行知高级中学校2021-2022学年高二下学期期中考试
数学（理科） 试卷
（考试时间 120 分钟 满分 150 分）
一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，总计 60 分）
1．若复数 z 满足(1-2i)=1-i ，则复数z的虚部为（ ）
A． B．- C．i D．-i
2．下列求导运算正确的是（ ）
A．(-x2)’=2x B．(ex+In3)’=ex+ C．(cosx)’=sinx D．(3x)’=3xIn3
3．用数学归纳法证明 1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时，从“n=k”到“n=k+1”，左边需增添的代数式是（ ）
A．(2k+1)+(2k+2) B．(2k-1)+(2k+1) C．(2k+2)+(2k+3) D．(2k+2)+(2k+4)
4．函数 f(x)=2lnx-x2的单调递增区间是（ ）
A． (0,1] B．[1, +) C．(-,-1) ,(0,1] D．[-1, 0), (0,1]
5．=( )
A．1- B -16 C．- -1 D． +1
6．(1-3x)4的展开式中含x2 项的系数为（ ）
A．－54 B．54 C．－27 D．27
7．已知函数f(x)的导函数f’(x)的图象如图，则下列叙述正确的是
A．函数f(x)在(-,-4)上单调递减 B．函数f(x)在x=-1处取得极大值
C．函数 f(x)在x=-4处取得极值 D．函数f(x)只有一个极值点
8．用 5 种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则共有（ ）种不同的涂色方法
A．180 B．240 C．300 D．480
9．设复数 z 在复平面内对应的点为 Z，原点为 O，i 为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．若|z|=1 ，则 z =±1 或 z =±i
B．若|z+1|=1，则点 Z 的集合为以(1, 0)为圆心，1为半径的圆
C．若1 ≤|z|≤2 ，则点 Z 的集合所构成的图形的面积为
D．若 |z-1|=|z+i| ，则点 Z 的集合中有且只有两个元素
10．设函数 f '( x) 是奇函数 f ( x)（x ∈R ）的导函数， f (-1) =0 ，当 x >0 时，xf '( x) -f ( x)<0 ，则使得 f ( x) >0 成 立的 x 的取值范围是（ ）
A． (-∞, -1) ∪(0,1) B． (-1,0)∪(1,+∞)
C． (-∞, -1)∪(-1, 0) D．(0,1) ∪(1, +∞)
11．杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》（1261 年）一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展开式的系数规律．现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1……．记作数列{an}，若数列{an}的前 n 项和为Sn，则S47=
A．265 B．521 C．1034 D．2059
12．函数f(x)=(x2-3)ex，关于 x 的方程 f2(x)-mf(x)+1=0恰有四个不同实数根，则正数 m的取值范围为
A．(0, 2) B．(2,+∞) C．(0, ) D．(,+∞)
二、填空题(共 4 小题，每小题 5 分，总计 20 分)
13．复数 的共轭复数是___________.
14．(1+2x2)(1+x)3的展开式中x3的系数为___________.（用数字作答）
15．2022 年 4 月 16 日，搭载着翟志刚、王亚平、叶光富三名航天员的神舟十三号载人飞船返回舱，结束了长达半年的“太空出差”，在东风着陆场预定区域成功着陆．为了宣传航天员的精神品质，某班班会安排 4 名同学讲述这三位航天员的事迹，要求每位学生只讲述一位航天员，每位航天员至少有 1 名学生讲述，且同学甲讲述王亚平事迹，则共有__________种不同的安排方案．
16．若函数 y=exf(x)（e=2.71828...是自然对数的底数）在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质，下列函数中所有具有 M 性质的函数的序号为___________.
①f(x)=2-x ②f(x)=3-x ③f(x)=x3 ④f(x)=x2+2
三、解答题(共 6 小题,其中 17 题 10 分,其余每题 12 分，总计 70 分)
17．已知复数z=(m2-5m+6)+(m-2)i（ m∈R ）．
（1）若复数 z 为纯虚数，求实数 m 的值；
（2）若复数 z 在复平面内对应的点在第二象限，求实数 m 的取值范围．
18．已知曲线 f（x）＝x2．
（1）求曲线 f（x）在（1，1）点处的切线l的方程；
（2）求由曲线 f（x）、直线 x＝0 和直线 l 所围成图形的面积．
19．有四名男生，三名女生排队照相.
