选择性必修第二册5.3导数在研究函数中的应用 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第二册 5.3导数在研究函数中的应用
一、单选题
1．若，则（ ）
A． B． C． D．
2．函数的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数，若存在点，使得直线与两曲线和都相切，当实数取最小值时，（ ）
A． B． C． D．
4．已知偶函数的定义域为，导函数为，，，则不等式的解集为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
5．已知函数，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
6．若函数在区间内单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数有两个不同的极值点，，若不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．函数在上的最大值为2，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．如图是函数的导数的图象，则下面判断正确的是（ ）
A．在内是增函数 B．在内是增函数
C．在时取得极大值 D．在时取得极小值
11．若函数在点处的切线方程为，则函数的增区间为（ ）
A． B． C． D．
12．若，则的切线的倾斜角满足（ ）
A．一定为锐角 B．一定为钝角
C．可能为直角 D．可能为0°
13．已知函数的定义域为，且满足（是的导函数），则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
14．已知函数的导函数为，对任意的实数都有，，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
15．已知函数在，上单调递增，在上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
16．函数的减区间是____________.
17．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是______.
18．若x＝2是f(x)＝ax3-3x的一个极值点，则a＝________.
三、解答题
19．已知函数
（1）求的解析式及单调区间；
（2）若，求的最大值；
（3）证明：．
20．已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数在上的最小值为1，求实数的取值范围.
21．（1）若，判断函数在区间内的单调性；
（2）证明：对任意，，.
22．已知函数，从①是函数的一个极值点，②函数的图象在处的切线方程为这两个条件中任选一个作为已知条件，并回答下列问题．
（1）求a的值；
（2）求的单调区间．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
由题意可得，，分析可得，构造函数，利用导数分析函数在上的单调性，可得，结合函数的单调性可得出结论.
【详解】
由题意可知，，则，
构造函数，其中，则，
当且仅当时，等号成立，所以，函数在上单调递增，
由可得，所以，，则，
A对B错，无法判断CD选项的正误.
故选：A.
2．A
先求导数，令求解不等式可得答案.
【详解】
由题可知，由，解得.
所以单调递减区间为.
故选：A.
3．A
先分别求出函数在点的切线方程，再根据题意可得出，构造函数，求出的最小值即可求出，从而得到.
【详解】
，
，
又，
过点切线方程为：，①
又，
，即，又，
因此过点的切线方程为：，②
由题意知①②都为直线,
，
，
令，，
令，，
和时，单调递减，且时，恒成立，
时，单调递增，
时，，
，
则，
.
故选：.
本题主要考查导数的几何意义、导数与函数的单调性以及函数的极值与最值，考查学生的逻辑推理能力与数学运算能力,考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算，是难题.
4．D
设得出为偶函数，再由得出的单调性，不等式可化为，进而由的单调性、奇偶性结合，从而得出不等式的解集.
【详解】
设，则易知为偶函数
又
则当时，函数为增函数
当时，函数为减函数
又，不等式可化为
即，所以或，所以不等式的解集为或
故选：D.
求解本题有三个难点：一是构造函数；二是确定函数的单调性；三是将原不等式转化为，且求出，再通过单调性求解.解题过程环环相扣，有一处出现错误，就不能得出正确结果.
5．D
求导分析单调性，根据即可解不等式．
【详解】
的定义域为，由
所以在上递减，又，
所以不等式的解集是．
故选：D
6．D
求出导数，由题意得在上恒成立，由分离参数思想可得结果.
【详解】
由得，
由于函数在区间内单调递减，
即在上恒成立，即，
即得在恒成立，所以，
故选：D.
7．B
求得导函数且，根据极值点可得，关于的表达式及的范围，由此可得关于的函数式，构造，则只需恒成立，利用导数研究的最值，即可求的取值范围.
【详解】
由题设，且，由有两个极值点，
∴令，则在上有两个不等的实根，，
∴，，且，得.
又，且，
∴，，即，
∴，
令且，要使题设不等式恒成立，只需恒成立，
∴，即递增，故，
∴.
故选：B
关键点点睛：先求导函数，根据极值点、韦达定理求，关于的表达式及的范围，再将题设不等式转化为恒成立，最后利用导数研究最值求参数范围.
8．D
求得导函数的解析式，根据导函数在区间(0,2)内的正负的不同情况,分类讨论研究函数的单调性和最大值，从而求得实数的取值范围.
【详解】
解:由函数的解析式可得:，
当≤0时,即时，在内恒成立，函数在区间上单调递增,而,不合题意;
当≥2，即时,在内恒成立，函数导函数在区间[0, 2]上单调递减,而f(0)=2 ,满足题意;
当，即时，在区间上, 函数单调递减,在区间 上, 函数单调递增，满足题意时有 ,即: , 解得 ,此时 ,
综上可得,实数的取值范围是[4 , +∞) .
故选: D.
本题考查利用导数研究函数的最值，关键是分类讨论思想的运用.
9．B
求出导函数，只要在上有唯一零点即可得．
【详解】
由，
①当时函数单调递增，不合题意；
②当时，函数的极值点为，若函数在区间不单调，必有，解得.
故选：B．
10．B
根据图象判断的单调性，由此求得的极值点，进而确定正确选项.
【详解】
由图可知，在区间上递减；在区间上递增.
所以不是的极值点，是的极大值点.
所以ACD选项错误，B选项正确.
故选：B
11．C
首先将代入得到切点为，求导得到，从而得到，解方程组得到，再利用导数求解单调区间即可.
【详解】
将代入得到，所以切点为.
因为，
所以，
所以，
当时，，为增函数.
