选择性必修第二册5.1导数的概念及其意义 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第二册 5.1导数的概念及其意义
一、单选题
1．曲线f(x)=在点(-1，-1)处的切线方程为（ ）
A．y=2x+1
B．y=2x-1
C．y=-2x-3
D．y=-2x-2
2．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数的图象上一点及邻近一点，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数的导函数为，且，则（ ）
A．-1 B． C． D．3
5．函数在处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．已知物体做直线运动的方程为，则表示的意义是（ ）
A．经过4s后物体向前走了10m B．物体在前4秒内的平均速度为10m/s
C．物体在第4秒内向前走了10m D．物体在第4秒末的瞬时速度为10m/s
7．若点P在曲线上，且该曲线在点P处的切线的倾斜角为150°，则点P的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．若函数的图象经过点，则曲线在点处的切线的斜率（ ）
A．e B． C． D．
9．下列说法正确的是（ ）．
A．曲线的切线和曲线有交点，这点一定是切点
B．过曲线上一点作曲线的切线，这点一定是切点
C．若不存在，则曲线在点处无切线
D．若曲线在点处有切线，则不一定存在
10．已知函数，当自变量由1变为2时，函数的平均变化率为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
11．已知点为曲线上的一点，为曲线的割线，当时，若的极限为，则在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
12．对于以下四个函数：①；②；③；④．在区间上函数的平均变化率最大的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
二、填空题
13．曲线与直线相切，则______．
14．以初速度向上抛出一个物体，其上升的高度（单位：）与时间（单位：）的关系为（取重力加速度），则物体在时的速度为__________．
15．若点是抛物线上任意一点，则点到直线的最小距离为________.
16．当时，函数在附近的平均变化率为______．
三、解答题
17．已知函数.
（1）当时，求在点(0，)处的切线方程；
（2）当时，若的极大值点为，求证：.
18．已知函数.
（Ⅰ）求曲线的斜率为1的切线方程；
（Ⅱ）当时，求证：；
（Ⅲ）设，记在区间上的最大值为M（a），当M（a）最小时，求a的值．
19．已知函数.
(1)求导函数；
(2)当时，求函数的图像在点处的切线方程.
20．已知，直线为曲线在处的切线，直线与曲线相交于点且.
(1)求的取值范围；
(2)（i）证明：；
（ii）证明：.
21．已知函数及点，过点作直线与曲线相切.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求曲线过点的切线的斜率．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
对函数f(x)求导，再算出导函数在x=-1时的值，得切线斜率于是得解.
【详解】
，曲线f(x)=在点(-1，-1)处的切线斜率，
曲线f(x)=在点(-1，-1)处的切线方程为y+1=2(x+1)，即y=2x+1.
故选：A
2．D
求出函数的导数和在处的切线斜率，再由与直线垂直斜率乘积为可得答案.
【详解】
，
，切线的斜率为，
因为切线与直线垂直，所以，
解得.
故选：D.
3．C
由变化率可得出，代入计算即可.
【详解】
，
.
故选：C.
4．B
由题意结合导数的定义运算即可得解.
【详解】
根据导数的定义，
所以.
故选：B.
5．C
先求出导函数，代入可得切线斜率，再求出切点，进而可得切线方程.
【详解】
解：由已知，
则，
又时，，
则切线方程为.
故选：C.
本题考查利用导数求切线方程，是基础题.
6．D
根据导函数的定义判断可得选项.
【详解】
解：由导数的意义知表示物体在第4秒时的瞬时速度为10m/s．
故选：D.
7．D
根据导数的几何意义求斜率，再由倾斜角求斜率，建立方程求解即可.
【详解】
设点的横坐标为，
因为，
所以．
因为切线的倾斜角为150°，
所以切线的斜率为，即，
所以．
故选：D
8．D
先根据条件求出的值，然后由导数的几何意义可得答案.
【详解】
函数的图象经过点,所以，解得，
即函数，又，
得曲线在点处切线的斜率.
故选：D
9．D
结合导数的运算以及导数的几何意义举例子可判断A、B、C、D；进而可得正确选项.
【详解】
对于A：曲线的切线与曲线的交点不一定唯一，如曲线在处的切线为：，即，切线与另一个交点为，
故选项A说法错误；
对于B：过曲线上一点作曲线的切线，这点不一定是切点，如与相切于点，同时经过另一点，可以说过点的直线与曲线相切，但切点是不是，故选项B不正确；
对于C：若不存在，曲线在点处可以有切线，如在时，不存在，但有切线，故选项C错误；
对于D：由曲线在一点处有平行于轴的切线，且在该点处不连续，则不一定存在，如在时，有切线，但不存在，故选项D正确，
故选：D．
10．C
由平均变化率的公式求解即可
【详解】
当自变量由1变为2时，函数的平均变化率为
，
故选：C
11．B
根据导数的定义，可求得在点P处切线的斜率，代入公式，即可求得答案.