（1）若七个人排成一排，且三名女生必须连排在一起，那么有多少种不同排法数？
（2）若七个人排成一排，且女生不能站在两端，那么有多少种不同排法数？
（3）若七个人排成两排，前排站女生，后排站男生.那么有多少种不同的排法数？
（上述排法数结果，用数字表达）
20．已知函数f(x)=alnx-bx2在 x=1处的切线为2y+1=0 ．
（1）求实数 a，b 的值；
（2）求函数 f ( x) 在[,1]上的最值．
21．有 6 本不同的书，在下列不同的条件下，各有多少种不同的分法？
（1）分给甲 乙 丙三人，其中一个人 1 本，一个人 2 本，一个人 3 本；
（2）分成三组，一组 4 本，另外两组各 1 本；
（3）甲得 1 本，乙得 1 本，丙得 4 本.
22．已知函数f(x)=x(1-lnx).
（1）讨论f(x)的单调性；
（2）设 a ，b 为两个不相等的正数，且blna-alnb=a-b ，证明：2<参考答案：
选择题答案：1—5 ADCAB 5—10 BDACA 11—12 BD
1．A
【详解】
由题意，
所以其虚部为．
故选：A．
2．D
【详解】
A：，错误；
B：，错误；
C：，错误；
D：，正确.
故选：D
3．C
【详解】
当n=k时，左边是共有2k+1个连续自然数相加，即1+2+3+…+(2k+1)，
所以当n=k+1时，左边共有2k+3个连续自然数相加，
即1+2+3+…+(2k+1)+(2k+2)+(2k+3).
所以左边需增添的代数式是(2k+2)+(2k+3).
故选：C
4．A
【详解】
函数的定义域为，，
，解不等式，即，解得，
所以，函数的单调递增区间为，故选A．
5．B
【详解】
由微积分基本定理可得：.
故选：B
6．B
【详解】
解：二项式展开式的通项公式为：，令r＝2，则含的项的系数为.
故选：B.
7．D
【详解】
由导函数的图象可得，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减．
对于选项A，由于函数的单调减区间为，所以A不正确；
对于选项B，由题意可得函数当时取得极大值，所以B不正确；
对于选项C，由题意当时函数无极值，所以C不正确；
对于选项D，由题意可得只有当时函数取得极大值，所以D正确．
故选D．
8．A
【详解】
分类：（1）①和④颜色相同：；
（2）①和④颜色不同：；
则共有60+120=180种不同的涂色方法
故选：A
9．C
【详解】
若，则点Z的集合为以原点为圆心，1为半径的圆，有无数个圆上的点与复数z对应，故A错误；
若，则点Z的集合为以为圆心，1为半径的圆，故B错误；
若，则点Z的集合为以原点为圆心，分别以1和为半径的两圆所夹的圆环，所以点Z的集合所构成的图形的面积为 ，故C正确;
若，则点Z的集合是以点，为端点的线段的垂直平分线，集合中有无数个元素，故D错误,
故选:C．
10．A
【详解】
构造新函数,，当时.
所以在上单减，又，即.
所以可得,此时，
又为奇函数，所以在上的解集为：.
故选A.
11．B
【详解】
根据题意杨辉三角前9行共有
故前47项的和为杨辉三角前9行的和再加第10行的前两个数1和9，
所以前47项的和
故选B项.
12．D
【详解】
，令，得或，
当时，，函数在上单调递增，且;
当时，，函数在上单调递减;
当时，，函数在上单调递增.
所以极大值，极小值，作出大致图象：
令，则方程有两个不同的实数根，
且一个根在内，另一个根在内，
或者两个根都在内.
因为两根之和为正数，所以两个根不可能在内.
令，因为，所以只需，即，得，即的取值范围为.
