即可求出.
【详解】
解：由，，成等差数列，
得：，
设的公比为，则，
解得：或，
又单调递减，
，
，
解得：，
数列的通项公式为：，
.
故选：C．
8．A
根据等比数列前项和公式的结构求得.
【详解】
设等比数列的公比为q，当时，，不合题意；
当时，等比数列前项和公式，
依题意.
故选：A
9．D
根据题意，求得，再利用累乘法即可求得，再结合对数运算，即可求得结果.
【详解】
由题设有，
而，
当时，也满足该式，故，
所以，
故选：D.
本题考查利用累乘法求数列的通项公式，涉及对数运算，属综合基础题.
10．B
利用对数与指数的转化，得到数列为等比数列，公比，然后求得所求半音对应的数列的项数，从而得到答案.
【详解】
依题意可知.
由于满足，则，
所以数列为等比数列，公比，对应的频率为，题目所求半音与的频率之比为，
所以所求半音对应的频率为，即对应的半音为.
故选：B.
本题考查等比数列的应用，涉及对数运算，等比数列的判定，等比数列的性质，属中档题.
11．C
根据规律可总结出第次操作去掉区间的长度和为，利用等比数列求和公式可求得去掉区间的长度总和，由此构造不等式求得结果.
【详解】
第一次操作去掉的区间长度为；
第二次操作去掉两个长度为的区间，长度和为；
第三次操作去掉四个长度为的区间，长度和为；
以此类推，第次操作去掉个长度为的区间，长度和为，
进行了第次操作后，去掉区间长度和，
由，即，，
又，的最小值为.
故选：C.
关键点点睛：本题解题关键是能够根据已知所给的规律总结出每次操作去掉的区间长度和成等比数列，并能得到等比数列通项公式.
12．B
先利用条件求出公比的值，然后利用等比数列求和公式以及可求出正整数的值.
【详解】
因为，
所以，得到，
因为，所以.
由，得，又，
所以，
因为，则，
所以，解得，
故选：B
13．B
利用等比数列的知识求出m与n的关系，再利用基本不等式求解出最值.
【详解】
因为，所以，解得或，
，
因为，所以，
因此依次代入得当时，取最小值.
故选：B.
在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.本题由于自变量范围为正整数，所以采取逐一代入法较为简单.
14．C
先由求出，根据得到，求出的最小值，即可得出结果.
【详解】
因为数列的前n项和，
当时，；
当时，满足上式，
所以，
又，恒成立，所以，恒成立；
令，
则对任意，显然都成立，
所以单调递增，
因此，即的最小值为，
所以，即实数的最大值是.
故选：C
思路点睛：
根据数列不等式恒成立求参数时，一般需要分离参数，构造新数列，根据新数列的通项公式，判断其单调性，求出最值，即可求出参数范围（或最值）.
15．C
由，可得，数列为常数列，令，可得，进而可得，利用裂项求和即可求解.
【详解】
数列满足，对任意的都有，
则有，可得数列为常数列，
有，得，得，
又由，
所以．
故选：C
方法点睛：数列求和的方法
（1）倒序相加法：如果一个数列的前项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可以用倒序相加法
（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可以用错位相减法来求；
（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；
（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；
（5）并项求和法：一个数列的前项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如类型，可采用两项合并求解.
16．##
根据题意，由“追梦数列”的定义可得“追梦数列”是公比为的等比数列，进而可得若数列为“追梦数列”，则为公比为3的等比数列，进而由等比数列的通项公式可得答案．
【详解】
根据题意，“追梦数列”满足，即，则数列是公比为的等比数列.
若数列为“追梦数列”，则.
故答案为：.
17．5
设需要天时间才能打通相逢，则有，即，解不等式即可得出.
【详解】
设需要天时间才能打通相逢，则有，即，
令，则，解得：（舍去）或，
的最小整数为5.
故答案为：5
本题考查了等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
18．
化简，利用基本不等式求得表示的最小值即可.
【详解】
由题知，
，
又，则，当且仅当时，等号成立.
即的最小值是
故答案为：
19．(1)证明见解析
(2)（元）
（1）根据已知条件求得与的递推关系式，利用凑配法证得数列为等比数列.
（2）先求得，由求得获利金额.
(1)
依题意，第1个月底股票市值为，
，
则，
又，
数列是首项为9000，公比为的等比数列.
(2)
由（1）知
，即.
即到第12个月底贺同学的股票市值为69370元.
故贺同学一年（共12个月）在股市约赚了（元）.
20．（1）；（2）.
（1）设等比数列的公比为，由不等式的解集为得到和的值，进而求得数列的通项公式；
（2）由（1）中的通项公式得到的通项公式，由的通项公式的特点进行等差数列和等比数列分组求和，进而得到的前项和.
【详解】
（1）设等比数列的公比为.
因为关于的不等式的解集为，所以，又，得，
所以，解得.
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）可得，.
因为，所以，
所以数列的前项和
.
所以.
本题主要考查数列通项公式与数列求和，考查运算求解能力，熟练掌握等差数列和等比数列的求和方法是快速解题的关键，属于中档题.
21．(1) (2) 是等比数列，理由见解析. (3) 至少经过6年，绿洲面积可超过60%．
（1）由题意得化简可得答案；
（2）由（1）得，整理得，从而得是等比数列.
（3）由（2）得，整理并在两边取常用对数可求得从而得出结论．
【详解】
（1）由题意得，
所以；
（2）由（1）得，∴，
所以是等比数列.
（3）由（2）有，又，所以，
∴，即；
，即，两边取常用对数得：
，所以，
∴．
∴至少经过6年，绿洲面积可超过60%．
思路点睛：解决数列应用题时，常用的解题思路是审题——建模——研究模型——返回实际．研究模型时需注意：(1) 量(多个量) ；(2) 量间的关系(规律)：等差、等比规律；递推关系；其它规律——由特殊到一般——归纳总结；(3) 与通项公式有关或与前n项和有关等．
22．（1），；（2），.
（1）利用累加法求通项公式；
（2）利用错位相减法以及等比数列求和公式即可得出.
【详解】
（1）由已知，当时，
，
当时，符合上式，
，.
（2）由（1）知，
①
②
①-②得
所以，，.
数列求和的方法技巧
(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．
(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．
(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．
答案第1页，共2页
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