选择性必修第二册5.2导数的运算 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第二册 5.2导数的运算
一、单选题
1．曲线y=2sinx+cosx在点(π，–1)处的切线方程为
A． B．
C． D．
2．已知是函数的导数，，则（ ）
A． B． C． D．
3．函数的导数为（ ）
A． B．
C． D．
4．下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．设曲线在点处的切线方程为，则
A．1 B．2 C．3 D．4
6．过曲线上一点且与曲线在点处的切线垂直的直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．曲线y＝xn(n∈N＋)在x＝2处的导数为12，则n等于（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
8．已知函数（是的导函数），则（ ）
A． B． C． D．
9．若，则的切线的倾斜角满足（ ）
A．一定为锐角 B．一定为钝角
C．可能为直角 D．可能为0°
10．函数的导数是（ ）
A． B． C． D．
11．若函数的导函数为，则（ ）
A．1 B． C． D．0
12．已知函数的导数为，则等于（ ）
A．0 B．1
C．2 D．4
二、填空题
13．曲线在点处的切线方程为___________.
14．写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______．
①；②当时，；③是奇函数．
15．已知函数，若曲线在处的切线与直线平行，则______.
16．已知函数，为的导函数，则的值为___________.
17．已知，，若，则________．
三、解答题
18．求下列函数的导数：
(1)；
(2).
19．已知函数．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在处的切线方程．
20．求过点且与曲线在点处的切线平行的直线方程．
21．已知函数f（x）＝（x+1）ex+（a﹣1）x，其中a∈R．
（1）当a＝1时，求f（x）的最小值；
（2）若g（x）＝f（x）﹣ex在R上单调递增，则当x＞0时，求证：
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
先判定点是否为切点，再利用导数的几何意义求解.
【详解】
当时，，即点在曲线上．则在点处的切线方程为，即．故选C．
本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取导数法，利用函数与方程思想解题．学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程．
2．B
求导取代入导函数求得，即可求解．
【详解】
因为，所以，得
则，所以
故选：B
3．D
利用复合函数的求导法则，乘法公式的求导法则及基本初等函数的导数公式对函数求导即可.
【详解】
因为，
所以.
故选：D.
4．B
根据基本初等函数的的导函数公式和导数的运算法则计算可得选项．
【详解】
选项A，，故A错；
选项B，，故B正确；
选项C，
，故C错；
选项D，，故D错.
故选：B.
5．D
利用导数的几何意义得直线的斜率，列出a的方程即可求解
【详解】
因为，且在点处的切线的斜率为3，所以，即.
故选D
本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，是基础题
6．A
求出函数得导函数，根据导数得几何意义即可求得切线得斜率，从而可求得与切线垂直得直线方程.
【详解】
解：∵，∴，
曲线在点处的切线斜率是，
∴过点且与曲线在点处的切线垂直的直线的斜率为，
∴所求直线方程为，即．
故选：A.
7．C
利用导数的运算法则求得函数的导数，再根据导数值求得．
【详解】
解：∵y′＝nxn－1，∴函数y＝xn(x∈N＋)在x＝2处的导数为n·2n－1＝12，
∴n＝3．
故选：C．
8．D
对函数进行求导，求出，再令代入解析式，即可得到答案；
【详解】
，，
，，
故选：D.
9．A
求出导函数，判断导数的正负，为此引入新函数（部分函数），由导数确定单调性极值后得正负，从而得出结论．
【详解】
，
设，则，
时，，递减，时，，递增，
而，所以时，，所以，
切线斜率均为正数，倾斜角为锐角．
故选：A．
10．C
根据导数的运算法则求解．
【详解】
．
故选：C．
11．C
根据函数的求导法则，，代入即可求得导数值.
【详解】
由题：函数的导函数为，
所以.
故选：C
此题考查求导数值，关键在于熟练掌握求导法则和常见函数的导函数，根据法则准确计算求解.
12．A
先对函数求导，然后代值计算即可
【详解】
因为，
所以.
故选：A
13．
求出函数在处的导数值，再利用导数的几何意义求解作答.
【详解】
依题意，，则，又，于是得，即，
所以所求切线方程为.
故答案为：
14．（答案不唯一，均满足）
根据幂函数的性质可得所求的.
【详解】
取，则，满足①，
，时有，满足②，
的定义域为，
又，故是奇函数，满足③.
故答案为：（答案不唯一，均满足）
15．
根据函数，求导，再根据曲线在处的切线与直线平行，由求解.
【详解】
因为函数，
所以，
又因为曲线在处的切线与直线平行，
所以，
解得，
故答案为：
本题主要考查导数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
16．
先对求导，再将代入即可求解.
【详解】
，
所以，
故答案为：
17．1
由已知结合导数的计算即可求解.
【详解】
，，求导，且，
，即，
解得：或 (舍去)．故．
故答案为：1
18．(1)
(2)
（1）先化简，再求导；
（2）先化简，再结合的导数公式即可求解，
(1)
（1）因为，
所以，所以函数的导数是；
(2)
， ，
所以函数的导数是.
19．(1)；
(2).
(1)对函数求导，利用给定条件列式计算即可得解.
(2)利用(1)的结论求出切点坐标、切线斜率，再由直线的点斜式方程即可求出切线方程..
(1)
由求导得：，
又，则，解得，
所以的解析式为.
(2)
由(1)得，，则，
在处的切线方程为，即，
所以f(x)在处的切线方程是：.
20．
先根据曲线方程求出导数，即可得点的斜率，然后利用点斜式求出切线平行的直线方程.
【详解】
解：
∵，
∴曲线在点处的切线的斜率为，
过点且与切线平行的直线方程为，即．
21．（1）；（2）证明见解析．
（1）将a＝1代入，求导，得到函数的单调性，进而求得最小值；
（2）依题意，a≥1﹣（x+1）ex恒成立．结合（1）可知，进而得证．
【详解】
解：（1）当a＝1时，f（x）＝（x+1）ex
∴f'（x）＝（x+2）ex，
∴当x＜﹣2时f'（x）＜0，f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减；
当x＞﹣2时f'（x）＞0，f（x）在（﹣2，+∞）上单调递增．
∴；
（2）证明：∵g（x）＝f（x）﹣ex＝xex+（a﹣1）x，
∴g'（x）＝（x+1）ex+a﹣1≥0恒成立，
∴a≥1﹣（x+1）ex恒成立．
则由（1）可得：．
又∵x＞0，
∴f（x）＝（x+1）ex+（a﹣1）x．
本题考查利用导数研究函数的单调性，最值，考查不等式的证明，难度不大．
答案第1页，共2页
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