所以函数的增区间为.
故选：C
12．A
求出导函数，判断导数的正负，为此引入新函数（部分函数），由导数确定单调性极值后得正负，从而得出结论．
【详解】
，
设，则，
时，，递减，时，，递增，
而，所以时，，所以，
切线斜率均为正数，倾斜角为锐角．
故选：A．
13．C
构造，根据已知条件判断在上单调性，又题设不等式等价于，利用单调性及其定义域范围求解集.
【详解】
令，则，即在上递增，
又，则等价于，即，
所以，解得，原不等式解集为.
故选：C
14．C
由已知条件构造函数，再根据，求，不等式转化为，结合函数的单调性和奇偶性，解抽象不等式.
【详解】
解：由题意得，
则
，
由，解得：，
故，
（2），
当时，，，，
在上恒成立，
即在上单调递增，
又，故为上的偶函数，
其图象关于轴对称，在上单调递减，
故，故，
故选：C．
15．A
由题意可得两个根分别位于和上，所以，从而解不等式组可求出实数的取值范围.
【详解】
由，得．
因为在，上单调递增，在上单调递减，
所以方程的两个根分别位于区间和上，
所以，即
解得.
故选：A．
16．##
求出，然后由可得答案.
【详解】
由可得
所以由可得
所以函数的减区间是
故答案为：
17．
设由题可知，当时，可得适合题意，当时，可求函数的最小值即得，当时不合题意，即得.
【详解】
设，由题可知，
∴，
当时，，适合题意，所以，
当时，令，则，
此时时，，单调递减，，，单调递增，
∴，又，
∴，
∴，即，
解得，
当时，时，，，故的值有正有负，不合题意；
综上，实数的取值范围是.
故答案为：.
关键点点睛：本题考查不等式恒成立求参数的取值范围，设由题可知，当时，利用导数可求函数的最小值，结合，可得，进而通过解，即得.
18．
由=0解得，再验证即可得解.
【详解】
因为，所以，
因为x＝2是f(x)＝ax3-3x的一个极值点，
所以，故，
经验证当时，是的一个极值点.
所以.
故答案为：
关键点点睛：根据可导函数在极值点处的导数值为0求解是解题关键.
19．（1），在上递减，上递增；（2）；（3）证明见解析.
（1）由题设得，将代入求，再将代入求，写出解析式，最后利用导数研究单调性即可；
（2）由（1）及题设知：，令利用导数研究单调性，并讨论参数a可得，即，再构造，由导数求其最大值，即可得的最大值；
（3）证明则有，问题转化为证即可，构造并利用导数证明在上恒成立即可.
【详解】
（1）由题设，，则，得，
∴，则，得，
∴，且，则，即单调递增，又，
∴时，则在上递减；时，则在上递增；
（2）由题设，，有，
令，则，
∴当时，，递增且，不合题意；
当时，，递增且，
此时，当时，不能恒成立，不合题意；当时，则；
当时，上，递增；上，递减；
此时，即可，
∴，令且，
∴，则时，递增；时，递减；
∴，即，故当，时等号成立，
综上，的最大值为.
（3）由，有，
令且，则，易知上，递增，上，递减，即，
∴，即，故只需证.
令且，则，
若且，则，有，即上递增，，即上递减，
∴，即，故递增，
∴，故得证.
关键点点睛：第二、三问，转化不等式，通过放缩转化，再构造函数并利用导数研究函数的单调性，进而求最值或证不等式恒成立.
20．（1）答案见解析；（2）.
（1）对函数求导得，分类讨论当和时，利用导数研究函数的单调性，从而可得出函数的单调性；
（2）当时，在上单调递减，在上没有最小值；当时，分类讨论和时，利用导数研究函数的单调性和最值，从而得出，构造新函数，根据导数判断单调性可知在单调递减，综合两种情况即可得出实数的取值范围.
【详解】
解：（1）由于，则的定义域为，
，
当时，，在上单调递减，
当时，令，解得：，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增.
综上所述，时在上单调递减，
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）知，当时，在上单调递减，
所以在上没有最小值，不符合条件；
当时，
若，即，在单调递增，，满足条件，
若，即时，在上单调递减，在上单调递增，
，即，
令，
当时，，所以在单调递减，
，即方程在上无解，
即此时不存在满足条件的实数，
综上可知，实数的取值范围是.
21．（1）在单调递增；（2）证明见解析.
（1）根据导数的性质，结合余弦函数的单调性进行求解即可；
（2）根据（1）可得，令，利用放缩法可得：
，用这个不等式，结合对数的运算性质证明即可.
【详解】
（1）因为，
所以.
因为，所以，则.
又，知，且时，
故，所以在单调递增.
（2）由（1）知，当时，，即，
所以.
令，所以，从而，
所以，
因为，，所以，所以，
所以，
所以，
因为
，
所以，
所以.
关键点睛：本题的关键是利用（1）得到这个不等式，用这个不等式应用放缩法进行证明.
.
22．（1）条件性选择见解析，；（2）单调递减区间为和，单调递增区间为．
（1）选①，求出函数的导函数，根据是函数的一个极值点，得函数在处得到函数值为0，即可得出答案；
选②，根据函数的图象在处的切线方程为，即函数在处得导数值为3，即可的解；
（2）由（1）得，求出函数得导函数，再根据导函数得符号即可得出答案.
【详解】
解：（1）选①．
由题意知，，
依题意得，，
即，经检验符合题意．
选②．
由题意知，，
因为函数的图象在处的切线方程为，
所以，得．
（2）由（1）得，
，
令得，或，
列表：
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所以的单调递减区间为和，单调递增区间为．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页