故选：D
13．
【详解】
解：，
复数的共轭复数是
故答案为
14．7
【详解】
的展开式中的系数为
，
由二项式展开式的通项公式可得，
令和，
则的系数为.
故答案为：7．
15．12
【详解】
第一种情况，另外3人分别讲述三名航天员的事迹，有种方法，
第二种情况，另外3人讲述翟志刚和叶光富的事迹，有种方法，
综上，共有种不同的安排方案.
故答案为：12.
16．①④
【详解】
①在上单调递增，故具有性质；
②在上单调递减，故不具有性质；
③，令，则，当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，故不具有性质；
④，令，则，在上单调递增，故具有性质．
17．（1）（2）（2，3）
【详解】
（1）因为复数为纯虚数，所以，
解之得，．
（2）因为复数在复平面内对应的点在第二象限，所以，
解之得，得．
所以实数的取值范围为（2，3）．
18．（1）2x﹣y﹣1＝0；（2）．
【详解】
（1）∵f（x）＝x2，∴f′（x）＝2x，故f′（1）＝2
∴曲线f（x）在（1，1）点处的切线l的方程为y﹣1＝2（x﹣1），即2x﹣y﹣1＝0；
（2）根据题意得S（）．
19．(1)种
(2)种
(3)种
【详解】
(1)
解：由捆绑法知，视三名女生为一整体，后与四名男生共同排序，
所以，不同的排法种数为.
(2)
解：由特殊元素、特殊位置知，由男生站队伍两端，后剩余两名男生与三名女生共同排序.
所以，不同的排法种数为种.
(3)
解：第一步，先排女生，有种不同的排法，
第二步，排男生，有种不同的排法，
由乘法原理知，不同的排法种数为.
20．（Ⅰ）；（Ⅱ）的最大值为，最小值为.
【详解】
解：（Ⅰ），
，
由题意，有，解得.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
，
令，得；令，得.
在上单调递增，在上单调递减.
，
.
21．（1）种；（2）种；（3）种.
【详解】
（1）先将6本不同的书分成1本，2本，3本共3组，有种，
再将3组分配给3人有种，故共有种；
（2）只需从6本中选4本一组，其余2本为2组，即种；
（3）分步处理，先从从6本中选4本给丙，其余2本分给甲乙各一本，
即种.
22．（1）的递增区间为，递减区间为；（2）证明见解析.
【详解】
(1)的定义域为．
由得，，
当时，；当时；当时，．
故在区间内为增函数，在区间内为减函数，
(2)[方法一]：等价转化
由得，即．
由，得．
由（1）不妨设，则，从而，得，
①令，
则，
当时，，在区间内为减函数，，
从而，所以，
由（1）得即．①
令，则，
当时，，在区间内为增函数，，
从而，所以．
又由，可得，
所以．②
由①②得．
[方法二]【最优解】：变形为，所以．
令．则上式变为，
于是命题转换为证明：．
令，则有，不妨设．
由（1）知，先证．
要证：
．
令，
则，
在区间内单调递增，所以，即．
再证．
因为，所以．
令，
所以，故在区间内单调递增．
所以．故，即．
综合可知．
[方法三]：比值代换
证明同证法2．以下证明．
不妨设，则，
由得，，
要证，只需证，两边取对数得，
即，
即证．
记，则.
记，则，
所以，在区间内单调递减．，则，
所以在区间内单调递减．
由得，所以，
即．
[方法四]：构造函数法
由已知得，令，
不妨设，所以．
由（Ⅰ）知，，只需证．
证明同证法2．
再证明．令．
令，则．
所以，在区间内单调递增．
因为，所以，即
又因为，所以，
即．
因为，所以，即．
综上，有结论得证．
【整体点评】
(2)方法一：等价转化是处理导数问题的常见方法，其中利用的对称差函数，构造函数的思想，这些都是导数问题必备的知识和技能.
方法二：等价转化是常见的数学思想，构造对称差函数是最基本的极值点偏移问题的处理策略.
方法三：比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明题中的不等式即可.
方法四：构造函数之后想办法出现关于的式子，这是本方法证明不等式的关键思想所在.
答案第1页，共2页