【详解】
根据导数的定义可得，即在点P处切线的斜率为-2，
所以在点处的切线方程为，整理可得.
故选：B
12．C
分析求出四个函数的平均变化率，然后比较即可.
【详解】
①，②，③，④．
故选：C．
13．1
由曲线与直线相切，得到，再根据切点得到，联立方程组，即可求解．
【详解】
由题意，函数，可得，
设切点为，则，
因为曲线与直线相切，可得，即，①
又由，即切点为，可得，②
联立①②，可得．
故答案为：1
14．
根据导数确定瞬时速度.
【详解】
由，得，
时，
故速度为，
故答案为：.
15．
易知最小值点为抛物线的一条切线的切点，且该切线平行于直线，利用导数的几何意义可求得点坐标，利用点到直线距离公式可求得结果.
【详解】
当到直线距离最小时，为抛物线的一条切线的切点，且该切线平行于直线，
，，，
所求最小距离.
故答案为：.
16．##
根据函数平均变化率的定义即可求得答案.
【详解】
由题意，．
故答案为：.
17．（1）；（2）证明见解析.
（1）求出在处的导数值，即切线斜率，求出，即可得出切线方程；
（2）求出的导数，由判别式讨论的正负以确定单调性，可得出有唯一的极大值点为，且，即，构造函数，利用导数求出单调性可得，即得证.
【详解】
解：（1）当时，，
因为，所以，
因为，
所以在点(0，)处的切线方程为.
（2）的定义域为，
，
令，，
①当，即时，，故，
所以在上单调递增.此时无极大值.
②当，即当时，的对称轴，
因为，，
所以函数在区间有两个零点，，
不妨设，其中，.
所以当时，，，所以在上单调递增；
当时，，，所以在(，)上单调递减；
当时，，，所以在上单调递增.
此时函数有唯一的极大值点为，且，
又因为，所以，
所以，
记，
，
所以单调递增，，即.
关键点睛：本题考查利用导数证明不等式，解题的关键是讨论的单调性以确定有唯一的极大值点为，且，得出，再根据单调性求出最值即可证明.
18．（Ⅰ）和.
（Ⅱ）见解析；
（Ⅲ）.
(Ⅰ)首先求解导函数，然后利用导函数求得切点的横坐标，据此求得切点坐标即可确定切线方程；
(Ⅱ)由题意分别证得和即可证得题中的结论；
(Ⅲ)由题意结合(Ⅱ)中的结论分类讨论即可求得a的值.
【详解】
（Ⅰ），令得或者.
当时，，此时切线方程为，即；
当时，，此时切线方程为，即；
综上可得所求切线方程为和.
（Ⅱ）设，，令得或者，所以当时，，为增函数；当时，，为减函数；当时，，为增函数；
而，所以，即；
同理令，可求其最小值为，所以，即，综上可得.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，
所以是中的较大者，
若，即时，；
若，即时，；
所以当最小时，，此时.
本题主要考查利用导函数研究函数的切线方程，利用导函数证明不等式的方法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
19．(1)
(2)
（1）利用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算即可求解；
（2）求出，利用点斜式写出切线方程.
(1)
由，得.
(2)
由（1）知当时，，则.
又，
所以函数的图像在点处的切线方程为，即.
20．(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
（1）先求得在处的切线方程，再令，用导数法由有零点求解；
（2）（i）令，用导数法证明即可；（ii）先证，令，用导数法证明；再根据是上的点，得到，两者结合化简即可.
(1)
解：因为，
所以，则，
所以在处的切线为
，
令，
显然，，，
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
若，当时，
所以在上递增，
所以，
所以在上无零点，舍去.
若，因为，
所以时，当时，取得最小值；
又时，，
则存在，有，
当时， ，当时，，
所以g（x）在上递增，在上递减，
所以当时，取得极大值，
又时，，
所以存在，有
故在存在零点，
所以的取值范围是.
(2)
解：（i）令，
则，，，，
令，得，
当时，，当时，，
所以当时取得最大值，
所以，则递减，
又因为，
所以当时，，当时，，
所以当时取得最大值，
所以，即；
（ii）先证，
令，
则，
令，得，
当时，，当时，，
所以当时取得最小值，
所以，则递增，
又因为，
所以当时，，当时，，
所以当时，取得最小值，
又因为，
所以，
即得证.
因为是上的点，
所以，
所以，
，
，
，
.
21．（1）；（2）或7.
（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，根据点斜式求出切线方程；
（2）利用导数的几何意义和斜率公式可解得结果.
【详解】
解：（1）因为，所以，
所以切线的斜率为，又，
所以切线方程为，即．
（2）设切点为，则，
整理得，解得或，
所以切线的斜率为或7.
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